Ch5状态空间搜索策略
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ch5 一维搜索逼近法与求根法
f (0 ) f (0 )
0
k 1
k
f (k ) f (k )
第19页/共24页
算法特点
优点： 步骤简单，收敛快，在相同的条件下比较少的 迭代次数就能达到精度要求。 缺点： 用到二阶导数，计算量大；初始点选择需要合 适。
第20页/共24页
算法步骤
1. k , 0
第7页/共24页
令插值多项式为g() ax2 bx c
g(0 ) f (0 )
令
g
(1
)
f
(1 )
aa1022
b0 b1
c c
f f
(0 ) (1 )
g(0 ) f (0 ) 2a0 b f (0 )
k : 0
3 若0 1
f f 1 2 : 1,1 : , f 2 : f 1 , f 1 : f 转4
f f 1 0 : , f 0 : f ,转4
1. x1 1, f (x1) 2.282, f (x1) 2.718
2.
x2
x1
f (x1) f (x1)
1.840,
f (x2 ) 2.903, f (x2 ) 1.297, f (x2 ) 6.297
3. x3 1.634, f (x3) 3.046, f (x3) 0.124, f (x3) 5.124
a (0 1) f (2 ) (1 2 ) f (0 ) (2 0 ) f (1) (0 1)(1 2 )(2 0 )
b (02 12 ) f (2 ) (12 22 ) f (0 ) (22 02 ) f (1) (0 1)(1 2 )(2 0 )
状态空间搜索
• 为了在最普遍的情况下（是图而不是树）定义回溯算法， 有必 要检测并删除多次出现的某些状态，以避免造成 路径循环。检测可以通过对每一个新生成的状态判断它 是否在上述3张表中来实现，如果它属于某一张表，就 说明它已被搜索过不必再考虑。
图搜索的实现（续）
• 当前正在搜索的结点叫CS，即当前状态。CS总 是等于最近加入SL中的状态，是当前正在探寻 的解题路径的“前锋”。博弈中走步用的推理 规则或者其他合适的问题求解操作都可应用于 CS，得到一些新状态，即CS的子状态的有序集， 重新视该集合中第一个状态为当前状态，其余 的按次序放入NSL中，用于以后的搜索。新的 CS加入SL中，搜索就这样继续进行。若CS没 有子状态，就要从SL，NSL中删除它，将其加 入DE，然后回溯查找NSL中的下一个状态。
图搜索的实现（续）
• 重复 CS
•0
A
•1
B
•2
E
•3
H
•4
I
•5
F
•6
J
•7
C
•8
G
SL [A] [BA] [EBA] [HEBA] [IEBA] [FBA] [JFBA] [CA] [GCA]
NSL [A] [BCDA] [EFBCDA] [HIEFBCDA] [IEFBCDA] [FBCDA] [JFBCDA] [CDA] [GCDA]
状态空间的一般搜索过程
• 一个节点经一个算符操作后一般只生成一个子 节点，但适用于一个节点的算符可能有多个， 此时就会生成一组子节点．在这些子节点中可 能有些是当前扩展节点(即节点n)的父节点，祖 父节点等，此时不能把这些先辈节点作为当前 扩展节点的子节点．余下的子节点记作集合Ｍ， 并加入图Ｇ中．
•
•
图搜索的实现（续）
• 当前正在搜索的结点叫CS，即当前状态。CS总 是等于最近加入SL中的状态，是当前正在探寻 的解题路径的“前锋”。博弈中走步用的推理 规则或者其他合适的问题求解操作都可应用于 CS，得到一些新状态，即CS的子状态的有序集， 重新视该集合中第一个状态为当前状态，其余 的按次序放入NSL中，用于以后的搜索。新的 CS加入SL中，搜索就这样继续进行。若CS没 有子状态，就要从SL，NSL中删除它，将其加 入DE，然后回溯查找NSL中的下一个状态。
图搜索的实现（续）
• 重复 CS
•0
A
•1
B
•2
E
•3
H
•4
I
•5
F
•6
J
•7
C
•8
G
SL [A] [BA] [EBA] [HEBA] [IEBA] [FBA] [JFBA] [CA] [GCA]
NSL [A] [BCDA] [EFBCDA] [HIEFBCDA] [IEFBCDA] [FBCDA] [JFBCDA] [CDA] [GCDA]
