线性系统理论复习题纲
《线性系统理论基础》复习提纲
第1章线性系统的状态空间描述
1、基本概念
状态（向量）
状态空间
状态轨迹
状态空间模型（表示）
状态方程、输出方程
系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵
状态结构（方框）图
线性系统
时不变（定常）系统、时变系统
连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换
矩阵的特征值、矩阵的特征向量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵 传递函数矩阵
2、知识要点
%%知识点1：根据物理规律建立状态空间模型
? 简单机械系统 ?
简单电气系统
参考例题：例2.1.1，例2.1.2（P8）
%%知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型
?
微分方程中不含输入导数项
给定 ()(1)110n n n y a y
a y a y bu --++++=&L ，选取状态向量12(1)n n x y x y x y -????????????=????????????
??&M M ， 则有
状态方程： 1122011010010n n n x x x x u x a a a x b -??
??????????????????????=+????????????????---??
??????&&M O M M M
&L
输出方程： []?????
?
??????=n x x x y M Λ
21001 例2.1.3 (注意：方框图在没有要求时可以不画出) ?
微分方程中包含输入函数导数项，且m n <
给定()
(1)()(1)110110n n m m n m m y
a y a y a y
b u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，m n <,将其转化为
()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y u y b y
b y b y b y ----?++++=??=++++??&%%%%L &%%%%L ，选取状态向量12(1)n n x y
x y x y
-????????????=????????
??????%&%M M %，则有
状态方程 120110100101n n x x u x a a a -??????
????????????=+????????????---??????
?
???&&M O M M &L 输出方程 12
011
[,,,,0,,0]m n m n x x y b b b x --??????=????????
L L 123M
例2.1.4 ? 微分方程中包含输入函数导数项，且n m =
若()
(1)()(1)110110n n n n n n n y
a y a y a y
b u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，让n y y b u =-%，则转化为如下微
分方程的形式
()(1)(1)
(1)110111100()()()n n n n n n n n n y a y a y a y b a b u b a b u b a b u -----++++=-++-+-%%%%&L L 。
例2.1.5
知识点3：传递函数转化成状态空间模型（实现问题）
考虑
1110
1110
(),m m m m n n n b s b s b s b G s m n s a s a s a ----++++=<++++L L
注意：若
1110
1
110
()n n n n n
n n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L ，则可以将其写成 11-111001110()()()
()()
n n n n n n n n n n n b b a s b b a s b b a G s b s a s a s a b G s -----++-+-=+
++++=+L L
从而只需对()G s 进行状态空间实现。
● 方法1：转化为微分方程方法
1110
1110()m m m m n n n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L 等价于微分方程 ()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y b u b u b u b u
----++++=++++&L &L
● 方法2：并联法（部分分式分解法）
（1） 若()G s 的极点全部为单根，则有
1212()n n
k k k
G s s p s p s p =
+++---L 其中i k 为对应于极点i p 的留数 lim[()()]i
i i s p k G s s p →=?-，则状态空间模型为
11122
2111n n n x p x x p x u x p x ??
??????????????
????????=+???????????????????????????
???&&M O
M M &， []?????
?
??????=n n x x x k k k y M Λ
212
1 参看：例2.1.6
（2） 若()G s 的极点为单个重根，则有
121()()()n
n n k k k G s s p s p s p
-=
+++---L
其中i k 为对应于极点p 的留数 1
11lim [()()],1,2,,(1)!i n i i s p d k G s s p i n i ds
--→=
?-=- 则状态空间模型为
112210101n n x x p x x p u x x p ????????????????
????????=+?????????????????????
???????&&O M M M
O
&， []1212n n x x y k k k x ??
????=????????
L
M 参看：例2.1.7
(3) 若()G s 的极点既有单根又有重根，则可以将其分解为
12()()()()l G s G s G s G s =+++L ，其中1()G s 包含所有单根，2(),,()l G s G s L 只含有单个重根。
方法3：串联法（零极点分解法）
自己总结。
%%知识点4：基于基本模块的方框图的转化
第1步：将各环节通过等效变换，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第2步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导
数i x &。
第3步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。
例2.1.8 (P .22)
%%知识点5：通过状态变换化状态空间模型为对角线标准型
已知系统,x Ax Bu y Cx Du =+=+&
1）求矩阵的互不相同的特征根,1,2,,i i n λ=L ：即求特征多项式
0I A λ-=的根
2）求每个特征根i λ对应的特征向量i v ：即求解线性方程组 ()0i i I A v λ-= 3）以特征向量i v 为列向量构成矩阵[]1n P v v =L ，构造线性变换x Px =
4）计算对角线标准型的各系数矩阵
1
2
1
1n A P AP B P B C CP
λλλ--??
