《应用多元分析》实验3 多元相关与回归分析
多元回归模型及其应用
多元回归模型及其应用多元回归模型是统计学中的一种常见方法，它可以帮助我们分析多个自变量与一个因变量之间的关系。
在实际应用中，多元回归模型在预测和解释变量之间的复杂关系方面非常重要。
本文将介绍多元回归模型的基本概念、构建方法和应用场景。
一、多元回归模型的基本概念多元回归模型是指，用于分析多个自变量和一个因变量之间关系的一种统计模型。
假设我们有一个因变量Y和k个自变量X1、X2…Xk，我们可以建立下面的模型来描述它们之间的关系：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk + ε其中，β0是截距项，β1、β2、…、βk是自变量的系数，ε是误差项。
误差项代表了模型中无法被自变量解释的部分，通常假设误差项符合正态分布。
二、多元回归模型的构建方法1. 变量选择在构建多元回归模型时，选择自变量非常重要。
首先要考虑每个自变量与因变量的相关性，只有当自变量与因变量的相关性显著时，才有可能对因变量做出有用的解释。
此外，还要考虑多个自变量之间的相关性，若存在高度相关的自变量，这将会让回归模型变得不稳定。
2. 模型拟合模型拟合是指，通过计算模型参数，将模型调整到最适合样本数据的状态。
在多元回归模型中，可以用最小二乘法来拟合模型，该方法试图让模型预测的值与实际值之间的差异最小化。
3. 模型评估模型评估是指对多元回归模型的性能进行评估，主要包括判断模型的拟合效果、检验自变量系数的显著性以及判断模型是否存在过拟合等。
一些常见的评估指标包括拟合优度(R2)、均方根误差(RMSE)、Akaike信息准则(AIC)和贝叶斯信息准则(BIC)等。
三、多元回归模型的应用场景多元回归模型可以应用于许多领域，例如社会科学、自然科学和商业领域等。
以下是一些应用场景的举例：1. 销售预测在商业领域，多元回归模型可以用于预测销售数量。
我们可以通过收集历史销售数据和相关的自变量来建立回归模型，例如促销活动、价格、产品质量等。
这些自变量能够帮助我们解释销售数量的变化，并预测未来销售趋势。
多元回归分析的步骤
多元回归分析的步骤1.确定研究问题和目标：在开始多元回归分析之前，需要明确研究问题和目标。
这有助于确定所需的数据、研究变量，以及模型的选择。
2.收集数据：收集包含自变量和因变量的数据样本。
通常需要收集一定量的数据，以确保模型具有足够的准确性和可靠性。
3.数据清理和准备：对数据进行清理和准备是确保多元回归分析准确性的重要步骤。
这包括检查数据是否完整、是否存在异常值、缺失值如何处理等。
4.确定模型：在多元回归分析中，需要选择适当的模型来描述自变量与因变量之间的关系。
根据问题的需求和理论背景，可以选择线性回归模型、非线性回归模型、对数线性模型等。
5.模型适合度检验：在建立模型后，需要对模型的适合度进行评估。
常见的方法包括残差分析、F检验和决定系数（R2）的计算。
6.变量选择：根据研究目标和模型的适合度，可以选择保留所有自变量或根据统计和经验的指导进行变量选择。
常见的方法包括逐步回归、前向选择和后向消元。
7.假设检验：在多元回归分析中，可以进行假设检验以确定自变量的显著性。
常见的假设包括检验系数是否为零，同时也可以检验模型整体的显著性。
8.解释结果：根据分析结果和统计显著性，解释模型中自变量对因变量的影响程度和方向。
注意要提供有关变量关系的详细解释和背景信息。
9.预测：基于建立的多元回归模型，可以使用新的自变量数据来预测因变量的值。
这可以帮助我们了解自变量的实际影响，并进行未来趋势的预测。
10.总结和报告：最后，将所有的分析结果进行总结和报告。
包括数据的清晰展示、统计显著性的解释、模型的解释力和预测能力的评估等。
总之，多元回归分析是一个复杂的过程，需要仔细的计划和执行。
它可以帮助我们了解变量之间的关系，对因变量的影响进行量化，并预测未来的趋势。
在进行多元回归分析时，需根据具体问题、数据质量和研究目标来选择合适的方法和步骤。
实验三_多元线性回归模型及非线性回归（1）
实验三_多元线性回归模型及⾮线性回归（1）实验三多元线性回归模型及⾮线性回归⼀、多元线性回归模型例题3.2.2 建⽴2006年中国城镇居民⼈均消费⽀出的多元线性回归模型。
