一类奇异非线性分数阶微分方程组正解的存在性与唯一性

合集下载

一类高阶奇异非线性微分方程组边值问题正解存在性和多重性

ｒ
ｌ（５—１ｐ（）＜＋一，５）ｓｉ＝１２，
（）极限
ｌｍｍｉａｎ
—
ｉ＝ｌｍ扣ｍｉｎ号
一
＝ —ｍｍｉｌｉ ÷￡乓ｎ詈
，
ｉ＝ｌｍ扣ｍａｎ｝ห้องสมุดไป่ตู้
一
，
＝
寻
＝画
旭画：
，
ＬｎｊｎＩＷａ－ｕ（ｐｒｅｔｆＭａｈｍａｉ，ｏｇｏｇＵｉｒｔ，ｉｇａｇ７５０ＧｎｕＣｉａＤｅａｔｎｏｔｅｔＬｎｄｎｎｖｓｙＱｎｙｎ４００，ａｓ，ｈｎ）ｍｃｅｉ
Ａｂｔａｔ：Ｉｈｓｐｐｒｙａｐｙｎｈｅｆｘｄｐｉｔｔｅｒｍ，ｗｅｓｕｙｔｅｅｉｔｎｅｏｏｉｉｅｓｌｔｏｓｓｒｃｎｔｉａｅ，ｂｐｌｉｇｔｅｏｎｈｏｅｉｔｄｈｘｓｅｃｆｐｓｔｖｏｕｉｎ０ｆ２ｐ一２ｑｏｄｒｄｆｅｅｔｌｅｕｔｏｙｔｍｓｗｉｗｏｄｆｒｎｒｍｅｅｓｒｅｉｒｎｉｑａｉｎｓｓｅｔｔｉｅｅｔｐａａｔｒ，ｗｅｓｏｔｔｔｅｓｓｅａｆａｈｆｈｗｈａｈｙｔｍｓｈｓ
错目正解及多解的存在Ｉ：生
ｔ ∈ （１０，）
（１【＝Ａｔｕｔｖｔ）一））ｆ（，（），（），
｛ ’，（（，） ∈ｏ）Ｉ，＝ｇ，）（，（１（（ｔＭ ‘、ｔ） ‘ ＝２／ｉ１ｒ）、－＿），

非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性

非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性：
1、问题概述
非线性分数阶微分方程（nonlinear fractional differential equation）边值问题（boundary value problem）指定考虑函数在一定区域内满足一个分数阶微分方程系统以及该区域边界一些条件的问题。

它的研究与现实中相关的问题有很大的关联，拟和计算的精度主要取决于该正解的存在性和唯一性。

2、开展研究
由于非线性分数阶微分边值问题的存在性和唯一性的研究关系到研究的实际意义，因此，近年来，微分方程学家围绕该问题开展了深入探讨和研究。

根据数学技巧和研究结果，针对非线性分数阶微分边值问题，提出了一系列有效方法，形成一套完整的存在性理论，以帮助解决非线性分数阶微分边值问题。

3、理论研究
在理论研究中，研究者首先提出了分数阶系统周期或非周期微分边值问题的存在性，发现分数阶系统微分边值问题的存在性密切依赖于其边值条件的满足程度，并利用契约技术确定具体的边界条件。

研究者又进一步提出了重叠解和多重解的存在性，提出了不等式定理来证明其在有限区域内存在正解，以及足够条件以确定分数阶系统存在唯一正解，在研究遇到激烈反对的情况下，提出非线性的存在性，以帮助研究者准确直观地确定问题的解等。

一类非线性分数阶微分方程正解的存在性

(1)对于 ∀t,s ∈ [0,1],λ ≠k+1,有 G(0,s)=G(t,1)=0;
(2)对于 ∀s ∈ [0,1],有 G(1,s)=0当且仅当λ =0;
(3)对于 ∀s ∈ (0,1),有 G(1,s)>0当且仅当λ ∈ (0,k+1);
(4)对于 ∀t ∈ (0,1),有 G(t,0)>0当且仅当λ ∈ [0,k+1);
定理1 算子 T:P → P 是全连续的.
证明首先证明 T(P)⊂ P.由函数G(t,s)和f(t,u(t))在其定义域内的连续性和非负性可知,若
∑ ∫ ∑ u(t)=
-Iαy(t)+
n i=0
ui(i)!(0)ti
=
-
t 0
(tΓ-(sα))α-1y(s)ds+
n i=0
ui(i)!(0)ti.
由条件u(0)=u′(0)= … =u(k-1)(0)=u(k+1)(0)= … =u(n)(0)=0,可得
∫ u(t)=-
t 0
(tΓ-(sα))α-1y(s)ds+u(k)(0)tk ;
10tkα(Γ1- (αs))αy(s)ds+
∫ λ
k +1-λ
1tk
0
(1Γ-(αs))α-1y(s)ds=
∫ ∫ -
t 0
(tΓ-(sα))α-1y(s)ds+
1 0
(k
+1)tk(1-s)α-1(α -λ (k +1-λ)αΓ(α)
+λs)y(s)ds=
10
吉首大学学报 (自然科学版 )
.
引理3[7] 设n <α <n +1,n ≥2且n ∈ N,λ ≠k+1.若y(t)∈ C[0,1],则

