椭圆的标准方程 ppt课件(41张) 2017-2018学年高中数学 选修1-1 苏教版
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椭圆及其标准方程ppt课件
y M
F1 O F2 x
由椭圆的定义得 因为 移项，再平方
两边再平方，得 整理得
它表示焦点在x轴上的椭圆. 它表示焦点在y轴上的椭圆.
yM
F1 o F2 x
y
F2 M
ox
F1
【提升总结】
椭圆的标准方程有哪些特征呢？ （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0), 并且经过点
.求它的标准方程.
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
由椭圆的定义知
所以 又因为 ,所以
能用其他方 法求它的方
程吗？
因此, 所求椭圆的标准方程为
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为: 又∵焦点的坐标为
F(0，±c)
每个人都有潜在的能量，只是很容易： 被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消 磨.
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
通过图片我们看到，在我们所生活的世界中， 随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭 圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭 圆呢？
时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为（x,y）,点P 的坐标为（x0,y0）,则
y
．P ．M
因为点P（x0,y0）在圆
OD
x
①
把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得
从例2你能发
现椭圆与圆之
即
间的关系吗？
所以点M的轨迹是一个椭圆.
《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
人教A版高中数学选修椭圆及其标准方程PPT精品课件
O
y F2
x M F1
a2c2b2
椭圆的标准方程 y
y M
F1 O F2
x
F2
x M F1
x2y21(ab0) a2 b2
y2x21(ab0) a2 b2
焦 :F 1 ( 点 c ,0 )F 2 ,( c ,0 ) 焦 :F 1 ( 0 , 点 c )F 2 ,( 0 ,c )
a2c2b2
椭圆方程有特点 系数为正加相连
M
F1
F2
F1
F2
探究2：椭圆的标准方程
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0)
M与F1和F2的距离的和等于正常数2a
(2a>2c)
y
|M 1| F |M 2| F 2 a
M
|M 1| F(xc)2y2
|M 2| F(xc)2y2
1 36 32
当堂训练
2.写出适合下列条件的椭 圆的标准方程： （2）焦点坐标分别为（ 0,4）, (0,4), a 5;
解：由题意知 c： 4,a5
b 2 a 2 c 2 2 1 5 9 6
练一练：求曲线的方程
1.两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离平方和为26， 求点M的轨迹方程.
解：两定点分别记为点A、B，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系，得A（-3,0）、B(3,0)，设M（x,y）.
由题意 M知 A 2M ：B 2 26
y M（x,y）
MA (x3)2(y0)2 MB (x3)2(y0)2
A（-3,0）o
x B (3,0)
代入得：
《椭圆的标准方程》课件
离心率越大，椭圆越扁平；离心率越 小，椭圆越接近于圆。
椭圆的准线
定义
准线是用来描述椭圆开口方向的 直线，与椭圆相切于两个点。
性质
准线的位置和方向由椭圆的离心 率和长短轴决定。
应用
在几何学中，利用椭圆的准线性 质可以推导出很多重要的定理和 性质，如焦点和准线的关系等。
04
椭圆的画法
直接绘图法
总结词
圆的长轴长。
性质
焦点的位置由椭圆的长轴和短轴决 定，可以位于椭圆内部、外部或同 侧。
应用
在几何学中，利用椭圆的焦点性质 可以推导出很多重要的定理和性质 ，如焦点三角形的面积公式等。
椭圆的离心率
定义
椭圆的离心率是用来描述椭圆扁平程 度的数值，等于焦距与长轴长的比值 。
性质
应用
在天文、地理、工程等领域中，离心 率被广泛应用于计算和预测天体运动 轨迹、地球重力加速度等。
基础但精度有限
详细描述
使用直尺、圆规等基本工具在坐标纸上绘制椭圆，方法简单但受限于手工绘图 的精度。
利用几何画板绘图
总结词
精确且功能强大
详细描述
使用专业的几何绘图软件如“几何画板”可以绘制出精确的椭圆，并且具备丰富 的几何变换功能，适合教学和科研使用。
利用excel绘图
总结词
方便且直观
详细描述
Excel不仅用于数据处理，其绘图功能也可以用来绘制椭圆。通过在Excel中设置数据点的坐标，可以快速生成椭 圆图形，并且可以方便地进行缩放和旋转等操作。
椭圆在物理中的应用
总结词
椭圆在物理中的重要应用
详细描述
在物理中，椭圆是许多基本理论和实验的基础。例如，在量子力学、电磁学和光学等领 域，椭圆方程经常被用来描述粒子的运动轨迹、电磁波的传播路径以及光的干涉和衍射
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
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[再练一题] 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； x2 y2 (2)过点 A(3，－2)且与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 有相同焦点.
