等差数列
等差数列所有公式
等差数列所有公式等差数列是一种数学表示，它由一组等间距的数字组成。
它可以用来描述几何尺寸。
它也可以用来描述数学函数，如正弦函数、余弦函数，和其他常用函数。
此外，它还可以用来求解统计和组合问题。
在这里，我们将介绍等差数列的几个常见公式。
1、定义定义：等差数列是一组有序的数字，其中每一项与它的前一项的差一定数值相等。
2、等差数列的和等差数列的和可以用以下公式表示：S = n(a1+an)/2其中：n表示数列元素的个数，a1表示等差数列中的第一个元素，an表示等差数列中的最后一个元素。
3、公差公差，一般表示为d，它是指等差数列中每一项与它的前一项的差值。
即：d=an-a14、等差数列的通项公式等差数列中的每一项可以用通项公式表示：an=a1+d(n-1)其中：a1表示等差数列中的第一个元素，d表示公差，n表示等差数列中的每一项。
5、等差数列求和(1)如果知道数列元素的个数及第一项，可以用等差数列的和公式求和。
(2)如果知道数列元素的个数及最后一项，也可以用等差数列的和公式求和。
6、等差数列的最长极限如果等差数列有正无穷无限项，那么它的最长极限可以用以下公式表示：limn→∞an=d其中：d表示等差数列的公差。
7、等差数列的总和等差数列的总和也可以用公式表示：S = n(a1+an)其中：n表示数列元素的个数，a1表示等差数列中的第一个元素，an表示等差数列中的最后一个元素。
8、等差数列的平均值等差数列的平均值可以用公式表示：a = S/n = (a1+an)/2其中：a1表示等差数列中的第一个元素，an表示等差数列中的最后一个元素，n表示等差数列中元素的个数。
9、等差数列的倒数等差数列的倒数可以用以下公式表示：1/an=1/a1+d(1/n-1)10、等差数列的商当等差数列中存在相同的元素时，可以使用以下公式计算数列中元素的商：a/b=a1/b1其中：a1表示等差数列中的第一个元素，b1表示等差数列中的最后一个元素。
等差数列常见结论
等差数列常见结论 1， 判断给定的数列{}n a 是等差数列的方法（1） 定义法：1n n a a d +-=是常数*()n N ∈⇔数列{}n a 是等差数列；（2） 通项公式法：(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列；（3） 前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ⇔数列{}n a 是等差数列；（4） 等差中项法：*212()n n n n N a a a +++=∈⇔数列{}n a 是等差数列；2， 等差数列的通项公式的推广和公差的公式：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈*(,,)n m a a d n m N n m n m -⇒=∈≠-； 3，若A 是a 与b 的等差中项2A a b ⇔=+ 4，若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列且项数相同，则{},{},{},{}n n n n n n n kb a b a b pa qb +-+都是等差数列； 5，等差数列{}n a 中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列； 6，等差数列{}n a 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列； 7， 若数列{}n a 是等差数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，反之也成立；当p q =时，2m n p a a a +=，即p m n a a a 是和的等差中项； 8， 若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ；9，若数列{}n a 的前n 项和2(,)n An Bn C A B s =++≠是常数,C 0，则数列{}n a 从第二项起是等差数列；10， 若数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，则{}n S n 也是等差数列，其首项和{}n a 的首项相同，公差是{}n a 公差的12； 11，若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，则2121n n n n a S b T --=； 12，若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++； 13， 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且234,,,m m m m S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为数列{}n a 的前m项,2m 项,3m 项,4m 项,……的和，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等差数列（等差数列的片段和性质）；14，等差数列{}n a 中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S S 奇偶，，则11S n S n +=-奇偶；若项数n 为偶数，221n n a S S a =+奇偶； 15，在等差数列{}n a 中，若公差0d >，则等差数列{}n a 为递增数列；若公差0d <，则等差数列{}n a 为递减数列；若公差0d =，则等差数列{}n a 为常数列； 16， 有关等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的最值问题：（1） 何时存在最大值和最小值① 若10,0a d ><，则前n 项和为n S 存在最大值② 若10,0a d <>，则前n 项和为n S 存在最小值（2） 如何求最值① 方法一：（任何数列都通用）通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最大值；通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值； ② 方法二：利用等差数列前n 项和n S 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和n S 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；③ 利用等差数列的相关性质求解17，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”。
等差数列的概念(一)
一、选择题
1.若等差数列的通项公式an＝4n＋1，那么公差d＝（ C ）.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2.在数列{an}中，an＝an－1＋2，且a1＝1，则数列的通项公式为（ B ）.