???
?==??????
??==O
5）写出系统的对角线标准型表达式,x
Ax Bu y Cx Du =+=+&
参看：例2.2.2
特殊情况：如果系统矩阵A 为正则型
0110
101n A a a a -??
??
?
?=????---????M O
L
且特征值,
1,,i i n λ=L 互不相同，则变换矩阵P 为范得蒙矩阵
1
22
22
1
21111
21
11n n n n n n P λλλλλλλλλ---????????=?
???????
L
L L M M L M L
例2.2.3， 习题9（1）P .49
知识点6：通过线性变换化状态空间模型为约当标准型
1）计算特征根i λ：假设12,,,l λλλL 为全部互不相同的特征根，其重数分别为12,,,l m m m L 2）构造线性变换x Px =的矩阵P ：对每个特征根i λ计算秩rank()i i A I n λβ-=-，则从
()0j i i A I p λ-= 可以求出i β个线性无关的特征向量,1,,j i i p j β=L ，对每一个特征向量j i p ，求解如下
线性方程求出其广义特征向量12,,,j
j j j j
i i i ik
p p p p =L ： 1()0j
i i A I p λ-=
华南理工大学线性系统理论考博试题answer
一、 1、 求脉冲响应函数 系统脉冲响应为： ...)4()3()2()1()(+-+-+-+-=t t t t t g f δδδδ ∑∞ =-=1 )(i i t δ 传递函数为： s s i i s s f f e e e e t g L s g --∞ =---=?==∑1)())(()(0 2、 已知)sin(t r π=，求输出响应 系统响应; ?? ?=?≤≤-?-=other n n t n t t y 0 3.2.1212) sin()( π 3、 判断系统是否BIBO 稳定？若是请证明，若不是请举例论证结论 不是BIBO 稳定，令系统输入为： )()(t t y ε=，则系统输出在∞→t 时，趋于无 穷 4、 上述系统可否用频域法求取结论 不能，系统的传递函数不是有理分式 二、已知系统： bu Ax x += ，其中k ξξξ 21,为k 个特征向量，k )(2211k k At At e b e ξξξ??++??+???=? k At k At At e e e ξξξ???++???+???= 2211 k t k t t k e e e ξξξλλλ???++???+???= 221121 []????? ?? ???????????????=t k t t k k e e e λλλξξξ 21212 1（k λλλ 21为特征向量对应的特征 根） τ τ τ d e bb e T A t T A ?0 [][ ] ????? ? ?????????????????? ??????????????=?k k t k k d e e e e e e k k ξξξτξξξτ λτλτ λτλτλτλ 2121 0212 1212 1 因而有： n k d e bb e rank T A t T A <≤?)(0 ττ τ 系统不可控 2、 举例说明该系统不完全能控 略 3、 若该系统能控模态稳定，不能控模态不稳定，试问系统初始状态满足什么条件系统状态 最终趋向于0？并说明理由。 (不懂) 三、下图中，u 为电流源，y 为a ，b 两点间的电压，R ＝1Ω，C ＝ 1F R R a b y 说明： 姚老师是从07还是08年教这门课的，之前的考题有多少参考价值不敢保证，也只能供大家参考了，重点的复习还是以课件为主，把平时讲的课件内容复习好了，考试不会有问题（来自上届的经验）。 祝大家考试顺利！ （这个文档内部交流用，并感谢董俊青和兰天同学，若有不足请大家见谅。） 2008级综合大题 []4001021100101 1 2x x u y x ???? ????=-+????????-????= 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定； 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵2 14161 24,() 2.0 0M B AB A B rank M ?? ?? ??==-=???????? 系统不完全可控，不能任意配置极点。 2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1 1 401200 1P -?? ??=-?????? ，求得120331 1066 00 1P ?? ????? ?=-????????? ? 进行变换[] 1 1 20831112,0,2 2 26000 1 A PAP B PB c cP --? ? ?? ???? ????=-====???? ??????????? ? 所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+???????????=? 3. 1 2(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1) (4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= = -++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++， 系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 1 2(1)()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11 228,12T k k k k A Bk k +???? =+=??? ??? ?? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程* 2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++ 2008级综合大题 []400102110010112x x u y x ????????=-+????????-????=& 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！） 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M B AB A B rank M ?? ????==-=???? ???? 系统不完全 可控，不能任意配置极点。 2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -????=-??????，求得1203311066 001P ?? ?? ?? ??=-?????? ???? 进行变换[]11 20831112,0,22260001A PAP B PB c cP --? ??????? ????=-====???? ???????? ???? 所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+?????????? ?=? & 3. 12(1)(1)2(1) ()()(4)(2)(1)(4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= =-++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 12(1) ()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11228,12T k k k k A Bk k +???? =+=???????? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程*2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++ 比较上两式求得：728T k -?? =??-?? 6. 可以。设12l L l ??=????，则11222821222l l A LC l l --?? -=? ?--?? 特征方程2 2121()(222)1628f s s l l s l l =+-++-- 期望特征方程*2 ()(4)(5)920f s s s s s =++=++ 比较得：103136L ???? =???????? 备考的时候唯一心愿就是上岸之后也可以写一篇经验贴，来和学弟学妹们分享这一年多的复习经验和教训。 我在去年这个时候也跟大家要一样在网上找着各种各样的复习经验贴，给我的帮助也很多，所以希望我的经验也可以给你们带来一定帮助，但是每个人的学习方法和习惯都不相同，所以大家还是要多借鉴别人的经验，然后找到适合自己的学习方法，并且坚持到底！ 时间确实很快，痛也快乐着吧。 我准备考研的时间也许不是很长，希望大家不要学我，毕竟考研的竞争压力是越来越大，提前准备还是有优势的，另外就是时间线只针对本人，大家可以结合实际制定自己的考研规划。 在开始的时候我还是要说一个老生常谈的话题，就是你要想明白自己为什么要考研，想明白这一点是至关重要的。如果你是靠自我驱动，是有坚定的信心发自内心的想要考上研究生，就可以减少不必要的内心煎熬，在复习的过程中知道自己不断的靠近自己的梦想。 好了说了一些鸡汤，下面咱们说一下正经东西吧，本文三大部分：英语+政治+专业课，字数比较多，文末分享了真题和资料，大家可自行下载。 哈尔滨工程大学电子信息的初试科目为： （101）思想政治理论(202)俄语(301)数学一(810)自动控制原理 或（101）思想政治理论(203)日语(301)数学一(810)自动控制原理 或（101）思想政治理论(201)英语一(301)数学一(810)自动控制原理 参考书目为： 《自动控制原理》，刘胜编著，哈尔滨工程大学出版社，2015年； 《线性系统理论》，郑大钟编著，清华大学出版社，2002 跟大家先说一下英语的复习吧。 学英语免不了背单词这个难关，词汇量上不去，影响的不仅是考试成绩，更是整体英语能力的提升；背单词也是学习者最感到头痛的过程，不是背完了转身就忘，就是背的单词不会用，重点单词主要是在做阅读的时候总结的，我把不认识不熟悉的单词全都挑出来写到旁边，记下来反复背直至考前，总之单词这一块贵在坚持，背单词的日程一定要坚持到考研前一天。 因此，学会如何高效、科学地记忆词汇，养成良好的记单词习惯，才能达到事半功倍的学习效果，我用的是《木糖英语单词闪电版》，里面的高频词汇都给列出来了，真的挺方便的，并且刷真题我用的《木糖英语真题手译》这本书，我感觉对我帮助特别大，里面的知识点讲解的通俗易懂，而且给出的例子都很经典，不容易忘记。 前期，在这段时间最重要的是积累，也就是扩充自己的词汇量，基础相对差一些的同学可以背考研单词，而基础相对好一些的同学考研单词相对于你来说就会比较简单，这时就不必浪费时间，可以进行外刊阅读。由于考研英语阅读的文章全部都是从外刊中摘录的，所以进行外刊阅读就可以把其当作“真题”的泛读。 中期，在期末考试和小学期结束之后就要开始做真题了，我从最早的那年开始一路做下来，留了三套考前模拟，大概是有二十多套。我一般会第一天做一套然后后面花1～2天的时间对文章进行精读及分析错误原因。