天体运动常见问题总结解析

问题9：会讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况。

例15、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ,，则g/g ,为

A 、1；

B 、1/9；

C 、1/4；

D 、1/16。

分析与解：因为g= G 2R

M ,g , = G 2)3(R R M +,所以g/g ,=1/16,即D 选项正确。 问题10：会用万有引力定律求天体的质量。

通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。

例16、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=?, 公转的周期T=

?,求太阳的质量M 。

分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：

G

2r

Mm =mr(2π/T)2 M=4π2r 3/GT 2= ?1030kg. 例17 、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。

分析与解：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有

x 2+h 2=L 2

由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得

（2x ）2+h 2=(3L)2

设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得：

h=2

1gt 2 由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G

2R Mm 联立以上各式解得M=22

332Gt

LR 。 问题11：会用万有引力定律求卫星的高度。

通过观测卫星的周期T 和行星表面的重力加速度g 及行星的半径R 可以求出卫星的高度。

例18、已知地球半径约为R=?,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。 分析与解：因为mg= G 2R Mm ，而G 2r

Mm =mr(2π/T)2

所以，r= 32224π

T gR =4?108m. 问题12：会用万有引力定律计算天体的平均密度。

通过观测天体表面运动卫星的周期T ，，就可以求出天体的密度ρ。

例19、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少?

分析与解：设此恒星的半径为R ，质量为M ，由于卫星做匀速圆周运动，则有

G 2R

Mm =mR 224T π, 所以，M=2324GT R π 而恒星的体积V=34πR 3，所以恒星的密度ρ=V M =23GT

π。 例20、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？

分析与解：设球体质量为M ，半径为R ，设想有一质量为m 的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则

G 2R

Mm =m ω02R, 所以，ω02=34πG ρ。 由于ω≤ω0得ω2≤3

4πG ρ，则ρ≥G πω432，即此球的最小密度为G πω432。 问题13：会用万有引力定律推导恒量关系式。

例21、行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T ，试证明：ρT 2是一个常量，即对任何行星都相同。

证明：因为行星的质量M=23

24GT

R π（R 是行星的半径），行星的体积 V=34πR 3，所以行星的平均密度ρ=V M =23GT π， 即ρT 2=G π3，是一个常量，对任何行星都相同。 例22、设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T ，试证明：23

T

r 是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，23

T

r 均相等。 证明：由G 2r Mm = mr(2π/T)2得23T r =24π

GM ，即对于同一天体的所有卫星来说，23T r 均相等。

问题14：会求解卫星运动与光学问题的综合题

例23、（2004年广西物理试题）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，

他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。

分析与解：设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离.有

22)2(T mr r mM G π= 春分时，太阳光直射地球赤道，如图17所示，图中

圆E 表示赤道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心.

由图17可看出当卫星S 绕地心O 转到图示位置以后（设

地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看

不见它. 据此再考虑到对称性，有

R r =θsin T t π

θ22= g R M G =2 由以上各式可解得 3122)4arcsin(gT R T t ππ= 问题15：会用运动的合成与分解知识求解影子或光斑的速

度问题。 例24、如图18所示，点光源S 到平面镜M 的距离为d 。光屏AB 与平面镜的初始位置平行。当平面镜M 绕垂直于纸面过中心O 的转轴以ω的角速度逆时针匀速转过300时，垂直射向平面镜的光线SO 在光屏上的光斑P 的即时速度大小为 。

分析与解：当平面镜转过300时，反射光线转过600角，反射光线转动的角速度为平面镜转动角速度的2倍，即为2ω。将P 点速度沿OP 方向和垂直于OP 的方向进行分解，可得：

Vcos600=2ω.op=4ωd,所以V=8ωd.

例25、如图19所示，S 为频闪光源，每秒钟闪光30次，AB 弧对O 点的张角为600，平面镜以O 点为轴顺时针匀速转动，角速度ω=3

πrad/s,问在AB 弧上光点个数最多不超过多少？ 分析与解：根据平面镜成像特点及光的反射定律可知，当平面镜以ω转动时，反射光线转动的角速度为2ω。因此，光线扫过AB 弧的时间为t=,则在AB 弧上光点个数最多不会

超过15个。

三、警示易错试题 典型错误之一：错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点

和远地点的轨道曲率半径不同。

例26、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a,远地点离行星中S P

ω O 600 300

V

图18 A B M

d

S O M B A 600 图19 图17

太阳光 E O S A R

r θ

心的距离为b,若卫星在近地点的速率为V a ,则卫星在远地点时的速率V b 多少？

错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有a V m a Mm G a 2

2=，在远地点时有b V m b Mm G b 22=，上述两式相比得a b V V b a =，故a b V b

a V =。 分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R 。所以，在

近地点时有R V m a Mm G a 22=，在远地点时有R V m b Mm G b 22=，上述两式相比得a

b V V b a =，故a b V b

a V =。 典型错误之二：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小。

例27、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、

2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图20所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B 、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2 上经过Q 点时的加速度。

D 、卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3 上经过P 点时的加速度。

错解：因为r V m mr r Mm G 222==ω，所以V=r

GM ， 3r

GM =ω，即B 选项正确，A 选项错误。 因为卫星在轨道1上经过Q 点时的速度等于它在轨道2上经过Q 点时的速度，而在Q 点轨道的曲率半径1r

21r V a =>22

2r V a =，即C 选项正确。 分析纠错：B 选项正确，但C 选项错误。根据牛顿第二定律可得2r

GM m F a ==，即卫星的加速度a 只与卫星到地心的距离r 有关，所以C 选项错误，D 选项正确。

典型错误之三：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。

例28、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：

A 、速度变小；

B 、动能增大；

C 、角速度变小；

D 、半径变大。

错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为P Q

1 2 3 图20

了继续环绕地球，由于卫星速度r GM V =可知，V 减小则半径R 必增大，又因r V =ω，故ω变小，可见应该选A 、C 、D 。

分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故R 减小。由r

GM V =可知，V 要增大，动能、角速度也要增大。可见只有B 选项正确。

典型错误之四：混淆稳定运动和变轨运动

例29、如图21所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：

A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；

B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；

C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；

D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

错解：c 加速可追上b ，错选C 。

分析纠错：因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小

均相等。又b 、c 轨道半径大于a 的轨道半径，由r GM V /=

知，V b =V c

当c 加速时，c 受到的万有引力F

b 受到的万有引力F>mv 2/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何

c 也追不上b ，b 也等不到c ，故C 选项错。对这一选项，不能用r GM V /=来分析b 、c 轨道半径的变化情况。

对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由r GM V /=知，r 减小时V 逐渐增大，故D 选项正确。

典型错误之五：混淆连续物和卫星群

例30、根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V 与该层到土星中心的距离R 之间的关系。下列判断正确的是：

A 、若V 与R 成正比，则环为连续物；

B 、若V 2与R 成正比，则环为小卫星群；

C 、若V 与R 成反比，则环为连续物；

D 、若V 2与R 成反比，则环为小卫星群。

错解：选BD 。

分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度V 与r 成正比。而对卫星来讲，其线速度r GM V /=，即V 与r 的平方根成反比。由上面分析

可知，连续物线速度V 与r 成正比；小卫星群V 2与R 成反比。故选A 、D 。

a c 地球

图21