2012-2013学年第1学期《概率论与数理统计》期末试题(A卷)

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2012-2013概率期末试题+答案

2012-2013-1《概率论与数理统计》期末试卷(A)一、填空题（每小题4分，共28分）1．对一批次品率为p (0<p <1)的产品逐一检测, 则第二次或第二次后才检测到次品的概率为________.2．二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为j i p ， (i , j =1 , 2 ,……)，关于X 及关于Y 的边缘分布律为p i •及p •j (i , j =1,2,……)，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是_________. 3．设样本),,,(21n X X X 抽自总体22, ). ,(~σμσμN X 均未知. 要对μ作假设检验，统计假设为,:00μμ=H (0μ已知)， ,:01μμ≠H 则要用检验统计量为_________.4．若总体) ,(~2σμN X ，则~n Z σμ-X =__________其中n 为样本容量.5．设某种零件的寿命),(~2σμN Y ，其中μ未知. 现随机抽取5只，测得寿命(单位小时)为1502 , 1453 ,1367 , 1650，1498，则用矩估计可求得μˆ=________. 6．设某离散型随机变量ξ的分布律是{}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k Ck P kλξ，常数λ>0，则常数=C ________.7．设A ，B 是两个互不相容的随机事件，且知21)(,41)(==B P A P ，则=)(B A P ______. 二、单项选择题（每小题4分，共40分）1．对任意两个互不相容的事件A 与B ，必有_________.(A ) 如果0)(=A P ，则0)(=B P . (B ) 如果0)(=A P ，则1)(=B P .(C ) 如果1)(=A P ，则0)(=B P . (D ) 如果1)(=A P ，则1)(=B P .2．已知随机变量X 在]1,0[上服从均匀分布，记事件}5.00{≤≤=X A ，}75.025.0{≤≤=X B ，则_________.(A ) A 与B 互不相容. (B ) B 包含A . (C ) A 与B 对立. (D ) A 与B 相互独立. 3．6.0 ,1)( ,4)(===ξηρηξD D ，则=-)23(ηξD _________.(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.64．任一个连续型的随机变量ξ的概率密度为)(x ϕ，则)(x ϕ必满足_________.(A) 1)(0<<x ϕ (B)()⎰+∞∞-=1dx x ϕ (C) 单调不减 (D)1)(lim =+∞→x x ϕ5．设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，{1}{1}0.5P X P Y ====，{1}{1}0.5P X P Y =-==-=,则下列各式成立的是_________.(A){}0.5P X Y == (B) {}1P X Y == (C) {0}0.25P X Y +== (D) {1}0.25P XY == 6．若随机变量ξ和η相互独立，且方差21)(σξ=D 和22)(ση=D 2121,),0,0(k k >>σσ 是已知常数，则)(21ηξk k D -等于_________.（A ）222211σσk k - （B ）222211σσk k + （C ）22222121σσk k - （D ）22222121σσk k +7．设( X , Y )为二维随机变量，其概率密度函数为⎩⎨⎧≥≥=+-其他,0,0,),()(y x e y x f y x ，则下列各式正确的是_________.⎰⎰∞-∞-+-=x y y x dxdy e y x F A )(),()( ⎰∞+∞-+-=dy e x f B y x X )()()(dx e dy Y X P C y y x ⎰⎰-+-=≤+240)(2}42{)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-=dxdy xe X E D y x )()()(8．对总体的某个参数做检验，取显著性水平α，如果原假设正确，但由于样本的随机性做出拒绝原假设的决策，因而犯了错误，这类错误称第一类错误，也称“弃真错误”，犯这类错误的概率是_________.(A )α-1 (B) 21α-(C) α (D)α19．设n X X ,,1 是来自随机变量X 的样本∑=--=ni i X X n S 122)(11(样本方差),则下列结论正确的是_______. (A))()(2X D S E = (B) )(1)(2X D n nS E -=(C) )(1)(2X D nn S E -= (D) )()1()(22X D n nS E -= 10．采用包装机包装食盐，要求500g 装一袋. 已知标准差g 3=σ，要使食盐每袋平均重量的95%的置信区间长度不超过4.2g ，则样本容量n 至少为_______.（已知u 0.025=1.96）(A ) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10三、不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为90%，第二个品种的种子发芽率为96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求：(1)从中任取一粒种子，它能发芽的概率；(2)如果取到的一粒种子能发芽，则它是第一个品种的概率是多少？(8分)四、设随机变量X 和Y 相互独立且)5,3(~N X , )19,3(~-N Y . 试求 Z =3X –2Y –15的概率密度. (8分)五、从一台车床加工的成批轴料中抽取15件，测量其椭圆度(设椭圆度服从正态分布),(2σμN ) ，计算得2s =0.025，问该批轴料的椭圆度的总体方差2σ与规定的方差 04.020=σ 有无显著差别？（最后结果保留3位小数），(α =0.05). (8分) (已知220.9750.025(14) 5.629,(14)26.119χχ==，220.9750.025(15) 6.262,(15)27.488χχ==）六、设某种零件长度X 服从正态分布),(2σμN ，现随机从该批零件中抽取10件，测得其样本均值)(05.10cm X =，样本标准差)(2415.0cm S =，求μ的置信度为95%的置信区间（最后结果保留3位小数）. (8分) (已知2281.2)10(,2622.2)9(025.0025.0==t t ，2281.2)10(,8331.1)9(025.005.0==t t ）答案：一、填空1．1-p ；2．j i j i p p p ••⨯=；3．,/0nS X t μ-= ；4．)1 ,0(N ；5．1494. 6.λ-e ；7. 21二、单项选择题题号 12345678910答案C D C B A D C C A C三、A i (i =1,2)分别表示取到的一粒种子是第一，二品种的事件B =“取到的一粒种子能发芽”则()()%90,3211==A B P A P ，()()%96,3122==A B P A P 由全概率公式 ()()()2121230.90.960.92=3325i i i P B P A P B A ===⨯+⨯=∑由贝叶斯公式 ()()()()⎪⎭⎫⎝⎛≈===65.0231592.060.0111B P A B P A P B A P 四、因为)3,2(~N X , )6,3(~-N Y ，且X 与Y 独立，故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布.即 Z ~N (E (Z ), D (Z ))015)(2)(3)(=--=Y E X E Z E 121)(4)(9)(=+=Y D X D Z D Z ~N (0, 112)则Z的概率密度函数为 2242(),()x f x x -=-∞<<+∞五、显著性水平 α = 0.05，检验假设04.0:;04.0:20212020=≠==σσσσH H22201140.0258.750.04n s χσ-⨯===（）由于()22220.0250.97521(14) 5.6298.7526.119(14)n αχχχχ-==<=<=故接受H 0 即认为该批轴料的圆度的总体方差与定的方差0.04 无显著差别. 六、当2σ未知时，μ的置信度为0.95的置信区间为22(1),(1)X n X n αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.05 2.2622,10.05 2.2622⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(9.877,10.223)=。