非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性

非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性代群;李辉来;孙艳;高瑞梅【摘要】Using the fixed point theorems of increasing operator and the fixed point theorem of cone expansion and cone compression ,we studied the positive solutions of a class of multi-order fractional differential equations ,and obtained the existence of positive solutions of the equations .%应用增算子不动点定理和锥拉伸压缩不动点定理研究一类非线性多阶分数阶微分方程组的正解,得到了该方程组正解的存在性.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】非线性方程组;Caputo分数阶导数;正解;不动点定理【作者】代群;李辉来;孙艳;高瑞梅【作者单位】长春理工大学理学院 ,长春130022;吉林大学数学学院 ,长春130012;长春理工大学理学院 ,长春130022;长春理工大学理学院 ,长春130022【正文语种】中文【中图分类】O175.1分数阶微分方程在物理学、化学、工程学等领域应用广泛[1-4]. 文献[5-8]应用不动点定理研究了非线性微分方程正解的存在性和唯一性; Alsaedi等[9]研究了如下非线性时间分数阶微分方程组解的存在性和爆破解问题：本文考虑如下非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性问题：(1)其中:c,c(i=1,2,…,n; j=1,2,…,m)是Caputo分数阶导数; u>0, v>0, p,q,r,s是正实数.1 预备知识定义1[3-4] 函数y: (0,+∞)→的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为其中等式右端在(0,+∞)内有定义.定义2[3-4] 具有n阶连续导数的函数y: (0,+∞)→的α>0阶Caputo分数阶导数定义为.定义3[3-4] 设K为Banach空间E中的一个闭锥, 在E中偏序≤定义为：对于x,y∈E, 如果y-x∈K, 有x≤y, 则称(E,K)为一个偏序Banach空间.定义4[3-4] 对于x,y∈E, 偏序区间〈x,y〉定义为〈x,y〉={z∈E: x≤z≤y}.引理1[3-4] 设(E,K)是一个偏序Banach空间, x0,y0∈K, x0≤y0, F: 〈x0,y0〉→〈x0,y0〉是一个增算子, 且Fx0≥x0, Fy0≤y0. 如果F是一个连续紧算子, 并且K是一个正规锥, 则F在〈x0,y0〉中有一个不动点.引理2[3-4] 设(E,K)是一个偏序Banach空间, U1,U2为E中开集, 0∈U1⊂⊂U2, 且是全连续算子. 若下列条件之一成立：1) ‖Fu‖≤‖u‖, u∈K∩∂U1, 且‖Fu‖≥‖u‖, u∈K∩∂U2;2) ‖Fu‖≥‖u‖, u∈K∩∂U1, 且‖Fu‖≤‖u‖, u∈K∩∂U2.则F有一个不动点.设空间X={u(t): u(t)∈C1[0,1]}, 在X中定义范数‖u‖=max{|u(t)|>: t∈[0,1]}.令K={u(t)∈X: u(t)≥0, 0≤t≤1}.显然, K是一个正规锥.2 主要结果引理3 方程组(1)等价于如下积分方程组:(2)(3)证明：用算子同时作用于方程组(1)第一个方程的两边, 得从而同理可得方程(3).算子F,G: K→K定义为引理4 设M是锥K中的有界子集, 如果存在正常数L, 使得对任意的u∈M, 都有‖u‖≤L, 则是紧致子集.证明：只需证明F,G: K→K是全连续算子.首先, 证明F(M)是有界集. 令则有同理, 有因此, F(M),G(M)是有界集.其次, 证明算子F是等度连续的. 令u,v∈M, 对任意的0≤t1<t2≤1, 有|t1-t2|><δ, 则其中与t1,t2无关.同理, 可得|Gv(t1)-Gv(t2)|>≤W2|t1-t2|>Km-Km-1,其中W2与t1,t2无关. 因此, F,G是等度连续算子. 由Arzela-Ascoli定理可知是紧致集.引理5 u′<0, v′<0.证明：对方程(2)两边同时求t的导数, 有同理, 有v′<0.定理1 如果存在满足则方程组(1)有正解.证明：只需证明F,G有不动点即可. 由引理4, F,G是全连续算子. 对于0<u1<u2, 0<v1<v2, u1,u2,v1,v2∈K, p>0, q>0, 有从而Fu2(t)>Fu1(t). 同理可得Gv2(t)>Gv1(t). 因此, F,G是增算子. 由定理中的条件, 可得又由引理2, F,G有不动点定理2 如果存在两个正数使得∀t∈[0,1].令A=, λ=max{Sn,Km}, μ=min{Sn,Km}, φ=max{u0,v0},则方程组(1)有正解.证明：令对于u,v∈K∩∂U2, 有∀t∈[0,1].由于则因此,∀u∈K∩∂U2.同理, 有‖Gv‖≤‖v‖, ∀v∈K∩∂U2.另一方面, 对于u∈K∩∂U1, 有∀t∈[0,1].因此,∀u∈K∩∂U1.同理, ∀v∈K∩∂U1, 有‖Gv‖≥‖v‖. 又由引理2, 方程组(1)在中有不动点.3 数值实验例1 考虑分数阶微分方程组：由引理5, u′<0, v′<0, 有u(0)≥u(t)≥u(1), v(0)≥v(t)≥v(1),因此η1/2v1/5(1)≤u1/2(t)v1/5(t)≤u1/2(0)v1/5(0), η=min{1,u(1)}.又由定理2知, 该分数阶微分方程组存在正解.参考文献【相关文献】[1] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations [M]. Amsterdam: Elsevier, 2006.[2] Lakshmikantham V, Leela S, Jonnalagedda V D. Theory of Fractional Dynamic Systems [M]. Cottenham: Cambridge Scientific Publishers, 2009.[3] Lakshmikantham V, Vatsala A S. Basic Theory of Fractional Differential Equations [J]. Nonlinear Anal, 2008, 69(8): 2677-2682.[4] Sabatier J, Agrawal O P, Tenreiro M J A. Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering [M]. Dordrecht: Springer, 2007.[5] DAI Qun, LI Huilai, LIU Suli. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for a System of Multi-order Fractional Differential Equations [J]. Commun Math Res, 2016, 32(3): 249-258.[6] DAI Qun, WANG Changjia, GAO Ruimei, et al. Blowing-Up Solutions of Multi-order Fractional Differential Equations with the Periodic Boundary Condition [J]. Adv Difference Equ, 2017, 2017: 130.[7] 代群, 刘素莉, 李辉来. 非线性分数阶微分方程特征值问题正解的存在性 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(1): 1-4. (DAI Qun, LIU Suli, LI Huilai. Existence of Positive Solutions for Nonlinear Fractional Eigenvalue Problem [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(1): 1-4.)[8] 李雪梅, 代群, 李辉来. 一类奇异非线性分数阶微分方程组正解的存在性与唯一性 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(2): 157-160. (LI Xuemei, DAI Qun, LI Huilai. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for a Class of Singular Nonlinear Systems of Fractional Differential Equations [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(2): 157-160.)[9] Alsaedi A, Ahmad B, Kirane M B M, et al. Blowing-Up Solutions for a Nonlinear Time-Fractional System [J]. Bull Math Sci, 2017, 7(2): 201-210.。

一类分数阶微分方程解和正解的存在性与唯一性

设＞０ａ＋ｐ＞０若 ∈ Ｌ［，］贝ｉｔ，，１０１，０ｒＰ）：，（）？（ｔ．
弓理２ｌＥ
引理３［
引理４Ｅ
设ａ＜０ａ＋卢＜０若 ∈ ，。（１０１）贝，（）＝Ｊ（），，一Ｌ［，］，０ｔ一『口ｔ．
（ “：．，）ＵＯＤ）厂ｕ（）＝００＜＜１（，，其中Ｄ）＝Ｄｎ１Ｓ１（ —ａ一Ｏｎ一… 一ａＤ０＜ｓ一１ “，１＜ｓ … ＜５２＜＜１是标准的ＲｅａｎＬｕｉ分，ｉｎ—ｉｖｌｍｏｌｅ
数次导数，函数厂：０ｌ ×［，。）［，。）［，】０＋。一０＋。连续．０４，பைடு நூலகம்２０年陈学华利用非线性ＬｒｙＳｈｕｅ择一ｅａ．ｃａｄｒ性定理，Ａ．ａａｈｎ与Ｖｒｈａａｄｒｅｉ对ＢｂｋａｉａｓａＤｆｒａ－ｊ的结论进行了扩展和补充．ｔＧｊ
一
类分数阶微分方程解和正解的存在性与唯一性
胡雷，王晓娟，张伟光
（．１山东交通学院数理系，山东济南２０２；．５０３２山东力明科技职业学院，山东济南２０１；５１６
３济南中学，山东济南．
２００）５０１
摘
要：研究了一类非线性分数次微分方程初值问题的解的存在性、唯一性以及正解的存在
第００２月卷第期２９年１１
淮阴师范学院学报（自然科学）
ＪＵＮＬＯＵＩＩＥＣＥＳＣＬＥＥ（ａｕａＳｉｃ）ＯＲＡＦＨＡＹＮＴＡＨＲＯＬＧＮｔｌｃｅｅｒｎ

