【北师大版2020中考数学专项复习】：代数综合问题几何综合

【北师大版2020中考数学专项复习】：

代数综合问题几何综合

【中考展望】

初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

【方法点拨】

(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；

(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；

(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；

(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．

* 审题(读题、断句、找关键)；

* 先宏观(题型、知识块、方法)；

后微观(具体条件，具体定理、公式)

* 由已知，想可知(联想知识)；

由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；

* 观察——挖掘题目结构特征；

联想——联系相关知识网络；

突破——抓往关键实现突破；

寻求——学会寻求解题思路．

(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．

【典型例题】

类型一、函数综合

1．已知函数

2

y

x

=和y＝kx+1(k≠0)．

(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；

(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?

【思路点拨】

本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．

【答案与解析】

解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，

∴

2

,

1

1.

a

a k

?

=

?

?

?=+

?

解得

2,

1.

a

k

=

?

?

=

?

(2)将

2

y

x

=代入y＝kx+1，消去y，得220

kx x

+-=．

∵k≠0，

∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．∵△＝1+8k．

∴1+8k≥0，解得k≥

1

8 -．

∴k≥

1

8

-且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．

【总结升华】

两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．

举一反三：

【变式】如图，一元二次方程0322=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．

【答案】

解：(1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1.

∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）.

将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得

???

??=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ???

????

-===.

23,1,21c b a ∴抛物线解析式为2

3

212-+=

x x y . (2)由2)1(2

1

232122-+=-+=

x x x y ，得抛物线顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1. 设直线AC 的函数关系式为y=kx+b,将A （3，6），C （-3，0）代入,得

???=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ??

?==.

1,

3k b ∴直线AC 的函数关系式为

y=x+3.

由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，

故解方程组??

?+=-=.3,1x y x 得???=-=.

2,

1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）.

(3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/-A ，连接Q A /，Q A /与x 轴交点M 即为所求的点.

设直线Q A /的函数关系式为y=kx+b.

∴???=+--=+.

2,

63b k b k 解这个方程组，得???-==.2,0k b ∴直线Q A /的函数关系式为y=-2x.

令x=0，则y=0. ∴点M 的坐标为（0，0）.

类型二、函数与方程综合

2．已知关于x 的二次函数22

12

m y x mx +=-+与22

22m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的

一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．

(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；

(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；

(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小? 【思路点拨】

本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数

图象，与x 轴的交点个数及二次函数的性质． 【答案与解析】

解：(1)对于关于x 的二次函数22

1

2

m y x mx +=-+，

由于△＝(-m)2

－4×1×22

1202m m ??+=--< ???

，

所以此函数的图象与x 轴没有交点．

对于关于x 的二次函数22

2

2

m y x mx +=--，

由于△＝22

2

2()413402m m m ??+--??-=+> ??

?，

所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．

故图象经过A ，B 两点的二次函数为22

2

02

m y x mx +=--=． (2)将A(-1，0)代入22

22m y x mx +=--，得22

102

m m ++-

=． 整理，得220m m -=． 解之，得m ＝0，或m ＝2．

①当m ＝0时，21y x =-．令y ＝0，得210x -=．

解这个方程，得11x =-，21x =． 此时，B 点的坐标是B(1，0)．

②当m ＝2时，223y x x =--．令y ＝0，得2230x x --=． 解这个方程，得x 3＝-1，x 4＝3．

此时，B 点的坐标是B(3，0)．

(3)当m ＝0时，二次函数为21y x =-，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝0，所以当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小．

当m ＝2时，二次函数为2223(1)4y x x x =--=--，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小． 【总结升华】

从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．

举一反三：

【高清课堂:代数综合问题 例3】

【变式】已知：关于x 的一元二次方程：. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；

（2）当抛物线与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛

物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C 1,将图形C 1向

右平移一个单位,得到图形C 2，当直线(b ＜0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围. 【答案】