数据：地区 2006年消费⽀出Y 2006年可⽀配收⼊X12005年消费⽀出X2北京 14825.41 19977.52 13244.2 天津 10548.05 14283.09 9653.3 河北 7343.49 10304.56 6699.7 ⼭西 7170.94 10027.70 6342.6 内蒙古 7666.61 10357.99 6928.6 辽宁 7987.49 10369.61 7369.3 吉林 7352.64 9775.07 6794.7 ⿊龙江 6655.43 9182.31 6178.0 上海 14761.75 20667.91 13773.4 江苏 9628.59 14084.26 8621.8 浙江 13348.51 18265.10 12253.7 安徽7294.73 9771.05 6367.7 福建 9807.71 13753.28 8794.4 江西 6645.54 9551.12 6109.4 ⼭东 8468.40 12192.24 7457.3 河南6685.18 9810.26 6038.0 湖北 7397.32 9802.65 6736.6 湖南 8169.30 10504.67 7505.0 ⼴东 12432.22 16105.58 11809.9 ⼴西 6791.95 9898.75 7032.8 海南 7126.78 9395.13 5928.8 重庆 9398.69 11569.74 8623.3 四川 7524.81 9350.11 6891.3 贵州6848.39 9116.61 6159.3 云南 7379.81 10069.89 6996.9 西藏 6192.57 8941.08 8617.1 陕西 7553.28 9267.70 6656.5 ⽢肃6974.21 8920.59 6529.2 青海 6530.11 9000.35 6245.3 宁夏 7205.57 9177.26 6404.3 新疆 6730.018871.276207.51、建⽴模型01122Y X X βββµ=+++2、估计模型（1）录⼊数据打开EViews6，点“File ”→“New ”→“Workfile ”选择“Unstructured/Undated”，在Observations 后输⼊31，如下所⽰：点“ok”。
多元统计分析——典型相关分析实验报告
多元统计分析实验报告课程名称多元统计分析实验成绩实验内容典型相关分析指导老师姓名专业班级一、实验目的典型相关分析（Canonical correlation）又称规则相关分析，用以分析两组变量间关系的一种方法；两个变量组均包含多个变量，所以简单相关和多元回归的解惑都是规则相关的特例。
典型相关将各组变量作为整体对待，描述的是两个变量组之间整体的相关，而不是两个变量组个别变量之间的相关。
本文旨在通过分析农业基础用品投入量与农产品产量数据，利用典型相关分析分析两者的关系，同时达到熟练使用SPSS软件进行典型相关分析操作的目的。
二、实验数据本文使用2002-2011年全国农产品产量与农业基础用品投入量数据，如表2-1所示。
第一组数据为农产品产量（由左到右依次为，粮食产量X1、油料产量X2、糖料产量X3、蔬菜产量X4），第二组数据为农业基础用品投入量（由左到右依次为，农用塑料薄膜使用量Y1、农用柴油使用量Y2、农药使用量Y3）。
表2-1 2011-2011年全国农产品产量与农业基础用品投入量数据由于cancorr不能读取中文名称，所以变量名均需为英文名。
将表2-1数据转换为能够进行典型相关分析形式的数据，如表2-2所示。
表2-2 典型相关分析数据（农产品产量与农业基础用品投入量数据）三、实验过程SPSS 16.0并未提供典型相关分析的交互窗口，只能直接在syntax editor 窗口呼叫SPSS的CANCORR程序来执行分析。
选择【File】—【New】—【Syntax】，弹出Syntax对话框，在对话框中写入调用Cancorr程序，如图3-1所示。
图3-1 Syntax窗口调用CONCORR函数四、实验结果表4-1为第一组数据，即农产品产量之间的相关关系表。
从表中可以看出，粮食产量（X1）与蔬菜产量（X4）有较高的相关关系，相关系数高达0.9035；粮食产量（X1）与糖料产量（X3）相关关系也较大，相关系数为0.8081；油料产量（X2）与蔬菜产量（X4）的相关关系较大，为0.7442。
多元分析
三重数据的偏相关系数的计 算方法：
设X、Y、Z为随机变量，记
rXY Z为X与Y去掉Z的线性效应
后二者之间的偏相关系数
rXYZ
rXY rXZ rYZ (1 rX2Z ) (1 rY2Z )
例15.2 20名糖尿病人的血糖(Y， mmol/L)、胰岛素(X1，mU/L)及 生长素(X2，g/L)的测定值列于 表15.2中，试分析血糖与胰岛素 及生长素之间的线性关系。
表15.2 糖尿病人的血糖(Y，mmol/L)、胰岛素(X1，mU/L)及生长素(X2，g/L)的含量