状态空间的一般搜索过程
• 一个节点经一个算符操作后一般只生成一个子 节点，但适用于一个节点的算符可能有多个， 此时就会生成一组子节点．在这些子节点中可 能有些是当前扩展节点(即节点n)的父节点，祖 父节点等，此时不能把这些先辈节点作为当前 扩展节点的子节点．余下的子节点记作集合Ｍ， 并加入图Ｇ中．
•
•
CH5-移动通信
• 特点： 1800M工作在如下频段： 上行频率1710-1785M 下行频率1805-1880M 收发频率间隔为95M
2024/9/21
5.3.5 GSM与CDMA系统旳技术比较
• TDMA系统旳基站只用一部发射机，干扰小； • 需要精拟定时与同步，确保移动台信号无混迭； • 各移动台只在指定旳时隙向基站发送信号； • 时帧与时隙在几到几十毫秒间变化； • 因为时延会造成移动信号旳落入时隙障碍，故设置保护
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 电源分系统 太阳能与化学电池
2024/9/21
嫦娥一号
5.4 其他移动通信系统
•
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 频段： 常用6/4 G, 5.925-6.425G/3.7-4.2G,转发器带
宽500M 在30/20 G,带宽达3.5 G
2024/9/21
5.5 无线移动旳发展
• 3、移动互联网 • WAP： 能够完毕HTML到WML旳转化。
4 、 3G LTE 4G
2024/9/21
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星通信旳频率： 1.6/1.5 6/4 8/7 14/11 30/20 GHz
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 天线分系统： 遥测指令天线——甚高频或短波波段，例如东 方红一号； 通信天线——半功率点波束宽17.34度，工作于 微波段。
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 天线增益： G=4A/2 =2D2/2 EIRP=PG 传播损耗：自由空间损耗、大气吸收、指向误
差、极化损耗、降雨等。
2024/9/21
5.3.5 GSM与CDMA系统旳技术比较
• TDMA系统旳基站只用一部发射机，干扰小； • 需要精拟定时与同步，确保移动台信号无混迭； • 各移动台只在指定旳时隙向基站发送信号； • 时帧与时隙在几到几十毫秒间变化； • 因为时延会造成移动信号旳落入时隙障碍，故设置保护
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 电源分系统 太阳能与化学电池
2024/9/21
嫦娥一号
5.4 其他移动通信系统
•
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5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 频段： 常用6/4 G, 5.925-6.425G/3.7-4.2G,转发器带
宽500M 在30/20 G,带宽达3.5 G
2024/9/21
5.5 无线移动旳发展
• 3、移动互联网 • WAP： 能够完毕HTML到WML旳转化。
4 、 3G LTE 4G
2024/9/21
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5.4 其他移动通信系统
• 卫星通信旳频率： 1.6/1.5 6/4 8/7 14/11 30/20 GHz
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 天线分系统： 遥测指令天线——甚高频或短波波段，例如东 方红一号； 通信天线——半功率点波束宽17.34度，工作于 微波段。
2024/9/21
5.4 其他移动通信系统
• 卫星构成 天线增益： G=4A/2 =2D2/2 EIRP=PG 传播损耗：自由空间损耗、大气吸收、指向误
差、极化损耗、降雨等。
状态空间的搜索策略
