带电线电场中导体球上的特定电荷分布_庄楠

σ（ θ） = －
[
－ cos θ +
－ D1 cos θ + R D － 2D1 Rcos θ + R2 槡
2 1
]
D1 － Rcos θ + 槡 （ D1 － Rcos θ） 2 + R2sin2θ λ ln 4πR D － Rcos θ + （ D － Rcos θ） 2 + R2sin2θ 2 槡2 （ D1 － Rcos θ） 2 + R2sin2θ λ 槡 － 4πR D － Rcos θ + （ D － Rcos θ） 2 + R2sin2θ 1 1 槡 （ D2 － Rcos θ） 2 + R2sin2θ λ 槡 + 4πR D － Rcos θ + （ D － Rcos θ） 2 + R2sin2θ 2 槡2 D1 Q λ ln 2 － 4πR 4πR D2 D2 + D2（ D2 － Rcos θ） D1 + D1（ D1 － Rcos θ）
图2
关于电荷密度、 角度和电荷的三维空间中的曲面图． D2 = － 4， R = 1 且 λ = 3（ 所有参数采 这里 D1 = － 2， 用国际单位制）
相反， 如果 Q 和 q 为异号电荷， 电荷 Q （ 与 q 异 号） 分布在近端区域而感应电荷 （ 与 q 同号 ） 分布在 远端区域． 电荷量 | Q | 持续增加， 直到近端电荷密度 （ 绝对值） 最大而远端电荷密度为零， 从而确定特定 电荷值： Q0 = Rλ ln
参考文献：
［ 1］ 赵凯华． 新概念物理教程·电磁学［ M］ ． 2 版． 北京： 高
The specific charge distribution on the conductive sphere in the electric field of a charged line
ZHUANG Nan，TENG Baohua，ZHANG Dainan
（ 5）
[
（ R － D2 ） D1 R － 3D1 R － 3D2 + － （ R － D1 ） D2 R － D1 R － D2
] （ 8）
（ 6）
同理， 当 | Q | 值大于 | Q0 | 值时， 电荷 Q 将完全地、 非 均匀地分布在导体球表面且没有感应电荷出现 ． 另外， 特定电荷值 Q π 和 Q0 随带电线长度和距 导体球位置的变化而明显变化． 带电线长度 （ D1 － D2 ） 越大， 特定电荷值越大； 带电线距导体球越近， 特定电荷值越大． 作为特例， 上述结果可以简化为导体球在点电
2
[
λ R － 3 D2 R － 3 D1 － － 4 π R R － D2 R － D1 ln （ R － D2 ） D1 （ R － D1 ） D2 Q ] + 4π R
2
[
2
分析与讨论
图 2 描述了带电细棒电场中导体球表面电荷密 度与角度 θ 以及导体球上的电荷 Q 的数值关系． 可 以看到， 若 Q 和 q 是同号电荷， 电荷 Q 分布在远端
第7 期
庄
楠， 等： 带电线电场中导体球上的特定电荷分布 2006 ： 1-63． 等教育出版社，
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荷电场中的问题， 事实上， 当 （ D1 － D2 ） →0 且 （ D1 － D2 ） λ = q 时 ， 我们得到点电荷电场中导体球上的特 定电荷值
［4 8 ］
［ 2］ 张三慧． 大学物理学： 第三册［M］ ． 2 版． 北京： 清华大 100． 学出版社 1999 ： 93［ 3］ Olenick R P，Apostol T M，Goodstein D L． Beyond the Mechanical Universe（ From electricity to modern physics） ［ M］ ． Cambridge： Cambridge University Press， 1986 ： 3176． ［ 4］ 程克俊． 导体球壳上感应电荷及空间电场的分布（ 1 ） ［ J］ ． 物理与工程， 2002 ， 12 （ 5 ） ： 911． ［ 5］ 程克俊． 导体球壳上感应电荷及空间电场的分布（ 2 ） J］ ． 物理与工程， 2002 ， 12 （ 6 ） ： 1720． ［ ［ 6］ 胡成华． 点电荷电场中金属球面上的电荷分布［ J］ ．湖 2005 ， 14 （ 6 ） ： 47-49． 南城市学院学报， ［ 7］ 梁兵． 电荷对导体球的静电感应问题的讨论［ J］ ． 广西 2000 ， 21 （ 1 ） ： 3335． 物理， ［ 8］ 刘云． 点电荷场中球体表面电荷分布规律的研究［ J］ ． 2008 ， 19 （ 6 ） ： 710． 贵州教育学院学报，
42
2 D1 － rcos θ + 槡 D2 1 1 －2D1 rcos θ + r λln 2 4πε0 D2 － rcos θ + 槡 D2 2 －2D2 rcos θ + r λ R D1 ln － r D2