早些年的英语出题有相当难度，考察的有不少都是很复杂的句式及熟词僻义，这与近几年的考察角度是完全不同的，所以我建议时间不多的同学完全可以放弃早些年的真题，然后时间比较充足的同学可以做一做，但是不需要因为错很多，而丧失信心，我记得 空军工程大学2016年博士研究生入学试题 考试科目：线性系统理论（A卷）科目代码3003 说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，写在试题上不给分；考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，试题必须同试卷一起交回。 一、填空题（每空2分，共20分） （1）状态变量组数学上表征为一个极大变量组。（2）线性系统时域运动分析的核心在于揭示系统状态相对于和 的演化规律。 （3）系统完全能控和系统完全互为等价关系。 （4）系统的稳定性可分为稳定性和稳定性，其中，前者又被称为“BIBO稳定性”。 （5）对连续时间线性时不变系统，系统则必定为BIBO稳定，反之则未必。 （6）控制系统的综合归结为。 （7）一般来说，反馈的类型可分为和。 二、计算题（每小题5分，共15分） （1）确定微分方程3523 &&&&&&的一个状态空间描述。 y y y y u +-+= （2）计算下列状态空间描述的传递函数G(s) 140321[10]x x u y x ????=+????--????=& （3）化以下线性系统为约当标准型 010341[20]x x u y x ????=+????--???? =& 三、（15分）假设系统状态方程如下 112201230x x u x x ????????=+????????--? ???????&&1 [20]y x = 请： （1）计算状态转移矩阵 （2）求解状态方程的解 （3）判断系统的能控能观性 四、（15分）利用Lyapunov 稳定性判据，分析如下系统的稳定性。 （1） 22121122221212() ()x x cx x x x x cx x x =++=-++&& （2） 湘潭大学研究生考试试题 考试科目：线性系统理论/现代控制理论考生人数：20考试形式：闭卷 适用专业： 双控单控/电传 适用年级：一年级 试卷类型： A 类 一、给定多项式矩阵如下： 22121()1 2s s s s D s s s ?? ?????? ++++= ++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？ 2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？ 3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。 二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中： 210 ()21s D s s s s ? ? ????? ? -= +-+，()11N s s s ???? =-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。 三、给定()G s 的一个左MFD 为： 1 210 1 0()112 1s s G s s s s -? ? ?? ?????????? ? ? -+= +-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。 四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD ： 21 1 0()102 2s s s G s s s s s ????????? ? ?? += +++ 五、给定系统的传递函数矩阵为 22 3 (1)(2)(1)(2)()31(1)(2) (2)s s s s s s G s s s s s s ???? ?? ??????? ? +++++= +++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。 六、给定传递函数矩阵如下： 2 2221156()1253 43s s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。 七、给定系统的传递函数矩阵如下： 2 2211 154()14 3 712s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试求出一个控制器型实现。 八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD 2 2 141()143 32s s s s G s s s s s ?? ?? ?? ??? ??? ++-= ++++ 九、给定系统的传递函数矩阵如下： 1 2 2 430 11()221 21s s s s G s s s s s -?????? ??????? ?? ? ++-+= +++ 试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为： 12λ*=-， 23λ*=-， 4,5 42j λ* =-± 1-1 证明：由矩阵 可知A 的特征多项式为 n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+= -+λλλλλλλλλλ λλλλλ λλλλ λλλλ1-3-32-21-11-3-31 22 -2-1-n 1 3-n 2-n 2 1 -1n 1 2-n 1-n 12-n 1-n n 1- )1(-)1(- 0 0 0 1- )1(-)1(- 0 0 0 1- 1 0 1- 0 0 0 1- 若i λ是A 的特征值，则 所以[] T i i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。 