一类非线性分数阶q-差分方程正解的存在性和唯一性

D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2022.2.055 *收稿日期:2021-09-29基金项目:山东省自然科学基金(2016Z R B 01076).第一作者:胡紫寒,女,1996-,硕士研究生;研究方向:非线性分析及应用;E -m a i l :592206307@q q .c o m.通信作者:张克梅,女,1968-,博士,教授;研究方向:非线性分析及应用;E -m a i l :z h k m qo @126.c o m.一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性*胡紫寒, 张克梅(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市) 摘要:研究了一类具有分数阶q -差分的非线性边值问题,利用格林函数的性质㊁不动点定理和单调迭代方法,建立了边值问题正解的存在唯一性.关键词:分数阶q -差分;积分边值问题;混合单调算子;不动点定理中图分类号:O 177.91 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2022)02-0055-080 引言本文主要研究了以下具有分数阶q -差分的非线性边值问题D αq u (t )+f (t ,u (t ),v (t ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,u (1)=λI βq u (η)=λʏη0(η-q s )(β-1)u (s )Γq (β)d q s ,ìîíïïïïï(1)其中0<q <1,n -1<αɤn ,n ȡ3,0<ηɤ1,λ,β>0,0ɤλΓq (α)ηα+β-1Γq (α+β)<1,且f (t ,u ,v )在t =0和t =1时具有奇异性.q-差分是一门古老的学科,它可以追溯到J a c k s o n [1,2].分数阶q -差分法来自A l -S a l a m [3]和A g a r w a l [4].目前,关于q -差分的研究有很多,此方面研究已被做了大量的工作[5-7].在文献[8]中,考虑了以下分数阶q -差分S c h r öd i n ge r 方程D αqu (x )+λh (x )f (u (x ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D q u (1)=0,{(2)其中0<q <1,2<αɤ3,f ɪC ([0,ɕ),(0,ɕ)).作者通过运用单调迭代方法,得到了(2)正解的存在性.在文献[9]中,考虑了以下分数阶q -差分S c h r öd i n ge r 方程D αqu (t )+f (t ,u (t ),u (t ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D q u (1)=0,{(3)其中0<q <1,2<αɤ3,f ɪC ((0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ(0,ɕ),(0,ɕ)),且f (t ,u ,v )在v =0,t =0,1处具有奇异性.作者运用单调迭代方法得到了(3)正解的唯一性.在文献[10]中,考虑了一类带有非局部积分边值条件的非线性分数阶微分方程D α0++u (t )+p (t )f (t ,u (t ))=0,0<t <1,u (0)=u '(0)= =u (n -2)(0)=0,u (1)=λI β0+u (η)=λʏη0(η-s )(β-1)u (s )Γ(β)d s ,ìîíïïïïï(4) 第48卷第2期2022年4月曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .48 N o .2A p r .2022其中n -1<αɤn ,n ȡ3,0<ηɤ1,λ,β>0,0ɤλΓ(α)ηα+β-1Γ(α+β)<1,且D α0+是标准的R i e m a n n -L i o u v i l l e 微分算子.作者运用不动点指数理论和u 0-正算子,得到了问题(4)正解的存在唯一性.本文运用了单调迭代方法和不动点理论,在一定条件下得到了问题(1)的最小最大耦合解;并在此基础上变换条件,运用单调迭代方法得到了问题(1)正解的唯一性.关于本文,列出以下条件(H 1)f ɪC ((0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ[0,ɕ),[0,ɕ)),其中(t ,u ,v )ɪ(0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ[0,ɕ),f 关于u 是非增的,关于v 是非减的,且存在一个正实数σ>0使得对任意的r ɪ(0,1],有f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v ). (H 2)0<ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ.(H 1')设条件(H 1)中的其他条件满足,但其中σ满足0<σ<1,使得对任意的r ɪ(0,1],有f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v ). 注1.1 由条件(H 1)易知,对任意r >1,可得f (t ,r u ,r -1v )ɤr σf (t ,u ,v ).1 预备知识本节中,将介绍一些符号和引理,它们将用于相关定理的证明.定义2.1[5]设α>0,q ɪ(0,1)且f 是定义在[0,1]上的函数.则函数f 的R i e m a n n -L i o u v i l l e 型的分数阶q 积分定义为(I 0qf )(x )=f (x ),(I αqf )(x )=1Γq (α)ʏx 0(x -q t )(α-1)f (t )d qt ,α>0,x ɪ[0,1],且函数f 高阶的q 积分I nq 定义为(I 0q f )(x )=f (x ),(I n q )f (x )=I q (I n -1q f )(x ),n ɪℕ. 定义2.2[5]设α>0,q ɪ(0,1).则α阶的R i e m a n n -L i o u v i l l e 型分数阶q 导数定义为(D 0q f )(x )=f (x )(D αq f )(x )=(D m q I m -αq f )(x ),α>0,其中m 是大于或等于α的最小整数.引理2.3 设α>0且p 是一个正整数.则下面的等式成立(I αqD p qf )(x )=(D p q I αqf )(x )-ðp -1k =0x α-p +kΓq (α+k -p +1)(D k qf )(0). 引理2.4 设y ɪC ([0,1],[0,+ɕ)).则以下边值问题D αq u (t )+y (t )=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,u (1)=λI βq u (η)=λʏη0(η-q s )(β-1)u (s )Γq (β)d q s ,ìîíïïïï(5)其中αɪ(n -1,n ],n ȡ3,n ɪℕ,0<ηɤ1,λ,β>0,有唯一解u (t )=ʏ1G (t ,q s )y (s )d q s ,其中G (t ,q s )=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-q s )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη;Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-q s )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤt ɤq s ɤηɤ1;-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤηɤq s ɤt ɤ1;Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤt ɤq s ɤ1,q s ȡηìîíïïïïïïïïïïïï65 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年是边值问题(5)的格林函数,且Q =1-λΓq (α)Γq (α+β)ηα+β-1,0<Q ɤ1.证明由(5)式可知,D αqu (t )=-y (t ),再由定义2.2和引理2.3,可知u (t )=-I αqy (t )+c 1t α-1+c 2t α-2+ +c n t α-n ,由u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,可得c 2=c 3= =c n =0,将上式代入u (t )中,可得u (t )=-I αqy (t )+c 1t α-1,再由u (1)=λI βqu (η),可知c 1=11-λΓq (α)Γq (α+β)ηα+β-1(I αq y (1)-λI α+βq y (η))=1Q (I αq y (1)-λI α+βq y (η)),则可得问题(5)的解为u (t )=-I αq y (t )+1Q t α-1(I αq y (1)-λI α+βq y (η))=-1Γq (α)ʏt 0(t -q s )(α-1)y (s )d qs +t α-1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)y (s )d q s -λt α-1Q Γq (α+β)ʏη0(η-q s )(α+β-1)y (s )d q s .当t ɤη时,有 u (t )=-1Γq (α)ʏt 0(t -q s )(α-1)y (s )d qs +t α-1Q Γq (α)ʏt+ʏηt+ʏ1η()(1-q s )(α-1)y (s )d qs - λt α-1Q Γq(α+β)ʏt+ʏηt()(η-q s )(α+β-1)y (s )d qs = ʏt0-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d qs + ʏηt Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d qs + ʏ1ηΓq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d q s =ʏ10G (t ,q s )y (s )d qs .同理,当t ȡη时,有 u (t )=-1Γq (α)ʏη0+ʏtη()(t -q s )(α-1)y (s )d qs +tα-1Q Γq (α)ʏη0+ʏtη+ʏ1t()(1-q s )(α-1)y (s )d qs - λtα-1Q Γq(α+β)ʏη(η-q s )(α+β-1)y (s )d q s =ʏ10G (t ,q s )y (s )d qs .引理2.5 定义在引理2.4的格林函数G (t ,qs )满足以下性质(1)G (t ,q s )ȡ0,∀t ,s ɪ[0,1];(2)g 1(s )t α-1ɤG (t ,qs )ɤg 2(s )t α-1,∀t ,s ɪ[0,1],其中g 1(s )=ληα+β-1Q Γq (α+β)(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1){},g 2(s )=(1-q s )(α-1)Q Γq (α). 证明由0ɤλΓq (α)ηα+β-1Γq (α+β)<1,可知Γq (α+β)>λΓq (α)ηα+β-1.