动态系统的可靠性分析综述

动态系统的可靠性分析综述

摘要：可靠性设计的基本任务是在故障物理学研究的基础上，结合可靠性试验以及故障数据的统计分析，提供实际计算的数学力学模型和方法及实践。这样就可以在产品的研制阶段，估计或预测产品在规定工作条件下的工作能力状态或寿命，保证产品具有所需的可靠性。传统可靠性分析的概念只能描述静态逻辑关系，不能满足现代复杂动态系统可靠性分析的需要。在给出动态系统状态空间结构和结构函数的基础上，提出失效序列和失效丛的概念描述动态系统的故障模式，这一概念扩展了传统可靠性分析的概念，将割集、蕴含集等作为其在静态情形的特例。给出动态系统部件的概率重要度、结构重要度以及关键重要度的概念，用实例对提出的有关概念进行了说明。

关键词：动态系统；性能可靠性；随机因素；模块化

0 前言

可靠性是产品质量的核心指标之一。在全球化背景下，性能、可靠性、价格及服务等成为产品竞争不可或缺的要素，未来市场将由具有高可靠性产品的企业所主导。

产品固有可靠性是由设计阶段决定的。但是，传统可靠性建模方法存在诸多不足，难以准确分析和求解复杂系统的可靠性指标[1]。例如：可靠性框图（RBD）和故障树分析（FTA）缺乏描述系统动态运行过程的能力，马尔科夫（Markov）模型建模过程繁琐，模型求解和分析困难。近年来，动态可靠性建模引起人们关注，人们提出了动态故障树、GO-FLOW法、随机Petri网（Stochastic Petri Net，SPN）等动态可靠性建模方法[2~5]。

随机Petri网着眼于系统状态及其动态变化，兼有图形化建模能力和数学计算能力，成为复杂系统调度、控制和性能评价研究的有效工具[6]。但是随机Petri 网存在状态爆炸问题，造成复杂系统可靠性指标的求解困难。蒙特卡洛（Monte Carlo）仿真弥补了SPN在模型计算求解方面的不足

1 动态系统可靠性基本概念

在系统可靠性分析中，除了关心一个事件组合是否会导致不期望事件的发生以外，对动态系统，确定事件组合如何导致不期望事件的发生（比如控制系统的操作顺序错误会导致严重后果），对指导设计和制定维修方案也是非常有意义的。前者对应于故障树分析中割集和蕴含集的概念，可以采用传统故障树分析方法计算单调或非单调关联故障树的割集和蕴含集；对于后者，包括故障树分析在内的传统的可靠性分析没有提供有效的描述。

动态系统可靠性分析与静态系统可靠性分析的最大区别在于，前者不希望事件（如系统失效）的发生可能不仅仅是由基本事件的静态逻辑组合导致的，基本事件对不希望事件的影响可能依赖于其他事件是否发生（如贮备系统）以及发生的时序（如人机系统）等。为此，提出“失效序列”的概念。所谓失效序列，是指在一个（预先给定或缺省的）初始状态（比如“所有事件都没有发生”）下，一个基本事件序列的时序描述，出现在该事件序列中的事件按时间先后顺序发生，并导致不希望事件的发生。

静态系统可靠性分析是建立在组合函数理论基础之上的，与之对应则有时序函数理论，用于处理输出量与输入变量现在及过去的状态都有关的问题，但是如何将其用于动态系统可靠性分析还需要做进一步研究。Petri网及其扩展在描述顺序、并发、不对称事件结构等方面具有很强建模能力，并且建立了极其丰富的理论分析体系[4~7]，适合于从基本概念、可靠性模型及定性定量分析方法方面建立一套比较完整的动态系统可靠性分析框架。

2 系统描述及性能可靠性影响因素

忽略非线性因素，一个存在噪声的动态系统描述如图1所示。

图1动态系统结构

A、B、C、G是描述系统结构特征的参数，由系统结构、组成及参数决定。实际系统受各种内外扰动因素的影响，用线性时变方程描述为

dX(t)/dt =A(t)X(t)+B(t)U(t)+G(t)N1(t)