1-7 解：由于()τ τ--t e t g =，，可知当τ C 2 《线性系统理论》试卷及答案 1、（20分）如图所示RLC 网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为 x 1(t)=v 1(t),x 2(t)=v 2(t),x 3(t)=i(t) 要求列写出系统的状态空间描述。 2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。 y (4)+4y (3)+3y (2)+7y (1)+3y=u (3)+ 2u (1)+ 3u 3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。 [] 210X 13101X y -????=+???? -????= 4、（10分）分析下列系统的能控性。 0111X X u a b ? ???? =+???? -???? 5、（10分）分析下列系统的能观性。 []1110a X X y X b ? ??==-???? 6、（15分）判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。 122 2112 3x x x x x x ==-- 7、（15分）已知系统的状态方程为 221012000401X X u ? --???? ????=-+????????-???? 试确定一个状态反馈阵K ，使闭环极点配置为λ1*=-2、λ2*=-3、λ3*=-4。 答案： 1、（20分）如图所示RLC 网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为 x 1(t)=v 1(t),x 2(t)=v 2(t),x 3(t)=i(t) 要求列写出系统的状态空间描述。 列出向量表示形式 解出解出解出r x x x L R x x x r x L R x x x x x x C R x x x C x C x r x R x L L L L ???? ??????+????? ???????????????? ?--=??????????+--=-=+=+==++1321113211 31 11 32122222112211333113000x y x x L 现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。 《线性系统理论基础》考试试卷 A 卷 考试说明：考试时间：95分钟考试形式（开卷/闭卷/其它）：闭卷 适用专业：自动化 承诺人：学号：班号： 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。注：本试卷共 6 大题，共 14 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸和草稿纸。请将答案统一写在答题纸上，如因答案写在其他位置而造成的成绩缺失由考生自己负责。 一、（20分）建立下列系统的状态空间模型： 1．已知图1所示的质量-弹簧-阻尼器系统，其中质量 1kg m=，弹性系数为2 k=，阻尼为3 f=。以外力u为控制输入，以位移y和速度y 作为输出建立状态空间模型。 2．已知图2所示的由两个基本模块反馈连接的 线性系统，写出其状态空间模型。 二、（20分）给定线性系统 [] 011 , 11 650 x x u y x - ???? =+=- ???? - ???? 1．将系统化为对角标准型。 2．求系统在输入t u e- =下的零初态响应() x t和输出响应() y t。3．分别画出原系统和对角标准型系统的结构框图。 图 2 三、（20分）给定如下线性系统 []31 001030000011000012200 2x x u y x -???? ????-????=+????? ???-????= 1. 将系统进行能控能观测子空间分解. 2. 写出其最小实现（即能控能观子系统）的状态空间表达式。 四、（10分）给定线性系统如下 11226129x x x x -??????=??????-? ????? 1. 求该系统的平衡点。 2. 选择形为22 12()V x ax bx =+的李亚普诺夫函数判断系统平衡点是否渐近稳定。 五、（10分）给定线性系统如下 1122010002x x u x x -????????=+?????? ?????? ???? 和二次型性能指标{}22 112 J x ru dx ∞= +?0， 1．确定最优线性状态反馈控制u kx =使得系统的性能指标J 达到最小。 2.讨论权值r 的大小对控制增益k 的影响。 六、（20分）给定单输入单输出系统的状态空间模型 []031,01100x x u y x ????=+=????-???? 1．设计状态反馈控制u kx =-使得闭环系统的期望极点为1,22j3λ=-±； 信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx d x g = （2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2 ? ∞ ∞ --= αααd x h f x g （5） ()()απξααd j f ?∞ ∞ --2exp 解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=?? ? ??π 证明：左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞ -∞ =-n n x )2(2δ 所以当n 为偶数时，左右两边相等。 