病例号 i
1
血糖 Y
12.21
胰岛素 X1
15.2
生长素 X2 9.51
病例号 i 11
血糖 Y 6.44
胰岛素 X1
25.1
生长素 X2 5.10
2
14.54
16.7
11.43
12
9.49
16.4
Xi
X
2 i
598 28220
胆固醇(Y1)
3.5 4.6 5.8 5.8 4.9 8.7 3.6 5.5 4.9 5.1 4.1 4.6 5.1
13
XYi i
Y
2 i
XYiYii
46.0000 66.2
357.6 5.0923
3114.1000
超重组
年 龄(X2) 58 41 71 76 49 33 54 65 39 52 45 58 67 13
由上述公式可以看出，两随 机变量间的协方差可正可负。
若一个随机变量的取值与另 一随机变量的取值增加的方向一 致(相反)，则协方差为正(负)。
2. 样本方差与协方差阵 随机变量两 两之间的协方差通常以矩阵的形式表
多元回归分析方法
多元回归分析方法一、简介多元回归分析是一种经济学和统计学中常用的分析方法，它可以用来研究多个自变量对一个因变量的影响关系。
在实际问题中，我们往往需要考虑多个因素对某个现象的影响，多元回归分析可以帮助我们揭示这种复杂关系。
二、回归模型回归分析基于回归模型，常见的多元回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε，其中Y是因变量，Xi是自变量，βi是对应的回归系数，ε是随机误差项。
回归系数反映了自变量对因变量的影响程度，通过对样本数据进行估计，我们可以得到回归系数的估计值。
三、数据收集与准备在进行多元回归分析之前，我们需要收集和准备相关的数据。
这包括确定因变量和自变量的测量指标，选择合适的样本规模，保证数据的有效性和可靠性。
同时，对于因变量和自变量之间可能存在的非线性关系，我们需要进行适当的变量转换或添加高阶项，以确保模型的拟合程度。
四、回归模型的选择在进行多元回归分析时，我们需要选择合适的回归模型。
这可以通过观察数据的分布情况、变量之间的关系以及领域知识来进行判断。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
选择合适的模型能够提高分析的准确性和可解释性。
五、模型拟合与评估在得到回归模型的估计值后，我们需要评估模型的拟合程度和预测能力。
常见的评估指标包括均方误差(MSE)、决定系数(R-squared)和F统计量等。
通过这些指标，我们可以判断模型的拟合优度和自变量的显著性，进而确定模型是否可靠以及变量是否具有统计显著性。
六、多重共线性检验多元回归分析中存在一个重要的问题，即多重共线性。
当自变量之间存在强相关关系时，容易导致模型估计结果的不稳定和不可靠。
因此，在进行多元回归分析之前，必须对自变量进行多重共线性的检验。
常用的方法包括方差膨胀因子(VIF)和特征值分解等。
七、模型解释与应用通过对多元回归模型的估计和评估，我们可以得到自变量对因变量的影响程度和方向，并进行合理的解释。
多元回归分析原理及例子
多元回归分析原理回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。
回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。
回归分析主要解决以下几个方面的问题:(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话, 找出它们之间合适的数学表达式;(2) 根据一个或几个变量的值, 预测或控制另一个变量的取值, 并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;(3) 进行因素分析。
例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间, 找出哪些是重要因素, 哪些是次要因素, 这些因素之间又有什么关系等等。
回归分析有很广泛的应用, 例如实验数据的一般处理, 经验公式的求得, 因素分析, 产品质量的控制, 气象及地震预报, 自动控制中数学模型的制定等等。
多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。
本“多元回归分析原理”是针对均匀设计3.00软件的使用而编制的, 它不是多元回归分析的全面内容, 欲了解多元回归分析的其他内容请参阅回归分析方面的书籍。