OPEN： OPEN：未扩展节点表
扩展：用合适算符对一个节点 扩展 ： 进行操作，生成一组子节点。 进行操作，生成一组子节点。 存放刚生成的节点。 存放刚生成的节点。 不同搜索策略， 节点在OPEN 不同搜索策略 ， 节点在 OPEN 表中的排列顺序不同。 表中的排列顺序不同。
COLSE表 COLSE表 编号 状态节点 父节点 OPEN表 OPEN表 状态节点 父节点
当搜索树不再有末被扩展的端节点时， 表为空， 当搜索树不再有末被扩展的端节点时，即OPEN表为空， 表为空 搜索过程失败，从初始节点达不到目标节点。 搜索过程失败，从初始节点达不到目标节点。一般搜索过程的几点说明
4. 步骤⑥的说明 步骤⑥ 一个节点经一个算符操作通常指生成一个子节点。 一个节点经一个算符操作通常指生成一个子节点。 由于适用于一个节点的算符可能有多个， 由于适用于一个节点的算符可能有多个 ， 此时就会 生成一组子节点。 生成一组子节点。 判断子节点是否是当前扩展节点的父节点、 判断子节点是否是当前扩展节点的父节点 、 祖父节 点等，若是，则删除。 点等，若是，则删除。 余下的子节点记做集合M，加入图 中 余下的子节点记做集合 ，加入图G中。 扩展节点时，生成该节点的所有后继节点。 扩展节点时，生成该节点的所有后继节点。
CLOSED： CLOSED：已扩展节点表
存放将扩展或已扩展节点。 存放将扩展或已扩展节点。
一般搜索过程算法流程
建立只含有初始节点S的搜索图G， 放到OPEN表中； 表中； ① 建立只含有初始节点 的搜索图 ，把S放到 放到 表中 建立CLOSED表，其初始值为空表； ② 建立 表 其初始值为空表； 表是空表， ③ 若OPEN表是空表，则失败退出； 表是空表 则失败退出； ④ 选择 选择OPEN表中第一个节点，把它从 表中第一个节点， 表中第一个节点 把它从OPEN表移出并放进 表移出并放进 CLOSED表中，称此节点为节点 ； 表中， 表中 称此节点为节点n； 为目标节点， ⑤ 若n为目标节点，则有解并成功退出，解是追踪图 中沿 为目标节点 则有解并成功退出，解是追踪图G中沿 指针从 到 这条路径得到 指针在第⑦步中设置） 这条路径得到（ 指针从n到S这条路径得到（指针在第⑦步中设置）； 扩展n，生成不是n的祖先的那些后继节点的集合 的祖先的那些后继节点的集合M， ⑥ 扩展 ， 生成不是 的祖先的那些后继节点的集合 ， 把 M的这些成员作为 的后继节点添入图 中； 的这些成员作为n的后继节点添入图 的这些成员作为 的后继节点添入图G中
扩展：用合适算符对一个节点 扩展 ： 进行操作，生成一组子节点。 进行操作，生成一组子节点。 存放刚生成的节点。 存放刚生成的节点。 不同搜索策略， 节点在OPEN 不同搜索策略 ， 节点在 OPEN 表中的排列顺序不同。 表中的排列顺序不同。
COLSE表 COLSE表 编号 状态节点 父节点 OPEN表 OPEN表 状态节点 父节点
当搜索树不再有末被扩展的端节点时， 表为空， 当搜索树不再有末被扩展的端节点时，即OPEN表为空， 表为空 搜索过程失败，从初始节点达不到目标节点。 搜索过程失败，从初始节点达不到目标节点。一般搜索过程的几点说明
4. 步骤⑥的说明 步骤⑥ 一个节点经一个算符操作通常指生成一个子节点。 一个节点经一个算符操作通常指生成一个子节点。 由于适用于一个节点的算符可能有多个， 由于适用于一个节点的算符可能有多个 ， 此时就会 生成一组子节点。 生成一组子节点。 判断子节点是否是当前扩展节点的父节点、 判断子节点是否是当前扩展节点的父节点 、 祖父节 点等，若是，则删除。 点等，若是，则删除。 余下的子节点记做集合M，加入图 中 余下的子节点记做集合 ，加入图G中。 扩展节点时，生成该节点的所有后继节点。 扩展节点时，生成该节点的所有后继节点。
CLOSED： CLOSED：已扩展节点表
存放将扩展或已扩展节点。 存放将扩展或已扩展节点。
一般搜索过程算法流程
