第11章平面直角坐标系 讲义
平面直角坐标系 课件
2．建立适当的坐标系，建系不同求得的轨迹方程也 不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的 轨迹方程最简单为目标．在求解过程中不仅要从约束条件 中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的 不等关系，并转化成 x，y 的取值范围在方程后面加以注 明．
平面直角坐标系
[知识提炼·梳理] 1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序 实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现数与形的结合． (2)坐标法解决几何问题的三步骤： 第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中 涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
(2 分) 失分警示：若漏掉建系说明或作图，各扣 1 分．
则 O1(－2，0)，O2(2，0)，设 P(x，y)．(4 分) 由已知|PM|＝ 2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆的半径均为 1， 所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)． 则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2 ＝33，(8 分)
(2)设 B 点坐标为(x，y)， 由伸缩变换 φ：x2′y′＝＝3yx，得xy＝＝213yx′′.， 由于 B′－3，12，可得 B(－1，1)．
归纳升华 与伸缩变换相关的问题的处理方法
1．已知变换前的曲线方程及伸缩变换，求变换后的 曲线方程的方法：利用伸缩变换用(x′，y′)表示(x，y)， 代入变换前的曲线方程．
[典例 2] 在平面直角坐标系下，已知伸缩变换 φ： x′＝3x， 2y′＝y.
(1)求点 A13，－2经过 φ 变换所得到的点 A′的坐标； (2)点 B 经过 φ 变换得到点 B′－3，12，求点 B 的坐 标．
《平面直角坐标系》课件PPT
（2）点A（m，n）关于y轴对称的点B（-m，n）
（3）点A（m，n）原点对称的点B （-m，-n）
1：点在坐标轴上的特点
轴上的点纵坐标为0, 轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0）
（1）、点P（m+3，m+1）在x轴上，则P点坐标为（ ）
A．（0，-2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，-4）
探究四：平面直角坐标系中，点的横、纵坐标 与该点到x轴，y轴的距离有何关系。
答：点A（a，b）到x轴的距离等于|b|，到y 轴的距离等于|a|。反过来到x轴 的距离等于
b，则其A坐标为（a，b）。到y轴的距离等于
a，则其A坐标为（ a，b）
探究五： （1）关于x轴对称的点有何特征 （2）关于y轴对称的点有何特征 （3）原点对称的点有何特征
7.1.2平面直角坐标系 （ 人教版）
沿滩一区、初回中顾数上学节说课题知展识示活点动
y
4
A
3
D2
第二象限
第一象限
Ⅱ
1
Ⅰ
-4 -3 -2 -1 -1
第三象限C -2 Ⅲ -31 ຫໍສະໝຸດ 3 4x B第四象限 Ⅳ
(1)
写出图中点A、B、C、D、E、F、G、H的 坐标．
y
建立平面直角坐标系并描出下
列各点：
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3：点到直线的距离 （1）、点M（-6，5）到x轴的距离是_____，到y轴的距离是 ______．
（2）、已知点P（x，y）在第四象限，且│x│=3， │y│=5，则点P的坐标是（ ）