Y(t) =C(t)X(t) (1) 式中

A(t) = (A0-ξA(t))，B(t) = (B0-ξB(t))

G(t) = (G0-ξG(t))，C(t) = (C0-ξC(t))

对于图1描述的动态系统，有三种因素会引起输出Y(t)出现波动、降级，进而引起系统性能不可靠，分别为(1)输入和输出噪声N1(t)，N2(t)；(2)系统结构参数初值[A0，B0，C0，G0]的不确定性；(3)参数退化[ξA(t)，ξB(t)，ξC(t)，ξG(t)]导致的系统参数变化。

动态系统的性能可靠性分析方法的技术路线如图2所示。对于动态系统，输入输出噪声N1(t)，N2(t)是随机过程（见图2（b）），直接影响系统的输出性能。结构参数的初值[A0，B0，C0，G0]是具有固定分布特征的随机量（见图2（c）），这些不确定性会导致系统输出性能与设计要求有一定的偏差。温度、振动等外部环境因素对系统的影响通过两种方式体现，一是这些环境因素直接影响系统的结构参数；另外一种是在存在结构参数退化的系统中，环境因素影响系统的结构、材料属性及加工工艺，进而间接影响系统结构参数的退化轨迹。本论文的研究中把环境因素对系统结构参数的影响统一表现为对系统结构参数的退化量的影响。在外部环境确定的系统中，结构参数的退化轨迹是固定的，然而影响系统性能的外部环境因素是动态的随机过程（见图2（a）），这也就导致结构参数的退化也具有随机性（见图2（d））。本文研究的重点是分析环境、噪声影响下的动态系统性能指标Y(t)及其分布特征f(Y，t)，同时分析系统具有失效域值Z时的失效概率密度函数f(t)和t时刻的性能可靠度R(t)（见图2（d））。

图2动态系统性能可靠性分析概念图

3 动态可靠性建模及求解方法

与传统静态可靠性建模不同，动态可靠性理论认为系统失效不仅取决于基本事件的静态逻辑组合，还与基本事件发生的时序、事件的相关性、人—机—环境的相互作用等密切有关。以下简要介绍基于SPN的可靠性建模及蒙特卡洛可靠性仿真基本理论。

3.1随机Petri网

1962年，Carl Adam Petri首先采用网状模型来研究通信系统。Petri网在系统描述和动态性能分析方面具有独到之处，在离散事件系统性能分析中得到广泛应用[6]。

定义：基本Petri网由三元组构成，即N=(P，T，F)。其中：P = {p1，p2，…，pn}为库所（place）集，用于描述系统的状态或条件，如液压元件的运行、失效及维修等状态；T = {t1，t2，…，t m}为变迁（transition）集，用于描述使系统状态发生改变的事件，如元件失效、维修结束等；F = (P×T)∪(T×P)为流关系，用于描述事件与状态之间的关系。托肯（token）表示库所中的资源，托肯数量及其分布随系统状态而改变。在Petri网的图形表示中，一般用“○”表示库所，用库所中的黑点表示托肯，用“|”表示变迁，用“→”表示流关系。

基本Petri网能够表达事件之间与、或、补、冲突、并行等逻辑关系，可用于分析系统可达性、有界性、死锁等逻辑行为。但是，基本Petri网不具备对时间的描述能力，难以得到系统的时间性性能指标。随机Petri网（SPN）通过赋予变迁以一定的延迟时间，具备描述系统动态行为的能力[5，6]。

3.2Monte Carlo仿真

3.2.1蒙特卡洛可靠性仿真的基本步骤

通过同构Markov链可以计算SPN模型的稳定状态概率，得到系统的性能指标。但随着元件数目的增加，由Markov链直接求解困难。此外，Markov方法要求单元故障率和维修率为常数，即故障间隔时间和维修间隔时间都服从指数分布，难以满足实际系统要求。因此，复杂系统可靠性指标的求解多采用仿真方法实现。