（1）证明∵016)4(4)2(22>=---=?m m ．

∴该方程总有两个不相等的实数根．

（2）由题意可知y 轴是抛物线的对称轴， ∴02=-m ，解得0=m ． ∴此抛物线的解析式为42-=x y ． （3）-3＜b ＜0．

22240x mx m -+-=22

24y x mx m =-+-y=x b +

类型三、以代数为主的综合题

3．如图所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0)，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．

(1)求点B 的坐标；

(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 【思路点拨】

(1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标； (2)利用待定系数法可求出解析式；

(3)OB 为定值，即求BC+CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点； (4)利用转化的方法列出PAB S △关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解．

【答案与解析】

解：(1)B(1)．

(2)设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，代入点B(1，得3a =

．所以233

y x x =+．

(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x ＝-1，因为A ，O 关于抛物线的对称轴对称，所以当点C 位

于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．

设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，则

20.k b k b ?+=??

-+=??

解得k b ?=????=??

因此直线AB

的解析式为33

y x =

+． 当1x =-

时，y =

． 因此点C

的坐标为?- ??

． (4)如图所示，过P 作y 轴的平行线交AB 于D ，设其交x 轴于E ，交过点B 与x 轴平行的直线于F ．

设点P 的横坐标为x ． 则PAB PAD PBD S S S =+△△△

11

22

PD AE PD BF =

?+? 1

()2

PD AE BF =??+

1

()()2

D P B A y y x x =--

2132x x x ??

?=-+????????

?????

2

212x x x ?==+???

当12x =-

时，△PAB 的面积的最大值为8，此时1,2

4??

-- ? ???． 【总结升华】

本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为D P y y -就是利用了这一规律．

4．如图所示，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8)．

(1)求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式；

(2)设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时，点M ，N 同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； (3)当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；

(4)在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． 【思路点拨】

此题一题多问，分别考查对抛物线性质、直角坐标系中点的坐标与线段之间的关系、代数式或者函数最值的求解方法的理解，并考查应用方程思想解决问题的意识和能力． 【答案与解析】

解：(1)点A(-4，0)，点B(-2，0)，点E(0，8)．

关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，F(0，-8)． 设抛物线C 2的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，

则1640420,8.a b c a b c c ++=??++=??=-? 解得1,6,8.a b c =-??

=??=-?

∴所求抛物线的解析式是268y x x =-+-. (2)由(1)可计算得点M(-3，-1)，N(3，1)． 过点N 作NH ⊥AD ，垂足为H ．

当运动到时刻t 时，AD ＝2OD ＝8-2t ，NH ＝1+2t ． 根据中心对称的性质OA ＝OD ，OM ＝ON ， ∴四边形MDNA 是平行四边形． ∴2ADN S S =△

∴四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． ∵运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知0≤t ＜4， ∴所求关系式是24148S t t =-++（0≤t ＜4）．

(3)2

781444S t ??=--+ ???

(0≤t ＜4)

∴74t =

时，S 有最大值81

4

. (4)在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．

由(1)知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD 、MN ， ∴当AD ＝MN 时四边形MDNA 是矩形． ∴OD ＝ON ．

∴OD 2

＝ON 2

＝OH 2

+NH 2

． ∴2420t t +-=．

解得12t =，22t =(不合题意，舍去)．

∴在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时2t =．

【总结升华】

直角坐标系中，坐标与线段长的关系；用等量关系列方程．以形为背景给出的题干信息中有等腰梯形，等腰三角形，等边三角形，某线段是某线段的几倍，或者隐含着这些条件存在，都是利用方程思想解决问题的有效信息．

举一反三：

【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3

OCA ∠=

，6ABC S =△．

(1)求点B 的坐标；

(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标． 【答案】

解：(1)∵23y ax bx =++，∴C(0，3)．

又∵1

tan 3

OCA ∠=

，∴A(1，0)． 又∵6ABC S =△，

∴

1

362

AB ??=， ∴AB ＝4。 ∴B(-3，0)．

(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入23y ax bx =++得：

03,

093 3.a b a b =++??

