二项式定理及应用

定理定义

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二项式定理可以用以下公式表示：

其中，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[1] 2验证推导

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考虑用数学归纳法。

当，

假设二项展开式在时成立。

设，则：

，将a、b<乘入：

，取出的项：

，设：

，取出项：

，两者相加：

，套用帕斯卡法则：

3定理推广

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牛顿广义二项式定理

二项式定理定理可以推广到对任意实数次幂的展开。

其中。

牛顿二项式扩充定理

设函数：

根据二项式定理得F(x)的任意一项为：

同理上式（）中的任意一项为

如此类推我们预知最后一项存在;

那么我们得到其中

的任意一个系数为以上各式系数之积即为；

设M=0+j+....+q+p+m而且项的系数为AM

4应用例子

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牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

证明组合恒等式

二项式定理给出的系数可以视为组合数的另一种定义。因此二项式展开与组合数的关系十分密切。它常常用来证明一些组合恒等式。

比如证明，可以考虑恒等式。

展开等式左边得到：。注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。

同时如果展开等式右边可以得到。

比较两边幂次位的项的系数可以得到：。

令，并注意到即可得到所要证明的结论。

证明自然数幂求和公式

公式具体内容:

它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。

当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数

=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数

又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]

=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。

其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导，最终可以推导至李善兰自然数幂求和公式。[2]