1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 0)(,) () ()]([1 ≠''-=∑ =i n i i i x h x h x x x h δδ 式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是 )() ()(sin x comb n x x n =-=∑∞ -∞ =π δπ ππδ 现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流 11 1212 22 121212 010 Y x U R R R R Y x R R R R R R ???? ???? ???? =+ ???? ???? - ???? +++ ???? ???? 和电容C上的电压 2 x为状态变 量，电容C上的电压 2 x为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令： 12 , L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 2221 R C x x L x ?? +-= 1121 ()0 R x C x L x u ?? ++-= 从上述两式可解出 1 x ? ， 2 x ? ，即可得到状态空间表达式如下： 12 112 1 2 12 () () R R x R R L R x R R C ? ? ? - ???+ ??? = ??? - ??? + ? 12 1 1212 2 1212 ()() 11 ()() R R x R R L R R L u x R R C R R C ??? ??? ++ ?? ??? + ?? ??? ?? -??? ++ ??? ? ? ? ? ? ? 2 1 y y = ? ? ? ? ? ? ? ? + + - 2 1 1 2 1 2 1 1 R R R R R R R ? ? ? ? ? ? 2 1 x x +u R R R ? ? ? ? ? ? ? ? + 2 1 2 二、考虑下列系统： 又是一年考研时节，每年这个时候都是考验的重要时刻，我是从大三上学期学习开始备考的，也跟大家一样，复习的时候除了学习，还经常看一些学姐学长们的考研经验，希望可以在他们的经验里找到可以帮助自己的学习方法。 我今年成功上岸啦，所以跟大家分享一下我的学习经验，希望大家可以在我的经历里找到对你们学习有帮助的信息！ 其实一开始，关于考研我还是有一些抗拒的，感觉考研既费时间又费精力，可是后来慢慢的我发现考研真的算是一门修行，需要我用很多时间才能够深入的理解它，所谓风雨之后方见才害怕难过，所以在室友们的鼓励和支持下，我们一起踏上了考研之路。 虽然当时不知道结局是怎样，但是既然选择了，为了不让自己的努力平白的付出，说什么都要坚持下去！ 因为是这一路的所思所想，所以这篇经验贴稍微有一些长，字数上有一些多，分为英语和政治以及专业课备考经验。 看书确实是需要方法的，不然也不会有人考上有人考不上，在借鉴别人的方法时候，一定要融合自己特点。 注：文章结尾有彩蛋，内附详细资料及下载，还劳烦大家耐心仔细阅读。 北京航空航天大学数学的初试科目为： (101)思想政治理论(201)英语一 (609)数学专业基础(891)数学专业综合 参考书目为： 1、《高等代数》第三版，高等教育出版社，北京大学数学系编 2、《数学分析》(上册、下册) ，高等教育出版社，陈纪修等 3、《常微分方程》东北师范大学数学教研室编（第三版）高等教育出版社《常微分方程》王高雄、周之铭等（第三版），高等教育出版社 4、近代代数参考书：《近世代数引论（第3版）》，冯克勤，李尚志，章璞著，中国科学技术大学出版社，2009年版《近世代数》，韩世安、林磊编著，科学出版社，2004年版《近世代数基础》，张禾瑞著，高等教育出版社，1978年版 5、概率论与数理统计参考书：《概率论及数理统计》（上、下册），邓集贤等，高等教育出版社2009《概率论与数理统计》严士健等，高等教育出版社，1997 6、系统控制参考书：《线性系统理论》，程兆林, 马树萍，科学出版社，2007 《线性系统理论》，郑大钟，清华大学出版社，2002 跟大家先说一下英语的复习吧。 学英语免不了背单词这个难关，词汇量上不去，影响的不仅是考试成绩，更是整体英语能力的提升；背单词也是学习者最感到头痛的过程，不是背完了转身就忘，就是背的单词不会用，重点单词主要是在做阅读的时候总结的，我把不认识不熟悉的单词全都挑出来写到旁边，记下来反复背直至考前，总之单词这一块贵在坚持，背单词的日程一定要坚持到考研前一天。 因此，学会如何高效、科学地记忆词汇，养成良好的记单词习惯，才能达到事半功倍的学习效果，我用的是《木糖英语单词闪电版》，里面的高频词汇都给列出来了，真的挺方便的，并且刷真题我用的《木糖英语真题手译》这本书，我感觉对我帮助特别大，里面的知识点讲解的通俗易懂，而且给出的例子都很经典，不容易忘记。 前期，在这段时间最重要的是积累，也就是扩充自己的词汇量，基础相对差 重庆邮电大学研究生考卷A 学号 姓名 考试方式 班级 考试课程名称 线性系统理论 考试时间： 年 月 日 一、（10分）如下图所示系统，求以u 为输入，R2上电压u2为输出的状态空间表达式。 二、（10分）某系统的状态空间表达式为： u x x x x x x ??????????-+????????????????????---=??????????631234100010321321 ,???? ? ?????=321]001[x x x y ，试求该系统的传递函数。 三、（15分）已知连续时间线性时不变系统状态方程如下： （1）求解状态转移矩阵)(t φ和逆矩阵)(1t -φ （2）求单位阶跃信号u (t )=1(t )作用下的状态响应 四、（15分）确定使下面连续时间线性时不变系统完全能控和完全能观测的待定 ()()()( )()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ?? ???? =+≥== ? ? ?