建立只含有初始节点S的搜索图G， 放到OPEN表中； 表中； ① 建立只含有初始节点 的搜索图 ，把S放到 放到 表中 建立CLOSED表，其初始值为空表； ② 建立 表 其初始值为空表； 表是空表， ③ 若OPEN表是空表，则失败退出； 表是空表 则失败退出； ④ 选择 选择OPEN表中第一个节点，把它从 表中第一个节点， 表中第一个节点 把它从OPEN表移出并放进 表移出并放进 CLOSED表中，称此节点为节点 ； 表中， 表中 称此节点为节点n； 为目标节点， ⑤ 若n为目标节点，则有解并成功退出，解是追踪图 中沿 为目标节点 则有解并成功退出，解是追踪图G中沿 指针从 到 这条路径得到 指针在第⑦步中设置） 这条路径得到（ 指针从n到S这条路径得到（指针在第⑦步中设置）； 扩展n，生成不是n的祖先的那些后继节点的集合 的祖先的那些后继节点的集合M， ⑥ 扩展 ， 生成不是 的祖先的那些后继节点的集合 ， 把 M的这些成员作为 的后继节点添入图 中； 的这些成员作为n的后继节点添入图 的这些成员作为 的后继节点添入图G中
状态空间的搜索策略
状态空间的搜索策略图1 状态空间的搜索策略一般说来，搜索策略讨论对于具有树状结构图的问题状态空间更加方便。
因此，对于非树状结构图的问题，例如网状结构等，往往需要化为树状结构图，以便更好地应用搜索策略进行讨论。
（1）广度优先搜索——先进先出，生成的节点插入OPEN表的后面。
基本方法：从根节点S0开始，向下逐层逐个地对节点进行扩展与穷尽搜索，并逐层逐个地考察所搜索节点是否满足目标节点Sg的条件。
若到达目标节点Sg，则搜索成功，搜索过程可以终止。
注意：在广度优先搜索法的过程中，同一层的节点搜索次序可以任意；但在第n层的节点没有全部扩展并考察之前，不应对第n+1层的节点进行扩展和考察。
特点：显然，宽度优先搜索法是一种遵循规则的盲目性搜索，它遍访了目标节点前的每一层次每一个节点，即检查了目标节点前的全部的状态空间点，只要问题有解，它就能最终找到解，且最先得到的将是最小深度的解。
可见，宽度优先搜索法很可靠。
但是，当目标节点距离初始节点较远时将会产生许多无用的中间节点。
因此，速度慢，效率低，尤其对于庞大的状态空间实用价值差。
（2）深度优先搜索——后进先出，生成的节点插入OPEN表的前面。
基本方法：从根节点S0开始，始终沿着纵深方向搜索，总是在其后继子节点中选择一节点来考察。
若到达目标节点Sg，则搜索成功；若不是目标节点，则再在该节点的后继子节点中选一考察，一直如此向下搜索，直到搜索找到目标节点才停下来。
若到达某个子节点时，发现该节点既不是目标节点又不能继续扩展，就选择其兄弟节点再进行考察。
依此类推，直到找到目标节点或全部节点考察完毕，搜索过程才可以终止或结束。
特点：方式灵活，规则易于实现，对于有限状态空间并有解时，必能找到解。
例如，当搜索到某个分支时，若目标节点恰好在此分支上，则可较快地得到解。
故在一定条件下，可实现较高求解效率。
但是，在深度优先搜索中，一旦搜索进入某个分支，就将沿着该分支一直向下搜索。
这时，如果目标节点不在此分支上，而该分支又是一个无穷分支，则就不可能得到解。
状态空间搜索策略(PPT 45页)
3.3 启发式搜索
• 特点：重排OPEN表，选择最有希望的节点 加以扩展
• 种类：有序搜索、A*算法等
3.3.1 启发式搜索策略和估价函数
盲目搜索可能带来组合爆炸 启发式信息
用来加速搜索过程的有关问题领域的特征信息。
• 启发函数
– 启发函数是用来估计搜索树上节点x与目标节 点Sg接近程度的一种函数, 通常记为h(x)
28 3
1 14
76 5
28 3
2
14
76 5
6
7
23
3 18 4
76 5
8
9
8 3 28 3
21 4 71 4
76 5
65
14
15
83 21 4 76 5
28 3 71 4
65
23 18 4
76 5
23 18 4 76 5
16 17
12 3 84
76 5
23 4 18
76 5
28 3
4 16 4
– 从初始节点，沿着与之相连的边，寻找目标节 点的过程
• 搜索树
– 搜索过程中经过的节点和边，按照原图的连接 关系，便形成一个树形的有向图
• 盲目搜索
– 无向导搜索/穷举式搜索 – 从初始节点，沿连接边逐一考察各个节点，或反
向进行
• 启发式(heuristic)搜索
– 利用“启发性信息”引导的搜索 – 启发式信息是与问题有关的有利于尽快找到问题
75
10
11
28 3 28 3
16 4 16 4
75 7 5
18
19
28 3 28 3 6 4 16
17 5 75 4
28 3