2012,2013,2014年概率论与数理统计期末考试试卷答案

2012年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题5分, 共30分)1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36P X Y +≥≤. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且1(1)(1)2P X P Y =-==-=, 1(0)(0)2P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:()(0,0)(1,1)1(0)(0)(1)(1).2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=5. 设1216,,,X X X 是来自2(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则1614ii XS=∑服从t (15).解: 由定理3(15)t ,161611(15)4i ii X X X t S ===∑∑.6. 设1281,,,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1(0,1)X N , 3(0,1)X N .二. 解答下列各题:7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.由全概率公式知, 2111()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令1,,0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,4/7 3/7 j P因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为3,01,,(,)20,xx x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32xX x xf x f x y dy dy x +∞-∞-===⎰⎰.所以,23,01,()0,.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩当10y -<<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y -==-⎰;当01y ≤<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()40,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,当为奇数,求Z 的分布律.解:{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z11. (10分12,,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5P X >.(已知(2)0.508Φ=.)解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,20012001600(,)39ii X N =∑. 所以, 11111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑1200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,xx x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩求θ的矩估计ˆθ并计算ˆD θ.解: 依题意,306()()2xE X xx dx X θθθθ=-==⎰,得参数θ的矩估计量为ˆ2X θ=. 4ˆ4D DX DX n θ==. 而2223063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,故22244ˆ()5D DX EX E X n n n θθ==-=.13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64Ω,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62Ω,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06Ω,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取0.01α=)(1.96)0.975,Φ=(1.64)0.95,Φ=(2.58)0.995Φ=. 解: 设X 为零件的平均电阻, 则2~(,0.06)X N μ. (1)假设0: 2.64H μ=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3)由0.01α=, 确定临界值22.58u α=, , 使得2{||}0.01P U u α>=;(4)由样本值 2.62x =, 得统计量U 的观察值3.33x u ==≈-.(5)因为 2.58u >,所以拒绝原假设0H ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.2013年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题4分, 共20分)1. 设随机变量,X Y 相互独立, 且同分布, {1}{1}0.5P X P X =-===,{1}{1}0.5P Y P Y =-===, 则{}P X Y == 1/2 .解: 1{}{1,1}{1,1}{1}{1}{1}{1}.2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===2.22x edx +∞-=⎰2. 解:因为221x +∞--∞=⎰,所以22xe +∞--∞=⎰即2202x e +∞-=⎰. 3. 设连续型随机变量X的密度函数22()2()x f x μσ--=, x -∞<<+∞, 则EX =μ, DX =2σ. 解:因为22()2()x X f x μσ--=, 所以2(,)X N μσ.4. 设总体(3,10)XN , 12100,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 则10011100i i X X ==∑1~(3,)10X N . 解: 由定理1知, 1~(3,)10X N . 5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 . 解: 记i A =“第i 次摸到红球”, 1,2,3i =.13131223123123()()(())()P A A P A A P A A A A P A A A A A A =Ω=+=+123123121312121312()()()()()()()()P A A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+=+876827281098109845=⨯⨯+⨯⨯=. 二. 解答题6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题. 解: 设A =“甲有效”, B =“乙有效”.