蒙特卡洛仿真对系统组成、结构等没有严格限制，可用于求解系统的可靠性指标[7，8]。基于Petri网的可靠性仿真基本步骤如下：（1）基于可靠性的系统建模：分析系统功能和结构，建立可靠性Petri网模型；（2）通过数据采集和拟合，确定元件寿命、维修时间等分布；（3）仿真编程及运行：选择随机变量抽样方法，实现对已知分布的抽样、编制和运行仿真程序，得到可靠性基础数据；（4）统计分析：求解元件及系统可靠性指标。

3.2.2剩余分布抽样

为反映所研究系统的本质特征，产生符合特定类型分布的随机数及其抽样是可靠性蒙特卡洛仿真的基础。文中采用反函数法抽样产生服从指数分布和威布尔分布等元件随机数序列。机械系统多属于可修复系统，仿真时需要确定元件维修后故障率的变化。总体上，有两种修复假设：（1）修复如新：故障修复后的设备状态与新品相同。对于修复如新的元件，按原寿命分布进行抽样；（2）修复如旧：修复后元件的故障率等于维修前发生故障时刻的故障率。修复如旧的元件寿命抽样需采用剩余分布抽样方法，基本原理如下：

假设元件工作到t时刻仍然正常，Ft(x)为元件的剩余寿命分布，于是有：

对于固定时间t，维修后元件的寿命分布是维修前元件寿命分布的截尾分布，平均剩余寿命为：

式中：u———元件的平均寿命。

3.2.3时间区间统计方法

在可靠性蒙特卡洛仿真中，需要记录时间区间内的失效次数、失效持续时间等数据，以求解系统动态可靠性特征指标。

文中采用时间区间统计法，即通过确定失效时间段的起点及终点所属的时间区间，来确定各时间区间内的失效次数和失效状态的持续时间。如图1所示，第一个失效时间段完全属于区间i，第二个失效部分属于区间i，第三个失效完全属

于区间i+1。因此，区间i的失效持续时间等于第一个失效时间段加上第二个失效时间段的在区间i内的持续部分。

图1时间区间统计法简图

4 实例分析

在某些可靠性要求较高的系统中，往往采用热备件提高系统可靠性。热备件是当系统部件失效后切换到工作状态的部件，并且不论其处于运行或储备状态，失效率都是相同的。设系统由部件P1、P2和S组成，假设工作部件P1与P2都失效，且P1比P2先失效时，系统失效。S是P1和P2的公用备件，该部件可以代替P1和P2中的任意一个。采用热备件逻辑门（Hot Spare Pool—HSPP）和优先与门的动态故障树如图1所示。

图1动态故障树

可以枚举系统所有故障模式为{P1，S|P2}、{P2，P1|S}。设P1、P2和S的失效概率都为0.1，则可以计算得到系统不可靠度为2.22×10-4，若不考虑部件失效顺序的影响，则系统不可靠度为1×10-3，相差4.5倍。这说明，对于动态系统，简单采用静态系统的处理方式会导致相当大的误差。表1给出了三个部件的概率重要度、结构重要度和关键重要度，其中，动态情形重要度计算采用近似方式处

理；静态情形采用三部件并联方式处理，即静态逻辑为“系统失效当且仅当所有部件失效”。由表1看出，如果采用静态近似进行处理，得到的结果是所有部件具有相同的重要度，这与实际情况显然是不一致的。利用本文提出的关于动态系统部件重要度的概念，能够对不同部件的重要程度做出区别。由结果还可以看出，对于动态系统，使用单一的重要度概念不足以刻画部件的重要程度，比如P1的结构重要度为0，并不表明它不重要，因为它的概率重要度是最大的。

表1部件的重要度

5 结论

复杂系统可靠性建模及求解存在诸多难题，如状态空间爆炸、动态过程描述困难等。文中以随机Petri网为工具进行系统可靠性建模及分析；以Petri网模型为基础，采用蒙特卡洛仿真求解系统动态可靠性指标，并通过液压系统实例验证方法的可行性。应用表明，该方法有机地集成了随机Petri网的建模分析能力和蒙特卡洛仿真的数值计算能力，是求解复杂系统动态可靠性问题的有效途径。

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