通过(a -b )(α)=a αᵑɕn =0a -b q na -b q α+n 和[a (t -s )](α)=a α(t -s )(α),可知(t -q s )(α-1)=t α-11-q s t æèçöø÷(α-1)ȡt α-1(1-q s )(α-1).75第2期胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性当0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη时,有G (t ,q s )Q Γq (α)Γq (α+β)=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1ȡ-Q Γq (α+β)t α-1(1-q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)ληα+β-1(1-q s )(α+β-1)t α-1ȡ(-Q +1)Γq (α+β)t α-1(1-q s )(α-1)-Γq (α)ληα+β-1(1-q s )(α+β-1)t α-1ȡΓq (α)ληα+β-1t α-1{(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)},即G (t ,qs )ȡληα+β-1Q Γq (α+β){(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)}t α-1ȡ0,且有G (t ,q s )Q Γq (α)Γq (α+β)=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1ɤΓq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1,即G (t ,qs )ɤ(1-q s )(α-1)Q Γq (α)t α-1.由此可知,当0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη时,G (t ,q s )满足其性质,其他条件下,同理可得引理2.5成立.本文中,在B a n a c h 空间E =C [0,1]中进行研究,且对任意的u ɪE ,具有范数 u =m a x t ɪ[0,1]|u (t )|,并且有E ˑE : (u ,v ) =m a x t ɪ[0,1] u , v {}.在E 中定义一个集合P 如下,P ={u |u ɪC ([0,1],[0,ɕ)),存在一个正常数0<l <1,使得l t α-1ɤu (t )ɤl -1t α-1,∀t ɪ[0,1]}.定义一个算子T :E ˑE ңE ,(T (u ,v ))(t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs .2 主要结论定理3.1 若(H 1),(H 2)成立,且存在一个正常数R >1使得r 1-σȡl -σQ Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d q s ,(6)则分数阶q -差分方程(1)有最小最大耦合解(u *,v *)ɪP ,且存在常数0<l i <1(i =1,2),∀t ɪ[0,1],使得u *(t )ɪ[l 1t α-1,l -11t α-1],v *(t )ɪ[l 2t α-1,l -12tα-1],且有单调迭代序列{u n },{v n }如下:u n (t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u n -1(s ),v n -1(s ))d qs ,其初始值为u 0(t )=0,v n(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,v n -1(s ),u n -1(s ))d qs ,其初始值为v 0(t )=R . 证明显然,易知对任意的u ,v ɪE ,有T :E ˑE ңE .下面证明算子T :P ˑP ңP 是全连续的.首先,需要证明T :P ˑP ңP .由条件(H 1)可知,算子T 关于u 是非增的,关于v 是非减的. 对任意(u ,v )ɪP ˑP ,由P 的定义可知,存在一个正常数0<l <1,使得l t α-1ɤu (t ),v (t )ɤl -1t α-1.(7)通过引理2.5㊁(7)和条件(H 1),可得 (T (u ,v ))(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ȡt α-1ληα+β-1Q Γq (α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,u (s ),v (s ))d q s ȡt α-1l σληα+β-1Q Γq(α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,s α-1,s α-1)d qs ȡl T t α-1,85 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年(T (u ,v ))(t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σt α-1Q Γq(α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs ɤl -1T t α-1,其中正常数l T 满足0<l T <m i n1,l σληα+β-1Q Γq (α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,s α-1,s α-1)d q s {},且(l T )-1>m a x1,l -σQ Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs {}.由(H 2)可知0ɤʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σQ Γq(α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ,则算子T 是良定义的.综上可知,对任意(u ,v )ɪP ,可得T (u ,v )ɪP ,即算子T :P ˑP ңP .接下来证明算子T 是全连续的.令Ω是P 上的有界集,存在一个正常数N >0,使得 u , v ɤN对任意的u ,v ɪΩ.则由引理2.5和(H 2)可知,|T (u ,v )(t )|ɤʏ10|G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))|d qs ɤl -σt α-1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ.因此可知,T (Ω)是一致有界的.当u ,v ɪΩ时,对任意的ε>0,存在δ>0使得|t 2-t 1|<δ时,有|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|<εl -σʏ1f (s ,s α-1,s α-1)d qs ,t 1,t 2ɪ[0,1].由以上条件可知|T (u ,v )(t 2)-T (u ,v )(t 1)|=ʏ10G (t 2,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d q s -ʏ10G (t 1,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤʏ10|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σʏ10|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|f (s ,s α-1,s α-1)d qs <ε,因此T (Ω)是等度连续的.则由A r z e l a -A s c o l i 定理可知,T :P ˑP ңP 是紧的.接下来证明算子T 的连续性.给出序列{u n },{v n }⊂Ω,且 u n -u 0 ң0, v n -v 0 ң0,n ңɕ时,即(u n ,v n )ң(u 0,v 0).对任意的ε>0,存在δɪ0,12æèçöø÷满足以下条件ʏδ0(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <Q Γq (α)ε6l-σ,ʏ11-δ(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d q s <Q Γq (α)ε6l -σ.由f (t ,u ,v )在t ɪ[δ,1-δ]上的一致连续性和(u n ,v n )ң(u 0,v 0),n ңɕ时,有|f (t ,u n ,v n )-f (t ,u 0,v 0)|<Q Γq (α)ε3ʏ10(1-q s )(α-1)d qs ,t ɪ[δ,1-δ].由以上条件可知T (u n ,v n )-T (u 0,v 0) ɤm a x t ɪ[0,1]ʏ10G (t ,q s )|f (s ,u n (s ),v n (s ))-f (s ,u 0(s ),v 0(s ))|d qs ɤ1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)|f (s ,u n (s ),v n (s ))-f (s ,u 0(s ),v 0(s ))|d q s ɤ95第2期胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性06曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年1QΓq(α)[ʏδ0(1-q s)(α-1)f(s,u n(s),v n(s))d q s+ʏδ0(1-q s)(α-1)f(s,u0(s),v0(s))d q s+ʏ1-δδ(1-q s)(α-1)|f(s,u n(s),v n(s))-f(s,u0(s),v0(s))|d q s+ʏ11-δ(1-q s)(α-1)f(s,u n(s),v n(s))d q s+ʏ11-δ(1-q s)(α-1)f(s,u0(s),v0(s))d q s]<ε.由上可知,算子T是连续的.综上,T是全连续算子.令P R={u|uɪP, u ɤR},其中R满足(6)式.下面证明T:P RˑP RңP R.由条件(H1)和(6)可知,(T(u,v))(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,u(s),v(s))d q sɤtα-1QΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,r u(s),r-1v(s))d q sɤrσl-σtα-1QΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,sα-1,sα-1)d q sɤrσl-σQΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,sα-1,sα-1)d q sɤR,上式意味着 T(u,v) ɤR,因此,有T:P RˑP RңP R.令u0(t)=0,v0(t)=R,定义u n(t)=T(u n-1,v n-1)(t)和v n(t)=T(v n-1,u n-1)(t),n=1,2, .由u0,v0ɪP R和T:P RˑP RңP R可知u1ɪP R,v1ɪP R.由以上定义可知u1=T(u0,v0)=T(0,R)ȡ0=u0,通过归纳可知u n+1ȡu n,u n,v nɪP R,n=1,2, .由算子T的紧性可知{u n}是相对紧集.因此,存在u*ɪP R使得u nңu*,nңɕ时.同理,v1=T(v0,u0)=T(R,0)ɤR=v0,通过归纳可知v n+1ɤv n,u n,v nɪP R,n=1,2, .由算子T 的紧性可知{v n}是相对紧集.因此,存在v*ɪP R使得v nңv*,nңɕ时.由u0ɤv0可知T(u0,v0)ɤT(v0,u0),即u1ɤv1,通过归纳,可得u nɤv n,则有u0ɤu1ɤ ɤu nɤv nɤ ɤv1ɤv0.算子T是连续的且u n(t)=T(u n-1,v n-1)(t),n=1,2, ,可得u*=T(u*,v*)当nңɕ时,且u*ɪP,u*(t)ɪ[l1tα-1,l-11tα-1],∀tɪ[0,1],且有以下单调迭代序列u n(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,u n-1(s),v n-1(s))d q s,初始值u0(t)=0.同理,由T是连续的且v n(t)=T(v n-1,u n-1)(t),n=1,2, ,可得v*=T(v*,u*)当nңɕ时,且v*ɪP,v*(t)ɪ[l2tα-1,l-12tα-1],∀tɪ[0,1],且有以下单调迭代序列v n(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,v n-1(s),u n-1(s))d q s,初始值v0(t)=R.由上可得下式成立u0ɤu1ɤ ɤu nɤ ɤu*ɤv*ɤ ɤv nɤ ɤv1ɤv0.