题目转为: 已知()0.92,()0.93P A P B ==, {}0.85P B A =, 求()P A B +和{}P A B . 因为()()()(){}0.851()1()()P BA P B A P B P AB P B A P A P A P A --====--, 所以, ()0.862P AB =.所以, ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-=;()()()()0.920.862{}0.831()1()10.93()P AB P A B P A P AB P A B P B P B P B ---====≈---. 7. (12分)设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x a b x x =+-∞<<+∞, 求常数,a b 以及随机变量X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得()1,2()0,2b F a b F a ππ⎧+∞=+=⎪⎪⎨⎪-∞=-=⎪⎩ 所以1,21.a b π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩X 的密度函数为21()(1)f x x π=+.8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命X (单位: 年)的密度函数为21,0,()20,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3 解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为32231{3}2x P X e dx e +∞--≥==⎰. 记Y 表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则32(2,)Y B e -.(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率2332{2}P Y e e --⎛⎫=== ⎪⎝⎭;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率232{1}1{0}11P Y P Y e -⎛⎫≥=-≥=-- ⎪⎝⎭.9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求: (1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ= 解: 设某高校英语考试成绩为X , 则2(72,)XN σ.由题意知{96}0.023P X ≥=, 即7296720.023X P σσ--⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭, 所以241()0.023σ-Φ=, 即24()0.977(2)σΦ==Φ.因此, 12σ=.(1) 考生成绩在60-84之间的概率6072728472{6084}(1)(1)2(1)10.6826;121212X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⎨⎬⎩⎭(2) 合格率726072{60}1(1)(1)0.8413.1212X P X P --⎧⎫≥=≥=-Φ-=Φ=⎨⎬⎩⎭10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布(25,100)N , 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为0.05α=时, 该种电池的平均寿命小于25小时. ((1.96)0.975,(1.64)0.95)Φ=Φ= 解: 设X 为电池寿命, 则~(,100)X N μ.(1)假设00:25H μμ≥=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3) 由0.05α=, 确定临界值 1.64u α-=-, 使得{}0.05P U u α<-=; (4)由样本均值23.8x =, 得统计量U 的观察值00.48u ===-.(5)因为00.48 1.64u =->-,此时没有充分理由说明小概率事件{ 1.64}u <-一定发生. 所以接受原假设0H , 认为这种电池的平均寿命不小于25小时. 注: 原假设不能设为00:25H μμ<=,此时μ取不到0μ,统计量X U =就没有意义了!11. (14分)设总体X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, 已知2(1)EX θ=-, 2{2}(1)P X θ==-, θ为参数. 对X 取容量为10的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.求参数θ的矩估计和极大似然估计.解:(1) 由2(1)X θ=-, 得θ的矩估计量为12Xθ=-; 结合 1.1x =, θ的矩估计值为10.452x θ=-=.(2) 构造似然函数为11912101210(){1,1,,2}{1}{1}{2}32(1)L P X X X P X P X P X θθθ=========-,取对数ln ()ln3211ln(1)9ln L θθθ=+-+,求导数(ln ())11901d L d θθθθ=-+=-, 得θ的极大似然估计值为920θ=.2014年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(共40分, 每空5分)1. 设~(,)X B n p , ~(,)Y B m p , 且X 与Y 独立, 则X Y +~(),(p m n B +)分布;2. 设2~(,)X N μσ, 则X 的密度函数()f x =(222)(21σμσπ--x e);3. 设总体X 的方差为2σ, 12,,,n X X X 为样本, X 为样本均值, 则期望211()n i i E X X n =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑(21σn n -); 4. 设12,,,n X X X 为样本, 则统计量211n i i X n =∑的名称为(样本2阶原点矩);5. 设总体~(,1)X N μ, 12,,,n X X X 为来自该总体的样本, 则21()ni i X μ=-∑服从()(2n χ)分布;6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为(2815281315=C C C );7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它). 二. 计算题(60分, 每题10分)1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取20190.3520⎛⎫≈ ⎪⎝⎭)解：记i A 为事件“第i 次收受贿赂而被曝光”（1,2,,80i），---------------------2 于是案发的概率为 )(801∑=i i A P ------------- ------------- -----------------4 )(1)(1801801∏∏==-=-=i i i i A P A P----------------------6985.035.01)2019(195.0148080=-=-=-=。