=-+?

∴a ＝-1，b ＝-2， ∴223y x x =--+．

∵2(1)4y x =-++． ∴顶点坐标(-1，4)． (3)如图1和图2．

当AC 为平行四边形的一边时，

1E (-1，0)，E 2(2--，0)，E 3(2-+0)．

当AC 为平行四边形的对角线时，E 4(3，0)．

5．已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2

+bx+c ，α，β为方程120y y -=的两个根，点M(t ，T)在函数y 2的图象上．

(1)若13α=

，1

2

β=，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为

3

1

12时，求t 的值； (3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜l 时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由． 【思路点拨】

第(1)问由120y y -=得2(1)0x b x c +-+=的两根为α，β，利用根的定义代入得到b ，c 的方程组可求出b ，c 值；

第(2)问分别求出A ，B 两点坐标，利用直线y ＝x 与x 轴夹角为45°得到关于t 的方程； 第(3)问利用求差法比较T ，α，β的大小，注意对t 的范围进行分类讨论来的确定相应T ，α，β的大小关系． 【答案与解析】

解 (1)∵y 1＝x ，y 2＝x 2

+bx+c ，y 1－y 2＝0， ∴2(1)0x b x c +-+=．

将13α=，12β=分别代入2(1)0x b x c +-+=，得2

11(1)033b c ??

+-?+= ???

2

11(1)022b c ????+-?+= ? ?????

． 解得16b =

，1

6

c =． ∴函数y 2的解析式为2

211

66

y x x =+

+．

(2)由已知，y 1与y 2的图象的两个交点的坐标分别为11,22??

???，11,33??

???

．得6AB =，

设ABM 中AB 边上的高为h ，

则312121212ABM S AB h h =

==△1

144

=．

由直线y1＝x 与x 轴的夹角为45°可得||t T -=

．

由2

11

66

T t t =+

+，得251166144t t -+-=

． 当2

51166144t t -

+=-时，解得125

12

t t ==；

当2

51166144

t t -

+=-时，解得3512t =，4512t =

∴t 的值为

512

，512-，512+．

(3)由已知，得2b c ααα=++，2b c βββ=++，2T t bt c =++． ∴()()T t t b ααα-=-++，

()()T t t b βββ-=-++，

22()()b c b c αβααββ-=++-++，

化简得()(1)0b αβαβ-++-=． ∵01αβ<<<，得0αβ-≠， ∴10b αβ++-=．

有a+b ＝1－β＞0，β+b ＝1－α＞0． 又0＜t ＜1时，∴t+α+b ＞0，t+β+b ＞0． ∴当0＜t ≤α时，T ＜α≤β；

当α＜t ≤β时，α＜T ≤β； 当β＜1时，α＜β＜T ．

【总结升华】

本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广．

中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（提高）

【巩固练习】 一、选择题

1. 如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC 、AB 交于点D ，

点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是 （ ）

A ．点G

B ．点E

C ．点D

D ．点F

2．已知函数y=，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3. 如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y=和y=的图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为 （ ）

()

?????>--≤--)

3(1

)5(31)1(2

2x x x x x 4-

x

2

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

二、填空题

5．已知关于x 的方程x 2

+（k-5）x+9=0在1＜x ＜2内有一实数根，则实数k 的取值范围是 ．

6.关于x 的方程，2kx 2-4x-3k=0的两根一个小于1，一个大于1，则实数k 的的取值范围是 .