大
学
物
理
第 30 卷
{ [
]－ ] }
（ 3）
区域（ 远端点为 θ = 0 点） 而感应电荷 （ 异性电荷 ） 分 布在近端区域（ 近端点为 θ = π ） ． 随着 | Q | 的增加， 电荷 Q 在远端的分布区域将逐渐增大， 而感应电荷 在近端的分布区域将逐渐缩小． 电荷量 | Q | 可以持 直到带电导体球近端（ θ = π ） 的感应电荷密 续增加， 度为零． 于是我们得到电荷 Q 在导体球上的一种特 定分布， 即 Q 达到一个特定值时， 使得带电导体球 远端（ θ = 0 ） 电荷密度最大而近端 （ θ = π ） 电荷密度 为零． 也就是说， 此时 Q 全部分布在导体球表面且 没有任何与 Q 相反的感应电荷出现． 根据式 （ 5 ） ， 我 们可以得到 Q 和 q 是同号电荷时的电荷值： Qπ = Rλ ln
摘要： 研究了带电导体球在带电直线电场中的电荷分布问题， 并计算了两种特定情况下导体球表面的电荷密度 ． 关键词： 电荷分布； 带电直线； 带电导体球； 电荷密度 中图分类号： O 441． 1 文献标识码： A 文章编号： 1000 -0712 （ 2011 ） 07 -0041 -03
λ dD 将会对导体球产生影响， 导致在导体球表面出 现感应电荷． 为了探究导体球表面上的电荷分布 ， 我 们在导体球中引进一个镜像电荷 dq'． 这样根据电 荷守恒定 律， 分布在导体球表面的电荷即为 Q － dq'． 我们知道， 镜像电荷 dq' 的大小和它在球中的位 置， 是由表面电荷 Q － dq' 将均匀分布在导体球的表 面来决定的． 于是我们现在讨论的带电荷量为 Q 的 导体球和点电荷 dq 的问题， 就转化为点电荷 dq、 镜 像电荷 dq' 、 以及均匀分布在导体球表面的电荷 Q － dq' 的问题． 根据电势叠加定理， 空间任意点 P 的电 dq' 、 Q － dq' 的贡献， 即 势来自这 3 部分电荷 dq、 u（ p） = 1 dq dq' Q － dq' + + 4 π ε0 r 1 r2 r
第 30 卷第 7 期 2011 年 7 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol． 30 No． 7 July 2011
櫍殻
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在大学物理的静电场内容中， 经常讨论导体上 电荷分布的问题， 如孤立导体球上的电荷分布问题 ，
［1 3 ］ ． 我们知 点电荷场中的导体球上电荷分布问题等 道， 对于一个带电荷 Q、 半径 R 的孤立导体球， 电荷
( )
2 （ rD1 － R2cos θ） 2 + R4sin2θ Q Rλ （ rD1 － R cos θ） + 槡 ln + r （ rD － R2cos θ） + （ rD － R2cos θ） 2 + R4sin2θ r 2 2 槡
[
利用电场强度和电势之间的梯度关系 E = － U， 可 以得到 导 体 球 外 部 表 面 附 近 场 强 E， 再根据 σ = ε0 E ， 从而得到导体球表面电荷密度 σ 为 λ － 4π D － Rcos θ + D2 － 2D Rcos θ + R2 1 1 1 槡 － D2 cos θ + R － cos θ + 2 D2 2 － 2D2 Rcos θ + R 槡 － 2 D2 － Rcos θ + 槡 D2 2 － 2D2 Rcos θ + R
1
我们讨论均匀带电细棒电场中的导体球． 如图 1 所示， Q 和 q 分别为导体球和带电细棒的电荷量， D1 和 D2 分别表示带电细棒左右端点的坐标位置 ， 带 电细棒的电荷密度用 λ 表示．
櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻
图1
带电线电场中导体球上的特定电荷分布
庄
1 2 3 楠， 滕保华 ， 张岱楠
（ 1 ． 电子科技大学 光电信息学院， 四川 成都 610054 ； 2 ． 电子科技大学 物理电子学院， 四川 成都 610054 ； 3 ． 电子科技大学 2009 级实验班， 四川 成都 611731 ）
：
2 R q （ 3 D2 + R ） 2 ， 同号电荷 D2 （ D2 + R ） Q= 2 R q （ R － 3 D2 ） 2 ， 异号电荷 D2 （ R － D2 ）
3
结论
本文探讨了有限长带电细棒电场中导体球上的 电荷分布问题． 通过引进镜像电荷， 计算了电势、 场 强和带电导体球上的电荷密度， 得到了特定电荷分 布情况下的电荷值， 并将有限长带电细棒简化到点 电荷的情况．
Δ
[
（ R + D2 ） D1 R + 3D1 R + 3D2 + － （ R + D1 ） D2 R + D1 R + D2