焦点在 x 轴上 标准方程 x2 y2 a2＋b2＝ 1(a>b>0)
焦点在 y 轴上 y2 x2 a2＋b2＝ 1(a>b>0)
图形
焦点坐标 (－c,0)，(c,0) a，b，c 的 关系
(0，－c)，(0，c)
b2＝a2－c2
1.判断正误： (1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2＝b2＋c2.( (2)方程 2x2＋y2＝4 表示的曲线不是椭圆.( (3)圆是椭圆的特殊形式.( ) ) ) )
x2 y2 .故所求椭圆的标准方程为15＋ 5
＝1.
y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0).
2 2 － 2 3 2 ＋ 2 ＝1 b a 依题意有 2 － 2 3 1 ＝1 2＋ 2 a b 2 a ＝5 解得 2 b ＝15
[小组合作型]
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1). 【导学号：24830026】
【精彩点拨】 解.
(1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求
.
1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”.
2.巧设椭圆方程. (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论， 也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B). x2 y2 x2 y2 (2)与椭圆a2＋b2＝1 有相同焦点的椭圆方程可设为 2 ＋ 2 ＝1. a ＋λ b ＋λ
否则不是.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.a＝5，c＝3，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为______.
【解析】 ∵a＝5，c＝3，∴b2＝25－9＝16， y2 x2 又∵焦点在 y 轴上，∴椭圆的方程为25＋16＝1.
y2 x2 【答案】 25＋16＝1
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
x2 y2 (4)方程a2＋2a＝1(a>0)，表示焦点在 x 轴上的椭圆.(
【解析】
(1)√.由椭圆方程的推导过程可知 a2＝b2＋c2.
2 2 x y (2)×.把方程 2x2＋y2＝4 化为标准形式为 2 ＋ 4 ＝1， 易知其表示的曲线是椭圆.
(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误.
2 2 x y (4)×.当 a2＞2a， 即 a＞2 时， 方程a2＋2a＝1(a＞0)才表示焦点在 x 轴上的椭圆，
x2 y2 为25＋ 9 ＝1.
x2 y2 方法二：由于椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0). ∵2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10，∴a＝5.
2 2 x y 又 c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为25＋ 9 ＝1.
x2 y2 方法三：由于椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0). 因为椭圆经过点(5,0)，所以 a＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以 c
2 2 x y ＝4，所以 b2＝a2－c2＝9，故所求椭圆的标准方程为25＋ 9 ＝1.
x2 y2 (2)方法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0).
2 2 － 2 3 2 ＋ b2 ＝1 a 依题意有 2 －2 3 1 ＋b2＝1 2 a 2 a ＝15 ， 解得 2 b ＝5
，
，因为 a＞b＞0，所以无解.
x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为15＋ 5 ＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 1 m＝15 3 m ＋ 4 n ＝ 1 依题意有 ，解得 12m＋n＝1 n＝1 5 x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为15＋ 5 ＝1.
x2 【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为a2
2 2 5 0 2 2 a ＝25， 2＋ 2＝1， y a b ＋ b2 ＝ 1(a ＞ b ＞ 0). 由题意得 解得 2 所以椭圆的标准方程 2 2 2 b ＝9， a ＝ b ＋ 4 ，
阶 段 一
2.2 2.2.1
椭圆
阶 段 三
椭圆的标准方程
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1.了解椭圆标准方程的推导过程.(难点) 2.会求椭圆的标准方程.(重点) 3.能运用椭圆的标准方程处理一些简单的实际问题.
[基础· 初探] 教材整理 椭圆的标准方程 阅读教材 P28～P29 例 1 部分，完成下列问题.