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数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0。

5,P (B ）=0。

6，P （BA ）=0。

8，则P (A+B)=__ 0。

7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从［0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松(Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ,进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大,最大值为 25 .6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X ）=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N （－2，4)，Y ～N (3,9），且X 与Y 相互独立.设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(—2， 25）。

2012-2013《概率论与数理统计》期末A卷答案

上海应用技术学院2012—2013学年第1学期《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1、B2、C3、C4、A5、B6、B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1、312、63、F(1,1)4、]1645.11,8355.10[5、0.00136、e A T S S S += 三、计算题（本大题共5小题，共计50分）1、解：设1A 表示索赔事件由质量问题引起，2A 表示索赔事件由数量短缺问题引起，3A 表示索赔事件由包装问题引起，B 索赔事件协商解决，则123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A ===，123(|)0.34,(|)0.6,(|)0.75P B A P B A P B A ===（2分）（1）112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.50.340.30.60.20.750.5=⨯+⨯+⨯= （6分）（2）111112233()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.50.340.340.5⨯==11(|)1(|)10.340.66P A B P A B =-=-= （10分）2、解：X 的边际密度函数为()233,012xX x p x xdy x x -==<<⎰（1分）()130334E X x d y ==⎰ （2分）Y 的边际密度函数为()()()1212331,0124331,1024y Y y xdx y y p y xdx y y -⎧=-<<⎪⎪=⎨⎪=--<<⎪⎩⎰⎰ （4分）()()231,114Y p y y y =--<< （5分） ()()1213104E Y y y dy -=-=⎰ （6分）()120302xx E XY x ydydx -==⎰⎰ （7分）所以Cov(X,Y)=0，即X 与Y 不相关（8分）又因为()()(),X Y p x y p x p y ≠所以X 与Y 不独立。

(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

)B =________________.3个,恰好抽到),(8ak ==(24)P X -<= 乙企业生产的50件产品中有四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、136、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N -二、解设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== .................. 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== ................................................................................. 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知 340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰故16k =. ..................................................................................................................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩.......................................................................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭....................................................................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.a +++++= 故0.3a = .................................................................................................................................................... 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p ........................................................................................................................ 6分120.40.6Y p .................................................................................................................................. 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. ............................................................................................................................ 12分五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ................................ 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰................................................................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ........................................................................................................ 12分一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= ,分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2）问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

