平面向量基础讲义

平面向量

【复习目标】

1． 理解向量平行（共线）的充要条件，会用该结论证明共线问题； 2． 掌握向量加减法，实数与向量的积以及向量数量积的坐标运算；

3． 掌握向量加减法，实数与向量的积以及向量数量积的运算的几何意义；

4． 强化平面向量的工具意识，培养使用平面向量解决平面几何，解析几何，三角函数及某些应用问题的

能力。 【重点难点】

向量加减法，实数与向量的积以及向量数量积的运算的几何意义。 【典型例题】

例1（1）如图，已知2,1,4,OA OB OC OA OB === 与的夹角为1200

，OA OC 与的夹角为300，用

,OA OB OC 表示.

（2）已知,a b

是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+ 求与的夹角.

（3）已积OB =（2，0），OC =

（2，2），CA = （2cos α，2sin α），则OA 与OB

夹角的范围是______________ （4）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高．以下结论： ①⋅=+⋅)(；②2

AH AC AH ⋅= ；

③sin ||

AH

AC c B AH ⋅= ；④ A bc c b AB AC BC cos 2)(22-+=-⋅．

其中正确的是 ．(写出所有你认为正确的结论的序号)

例2（1）已知，,,OA a OB b OC c ===

（如图），求证：A 、B 、C 三点在一直线上的充要条件是存在实

数m 、n 使得n m +=并且1=+n m

O

（2）平面直角坐标坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC =αOA

+βOB

，若中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为______ ______

（3）过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E.若,0,,≠==xy AC y AE AB x AD 则y

x 11+的值为______ ______

例3（1）在同一平面内，Rt △ABC 和Rt △ACD 拼接如图所示，现将△ACD 绕A 点顺时针旋转α角 （0＜α＜

π3）后得△AC 1D 1，AD 1交DC 于点E ，AC 1交BC 于点F ．∠BAC ＝∠ACD ＝π2

， ∠ACB ＝∠ADC ＝

π

6

，AC

①当AF ＝1时，求α； ②求证：对任意的α∈（0，π3

），BE AC ⋅ 为定值．

（2）已知不共线的,,a b c 三向量两两所成的角相等，并且1,2,3a b c ===

，试求向量a b c ++ 的长度以

及与已知三向量的夹角。

（3）在A B C ∆中，

120=∠BAC ，2=AB ，1=AC ，D 是BC 上一点，BD DC 2=，则

=⋅ ．

D 1

A D

B

E F C 1

C

α

α