江苏新高考数学理科一轮创新设计总复习训练2.3函数的奇偶性与周期性

第3讲 函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·温州二模)若函数f (x )＝sin x (x ＋a )2是奇函数，则a 的值为________． 解析 由f (－1)＝－f (1)，得sin (－1)(－1＋a )2＝－sin 1(1＋a )2， ∴(－1＋a )2＝(1＋a )2解得a ＝0.答案 02．(2014·温岭中学模拟)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________.解析 f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2.答案 －23．(2013·重庆卷改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，②①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8，∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3.答案 34．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为______．解析 f (x )的图象如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1,3)．∴x ∈(－1,0)∪(1,3)．答案 (－1,0)∪(1,3)5．(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝________.解析 依题意知f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )＝a －x －a x ＋2，联立f (x )＋g (x )＝a x－a －x ＋2，解得g (x )＝2，f (x )＝a x －a －x ，故a ＝2，f (2)＝22－2－2＝4－14＝154.答案 1546．(2013·青岛二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )对任意x ∈R 成立，当x ∈(－1,0)时f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1. 答案 17．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 8．(2013·临沂模拟)下列函数①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝2x 中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是________．解析 因为①是奇函数，所以不成立．③在(0，＋∞)上单调递减，不成立，④为非奇非偶函数，不成立，所以填②.答案 ②二、解答题9．f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式． 解 当x ＜0时， －x ＞0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1.由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋3x －1.因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0. 综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ －2x 2＋3x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x ＜0.10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ∈[－1，0)，x ，x ∈[0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·昆明模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝________.解析 由f (x －2)＝－f (x )得f (x －4)＝f (x )，所以函数的周期是4，故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.答案 122．(2014·郑州模拟)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，∴y ＝f (x )关于x ＝1对称．又1＜x 1＜x 2，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0，知y ＝f (x )在[1，＋∞)是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，且2＜52＜3，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 b ＜a ＜c3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ， 函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3＜x ＜4时，－1＜x －4＜0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确． 答案 ①②④二、解答题4．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 014,2 014]上根的个数，并证明你的结论． 解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f [2－(x ＋2)]＝f [2＋(x ＋2)]＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数．综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)由⎩⎨⎧ f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎨⎧ f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )⇒ f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)，从而知函数y ＝f (x )的周期T ＝10.由f (3)＝f (1)＝0，得f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0.故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2 014]上有404个解，在[－2 014,0]上有402个解，所以函数y ＝f (x )在[－2 014,2 014]上共有806个解.。