又由u*=T(u*,v*),v*=T(v*,u*),可知(u*,v*)是算子T在PˑP上的耦合不动点.下证(u*, v*)是算子T的最小最大耦合不动点.设(u',v')是算子T在[u0,v0]ˑ[u0,v0]中的任一耦合不动点.于是u0ɤu'ɤv0,u0ɤv'ɤv0,假定n=k时,u kɤu'ɤv k,u kɤv'ɤv k,则有u k+1=T(u k,v k)ɤT(u',v')=u'ɤT(v k,u k)=v k+1,u k+1=T(u k,v k)ɤT(v',u')=v'ɤT(v k,u k)=v k+1.于是,根据归纳法,得u nɤu'ɤv n,u nɤv'ɤv n,则当nңɕ时,有u*ɤu'ɤv*,u*ɤv'ɤv*.所以, (u*,v*)是算子T的最小最大耦合不动点,则分数阶q-差分方程(1)有最小最大耦合解(u*,v*).定理3.2设(H1'),(H2)成立.则问题(1)有唯一的正解x*(t)ɪP,且对任意的u0,v0ɪP,有l i m nңɕu n=l i m nңɕv n=x*,其中u n (t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u n -1(s ),v n -1(s ))d qs ,v n (t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,v n -1(s ),u n -1(s ))d qs ,n =1,2, . 证明由(H 1')中f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v )可知T (r u ,r -1v )(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,r u (s ),r -1v (s ))d qs ȡrσʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs =r σT (u ,v )(t ),(8)由此可知T (r r -1u ,r -1r v )=T (u ,v )ȡr σT (r -1u ,r v ),即T (r -1u ,r v )ɤr -σT (u ,v ).(9)令z (t )=t α-1,通过定理3.1可知T (z ,z )ɪP .且令0<r 0<1足够小,则可得r 1-σ20z (t )ɤT (z ,z )(t )ɤr -1-σ2z (t ).令u 0=r 120z (t ),v 0=r -120z (t ),(10)且u n =T (u n -1,v n -1),v n =T (v n -1,u n -1),n =1,2, ,则有u 0,v 0ɪP ,u 0≪v 0,u 0=r 0v 0.由(8)㊁(9)和(10)式可得u 1=T (r 120z ,r -120z )ȡr σ20T (z ,z )ȡr 120z =u 0,v 1=T (r -120z ,r 120z )ɤr -σ20T (z ,z )ɤr -120z =v 0,u 1=T (u 0,v 0)ɤT (v 0,u 0)=v 1,则通过归纳可知u 0ɤu 1ɤ ɤu n ɤ ɤv n ɤ ɤv 1ɤv 0.(11)接下来,我们证明u n ȡr σn 0v n ,n =0,1,2, .(12)当n =0时,(12)式成立;假设n =k 时,(12)式也成立,即u k ȡr σk 0v k ,则有u k +1=T (u k ,v k )ȡT (r σk 0v k ,r -σk 0u k )ȡr σk +10T (v k ,u k )=r σk +10v k +1,则通过归纳总结,可知(12)式成立.由(11)式和(12)式可知,对任意的自然数n 和p *,可知0ɤu n +p *-un ɤv n -u n ɤ(1-r σn 0)v n ɤ(1-r σn 0)v 0. 由上式柯西列收敛可知,存在x *ɪP ,使得l i m n ңɕu n =l i m n ңɕv n =x *.则当u n =T (u n -1,v n -1)中n ңɕ时,可得x *=T (x *,x *)是算子T 的不动点,即x *(t )是问题(1)的正解,则存在一个正常数l *,使得l *t α-1ɤx *(t )ɤl -1*tα-1成立,其中l *ɪ(0,1),t ɪ[0,1].接下来,设y *(t )是(1)式的另一个正解,则存在一个正常数l *,使得l *t α-1ɤy *(t )ɤ(l *)-1t α-1成立,其中l *ɪ(0,1),t ɪ[0,1]成立.又因为r 0足够小,则有u 0(t )ɤy *(t )ɤv 0(t ),t ɪ[0,1],因T (y *,y *)=y *且算子T 关于u 是非增的,关于v 是非减的,通过归纳总结可知u n (t )ɤy *(t )ɤv n (t ),t ɪ[0,1].(13) 当(13)式中n ңɕ时,可得y *=x *.由上可知算子T 有唯一的不动点x *,且对任意的u 0,v 0ɪP ,有l i m n ңɕu n =l i m n ңɕv n =x *,16第2期胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性26曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年其中u n=T(u n-1,v n-1),v n=T(v n-1,u n-1),n=1,2, .综上,问题(1)在P上有唯一的正解x*(t),定理3.2成立.参考文献:[1]J a c k s o nF H.O n q-f u n c t o n s a n da c e r t a i nd i f f e r e n c e o p e r a t o r[J].T r a n sR o y S o cE d i n,1909,46(2):253-281.[2]J a c k s o nF H.O n q-d e f i n i t e i n t e g r a l s[J].Q u a r t JP u r eA p p lM a t h,1910,41:193-203.[3]A l-S a l a m W A.S o m e f r a c t i o n a l q-i n t e g r a l s a n d q-d e r i v a t i v e s[J].P r o cE d i n b M a t hS o c,1966,15(2):135-140.[4]A g a r w a lRP.C e r t a i n f r a c t i o n a l q-i n t e g r a l s a n d q-d e r i v a t i v e s[J].P r o cC a m b r i d g eP h i l o sS o c,1969,66(2):365-370.[5]F e r r e i r aR AC.P o s i t i v e s o l u t i o n s f o r a c l a s so f b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m sw i t h f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e s[J].C o m p u tM a t hA p p l,2011,61(2):367-373.[6]G o o d r i c hCS.E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s t o a f r a c t i o n a l d i f f e r e n c e e q u a t i o nw i t hn o n l o c a l c o n d i t i o n s[J].C o m p u tM a t hA p p l,2011,61(2):191-202.[7]G r a e f JR,K o n g LJ.E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s t o a h i g h e r o r d e r s i n g u l a r b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w i t h f r a c t i o n a l q-d e-r i v a t i v e s[J].F r a c tC a l cA p p lA n a l,2013,16(3):695-708.[8]W a n g G T.T w i n i t e r a t i v e p o s i t i v e s o l u t i o n s o f f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e S c h röd i n g e r e q u a t i o n s[J].A p p lM a t hL e t t,2018,76: 103-109.[9]M a o JX,Z h a oZQ,W a n g CG.T h eu n i q u e i t e r a t i v e p o s i t i v e s o l u t i o no f f r a c t i o n a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w i t h q-d i f f e r-e n c e[J].A p p lM a t hL e t t,2019,100:106002.[10]L i uSL,L iHL,D a i Q,e t a l.E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s r e s u l t s f o r n o n l o c a l i n t e g r a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s f o r f r a c t i o n a ld i f fe r e n t i a l e q u a t i o n s[J].A d vD if f e rE q u,2016(1):122.E x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r a c l a s so f n o n l i n e a r f r a c t i o n a l o r d e r q-d i f f e r e n c e e q u a t i o n sHUZ i h a n,Z HA N G K e m e i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,Q u f uN o r m a lU n i v e r s i t y,273165,Q u f u,S h a n d o n g,P R C)A b s t r a c t:T h i s p a p e r s t u d i e s a c l a s so f n o n l i n e a rb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w i t h f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e.B y e x p l o i t i n g t h e p r o p e r t i e s o fG r e e n s f u n c t i o n,f i x e d p o i n t t h e o r e m s a n dm o n o t o n e i t e r a t i v em e t h o d,t h e e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e ma r e e s t a b l i s h e d.K e y w o r d s:f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e;i n t e g r a lb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m;m i x e d m o n o t o n eo p e r a t o r;f i x e d p o i n t t h e o r e m。