本部分内容分七个部分, §1～§4介绍“一对多”线性回归分析, 包括数学模型、回归系数估计、回归方程及回归系数的显著性检验、逐步回归分析方法。
“一对多”线性回归分析是多元回归分析的基础, “多对多”回归分析的内容与“一对多”的相应内容类似, §5介绍“多对多”线性回归的数学模型, §6介绍“多对多”回归的双重筛选逐步回归法。
§7简要介绍非线性回归分析。
§1 一对多线性回归分析的数学模型§2 回归系数的最小二乘估计§3 回归方程及回归系数的显著性检验§4 逐步回归分析§5 多对多线性回归数学模型§6 双重筛选逐步回归§7 非线性回归模型§1 一对多线性回归分析的数学模型设随机变量与个自变量存在线性关系:, (1.1)(1.1)式称为回归方程, 式中为回归系数, 为随机误差。
回归分析与相关分析
相关分析与回归分析
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根据回归函数的意义，当X取xi时，Y的期望值 应为f(xi)，由于随机误差，观察值yi与f(xi)之间有
一定的差距，即：
yi f (xi ) i
i是第i次试验的误差。 对于Y （ y1, y2 , , yn） , X (x1, x2 , , xn )和 (1, 2 , , n ) 有
27 May 2020
相关分析与回归分析
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三、回归方程的检验
1．随机误差 2 的估计
由一元线性回归方程的模型：
yi a bxi i i ~ N (0 , 2 )
Y ~ N (a bx , 2 )
以D剩为基础作为 2的估计是合理的，其估计为
n
n
D剩
2 i
( yi (aˆ bˆxi ))2
27 May 2020
相关分析与回归分析
第8页
第二节 回归分析
一、确定回归函数的思想
要全面地考察两个变量 X、Y 之间的关系，我们就要研究Y 的
条件分布 F (y | X=x ) 随 X 取值 x 的变化情况. 很自然我们会 想到用 F ( y | X=x ) 的数学期望(平均值)来代替它，这样就可 以通过研究 x 与 Y 的条件期望值之间的关系来代表 X 与 Y 之 间的关系. 即：
显著. n个y值的总差异记为D总
n
D总＝ ( yi y) 2 l yy
程进行预测和控制.
27 May 2020
相关分析与回归分析
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“回归” 一词的历史渊源
“回归”一词最早由Francis Galton引入。英国著
名人类学家Franics Galton（1822－1911）于1885年在
多元回归分析
多元回归分析在经济学、社会学、心理学、医学等领域的实证研究中，多元回归分析是一种重要的统计方法。
它能够帮助研究者建立模型，估计各个变量的影响力，并对研究问题作出预测。
本文将介绍多元回归分析的概念、基本假设、模型建立、参数估计、模型诊断和解释结果等方面。
一、概念多元回归分析是一种用来研究因变量与多个自变量之间关系的统计方法。
在多元回归分析中，我们以因变量为被解释变量，以自变量为解释变量，建立一个多元线性回归模型，然后用样本数据估计各个系数，进而对总体进行推断。
通常，我们所研究的因变量与自变量之间是存在着某种联系的。
这种联系可以是线性关系，也可以是非线性关系。
我们可以通过多元回归模型来表达和解释完整的联系。
二、基本假设在进行多元回归分析时，我们需要基于以下三个基本假设：1.线性假设：多元回归模型中，因变量与自变量之间的关系是线性的。
2.独立假设：所有观测量之间都是相互独立的。
3.常态假设：模型的误差项服从正态分布。
三、模型建立建立一个多元回归模型通常有以下几个步骤：1.选择自变量：确定那些自变量对目标变量具有影响。
2.确定函数形式：使用线性函数或者非线性函数建立多元回归模型。
3.估计参数：使用样本数据来估计函数中的系数。
4.模型检验：验证模型是否可以拟合样本数据以及是否可以推广到总体。
五、参数估计在确定自变量和函数形式之后，我们需要使用已有数据来估计模型中的系数。
在多元线性回归中，一般采用最小二乘法对模型中的系数进行估计。
最小二乘法会尝试选择一组系数，使得用这组系数确定的模型与观测值之间的残差平方和最小。
残差平方和表示由于模型和观测值之间的差异而产生的差异的度量。
六、模型诊断模型的诊断是一个非常重要的步骤，用于检查多元回归模型的各种假设是否得到满足。
模型诊断的两个步骤：1.检查多元回归模型的基本假设是否得到满足。
这包括线性假设、独立假设和常态假设。