A（-3，5） B（5，-3） C．3，-5） D（-5，3） （3）、已知点P(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距 离等于5，则点P的坐标是 （ ）。 （4）、已知点P的坐标（2－a，3a＋6），且点P到两 坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 （ ）。
《平面直角坐标系》优质课件
• 通过对坐标系内点的运动、距离计算等内容的讲解， 学生应能熟练掌握解题方法和技巧，提高解题速度和 准确性。
实际应用感知
• 课程结合生活实例，让学生感知平面直角坐标系在现 实生活中的应用价值，激发学生的学习兴趣和动力。
拓展阅读与学习建议
相关书籍推荐 网络资源利用 定期复习与练习
• 建议学生阅读《坐标几何学》、《解析几何学》等 相关书籍，深化对平面直角坐标系的理解，拓宽数 学视野。
坐标点位置关系
根据坐标点所在象限，可以确定其相对于原点的位置关系，如上下左右等。
坐标点的距离和中点公式
距离公式
两点间的距离可以用欧几里得距离公式计算，即sqrt((x2x1)² + (y2-y1)²)。此公式可用于计算任意两点间的距离。
中点公式
线段AB的中点M的坐标计算公式为：Mx=(x1+x2)/2， My=(y1+y2)/2。此公式可用于计算两个给定点之间的中点 坐标。
03
平面直角坐标系中的图形变换
平移变换
定义
平移变换是指将平面直角坐标系 中的图形沿着x轴和y轴方向移动 一定的距离，而不改变图形的形
状和大小。
性质
平移变换具有保距性、保角性和保 面积性等性质，同时平移变换不会 改变图形的朝向。
分类
根据平移的方向和距离，平移变换 可分为水平平移、垂直平移和斜平 移等。
）和纵坐标（y）表示。
性质
在平面直角坐标系中，任意两点 之间的距离可以通过勾股定理求 解，坐标系内点的运动规律可描
述为向量运算等。
课件的结构和内容简介
结构
本节课件分为引言、概念解析、性质探讨、应用举例和总结五个部分，逐步深入引导学生掌握平面直角坐标系的 相关知识。
平面直角坐标系 课件
＝3x2＋3y2－ 3ay＋54a2＝3x2＋3y－ 63a2＋a2≥a2， 当且仅当 x＝0，y＝ 63a 时，等号成立． ∴所求的最小值为 a2，此时 P 点的坐标为 P0， 63a，即为正三角形 ABC 的中心．
探究二 用平面直角坐标系解决实际问题 [例 2] 已知 B 村庄位于 A 村庄的正西方向 1 km 处，原计划在经过 B 村庄且沿着北 偏东 60°的方向上埋设一条地下管线 l，但在 A 村庄的西北方向 400 m 处，发现一古 代文物遗址 W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址 W 周围 100 m 范围划为 禁区．试问，埋设地下管线 l 的计划需要修改吗？
平面直角坐标系
1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点， 正方向 和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以 建立 一一对应 关系． (2)平面直角坐标系：在同一个平面上互相 垂直 且有公共原点的两条 数轴 构成平面直角 坐标系，简称为直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取_向__右__ 与 向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫作 x 轴或 横轴 ，竖直的数轴叫
[解析] 以 A 为坐标原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴、y 轴，建立如图所示 的平面直角坐标系，
则 A(0,0)，B(－1 000,0)．由 W 位于 A 的西北方向及|AW|＝400，得 W(－200 2， 200 2)．
由直线 l 过点 B 且倾斜角为 90°－60°＝30°，得直线 l 的方程是 x－ 3y＋1 000＝0.