武汉大学《概率论与数理统计》期末考试历年真题及参考答案

6、解：首先确定 f (x, y)
1[
1 x dy]dx
6,0 x 1, x2
y x；
0 x2
E(X)=
1[
0
x x2
x
6dy]dx
1 2
；E(X
2
)=
1[
0
x x2
x2
6dy]dx
3 10
；E(Y)=
1[
0
y
y y 6dx]dy
2 5
E(Y 2 )=
1[
0
y
y
(
1 2
x)(
1 2
y)
f
(x,
y), 所以X ,Y不独立；
（3）1[ 1h(x y) f (x, y)dy]dx 1[ x1 h(z)(x x z)dz]dx
00
0x
0 [ z1 h(z)(2x z)dx]dz 1 1 h(z)(2x z)dx]dz
1 0
0z
0 h(z)(z2 z 1)dz 1 h(z)(1 z2 z)dz
Z 0 1234
P
1 131 1
(Z) 16 4 8 4 16
武汉大学2011-2012 第一学期《概率论与数理统计》期末试题及参考答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7 二、解：
y
2
6dx]dy
3 14
；E(XY)=

2012概率论与数理统计期末试题含详解

2012概率论与数理统计期末试题含详解概率论与数理统计⼀、填空题（每题4分，共20分） 1、假设事件A 和B 满⾜1)(=A B P ，则A和B 的关系是_______________。

2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P _____________。

3、设X服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ___________。

4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独⽴，则~Y X Z-=___________。

5、),16,1(~),5,1(~N Y N X且X 与Y 相互独⽴，令12--=Y X Z，则=YZ ρ____。

⼆、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄⾖随机地放⼊4个杯⼦，则杯⼦中盛黄⾖最多为⼀粒的概率为（）A、323B、83C、161 D、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（）A、)()()(Y D X D Y XD +=-B、a X-必相互独⽴C、X 与Y 可能服从⼆维均匀分布D、)()()(Y E X E XY E =3、样本nX X X ,,,21 来⾃总体X ，,)(,)(2σµ==X D X E 则有（）A、2iX)1(n i ≤≤都是µ的⽆偏估计B、X 是µ的⽆偏估计C、)1(2n i X i ≤≤是2σ的⽆偏估计 D、2X 是2σ的⽆偏估计4、设nX X X ,,,21 来⾃正态总体),(2σµN 的样本，其中µ已知，2σ未知，则下列不是ini X ≤≤1minB、µ-XC、∑=ni iX 1σD、1X X n-5、在假设检验中，检验⽔平α的意义是（） A 、原假设0H 成⽴，经检验被拒绝的概率B、原假设0H 不成⽴，经检验被拒绝的概率C 、原假设0H 成⽴，经检验不能拒绝的概率 D、原假设0H 不成⽴，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D （5分）2、已知连续型随机变量X 的分布函数为),(,arctan )(∞-∞∈+=x x B A x F 求（1）常数A 和B ，（2）)11(<<-X p ，（3）概率密度)(x f （8分）3、设随机变量321,,X X X 相互独⽴，其中21],6,0[~X U X 服从21=3(~3πX ，计算)32(321X X X D +-。

概率论与数理统计试习题与答案

七、（本题满分12分）
设为来自总体的一个样本，服从指数分布，其密度函数为，其中为未知参数，试求的矩估计量和极大似然估计量。
八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)
概率统计模拟题一
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、设则 =。
2、设随机变量，若，则。
3、设与相互独立，，则。
4、设随机变量的方差为2，则根据契比雪夫不等式有。
5、设为来自总体的样本，则统计量服从
分布。
6、设正态总体，未知，则的置信度为的置信区间的长度。（按下侧分位数）
对求导，得
五、（本题满分10分）解：；
六、（本题满分13分）矩估计： ,
极大似然估计：似然函数 ,
，
七、（本题满分12分）解：欲检验假设
因未知，故采用检验，取检验统计量，今，，，，，拒绝域为，因的观察值，未落入拒绝域内，故在下接受原假设。
八、（本题满分8分）因，故
概率统计模拟题二
试求：（1）常数；（2）落在内的概率；（3）的分布函数。
五、（本题满分12分）
设随机变量与相互独立，下表给出了二维随机变量的联合分布律及关于和边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命 (以年计)的概率密度函数为：
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