一类分数阶微分方程正解的存在性

一类分数阶微分方程的正解存在性取决于其系数函数的特殊性质。

在一般情况下，一类分数阶微分方程的正解是不存在的。

然而，在特殊的情况下，如果系数函数满足特殊的连续性或可积性条件，那么这个方程就可能有正解。

在更具体的情况中，当分数阶微分方程的系数函数在第一类齐次线性微分方程的系数函数上满足可积性条件时，分数阶微分方程就有正解。

可积性的充要条件是系数函数的一阶导数存在且连续。

另一方面，如果分数阶微分方程的系数函数在第二类齐次线性微分方程的系数函数上满足连续性条件，那么这个方程就有正解.
需要注意的是，即使系数函数满足这些条件，该方程的正解也不一定唯一。

对于非齐次的分数阶微分方程，其正解的存在性和唯一性的证明要求更为严格。

通常需要对方程的系数函数和非齐次项进行更多的分析和证明。

最常见的证明方法是采用可积性和连续性理论，这些理论涉及到系数函数的导数和积分。

还有一些其他的方法，如欧拉方法和改进型欧拉方法，可用来证明分数阶微分方程的正解存在性和唯一性。

总之，分数阶微分方程的正解存在性和唯一性是个复杂的问题，需要对系数函数进行细致的分析和证明。

一类奇异分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性

一类奇异分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性原韶艳;刘衍胜【摘要】本文应用混合单调算子理论研究了一类奇异分数阶微分方程边值问题正解的存在性与唯一性。

%This paper employs the theory of mixed monotone operator to address the existence and uniqueness of the positive solutions of boundary value of a class of singular fractional-order differential equations.【期刊名称】《山东科学》【年(卷),期】2012(025)003【总页数】5页(P34-38)【关键词】正解;Caputo分数阶微分;混合单调算子;奇异性【作者】原韶艳;刘衍胜【作者单位】山东师范大学数学科学学院,山东济南250014;山东师范大学数学科学学院,山东济南250014【正文语种】中文【中图分类】O175.14Abstract∶This paper employs the theory of m ixed monotone operator to address the existence and uniqueness of the positive solutions of boundary value of a class of singular fractional-order differential equations．Key words∶positive solution;Caputo derivative;mixed monotoneoproperty;singularity分数阶微积分的发展源于1695年L'Hospital和Leibniz的书信，距今已有三百年的历史，此后许多著名的学者给出了分数阶微积分的不同定义和性质。

一类奇异非线性边界值问题正解的存在性和非唯一性

p+ 1 p
0≤x ≤Ε .
( Ρ+ 2)
M 2Ε 由引理3- 5即得到当 C < 0时, ( 1. 1) , ( 1. 2) 满足 Α > - C k 的解的存在性的证明 .
= ( = 3Ε ≤1 Ε
.
下面证明当 C < 0时, ( 1. 1) ( 1. 2) 存在另外的解 . 引理6 设 C , k 除满足引理5的条件外, 又满足定理1的条件 ( iii) , 则 ( 1. 1) , ( 1. 2) 存在另外一解, 满足0< Α < - C k , 且此解具有一个负的局部极小值点和一个正的局部极大值点 . 证明如果 Α足够小, 因 C 为负, 由引理2, g ( x ) 在某点 r ( - k < r < 0) 达到它的局部极小 ( r) ) ≤Α 值 . 在 [ - k , r ] 内考虑 ( 2. 3) , ( 2. 4) 的解 . 当 Α足够小时, 对- k ≤x ≤ r , 有 g ( x , Α . 由 g′
) > 0, 并且有解存在的最大区间, 那么在 [ - k , x 3 Α ) 内, g ( x , Α 3 ) = lim g ( x , Α ) = 0. g (x Α , Α
3 x →x Α
3 引理2 对任何 C 值和任何 Α > 0, 有 x 3 Α ≥0, 如果 C ≥0, 则有严格的不等式 x Α > 0.
p+ 1
.
( x ) < 0, 对 Α= - C k 有 0 < g ( 0, Α) ≤ ( 0 ) ≤ 0, 这蕴含当 - k ≤ x ≤ 0 时 g ′ 由 ( i) g ′ ) (Κ g ( 0, Α + 2)