2.分析模型的残差以检查模型是否存在某种偏差。
如果存在偏差，可能会导致模型不准确，预测不可信。
多元线性回归方法及其应用实例
多元线性回归方法及其应用实例多元线性回归方法（Multiple Linear Regression）是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的回归分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
与简单线性回归不同，多元线性回归允许同时考虑多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归建立了自变量与因变量之间的线性关系模型，通过最小二乘法估计回归系数，从而预测因变量的值。
其数学表达式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，Xi是自变量，βi是回归系数，ε是误差项。
1.房价预测：使用多个自变量（如房屋面积、地理位置、房间数量等）来预测房价。
通过建立多元线性回归模型，可以估计出各个自变量对房价的影响权重，从而帮助房产中介或购房者进行房价预测和定价。
2.营销分析：通过分析多个自变量（如广告投入、促销活动、客户特征等）与销售额之间的关系，可以帮助企业制定更有效的营销策略。
多元线性回归可以用于估计各个自变量对销售额的影响程度，并进行优化。
3.股票分析：通过研究多个自变量（如市盈率、市净率、经济指标等）与股票收益率之间的关系，可以辅助投资者进行股票选择和投资决策。
多元线性回归可以用于构建股票收益率的预测模型，并评估不同自变量对收益率的贡献程度。
4.生理学研究：多元线性回归可应用于生理学领域，研究多个自变量（如年龄、性别、体重等）对生理指标（如心率、血压等）的影响。
通过建立回归模型，可以探索不同因素对生理指标的影响，并确定其重要性。
5.经济增长预测：通过多元线性回归，可以将多个自变量（如人均GDP、人口增长率、外商直接投资等）与经济增长率进行建模。
这有助于政府和决策者了解各个因素对经济发展的影响力，从而制定相关政策。
在实际应用中，多元线性回归方法有时也会面临一些挑战，例如共线性（多个自变量之间存在高度相关性）、异方差性（误差项方差不恒定）、自相关（误差项之间存在相关性）等问题。
为解决这些问题，研究人员提出了一些改进和扩展的方法，如岭回归、Lasso回归等。
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实验三 多元相关与回归分析
一、实验说明
实验项目名称：多元相关与回归分析
实验类型：基础
实验课时：2
实验所用主要仪器：微型计算机1台
（能够连接互联网，32bit或64bit的Windows操作系统），
R软件编程环境。
二、实验目的：
1.学习使用lm函数建立线性回归模型
2.使用summary函数查看已建立的回归模型的显著性检验，回归系数的
显著性检验，模型的拟合优度。
3.使用predict函数预测；安装并加载forecast包，使用forecast函数预
测。
4.安装并加载car包，使用vif函数检查多重共线性程度。
5.学习使用 detach("package:扩展包的名字") 的命令卸载R扩展包
三、实验内容和步骤
1.运行R软件，设置当前工作目录；在运行期间根据需要安装R的
扩展包，可以使用菜单选择，或者使用命令install.packages("扩展包
的名字")；然后加载R的扩展包，可以使用菜单选择，或者使用命令
library (扩展包的名字)。
2.通过运行代码学习一元回归分析与多元回归分析，掌握使用R命令
进行建模，模型显著性检验，回归系数显著性检验，模型的拟合优
度的查看，多重共线性的检查，逐步回归的变量选择，预测，残差
分析等过程。
3.代码文件：“练习ch4-1.R”
练习数据文件：“mvstats.xls” (表单d4.3,d4.4)
四、实验要求
1.完成教材《多元统计分析及R语言建模》（第三版）（王斌会）
的106-107页：二（1，2，3，4）题，第1题数据需要自己创建，
其余各题见数据文件：“mvexec3.xls”（表单E4.2，E4.3，E4.4)
2.撰写纸质稿的实验报告,要求实验报告最后一段有文字总结（学习
心得，实验总结，提出问题，对于课程的意见和建议等），书写请
用正楷字，勿用草书。下周三上课时交给学习委员。
3.学习委员统一将作业代码（根据需要，用#进行文字注释，文件后
缀名为.R或.r）电子版在下周三前发送至教师邮箱nikitalhy@163.com