--?????? R u 参数a,b 取值范围 []x b y u x x x a x x x 00 10030012011321321=???? ????+?????? ??????????????---=?????????????? 五、（15分）试找出李亚普洛夫能量函数，判断下列连续时间非线性时不变系统为大范围渐近稳定。 ???? ??--+-==3221 213)(x x x x x x f x 六、（15分）给定一个完全能控单输入单输出连续时间线性时不变系统： []1 0 212 1 121 0 210 1 1x x u y x ????????=+???? ????-????= 试求出非奇异变换P 把上述系统变换为能控标准型。 七、（20分）给定单输入单输出连续时间线性时不变受控的传递函数为： ) 8)(4(10 )(++= s s s s G 试确定一个状态反馈阵K 使得闭环极点配置为***1112, 4, 7λλλ=-=-=-，并写出闭环系统状态方程。 现代控制理论学习指导书第一部分重点要点 线性系统理论 线性系统数学模型 稳定性、可控性和可观测性 单变量极点配置的条件和方法。 最优控制理论 变分法 极小值原理 最优性原理 动态规划 最优估计理论 参数估计方法 掌握最小方差估计和线性最小方差估计方法 状态估计方法 预测法，滤波 系统辨识理论 经典辨识方法 最小二乘辨识方法 系统模型确定方法 自适应控制理论 用脉冲响应求传递函数的原理和方法。 两种设计方法 智能控制理论 掌握智能控制的基本概念、基本方法以及智能控制的特点。 了解分级递阶智能控制、专家控制、神经网络控制、模糊控制、学习控制和遗传算法控制的基本概念 第二部分练习题 填空题 1.自然界存在两类系统：______静态系统____和______动态系统____。 2.系统的数学描述可分为___外部描述_______和___内部描述_______两种类型。 3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为___自由运动_______。 5.互为对偶系统的__特征方程________和___特征值_______相同。 6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成____完全能控______子系统和____完全不能控______ 子系统两部分。 7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成__完全能观测________子系统和____完全不能观测______子系统两部分。 8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解___能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。 9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有__零极点对消_。 10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 11.经典控制理论讨论的是__在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李 氏方法讨论的是_动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 12. ___状态反馈_______和__输出反馈________是控制系统设计中两种主要的反馈策略。 13.综合问题的性能指标可分为优化型和非优化型性能指标。 14.状态反馈不改变被控系统的___能控性_______；输出反馈不改变被控系统的___能控性 _______和____能观测性______ 15.状态方程揭示了系统的内部特征，也称为__内部描述________。 16.控制系统的稳定性，包括____外部______稳定性和____内部______稳定性。 17.对于完全能控的受控对象，不能采用____输出反馈______至参考信号入口处的结构去实现闭环极点的任意配置。 18.在状态空间分析中，常用___状态结果图_______来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。 19.为了便于求解和研究控制系统的状态响应，特定输入信号一般采用脉冲函数、__阶跃函数________ 和斜坡函数等输入信号。 21.当且仅当系统矩阵A的所有特征值都具有_负实部_________时，系统在平衡状态时渐近 2015北京航空航天大学飞行器设计考博（宇航学院）参考书、历年真题、报录比、研究生招生专业目录、复试分数线 一、学院介绍 1956年中央决定建立第一个导弹火箭设计和研究院（国防部第五研究院）的同时，就在北航创建了火箭设计和火箭发动机教研室，由屠守锷，曹传钧担任教研室主任。1958年北京航空学院正式组建了火箭系，设有运载火箭设计、有翼导弹设计、液体火箭发动机设计、固体火箭发动机设计、导弹飞行力学与控制、自动控制、发射装置、遥控遥测等专业，先后为我国航天部门培养并输送了大批毕业生，同时也为其他院校培养了有关此专业的师资。 1958年以火箭系为主，北航研制了我国第一枚液、固两种推进剂的近代两级探空火箭——"北京二号"，并于当年国庆期间发射成功。这是我国最早发射的近代火箭，也是亚洲第一次发射成功的近代火箭。 1970年由于领导体制的变革，学校按学科调整学校内部结构，将原火箭系各专业划归有关的系进行管理，并继续为航天技术领域培养人才，进行科学研究。 