A. an＝2n＋1 B. an＝2n－1
C. an＝2n
D. an＝2n－2
二、填空题 1.设数列{an}的公差是3，则数列2a1，2a2，2a3，2a4的公差是 6 . 2.已知等差数列a，b，c的公差d＝3，则等差数列c，b，a公差d'＝ －3 . 3.已知等差数列{an}中，a3＝5，d＝3，则a6＝ 14 .
三、解答题
1.已知等差数列1，4，7，…，求：（1）数列的通项公式； 由题意得a1＝1， d＝3 ∴an＝1＋（n－1）×3＝3n－2 （2）28是这个数列的第几项. 28＝3n－2解得n＝10 ∴28是这个数列的第10项 2.已知等差数列{an}中a1＝3，a6＝13，求等差数列的公差d. 解：∵a6＝a1＋5d ∴13＝3＋5d 解得d＝2 3.已知等差数列{an}中d＝－3，a7＝15，求等差数列的首项a1. 解：∵a7＝a1＋6d ∴15＝a1＋6×（－3）解得3＝8，公差d＝2，则首项a2＝（ B ）.
A. 4
B. 6
C. 10
D. 12
二、填空题 1.已知等差数列9，5，1，…，则公差d＝ －4 . 2.下列数列都是等差数列，请在横线上填上适当的数字. （1）－1，1， 3 ， 5 ，7， 9 ，… （2）3，8， 13 ， 18 ，23， 28 ，… （3） 10 ，5，0， －5 ， －10 ，… （4） －15 ， －9 ，－3，3， 9 ，… （5） 2 ，2，2， 2 ， 2 ，…
等差数列的通项
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式是an=a1+（n-1）*d，其中n是项数。
另外，若首项a1=1，公差d=2。
前n项和公式为Sn=a1*n+[n*（n-1）*d]/2或Sn=[n*（a1+an）]/2。
注意，以上n均属于正整数。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述、推导的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。
— 1 —。
等差数列
练习三
1、已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的
等差中项 .
① 0，5，10，15，20，…
从第二项起，后一项与前一项的差是5。
② 48 ，53，58，63.
从第二项起，后一项与 前一项的差是5。
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5.
从第二项起，后一项与 前一项的差是-2.5。
④ 10072，10144，10216，10288，10360. 从第二项起，后一项 与前一项的差是72。
解法一: 依题意得： a1+2d=9 a1+8d=3 解之得 a1 =11
d =-1∴这个数列的通项公式是：
an=11- (n-1)=12-n 故 a12= 0, 例5 （1）已知三个数成等差数列，它们的和是
12，积是48，求这三个数.