02第二讲(状态空间搜索策略)
引子：问题求解
3X+5=14， X=？
60 ° 40° ？
引子：问题求解
引子
◦ 人能够采用试探的搜索方法求解很多问题 ◦ 人工智能也可以利用搜索来求解问题 在可能的解空间内寻找一个解
状态
2.1.1 问题状态描述
定义：状态（State）
◦ 为描述某类不同事物间的差别，引入一组最少
变量 q0，q1，…，qn 的有序集合，记作Q
起始节点 S L M F P O Q
N
A
B
C
2、深度优先搜索过程
S L M N A F P B O Q C M N A L F P B S O Q C
3、最大深度约束
◦ 优先扩展最深的节点，使得搜索沿着状态 空间某条单一的路径从起始节点向下进行 下去；只有当搜索到达一个没有后续的状 态时，它才考虑另一条替代的路径。 ◦ 为了防止搜索过程沿着无益的路径扩展下 去，往往给出一个节点扩展的最大深度约 束。超过这个深度约束时不再产生后继。
目标
11
2 8 3 1 6 4 7 5
12
8 3 2 1 4 7 6 5
13
2 8 3 7 1 4 6 5
14 2 8 1 4 3 7 6 5
3、性质
◦ 当问题有解时，一定能找到解 ◦ 方法与问题无关，具有通用性
◦ 效率较低
2.1 问题的状态和状态空间 2.2 盲目搜索方法 2.3 启发式搜索策略 2.4 通用图搜索算法 2.5 启发式图搜索算法
内容回顾
内容提要：
1.1 什么是人工智能 1.2 人工智能的发展历史 1.3 人工智能研究的方法 1.4 人工智能研究的课题
国际象棋人机大战
人工智能原理ch45()53
Q(V,f(V)) [(R(V)∧P(V))]∨S(f(V),V)
或、析取 R(V)∧P(V) S(f(V),V)
叶节点
文字 R(V) P(V)
通常，把事实表达式的与或图表示 倒过来画，即把根节点画在最下面，而 把其后继节点往上画。
3. 与或图的F规则变换 我们把允许用作规则的公式类型限制为 下列形式： L => W 式中，L是单文字；W是与或形表达式
盲目搜索的效率低，耗费过多的计算空间 与时间。如果能够找到一种用于排列待扩展 节点的顺序，即选择最有希望的节点加以扩 展，那么，搜索效率将会大大提高。 “启发”（heuristic）是关于发现和发明规则 及方法的研究。在状态空间搜索中，启发式 被定义为一系列规则，它从状态空间中选择 最有希望到达问题解的路径。
5.1 规则演绎系统 我们通常习惯用if then规则形式表示知识求解 问题。基于规则的问题求解系统运用下述规则 来建立，IF - THEN , 即： IF IF1 IF2
THEN THEN1 THEN2
其中：IF部分可能由几个IF组成，而THEN部 分可能由一个或一个以上的THEN组成。
通常称每个IF部分为前项（条件、 断言），THEN部分为后项（新断 言）。这种基于规则的系统叫做规则 演绎系统。
(3) 对所得表达式进行skelem化，消除存在 性量词。 X Y mother(Y , X) X mother( f(X) , X )
(4) 删去全称量词，而余下的变量都被认为 具有全称量化作用。
Q(V, f(V))∧{[(R(V)∧P(V))]∨S(f(V),V)}
2. 事实表达式的与或图表示 根节点 Q(V,f(V))∧{[(R(V)∧P(V))]∨S(f(V),V)} 与、合取
或、析取 R(V)∧P(V) S(f(V),V)
叶节点
文字 R(V) P(V)
通常，把事实表达式的与或图表示 倒过来画，即把根节点画在最下面，而 把其后继节点往上画。
3. 与或图的F规则变换 我们把允许用作规则的公式类型限制为 下列形式： L => W 式中，L是单文字；W是与或形表达式
盲目搜索的效率低，耗费过多的计算空间 与时间。如果能够找到一种用于排列待扩展 节点的顺序，即选择最有希望的节点加以扩 展，那么，搜索效率将会大大提高。 “启发”（heuristic）是关于发现和发明规则 及方法的研究。在状态空间搜索中，启发式 被定义为一系列规则，它从状态空间中选择 最有希望到达问题解的路径。
5.1 规则演绎系统 我们通常习惯用if then规则形式表示知识求解 问题。基于规则的问题求解系统运用下述规则 来建立，IF - THEN , 即： IF IF1 IF2
THEN THEN1 THEN2
