上海市卢湾区2011学年度高三学科测试数学试卷(答案)

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卢湾2011学年第一学期高三年级期末考试
数学参考答案及评分标准
2012.1

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分，否则
一律得零分．
1． 2．79 3．2xye()xR 4．{0,1,2} 5．12

6．a与b不平行 7．40 8．11t 9．21
10．1441 11．（理）0.94（文）3 12．0.27，78
13．1532x（满足01b的b均可） 14．(,4)(9,)
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，选对得5分，否则一律得零分．
15．B 16．D 17．C 18．D
三、解答题（本大题满分74分）
19．（本题满分12分）
由2cosabC及正弦定理，得sin2sincosABC，又()ABC，
可化为sin()2sincosBCBC，展开整理得sin()0BC，（4分）
在三角形中得0BC，即BC，可得bc，（6分）
于是由3bca，得23ba，因此1cos23aCb，（8分）

可得22sin3C，（10分）
故42sinsin(2)2sincos9ACCC．（12分）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10
分．
（1）由题意，(0)(0)fg，即||1a，又0a，故1a．（4分）
（2）()()()|1||1|hxfxbgxxbx，其定义域为R，（8分）
()|1||1||1||1|hxxbxxbx
．

若()hx为偶函数，即()()hxhx，则有1b，此时(2)4h，(2)4h，
故(2)(2)hh，即()hx不为奇函数；
若()hx为奇函数，即()()hxhx，则1b，此时(2)2h，(2)2h，
故(2)(2)hh，即()hx不为偶函数；
综上，当且仅当1b时，函数()hx为偶函数，且不为奇函数，（10分）
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当且仅当1b时，函数()hx为奇函数，且不为偶函数，（12分）
当1b时，函数()hx既非奇函数又非偶函数．（14分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）由题意，可设ABkBC，（2分）
将ABOBOAtba，11()33BCOCOBatb代入上式，

得1()33ktbaaktb，解得3k，12t．（6分）
（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则(1,0)D，13(,)22E．
设POD（03≤≤），则(cos,sinP，由OPxODyOE，得
1cos2xy，3
sin2y
，于是2sin3y，1cossin3x，（10分）

于是cos3sin2sin()6xy，
故当3时，xy的最大值为2．（14分）
另解：设POD（03≤≤），由OPODxODODyOEOD，
OPOExODOEyOEOE

，可得1cos2xy，1cos()32xy，

于是2[coscos()]2sin()36xy，
故当3时，xy的最大值为2．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分7分．
（1）1[1(1)][1(1)]22nnnaba或|sin||cos|22nnnaab等．（3分）

（2）当31nk时，1()3nnSabca；（5分）
当32nk时，2()3nnSabcab；（7分）
当33nk时，()3nnSabc（kN）．（9分）
（3）由题意，0，应有23，得23，（10分）
于是2sin()3nbAnB，
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把12b，212b，31b代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)ABABAB（12分）
由(1)(2)可得3cos2A，再代入(1)的展开式，可得5sin24AB，与(3)联立
得12B，（13分）
3sin2A，于是tan3，因为||2，所以3

，（14分）

于是可求得3A．（15分）
故213sin()332nnb（*nN）

或写成213sin[(31)]332nnbk（kZ,*nN）．（16分）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，
第3小题满分6分．
（1）当1t时，1()111xfxxx．
图像如图（2分）
基本性质：（每个2分）
奇偶性：既非奇函数又非偶函数；
单调性：在(,1)和(1,)上分别递增；
零点：0x；
最值：无最大、小值．（6分）
（2）111nntatnnt，
当1[]nt≤≤，*nN时，数列单调递增，且此时na均大于1，
当[]1nt≥，*nN时，数列单调递增，且此时na均小于1，（8分）

因此，数列中的最大项为[][]1[]tttatt，（10分）

最小项为[]1[]21[]tttatt．（12分）
（3）（理）由题意，1()xtfxttx在R中无实数解，
亦即当xt时，方程2(1)1txtt无实数解．（14分）
由于xt不是方程2(1)1txtt的解，（16分）

O
x
y
1
1
1
1
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因此对任意xR，使方程2(1)1txtt无实数解，则1t为所求．（18分）
（文）根据题意，只需当xt时，方程()fxx有解，
亦即方程2(1)10xtxt有不等于t的解，（14分）
将xt代入方程左边，得左边为10，故方程不可能有xt的解．（16分）
由2(1)4(1)0tt≥，解得3t≤-或1t≥，
即实数t的取值范围是(,3][1,)．（18分）