方法二 向量法 在▱ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D， 两边平方得A→C2＝|A→C|2 ＝A→B2＋A→D2＋2 A→B·A→D， 同理得B→D2＝|B→D|2 ＝B→A2＋B→C2＋2B→A·B→C，
第11章平面直角坐标系基础知识总结与考题题型
第十一章平面直角坐标系复习指导一、本章的主要知识点（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，记作（a ，b）；注意：a、b的先后顺序对位置的影响。
（二）平面直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形；2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点。
（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。
二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数五、特殊位置点的特殊坐标：六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：•建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；•根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；•在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
七、用坐标表示平移：见下图经典例题知识一、坐标系的理解例1、平面内点的坐标是（ ）在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据．2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（ ）A 原点O 不在任何象限内B 原点O 的坐标是0C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上D 原点O 在坐标平面内知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标例1 点P 在x 轴上对应的实数是-3，则点P 的坐标是 ，若点Q 在y 轴上对应的实数是31，则点Q 的坐标是 ，例2 点P （a-1，2a-9）在x 轴负半轴上，则P 点坐标是 。
1、点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 .2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 。
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两个角相等，那么这两个角
B
C
所对的边也相等。题设是：
结论是：
添加“如果”、“那么”后，命题的 意义 不能改变，改写的句子要完整，语句
要通顺，使命题的题设和结论更明朗， 易于分辨，改写过程中，要适当增加 词语，切不可生搬硬套。
小考卷2
一、把下面的命题改写成“如果……那 么……”的形式。 1、两直线平行，同旁内角互补。 2、同圆的半径相等。 3、有两个角相等的两个三角形相似。 4、等角的补角相等。 5、圆是轴对称图形，又是中心对称图形。
拓展作业：1、过点（0，0）， （2，2）两点画直线
2、顺次连接三点A（-1，-1）， B（2，-1） C（2，5）得 到了什么图形？
华师大版九年级上24.3《命题与定理》
定义、命题与定理
试一试
观察下列图形，找出其中的平行 四边形、梯形
（1） （2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
是平行四边形的有： （2）、（3）、（5）
小考卷3
细心！
判断下列命题的真假：
1、相等的两角是对顶角。 （假）
2、若XY=0，则X=0。
（假）
3、圆的切线垂直于圆的半径。 （假） 4、等腰三角形的底角必是锐角。 （真）
5、正数与负数的和仍是负数。
（假）
6、一个数的平方必是正数。
（假）
7、一个三角形的两个角、一边和另一三角形的两个
角、一边分别相等的三角形全等。
是梯形的有： （1）、（6）
一地,能明确指出概念含义或特征的句子,称 为定义.
请给它们下定义
直角三角形: 有一个角为直角的三角形叫直 角三角形.
锐 角:
第11章 平面直角坐标系
课题：第11章 平面直角坐标系 11.1 平面上点的坐标(1)主备人：陶丰超 时间：2014-9-2教学目标：1.通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，认识平面直角坐标系原点、横轴和纵轴等.体会平面上的点与有序实数对之间的对应关系.2.认识并能画出平面直角坐标系.3.能够在给定的直角坐标系中，会由坐标描点，由点写出坐标；教学重点：正确认识平面直角坐标系，能由点写出坐标，由坐标描点.教学难点：各象限内坐标的符号及各坐标轴上点坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系.一、学前准备1.数轴:规定了______、_______、__________的_____叫做数轴 数轴上的点与______是一一对应..2.如图是某班教室学生座位的平面图,请描述小明和王健同学座位的位置______________、_________________.123(行)451 2 3 4 5 6想一想：怎样表示平面内的点的位置？(列)3. 平面直角坐标系概念：平面内画两条互相、原点的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为或，习惯上取向为正方向；竖直的数轴为或，取向为正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的.4.如何在平面直角坐标系中表示一个点:(1)以P（-2，3）为例，表示方法为：P点在x轴上的坐标为 ,P点在y轴上的坐标为，P点在平面直角坐标系中的坐标为(-2,3)，记作P（-2，3）强调：X轴上的坐标写在前面。
(2)写出点A、B、C的坐标.______________________(3)描点：G（0，1），H（1，0）（注意区别）思考归纳：原点O的坐标是(___,____), 第二象限第一象限横轴上的点坐标为（___,___）， (___,____) （___,___）纵轴上的点坐标为（__,___）注意：平面上的点与有序实数对是一一对应的.5.象限：(1) 建立平面直角坐标系后，坐标平面被坐标轴分成四部分，第三象限第四象限分别叫_________，__________，（___,___）（___,___）__________和____________。
平面直角坐标系 PPT课件
限
-5
内
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（二）点在平面内的坐标：
3叫做点M的横坐标，2叫做点M的纵坐标。合起来叫做点 M在平面的坐标，记做M（y 3，2）
N(2,3)
5
Q.