三、解答题

7．已知：关于x 的一元二次方程有两个整数根，m<5且m 为整数． （1）求

m 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数的图象沿x 轴

向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；

（3）当直线y=x+b 与（2）中的两条抛物线有且只有三个．．交点时，求b 的值．

8. 已知关于的一元二次方程．

（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

0)1(22

2

=++-m x m x 2

2

)1(2m x m x y ++-=x ()0312

=-+--m x m x m

（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的

一元二次方程的解．

（3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标．

9. 抛物线，a ＞0，c ＜0，．

（1）求证：

； （2）抛物线经过点，Q ．

① 判断的符号；

② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A ，点B （点A 在点B 左侧），

请说明，．

10. 已知：二次函数y=． （1）求证：此二次函数与x 轴有交点；

()31+-=x m y m x y +=2

1C x ()0312

=-+--m x m x ()312

-+--=m x m x y ?1802C P

x P x 1C 2C N M 、MN

P 2

y ax bx c =++2360a b c ++=1

023

b a +>1(,)2

P m (1,)n mn 1(,0)x 2(,0)x 116x <

21

12

x <<22

(2)x n m x m mn +-+-

（2）若m-1=0,求证方程有一个实数根为1；

（3）在（2）的条件下，设方程的另一根为a,当x=2时，关于n 的函

数与的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与、的图象分别交于点C 、D ，若

CD=6，求点C 、D 的坐标.

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；

【解析】在直角梯形AOBC 中

∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9 ∴点A 的坐标为（9，12） ∵点G 是BC 的中点 ∴点G 的坐标是（18，6） ∵9×12=18×6=108

∴点G 与点A 在同一反比例函数图象上，故选A ． 2.【答案】D ；

【解析】函数y=的图象如图：

22

(2)0x n m x m mn +-+-=22

(2)0x n m x m mn +-+-=1y nx am =+22

2(2)y x n m ax m mn =+-+-1y nx am =+22

2(2)y x n m ax m mn =+-+-()

?????>--≤--)

3(1

)5(31

)1(2

2x x x x

根据图象知道当y=3时，对应成立的x 有恰好有三个，∴k=3．故选D ． 3.【答案】A ；

【解析】先设P （0，b ），由直线APB∥x 轴，则A ，B 两点的纵坐标都为b ，而A ，B 分别在反比例函数y=和y=的图象上，可得到A 点坐标为（﹣，b ），B 点坐标为（，b ），从而求出AB 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 二、填空题 4.【答案】20；

5.【答案】

【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y= x 2

+（k-5）x+9图象开口向上，与x 轴的一个

交点的横坐标在1＜x ＜2内，故有两种情况，分析得出结论.

6.【答案】或.

x 5-

x 2b 4b

2

3

-5-2

k ＜＜0k ＞4k -＜

三、解答题 7．【答案与解析】

解：（1）∵方程有两个整数根，

∴△=0，且为完全平方数． ∵ m<5且m 为整数， ∴

∴m=0或4．

（2）当m=0时，方程的根为x 1=0，x 2=2；当m=4时，方程的根为x 3=8，x 4=2．

∵方程有两个非零的整数根，

∴m=4．

∴二次函数的解析式是．

将的图象沿x 轴向左平移4个单位长度得到：

．

∴平移后的二次函数图象的解析式为．

(3) 当直线y=x+b 与（2）中的两条抛物线有且只有三个．．交点时，可知直线与平移后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点（3，-5）．

①当直线y=x+b 与平移后抛物线只有一个交点时，由得方程，

即．∴△=41+4b=0, ∴

②当直线y=x+b 过点（3，-5）时，b=-8．

综上所述，当直线y=x+b 与（2）中的两条抛物线有且只有三个．．

交点时，或b=-8． 0)1(22

2

=++-m x m x 484)1(42

2+=-+m m m ≥.44480<+≤m 2

2

)1(2m x m x y ++-=16102

+-=x x y 16102

+-=x x y 9)5(2

--=x 912

--=）（x y 822

--=x x y ???+=--=.

,822b x y x x y b x x x +=--822

0832=---b x x .4

41

-=b 4

41

-=b