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2012－2013学年第1学期《概率论与数理统计》期末
试题（A 卷）
姓名学号学院专业
注意：(1.67)0.9525(2.5)0.9938(2.42)0.9922Φ=Φ=Φ=
(3)0.9987 1.250.894 1.3
Φ=Φ=Φ=（
）（）
()0.050.025(10) 1.6125
7 2.3646t t ==
20.025(10)20.5χ= 2
0.975(10)3.25χ=
49.9)4(2025.0=χ 48.0)4(2975
.0=χ 831.0)5(2975.0=χ
一、填空题（每空3分，共15分）。

1．随机变量2~(,)X N μσ，则(3)P X μσ-<=_______________. 2．甲乙二人独立地同时破译密码，甲破译的概率为21，乙破译的概率为3
1
，则该密码被破译的概率为_______________.
3．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则事件A
至少发生一次的概率为。

4．设随机变量ξ的数学期望E ξμ=，方差2D ξσ=，则由车贝雪夫不等式
()3P ξμσ-≥≤ 。

5. 设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服
()0.0259 2.2622t =()0.02513 2.16t =
从正态分布N （0，22），X 3服从参数为3λ=的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D(Y)=
二、（12分）2封不同的信随机地投入4个邮筒，试求（1）前两个邮筒中没
有信的概率；（2）第一个邮筒内只有一封信的概率。

三、（12分）甲乙丙3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分
别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求（1）全部产品的合格率；（2）若已知某个零件是合格品，求它是丙生产的概率。

四、（12分）甲、乙两人独立地各进行两次射击，甲的命中率为0.2，乙的命
中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求（X ，Y ）联合分布以及X 和Y 的边缘分布律。

五、
(12分) 某单位有400部内线电话，每时刻每部电话打外线的概率为10%，设各电话使用外线与否是相互独立的，估计在任一时刻有30～50部电话同时使用外线的概率。

六、（2学分， 12分）设随机变量ξ的分布密度为
,01
0 , )(2⎩⎨⎧<<++=其它x c bx ax x f
其中a , b , c 为未知参数，且15.0D , 5.0E ==ξξ，求a , b , c 。

七、（2学分，15分）设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧<<<<=其它．
,0,
10,10,
),(y x xy A y x f ，求：
(1) 常数A ；（2）概率}2
10,210{≤<≤<Y X P ；（3）X 与Y 是否独立（需证明结论）。

八、（2学分，10分）流水作业线上生产出的每个产品为不合格的概率为p ，
当生产出k 个不合格品时，即停工检修一次，求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差.
六、(3学分或4学分,15分) 设总体的概率密度为
其中是未知参数.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记为样本值中小于1的个数.求(1)的矩估计;(2)的极大似然估计.
七、(3学分或4学分,12分)某工厂宣称该厂的日用水量平均为350公斤，抽
查11天的日用水量的记录，计算得359=x ，2
10429S =，假设用水量服从正态分
布。

⑴能否同意该厂的看法？（05.0=α，用水量越少越好，32.311= ） ⑵求方差2σ的置信度为95%的置信区间。

八. (3学分或4学分,10分) 在铜线的含炭量(x)对电阻效应(y)的研究中，测
得一批数据，经计算得:n=7，0.43x =, 20.8y =,
2
1
2n
i i x ==∑,
21
3104n
i i y ==∑, 1
66.6n
i i
i x y
==∑, 假设电阻效应(y)与铜线的含炭量（x ）之间存在线性相关关系，即
满足线性回归模型()2,0,y a bx N εε
σ=++。

(1) 求电阻效应(y)与铜线的含炭量（x ）的线性回归方程。

(2) 2σ的无偏估计2ˆσ。

（保留两位小数）
X () 01;112
0 x f x x θθθ<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩
当当其他θ()01θ<<N
12,,
,n x x x θθ。