一维非线性奇异问题有限元解的两种存在唯一性证明

内蒙古工业大学学报JOURNAL OF INNER M ONGOLIA第24卷　第4期UNIVERSITY OF T ECHNOLOGY Vol.24No.42005 文章编号:1001-5167(2005)04-0241-05一维非线性奇异问题有限元解的两种存在唯一性证明周凤玲1,于小平2,刘雪英1(1.内蒙古工业大学理学院数学系,呼和浩特010051;2.呼和浩特土默特中学,呼和浩特010051)摘要:讨论一维非线性奇异问题的有限元方法,用两种方法证明了弱解的存在唯一性,并给出有限元解的误差估计.关键词:加权So bolev空间;强单调半连续;Banach不动点定理中图分类号:O242.21 文献标识码:A0　引　言一维奇异稳态问题的有限元方法,已经有不少作者研究,并有一些文章给出了相应较理想的估计结果.比如,Eriksso n和T hom ee在文〔1〕中研究了奇异方程L u=-1x(x u′)′+qu=f(x)给出了L∞模估计,Jesper son D在文〔2〕中给出了一维奇异问题的加权L2-模估计和L2-模估计,李宏〔3〕和李美凤〔4〕以及李德茂,魏建强〔5〕研究了奇异非线性问题.本文旨在上述基础上,对系数奇异且右端非线性的问题,利用两种方法,给出有限元解的存在唯一性证明,并给出有限元解的误差估计.本文讨论如下一维奇异稳态问题L u=-1p(x)(p(x)a(x,u)u′)′=f(x,u),x∈(0,1)u′(0)=u(1)=0(1)其中p(0)=0,且当x∈(0,1)时,p′(x)>0对a(x,u)及f(x,u)作如下假设:1)a(x,u)∈C(I×R)且存在常数c1>0,使得0<a(x,u) c1(2)2)a u・u′∈C(I-)且存在常数c2,使得 a u・u′ c2(3)3)a(u)满足整体Lipschitz条件,即对 u,v∈R1,有a(u)-a(v) u-v (4) 4)a u・u′ 0 1+a(u) 21 c3 21, =( 0, 1)∈R2(5) 在(5)中取 =(0,1),则有　a(u) c3(6)5)f(x,u)∈L2p(I×R1)且关于u满足整体Lipschitz条件,即对 u,v∈R1,有f(x,u)-f(x,v) L u-v (7)收稿日期:2005-01-04基金项目:内蒙古自然科学基金项目(200208020104)和内蒙古工业大学校基金(X200517)资助作者简介:周凤玲(1972～),女,内蒙古巴彦淖尔盟人,内蒙古工业大学理学院讲师,硕士. 6)f (x ,t )关于t 可导,且f tc 3-1(8) 其中c 3见(5)式.1　变分问题定义加权Sobolev 空间L 2p =H 0p (I )={v ∫10p (x )v 2d x <+∞}H m p (I )={v D v ∈H 0p (I ), m }H o m p (I )={v v ∈H m p (I ),v (1)=0} 相应的范数与半范数定义为:‖v ‖0,p =(∫10p (x )v 2d x )12, v ∈L 2p (I )‖v ‖m ,p =( m ‖D v ‖20,p )12, v ∈H m p (I )v m ,p =(‖ =m ‖D v ‖20,p )12 定义V ={v v ∈H 1p (I ),v (1)=0},对 v ∈V ,用p (x )v 乘以(1)两边且在I 上积分,使用分部积分得∫10p (x )a (u )u ′v ′d x =∫10p (x )f (x ,u )v d x 令B (u ,v ,w )=∫10p (x )a (u )v ′w ′d x ,则得与(1)相应的变分问题:求u ∈V ,使得B (u ,u ,v )=(p (x )f (x ,u ),v ), v ∈V (9)对区间I -=[0,1]进行剖分:0=x 0<x 1<…<x n -1<x n =1,记I i =(x i -1,x i ),h i =x i -x i -1,i =1,2,…,n ,并设h =max 1 i n h i ,设剖分是拟一致的,即存在常数 >0,使得min 1 i n h i h,定义有限维空间V h 为V h ={v h /v h ∈C (I ),v /I i ∈P 1(x ),1 i n ,v h (1)=0}则(1)对应的近似变分问题为:求u h ∈V h ,使得B (u h ,v h ,w h )=(p (x )f (x ,u h ),v h ), v h ∈V h(10)为方便起见,以下将与u ,h 无关的常数均记为c ,仅u 与有关的常数记为c (u ).2　弱解的存在唯一性引理2.1　对 v ∈V ,有‖v ‖0,p c v 1,p引理2.2　设a (u )满足假设(1)(2)(3)(4),则对 u ,v ,w ∈V ,B (u ,v ,w )有如下性质:1) B (u ,v ,w ) c ‖v ‖1,p ‖w ‖1,p(2.1)2)B (u ,v ,v ) c v 21,p(2.2)3) B (u ,u ,w )-B (v ,v ,w ) c ‖u -v ‖1,p ‖w ‖1,p(2.3)4)B (u ,u ,u -v )-B (v ,v ,u -v ) c u -v 21,p (2.4)证明引文〔5〕中引理2.1.引理2.3　设X 为自反的Banach 空间,T :X →X ′半连续且满足强单调条件,即对 x ,y ∈X ,有(T x -Ty ,x -y )> ‖x -y ‖2成立,其中 (x )满足 (0)=0, (t )>0,(t >0)lim t →∞(t )=+∞,则T 为满射且为1-1的,详见文〔6〕.242内蒙古工业大学学报2005年定理2.4　设a (u )满足假设(1),(2),(3),(4),f (x ,u )满足假设(5),(6),则(1)存在唯一解.证明一　令A (u ,u ,v )=B (u ,u ,v )-(p (x )f (x ,u ),v ), v ∈V则由(5)得 f (x ,u ) f (x ,0) +L u从而有‖f ‖0,p c 4+c ‖u ‖0,p(2.5)对固定的u ,由(2.1),(2.5)及引理2.2,得A (u ,u ,v )B (u ,u ,v ) + (p (x )f (x ,u ),v )c ‖u ‖1,p ‖v ‖1,p +(c 4+c ‖u ‖0,p )‖v ‖1,p (c ‖u ‖1,p +c 4)‖v ‖1,p 即对固定的u ∈V ,A (u ,u ,・),是V 上的有界线性泛函,由Riesz 表示定理知,存在唯一的w ∈V ,使得A (u ,u ,v )=(w ,v )1, v ∈V 其中 (w ,v )1=∫I p (x )(w v +w ′v ′)d x令Tu =w ,则T :V →V 且A (u ,u ,v )=(T u ,v )1, u ,v ∈V 现证T u = 在V 存在唯一解,由引理2.2,只需证T 半连续且强单调即可.先证T 连续,从而半连续.设{u h } V 且满足‖u h -u ‖1,p →0,u ∈V 则由(7),(2.3)及Riesz 表示定理,得‖Tu h -T u ‖1,p =sup ‖v ‖1,p =1(T u h -T u ,v )1=sup ‖v ‖1,p =1〔A (u h ,u h ,v )-A (u ,u ,v )〕=sup ‖v ‖1,p =1〔B (u h ,u h ,v )-B (u ,u ,v )-(p (x )f (x ,u h ),v )+(p (x )f (x ,u ),v )〕sup ‖v ‖1,p=1〔 B (u ,u ,v )-B (u ,u ,v ) + p (x )(f (x ,u )-f (x ,u ),v ) sup ‖v ‖1,p=1〔c ‖u h -u ‖1,p ‖v ‖1,p +L ‖u h -u ‖0,p ‖v ‖0,p 〕c ‖u h -u ‖1,p →0因此T 连续.再证T 强单调.对 u ,v ∈V ,由(8),(2.1),(2.3),(2.4)及引理2.1,得(T u -T v ,u -v )1=A (u ,u ,u -v )-A (v ,v ,u -v )=B (u ,u ,u -v )-B (v ,v ,u -v )-(p (x )f (x ,u )-p (x )f (x ,v ),u -v )c u -v 21,p =c 5 u -v 21,pc ‖u -v ‖20,p ,其中c 5=max (c ,1)即T 强单调.由引理2.3知T u = 在V 中存在唯一解,即(9)在V 中存在唯一解.类似可证明问题(10)存在唯一解.在此基础上,可得误差估计为‖u -u h ‖0,p +h ‖(u -u h )′‖0,p c (u )h 2‖u ‖2,p 证明二　对任意固定的u ∈V ,定义映射F :V →R 为F (v )=B (u ,u ,v )显然F 是V 上的线性泛函,且由引理2.2的(2.1)可得F (v ) = B (u ,u ,v ) c ‖u ‖1,p ‖v ‖1,p即F 是V 上的有界线性泛函,而知V 是Hilbert 空间,由Riesz 表示定理,对 u ∈V , T (u )∈V ,使得(T (u ),v )V =B (u ,u ,v ), v ∈V 其中(・,・)V 表示V 中内积,其形式为243第4期周凤玲等　一维非线性奇异问题有限元解的两种存在唯一性证明(u ,v )V =∫Ip (x )(u ′v ′+uv )d x , u ,v ∈V 另一方面,显然(p (x )f ,v )是V 上有界线性泛函,再根据Riesz 表示定理,得(p (x )f ,v )=(f *,v )V从而可得B (u ,u ,v )-(p (x )f ,v )=(T (u )-f *,v )V v ∈V(2.6) 对 u ,w ∈V ,有(T (u )-T (w ),u -w )V =(T (u ),u -w )V -(T (w ),u -w )V=B (u ,u ,u -w )-B (w ,w ,u -w )c u -w 21,p ‖u -w ‖21,p(2.7) (T (u )-T (w ),v )V = B (u ,u ,v )-B (w ,w ,v ) k ‖u -w ‖1,p ‖v ‖1,p(2.8) 由于T (u ),T (w )∈V ,因此在(2.8)中令v =T (u )-T (w ),则由(2.8)可得T (u )-T (w ) 1,p k ‖u -w ‖1,p(2.9) 定义算子F :V →V 为F (u )=u - (T (u )-f *), u ∈V(2.10) 其中=k 21, <k 1 (k 1 k ) 由(2.7),(2.9)及(2.10)得‖F (u )-F (w )‖21,p =‖u -w - (T (u )-T (w ))‖21,p=(u -w - (T (u )-T (w )),u -w - (T (u )-T (w )))V=‖u -w ‖21,p -2 (T (u )-T (w ),u -w )V + 2‖T (u )-T (w )‖21,p(1-2 + 2k 21)‖u -w ‖21,p (1- 2k 21)‖u -w ‖21,p ‖u -w ‖21,p 则由Banach 不动点定理,对于算子F :F (u )=u 存在唯一解,记该解为u ,则由(2.10)得Tu =f* 再由(2.6)知,对 v ∈V ,有B (u ,u ,v )=(p (x )f ,v )即u 是(9)的唯一解.类似可证明问题(10)在中V h 存在唯一解.在此基础上,可得出误差估计为‖u -u h ‖0,p +h u -u h 1,p c (u )h 2‖u ‖2,p 参考文献:[1]　Eriksson K ,T hom ee V .G aler kin M ethods for Sing ular Bo undar y V alue Pr oblem in O ne Space Dimensio n [J ].M ath.Co mput ,1984,42(166):345～367.[2]　Jeper so n.R itz-G aler kin M ethods for Sing ular y Bo undar y V alue Pr o blem [J].SIA M J.N umer Anal,1978,15(4):813～834.[3]　李宏.一维非线性奇异问题的有限元方法[J ].内蒙古大学学报(自然科学版),1997,28(4):463～471.[4]　李美凤.一类非线性奇异问题的有限元方法[J].内蒙古大学学报(自然科学版),2000,31(1):7～11.[5]　李德茂,魏建强.非对称有限元方法[J].内蒙古大学学报(自然科学版),1994,25(1):30～34.[6]　王元明.非线性偏微分方程[M ].南京:东南大学出版社,1991,266～268.244内蒙古工业大学学报2005年T WO M ET HO DS FOR PRO VING T HE EXIST ENCEA N D U N IQ U ENESS O F N ON L IN EA R SING U LA R PROBLEM SIN ON E DIM ENSIO NZHOU Feng -ling 1,YU Xiao -ping 2,LIU Xue -y ing1(1.S chool of Science ,Inner M ong olia Univ ersity of T echnology ,H ohhot ,010051,P RC ;2.Tumote M iddle School ,H ohhot 010051,PR C ) Abstract :A class of no nlinear sing ular problems is discussed in this paper.T he existence and u-niqueness o f solutions for these pr oblem s ar e pro ved by tw o m ethods and the error estimates are giv-en .Keywords :w eighted Sobolev space;str ong ly m onotonic property and half co ntinuity;Banach ′sfix ed-po int theo rems 245第4期周凤玲等　一维非线性奇异问题有限元解的两种存在唯一性证明。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆａｃｏｕｐｌｅｄｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｔｈｅｏｒｅｍｏｎｏｒｄｅｒｅｄｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓ，ｗｅｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅ
ｓｙｓｔｅｍｏｆｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍａｎｄｏｂｔａｉｎｅｄ２ｔｈｅｏｒｅｍｓｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｓｕｃｈｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｇｕｌａｒｆｒａｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｓｙｓｔｅｍｏｆｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｏｒｄｅｒｅｄｍｅｔｒｉｃ
ｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆａｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒａｋｉｎｄｏｆｓｉｎｇｕｌａｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｒａｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＣｈａｎｇｃｈｕｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００２２，Ｃｈｉｎａ）
ｓｐａｃｅ；ｃｏｕｐｌｅｄｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔ

０引仁
分数阶微分方程在工程领域应用广泛，文献［１ — ５］运用非线性分析中的固定点理论讨论了非线性分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性；文献ｇ６］利用在有序度量空问上的不动点定理讨论了
２０１５年３月
ｄｏｉ：１０．１３４１３／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂｌｘｂ．２０１５．０２．０１
一
类奇异非线性分数阶微分方程组正解的存在性与唯一性
李雪梅，代群 ● 李辉来
第５３卷
第２期
吉林大学学报（理学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏ１．５３Ｎｏ．２
Ｍａｒ２Ｏ１５
如下分数阶微分方程正解的存在性与唯一性：
Ｄｏ＋ “（）一ｆ（ｔ， “ （￡），（）），０＜ｔ＜１， “（０）一（１）一 “ （０）一（１）一０，
其中：３＜ａ ≤４；Ｄ．ａ．＋是Ｒｉｅｍａｎｎ — Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分；ｆ：（Ｏ，１］ ×Ｃｏ，＋。。） ×［Ｏ，＋。。）一［０，＋。。）是连续的，ｌｉｍｆ（ｔ，・，・）一＋ｃｘ３，ｆ（ｔ，・，・）在ｔ ∈（０，１］内相对于第一部分是不减的，相对于第二部分是不增的．基于上述研究，本文利用有序度量空间上的耦合不动点理论讨论下列奇异非线性分数阶微
（１．吉林大学数学学院，长春１３００１２；２．长春理工大学理学院，长春１３００２２）
上的耦合不动点理论，讨论一类奇异非线性分数阶微分方程组正解摘要：基于有序度量空间了该类方程解的存在性与唯一性两个定理．的存在性与唯一性，得到关键词：奇异分数阶方程组；正解；有序度量；耦合不动点
ＩＩＸｕｅｍｅｉ，ＤＡＩＱｕｎ，ＬＩＨｕｉｌａｉ
（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００１２，Ｃｈｉｎａ；
中图分类号：Ｏ１７５．０８
文献标志码：Ａ
文章编号：１６７１ — ５４８９（２０１５）０２ — ０１５７ — ０４
ＥｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄＵｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆＰｏｓｉｔｉｖｅＳｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａＣｌａｓｓｏｆＳｉｎｇｕｌａｒＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｙｓｔｅｍｓｏｆＦｒａｃｔｉｏｎａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