其中：IF部分可能由几个IF组成，而THEN部 分可能由一个或一个以上的THEN组成。
通常称每个IF部分为前项（条件、 断言），THEN部分为后项（新断 言）。这种基于规则的系统叫做规则 演绎系统。
(3) 对所得表达式进行skelem化，消除存在 性量词。 X Y mother(Y , X) X mother( f(X) , X )
(4) 删去全称量词，而余下的变量都被认为 具有全称量化作用。
Q(V, f(V))∧{[(R(V)∧P(V))]∨S(f(V),V)}
2. 事实表达式的与或图表示 根节点 Q(V,f(V))∧{[(R(V)∧P(V))]∨S(f(V),V)} 与、合取
Ch5状态空间搜索策略new
估价函数f(n)：用于估计节点代价的函数
定义为从初始节点S0出发，经过节点n约束后，到达 目标节点Sg的所有路径中最优路径的代价估计值。 一般形式为
f(n)=g(n)＋h(n)
g(n)是从初始节点S0到节点n的实际代价。可以从节 点n反向跟踪到初始节点S0,得到一条当前最小代价路 径，把这条路径上所有有向边的代价相加，就得到 g(n)的值。 ； h(n)是从节点n到目标节点S0的最优路径的估计代价。 需要根据问题自身的特性来确定，体现了问题自身的 启发性信息，因此也称为启发函数。
17 5
28 3 16 4 75
28 3 16 75 4
83 214 76 5
5
813 24 76 5
28 3 74 6 15
6
9
28 3 71 4 65
10
12 3 84 76 5
12 3 78 4
65
14 Sg
八数码难题的有界深度优先搜索
上面讨论的搜索方法都没有用到问题本身的特性信息， 只是按事先设定的线路进行搜索，具有较大的盲目性。 事实上，如果能利用搜索过程所得到的问题自身的一些 特性信息来指导搜索过程，则对搜索将是非常有益的。 这种利用问题自身的特性来引导搜索过程，提高搜索效 率的搜索策略称为启发式搜索或有信息搜索。
Sk S0k , S1k ,
操作符：使问题从一个状态变为另一个状态的操作
问题的全部状态(包含初始状态和目标状态)及
一切可用操作符所构成的集合称为问题的状态
空间。
S, F, S0 ,G
初始状态
中间状态1 中间状态2
目标状态
状态空间例：二阶梵塔问题
设有三根钢针，它们的编号分别是1号、2号和 3号。在初始情况下，l号钢针上穿有A、B两个 金片，A比B小，A位于B的上面。要求把这两个 金片全部移到另一根钢针上，而且规定每次只 能移动一个金片，任何时刻都不能使大片位于 小片的上面。
人工智能：一种现代方法ch05 Adversarial Search - 2016
Go (围棋) has too high a branching factor for existing search techniques. Current and future software must rely on huge databases and pattern-recognition techniques.
国际象棋搜索树大约有35100或者10154个结点。如果考虑完
整的搜索策略，就是用亿次机来处理，也得花天文数字 计的时间。博弈要求在无法计算出最优决策的情况下也要给 出某种决策。如何尽可能地利用好时间。 搜索树的深度影响性能。
14
how to deal with the huge state space?
fully observable, deterministic
zero-sum(零和, 1 + (-1) = 0) time-constrained
6
Games are a form of multi-agent environment.
multi-agent environment
中国首届“人机大战”，诸宸0:2败于笔记本电脑“紫光之星”
2016，AlphaGo
10
Game playing has a huge state space.
How: Chinese Chess
state space 九 列 十 行 十 四 种 不 同 的 棋 子
三 十 二 个 棋 子
13
3
12
8
2
4
6
14
5
2
MAX选择哪一步？a1/a2/a3
21
optimal decisions in games {5.2}