解：设三个数为a-d，a，a+d，则
练 习 一
a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 思考：在数列
是 （4）3，3，3，3，… （1），a =？我
是
1 1 1 1 们该如何求解呢？ 不是 (5)1, , , , , 2 3 4 5
不是
100
a1=3,d=0
（6）15，12，10，8，6，…
例3 （1）在等差数列{an}中，是否有
an 1 an 1 an (n 2)? 2
（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n （n≥2），都有
等差数列所有公式大全
等差数列所有公式大全等差数列是数学中常见的一个概念，它在数学和实际生活中都有着重要的应用。
在学习等差数列时，掌握其相关公式是非常重要的。
本文将为大家详细介绍等差数列的所有公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用等差数列的知识。
1. 等差数列的定义。
在介绍等差数列的公式之前，我们先来回顾一下等差数列的定义。
等差数列是指一个数列，其中相邻两项之间的差值都相等。
换句话说，如果一个数列满足每一项与它的前一项之差都相等，那么这个数列就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式。
等差数列的通项公式是等差数列中最为重要的公式之一。
通项公式可以用来表示等差数列中任意一项的值。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示等差数列中第n项的值。
3. 等差数列的前n项和公式。
除了通项公式之外，等差数列还有一个重要的公式，那就是前n项和公式。
前n项和公式可以用来表示等差数列前n项的和。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么等差数列的前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示等差数列前n项的和。
4. 等差数列的性质。
除了上述的公式之外，等差数列还有一些重要的性质。
首先，等差数列中任意三项可以构成一个等差数列。
其次，等差数列中任意一项都可以表示为它前面的项与公差的和。
另外，等差数列中任意一项与它对称的项之和都相等。
5. 等差数列的应用。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
比如，等差数列可以用来表示物理学中的等加速度运动，经济学中的等差增长，以及工程学中的等差数列模型等。
掌握等差数列的公式和性质，可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。
总结：通过本文的介绍，我们详细了解了等差数列的所有公式，包括通项公式、前n 项和公式以及等差数列的性质和应用。
希望本文能够帮助大家更好地掌握等差数列的知识，提高数学水平，同时也能够更好地应用等差数列的知识解决实际问题。
等差数列
第5讲等差数列（1）1，2，3，4，5，6，7，8，…（2）2，4，6，8，10，12，14，16，…（3）1，4，9，16，25，36，49，…上面三组数都是数列。
数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项，第二个数叫第二项，……以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项。
项的个数叫做项数。
一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。
如等差数列：4，7，10，13，16，19，22，25，28。
首项是4，末项是28，公差是3。
这一讲我们学习有关等差数列的知识。
例题与方法：例1．在等差数列1，5，9，13，17，…，401中，401是第几项？思路点拨：丁丁：我从1，5，9，13，17，…一直数到401共101项。
机灵猴：你这样数太烦了，应从这个数列的规律入手。
求401是第几次，就是求这个等差数列的项数。
观察下图：第一项第二项第三项第四项第五项第六项第七项小麦斯：对！求401是第几项，就是求项数。
将401看作末项，1看作首项，这个数列的公差是4，即求项数的方法是：项数=（末项-首项）÷公差+1 解：（401-1）÷4+1=101答：401是第101项。
小麦斯：求项数的方法是：项数=（末项－首项）÷公差+1例2：有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层，最下面一层有多少根？思路点拨：丁丁：将每层圆木根数写出来是：5，6，7，8，9，10，…，可以看出是一组等差数列。
小麦斯：能将这一梯形堆放的圆木每层的根数抽象出等差数列是解题的关键，在这组等差数列中，已知首项是5，公差是1，项数是28，求最下面的一层有多少根就是求这个等差数列的第28项，即末项。
机灵猴：因为第2项比第1项多1根，也就是多一个公差“1”，求第28项，就是求比第一项（首项）多27个公差就可以了。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。
在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。
让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。
任意两项之差为公差的倍数。
2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。
5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。
数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。
2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。
可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。
3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。
4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。
四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。
在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。
在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。
等差数列
a1 11, d 1
a12 0
变式1：已知{a n }为等差数列， a 4 a 5 a6 a7 56, a 4 a7 187, 求a1,d
变式2：已知{an }为等差数列， a 2 a 5 a 8 9, a 3a 5a....+n=p+...+q，则
am ... an a p ... aq
注意：等式两边项数要相等。
练习1．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋ a3＋a4＋a5＝20，那么a3等于( ) A． 4 B．5 C ．6 D ．7 2．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋ a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( ) A．30 B．27 C．24 D．21 3．(2010· 全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3 ＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．14 B．21 C．28 D．35
（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数 列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
去掉前m项所构成的数列依旧是等差数列 am+1，am+2，……an是等差数列 首项为am+1，公差为d，项数为n-m
性质
1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan} 也为等差数列，公差为kd。 2、若数列{an}与{bn}为项数相同的等差数列， 则{an+bn}也为等差数列，{an-bn}也为等差数列 ，{pan+qbn}也为等差数列。
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可
以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与b的等差中项. 一个等差数列中，从第2项起，每一项 都是它的前一项与后一项的等差中项.