4
P(4,- 4)
3
.N
2
.M
Q(- 4,4)
.S 1
6 5 4 3 2 1O
1
R（-5，-3）
1
2
3
4
5
6
7
x
S（-2，0）
2
.R
3
T（0，--5）
在直角坐标系内画出下列各点：A（4，5），B（0，-3）
y
C（-3，-4），D（5，0），E（2. 5，-2）
5
.A
.4
P
3
2
1
.D
6 5 4 3 2 1O 1 2 3 4 5 6 7
x
C.
1
.2
3
. E
4B
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练习3：在平面直角坐标系中分别描出点
A(3,2)、B(2,3)的位置，并写出点C、D、E
水平方向的数轴称为x轴或横轴。 竖直方向的数轴称为y轴或纵轴。它们统称坐标轴。 公共原点O称为直角坐标系的原点。
第3页/共23页
平面直角坐标系 第二象限
y y轴或纵轴
6
5 4
3 第一象限
2
1 原点
x轴或横轴
-6 -5 -4 -3 -2 -1 -o1
-2
第三象限 -3
-4
1 23 4 5 6 X
第四象限
第17页/共23页
巩固练习：
1.点(3，-2)在第__四___象限;点(-1.5，-1)在第_三__象限； 点（0，3）在__y__轴上;若点(a+1，-5)在y轴上,则a=__-1_.
第11章平面直角坐标系基础知识总结与考题题型
第11章平⾯直⾓坐标系基础知识总结与考题题型第⼗⼀章平⾯直⾓坐标系复习指导⼀、本章的主要知识点（⼀）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，记作（a ，b）；注意：a、b的先后顺序对位置的影响。
（⼆）平⾯直⾓坐标系1、历史：法国数学家笛卡⼉最早引⼊坐标系，⽤代数⽅法研究⼏何图形；2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点。
（三）坐标⽅法的简单应⽤1、⽤坐标表⽰地理位置；2、⽤坐标表⽰平移。
⼆、平⾏于坐标轴的直线的点的坐标特点：平⾏于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平⾏于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
三、各象限的⾓平分线上的点的坐标特点：第⼀、三象限⾓平分线上的点的横纵坐标相同；第⼆、四象限⾓平分线上的点的横纵坐标相反。
四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数五、特殊位置点的特殊坐标：六、利⽤平⾯直⾓坐标系绘制区域内⼀些点分布情况平⾯图过程如下：建⽴坐标系，选择⼀个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正⽅向；根据具体问题确定适当的⽐例尺，在坐标轴上标出单位长度；在坐标平⾯内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
七、⽤坐标表⽰平移：见下图经典例题知识⼀、坐标系的理解例1、平⾯内点的坐标是（）在空间内要确定⼀个点的位置，⼀般需要________个数据．2、在平⾯直⾓坐标系内，下列说法错误的是（）A 原点O 不在任何象限内B 原点O 的坐标是0C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上D 原点O 在坐标平⾯内知识⼆、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标例1 点P 在x 轴上对应的实数是-3，则点P 的坐标是，若点Q 在y 轴上对应的实数是31，则点Q 的坐标是，例2 点P （a-1，2a-9）在x 轴负半轴上，则P 点坐标是。
1、点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 .2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为。
平面直角坐标系 完整版课件
1、方位角 北偏东 60
B 2、目标到点的距离
60 35海里
35海里
A
点 B 在 A 点偏 的 东 6 ， 0 北 A 点 距 3海 5离
知识点6：用坐标表示地理位置
经验总结：
（1）注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适 当，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较 居中的位置． （2）坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这 样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致． （3）要注意标明适当的单位长度． （4）有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各 地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名 称．
左右平移，横变纵不变 ；
上下平移，纵变横不变 。
知识点8：坐标系中图形的平移 （x, y b）
上移b个单位长度
左移a个单位长度 右移a个单位长度
（xa, y）
（ x, y）
（xa, y）
下移b个单位长度
（x, y b）
经验总结： 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各
个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相 应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加 （或减去）一个正数b，相应的新图形就是把 原图形向上（或向下）平移b个单位长度．
y
5 4 3
2P
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5
知识点4：特殊位置点的坐标特征 y
1、象限
5 4
M(x,y)点所处的位置
M（， ） （，）
2 1
第一象限
(,)
象限 点M在第二象限 M（， ） -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
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第11章平面直角坐标系
11．1 平面内点的坐标
知识点一平面直角坐标系中点的坐标
为了确定平面内一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O为原点．这样就建立了平面直角坐标系，这个平面叫做坐标平面．例1 如图，在平面直角坐标系内有两点A，B.