1988年为适应我国航天工业和科学技术发展的需要，学校决定在原火箭系的基础上成立以培养航天人才，研究航天技术为主的宇航学院，开展教学和科研工作。既培养火箭与空间技术的本科生、硕士与博士研究生，又开展火箭和航天领域的科学研究，组织于国内航天部门及外国同行的学术交流和技术合作。 二、2015北京航空航天大学飞行器设计考博参考书 科目代 科目名称参考书目 码 1001英语不指定参考书 1002俄语不指定参考书 1003日语不指定参考书 1004综合英语能力适用于外国语学院考生，不指定参考书目 2001矩阵理论《矩阵论引论》，北航出版社1997，陈祖明、周家胜；《线性代数》，北航出版社2005，高宗升、周梦 2002数值分析《数值分析》修订版，北航出版社，颜庆津2003数理方程《数理方程》，复旦大学 2004常微方程《常微分方程》，高等教育出版社，王高雄 2005概率统计《概率论与数理统计》（不含方差分析、回归分析、随机过程），高等教育出版社，浙江大学； 《概率统计及随机过程》（1-9章），北航出版社，张福渊 2091复分析《复分析》，上海科技出版社，阿尔福斯著 2092实分析《实分析与复分析》（实分析部分），人民教育出版社，W.Rudin 著 2093泛函分析《泛函分析》，高等教育出版社，江泽坚著 2094抽象代数《近世代数》，科学出版社，熊全淹著 2095微分方程《微分方程定性理论》，科学出版社，张芷芬等著 2096偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》，科学出版社2003，汤华中、余德浩著 2097计算方法不指定参考书2098数理统计不指定参考书 2103解剖生理学《人体解剖生理学》（第6版），人民卫生出版社，岳利民崔慧先 2104细胞生物学《分子细胞生物学》(第4版)，科学出版社，韩贻仁2105微生物学《微生物学教程(第三版)》，高等教育出版社，周德庆2106生物化学《生物化学》，北京大学医学出版社，贾弘提 2107生物力学《生物力学导论》，天津科技翻译出版公司，陶祖莱2108生物医学仪器《生物医学测量与仪器》，复旦大学出版社，王保华 2111公共管理理论与研究方法《公共管理名著导读》，北京航空航天大学出版社，2013年版，胡象明、涂晓芳； 《公共管理导论》，中国人民大学出版社，2001年版，欧文·E·休斯； 《公共部门决策的理论与方法》，高等教育出版社，2007年版，胡象明； 《公共部门经济学》（第三版），中国人民大学出版社，2011年，高培勇、崔军； 《公共行政学》（第三版），北京大学出版社，2007年，张国庆；《公共行政理论》，复旦大学出版社，2008年版，竺乾威；《组织与管理研究的实证方法》，北京大学出版社，2008年版，陈晓萍、徐淑英、樊景立主编； 《社会研究方法教程》，北京大学出版社，1997年版，袁方主编 2010年山东大学博士生研究生入学考试试卷 线性系统理论 一、（16分）已知11101110 ()()m m m m n n n n b s b s b s b Y s U s a s a s a s a ----++++=++++ ， 1、 若m 重庆大学2009年硕士研究生《线性系统理论》（考试时间2.5h ）课程试题 一、回答下列各题(4'*3=12') 1、状态、状态空间、状态空间描述？ 2、状态能观测、系统完全能观测？ 3、系统内部稳定性、外部稳定性？ 二、简答题（24'） 1、在状态空间描述下为什么可以引入线性非奇异变换？请说明通过线性非奇异变换可以得到哪几种系统的结构特征。 2、线性定常系统∑=（A,B,C,D ）的综合时依据哪些性能指标？有哪些反馈规律？画出线性定常系统的状态反馈图，写出反馈系统的方程，这时是否可以任意配置闭环系统极点？ 三、判断并改错（2'*10=20'） 1、状态空间描述中，系统的状态变量组为构成系统变量中线性无关的一个极大变量组，因而状态变量组选取上是唯一的。 2、在系统的数学模型中输入输出描述与状态空间是等价的。 3、系统完全能控时采用状态反馈就一定能使被控系统稳定。 4、线性定常系统完全能观测，则状态反馈是可镇定的。 5、线性定常系统是外部稳定的就是工程意义下的稳定。 6、在对角线规范形下，各个状态变量间完全解耦，可实现系统状态反馈的解耦控制。 7、系统的每一个平衡状态实在李雅普洛夫意义下稳定的?A 的特征值均具有非正实部。 8、状态转移矩阵Φ（t-t 0）是将时刻t 0的状态x 0 映射到时刻t 的状态x 的一个线性变换，决定了状态向量的自由运动。 9、状态反馈静态解耦实现了稳态解耦是一种对被控系统的完全解耦。 10、输入输出描述是对系统的一种不完全描述，只能反映系统中的能控部分。 四、16' 证明：线性定常自治系统∑：x `=Ax,x(0)=x 0,t ≧0,系统的唯一平衡状态是渐进稳定 的充分必要条件为，A 的所有特征值均具有负实部。 五、计算题（28') 1、已知系统：)()()(...1t K t t T μ??=+， ?=10)()(ττ?d V t y ，式中，T 1=1，K=4，V=2.(20') （1）如果状态变量选择为：T T V V y x ][. ??=，请写出状态方程。 （2）判断系统的稳定性，是否可以状态反馈实现稳定。 （3）设计一个状态反馈闭环系统，闭环极点为 1,2321-=-==f f f λλλ。 （4）设计一个极点（矩阵A-hc 的特征值）为 )3,2,1(4=-=i i λ的全维状态观测器。 2、对于系统：2211.22.14,x x x x x x --==，试确定系统在其平衡状态的稳定性。（8'）V(x)=4x1 2+x2 2线性系统理论历年考题
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