【初中数学】人教版八年级上册专题训练（四） 等腰三角形问题中的分类讨论思想(练习题)

人教版八年级上册专题训练（四）等腰三角形问题中
的分类讨论思想(159)
1.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．
2.已知一个等腰三角形一边上的高等于这边的一半，求这个三角形顶角的度数．
3.等腰三角形的一个外角是60∘，则它的顶角的度数是
4.若等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长为．
5.若等腰三角形的一个外角等于110∘，则这个三角形的三个角分别为
6.若实数x，y满足|x−4|+√y−8=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为．
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48∘，则该等腰三角形的底角的度数为．
8.在等腰三角形中，马彪同学做了如下探究：已知一个角是60∘，则另两个角是唯一确定的(60∘，60∘)；已知一个角是90∘，则另两个角也是唯一确定的(45∘，45∘)；已知一个角是120∘，则另两个角也是唯一确定的(30∘，30∘)．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数是唯一确定的．马彪同学的结论是的(填“正确”或“错误”)．
9.等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若三角形ABC的边长为1，AE=2，求线段CD的长．
10.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30∘，求这个三角形的三个内角的度数．
11.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）
A.12
B.9
C.12或9
D.9或7
12.如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该
点阵图中已有两个阵点分别标为A,B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有（）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
13.在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
参考答案
1.【答案】:如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD，设AB=x，BC=y，
(1)当AC+AD=15，BD+BC=12时，
则{x
2
+x=15，
x 2+y=12，
解得{x=10，
y=7.
(2)当AC+AD=12，BC+BD=15时，
有{x
2
+x=12，
x
2
+y=15，
解得{x=8，
y=11.
且这两种情况下三角形的三边都符合三角形的三边关系，故这个三角形的三边长为10，10，7或8，8，11
【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.
2.【答案】:(1)若这一边为底边，如图①，AB=AC，AD⊥BC，AD=BD=CD，
则△ABD和△ACD均为等腰直角三角形，
所以∠BAC=45∘+45∘=90∘；
(2)若这一边为腰，
①当顶角为锐角时，如图②，AB=AC，CD⊥AB，CD=1
2AB=1
2
AC，则顶角∠A=30∘；
②当顶角为钝角时，如图③，AB=AC,CD⊥AB交BA的延长线于点D，因为CD=1
2
AB=
1
AC，
2
所以∠DAC=30∘，所以∠BAC=150∘.
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为90∘或30∘或150∘.
【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.
3.【答案】:120∘
【解析】:等腰三角形的一个外角为60∘，则与它相邻的内角为120∘.
因为三角形内角和为180∘，如果这个内角为底角，内角和将超过180∘，所以120∘的角只可能是顶角．
故答案为120∘
4.【答案】:6，4或5，5
【解析】:若6为腰长，则底边长为4,三边长6，6,4可以构成三角形；若6为底边长，则腰长为5，三边长5,5，6也可以构成三角形．故答案为6，4或5，5
5.【答案】:70∘，55∘，55∘或70∘，70∘，40∘
【解析】:当顶角的外角是110∘时，这个三角形的三个角为70∘，55∘，55∘；
当底角的外角是110∘时，这个三角形的三个角为70∘，70∘，40∘.
所以这个三角形的三个角为70∘，55∘，55∘或70∘，70∘，40∘
6.【答案】:20
【解析】:由|x−4|+√y−8=0，x−4≥0，√y−8≥0，
可得x−4=0，√y−8=0，求解可得x=4，y=8，
于是此等腰三角形的三边长为4，4，8或8，8，4.
由于4+4=8，利用三角形的三边关系，可得4，4，8不符合题意，同理可得8，8，4符合题意，故等腰三角形的周长为8+8+4=20
7.【答案】:69∘或21∘
【解析】:分两种情况讨论：
①若∠A<90∘，如图(a)所示：
∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90∘.
∵∠ABD=48∘，∴∠A=90∘−48∘=42∘.
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1
2
×(180∘−42∘)=69∘.
②若∠A>90∘，如图(b)所示：
同①可得：∠DAB=90∘−48∘=42∘，
∴∠BAC=180∘−42∘=138∘.
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1
2
×(180∘−138∘)=21∘.
综上所述，等腰三角形底角的度数为69∘或21∘
8.【答案】:错误
【解析】:举一个反例即可．
如当等腰三角形一个角的度数是50∘时，
若这个50∘的角为顶角，则另两个角是65∘，65∘；
若这个50∘的角是底角，则另一个底角为50∘，顶角为80∘.
综上所述，另两个角是65∘，65∘或50∘，80∘.
因此另两个角的度数不是唯一确定的．故马彪同学的结论是错误的9.【答案】:当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图①所示，过点E作EF⊥BD，垂足为F，可得∠EFB=90∘.
∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=1
2
CD．
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘，∴∠BEF=30∘.
∵BE=AB+AE=1+2=3，∴FB=1
2EB=3
2
，
∴CF=FB−BC=1
2
，∴CD=2CF=1.
当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，
如图②所示，过点E作EF⊥BD，垂足为F，可得∠EFC=90∘. ∵EC=ED，∴F为CD的中点，
即CF=DF=1
2
CD．
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60∘，
∴∠BEF=30∘.
∵BE=AE−AB=2−1=1，∴FB=1
2BE=1
2
，
∴CF=BC+FB=3
2
，∴CD=2CF=3.
综上，CD的长为1或3
【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.
10.【答案】:设其中一角的度数为x∘,则另一角的度数为(2x−30)∘,
则x+x+2x−30=180或x+2(2x−30)=180或x=2x−30,
解得x=52.5或x=48或x=30,
所以这个三角形三个内角的度数为52.5∘，52.5∘，75∘或48∘，66∘，66∘或30∘，30∘，120∘.【解析】:设其中一角的度数为x∘,则另一角的度数为(2x−30)∘, 则x+x+2x−30=180或x+2(2x−30)=180或x=2x−30, 解得x=52.5或x=48或x=30, 所以这个三角形三个内角的度数为52.5∘，52.5∘，75∘或48∘，66∘，66∘或30∘，30∘，120∘.
11.【答案】:A
【解析】:∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2时，则2+2<5，此时不成立，
当腰长为5时，能组成三角形，则这个等腰三角形的周长为5+5+2=12. 故选A
12.【答案】:C
13.【答案】:D
【解析】:如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴于点B,C；
以点A为圆心，AO长为半径画弧，交x轴于一点D(点O除外)，∴以OA为腰的等腰三角形有3个；
当以OA为底时，作OA的垂直平分线，交x轴于一点，
∴以OA为底的等腰三角形有1个．综上所述，符合条件的点P共有4个。