(1)分别写出它们的坐标；
(2)在平面内找出一点C，使它的坐标为(3，－5)．
知识点二平面直角坐标系中点的坐标特点
1．各象限内点的坐标的符号特点：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)．表示平面上点的坐标是一个有序实数对．
2．特殊位置点的坐标特点
(1)坐标轴上点的坐标特点
坐标轴上的点不属于任何象限，x轴上的点的纵坐标为0，记作(x，0)；y轴上的点的横坐标为0，记作(0，y)；坐标原点的横坐标、纵坐标都是0，记作(0，0)．反过来也成立，即：点(x，0)在x轴上，点(0，y)在y轴上，点(0，0)为原点．
(2)与x轴、y轴平行的直线上的点的坐标特点
过(a，b)点与x轴平行的直线上的点的纵坐标都是b，这条直线可表示为y＝b；
过(a，b)点与y轴平行的直线上的点的横坐标都是a，这条直线可表示为x＝a.
反过来也成立，即：直线y＝b上的点的纵坐标都是b，直线x＝a上的点的横坐标都是a.
3．到坐标轴的距离：P(a，b)到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|.
例2 已知点P的坐标为(a＋2，b－3)．
（1）若点P在x轴上，则b＝；
（2）若点P在y轴上，则a＝；
（3）若点P在第二象限，则a= ，b= ．
（4）若点P到x轴的距离为4，则b= ，若P到y轴的距离为4，则a= 。
知识点三坐标平面内的图形及其面积的计算
坐标平面内图形的面积问题，常常需要通过作辅助线来进行转化，转化思想是一种重要的数学思想，即把不规则的图形转化为规则的图形（割补），再利用和或差进行计算。
例3 三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(－2.5，－1)，B(1，3)，C(4，－3)，求三角形ABC的面积。
练习：
1.已知坐标平面内点M(a，b)在第一象限，那么点N(b，－a)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知点(3－m，m－1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
4.若点A(－1,0)，点B在x轴上，且AB＝5，则点B坐标为。
5.已知点P(2m＋4，m－1)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标：
(1)点P在y轴上；
(2)点P在x轴上；
(3)点P的纵坐标比横坐标大3；
(4)点P在过点A(2，－3)，且与x轴平行的直线上。
6.如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A2019的坐标是多少？
7.在如图所示的直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，C(－1,0)，则三角形ABC的面积为。
8.已知不同的两点A(－3，m)，B(n,4)．若AB∥x轴，则m＝，n的取值范围为。
9.已知点P(a+8,a-5)在坐标轴上,则a的值是.
10.已知x轴上一点A(3,0),点B在y轴上,连接AB所得的△AOB的面积为6,求点B的坐标.
11.如图QM1-9,在平面直角坐标系中,P(a,b)是△ABC的边AC上一点,△ABC经过平移后点P的对应点为P1(a+6,b+2).
(1)请画出上述平移后的△A1B1C1,并写出点A,C,A1,C1的坐标;
(2)求出以A,C,A1,C1为顶点的四边形的面积.
12.如图QM1-10,在平面直角坐标系中,一个点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),…,按此一直运动下去,则a
2014+a2015+a2016的值为()
A.1006
B.1007
C.1509
D.1511。