一个等差数列中，从第2项起，每一项
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项之间的差值都相等。
在数学中，我们常常需要求解等差数列的任意项，这就需要用到等差数列的通项公式。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则它的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ代表等差数列的第n项，n代表项数，d代表公差。
二、等差数列的推导为了更好地理解等差数列的通项公式，我们可以通过推导来证明它的有效性。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d。
根据等差数列的定义，我们可以得到：a₂ = a₁ + da₃ = a₂ + d = a₁ + 2da₄ = a₃ + d = a₁ + 3d...aₙ = a₁ + (n-1)d由此可见，等差数列的第n项可以通过首项a₁加上公差d乘以项数n减1来得到。
因此，等差数列的通项公式成立。
三、等差数列的例题例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项的值。
解析：根据通项公式aₙ = a₁ + (n-1)d，代入a₁=3，d=4，n=10，即可求解出第10项的值。
a₁₀ = 3 + (10-1)×4= 3 + 9×4= 3 + 36= 39因此，等差数列的第10项的值为39。
例题2：已知等差数列的首项为2，公差为-3，求前15项的和。
解析：由于题目要求求前15项的和，我们可以利用等差数列求和公式来计算。
等差数列求和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2代入题目所给的数据：a₁=2，d=-3，n=15，即可求解出前15项的和。
S₁₅ = (2 + (2 + (15-1)×(-3))) × 15 ÷ 2= (2 + (-40)) × 15 ÷ 2= (-38) × 15 ÷ 2= -570 ÷ 2= -285因此，等差数列前15项的和为-285。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！
个性化辅导讲义 学校： 年 级： 课时数：2 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课课题 等差数列的定义及前n项和
授课时间及时段 2019年 月 日 星期六 时段： 16:00 — 18：00 教学目标 1.掌握等差数列的定义及性质 2.掌握数列前n项和的公式并会应用 教学内容与过程
1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！
7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 【知识拓展】 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( )
1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．6 2．(教材改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A．31 B．32 C．33 D．34
3．(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于( ) A．100 B．99 C．98 D．97 4．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于( ) A．14 B．21 C．28 D．35 5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( )
A．2 B．10 C.52 D.54 (2)(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
思维升华 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63 (2)(2016·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
题型二 等差数列的判定与证明 例2 已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！
引申探究 本例中，若将条件变为a1＝35，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．
思维升华 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an
＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
(1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项为( )
A．an＝1n B．an＝2n＋1 C．an＝2n＋2 D．an＝3n
(2)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. ①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； ②求{an}的通项公式． 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！
题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质 例3 (1)(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________. (2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.
命题点2 等差数列前n项和的性质 例4 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.
(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2 018的值等于( ) A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017
思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. (1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于( ) A．58 B．88 C．143 D．176 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！
(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n－22n＋1，则a7b7等于( ) A.3727 B.3828 C.3929 D.4030
6．等差数列的前n项和及其最值 考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大. 典例1 (1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于( ) A．45 B．60 C．75 D．90 (2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.
典例2 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
1．(2016·重庆一诊)在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为( ) A．9 B．22 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！
C．24 D．32 2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )
A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱 3．(2017·佛山调研)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为( ) A．8 B．9 C．10 D．11
4．在等差数列{an}中，a9＝12a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于( ) A．24 B．48 C．66 D．132
5．已知数列{an}满足an＋1＝an－57，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为( ) A．7 B．8 C．7或8 D．8或9
*6.设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{Sn}也为等差数列，则Sn＋10
a2n
的最大值是( )
A．310 B．212 C．180 D．121
7．(2015·安徽)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
8．已知数列{an}中，a1＝1且1an＋1＝1an＋13(n∈N*)，则a10＝________. 9．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 10．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有SnTn＝2n－34n－3，则a9
b5＋b7