初中数学相似三角形的周长与面积.docx
2023年湘教版九年级数学上册第2课时 与相似三角形的周长、面积有关的性质
∴ AB AC BC k.
A
AB AC BC
∴AB kA B ，AC kA C ，BC kB C . B
C
∴C△ABC=AB+AC+BC=k(A′B′+A′C′+B′C′). A′
∵C△A′B′C′= A′B′+A′C′+B′C′，
∴ C△ABC =k. C△A B C
B′
C′
相似三角形的周长比等于相似比.
直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出
△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，BE长
为6m.
根据所测得的数据，请你计算出整个花
坛△ABC的面积.
S△CDE=10m2
CE=4m
BE=6m
求S△ABC
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB.
∴S△CDE =
CE
2
=
CE
∴ S△ABC = 2 2
S△A B C
3
4 9
，即S△ABC
4 9 S△A B C .
又 S△ABC+ S△A′B′C′ =91，
∴4 9
S△A
B
C
S△A B C
91，
∴S△A′B′C′ =63.
课堂练习
练习
1.证明：相似三角形的周长比等于相似比.
A′ A
B
C B′
C′
证明：∵△A′B′C′∽△ABC，其相似比为k，
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
相似三角形的面积与周长
5.一个四边形的各边长扩大为原来的4倍，那么这个 16 四边形的面积扩大为原来的___倍。
6.如图，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ， １：２ ＡＣ的中点，则Ｃ ：Ｃ ＝
△ＤＥＦ △ＡＢＣ
Ｓ△ＤＥＦ：Ｓ△ＡＢＣ
=
１：４
能力提高
7、在△ABC中，若点D、E分别是AB、 AC的中点，则各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？
27.2.３
相似三角形的周长与面积
对应边的比相等， 1.相似三角形有什么性质？ 对应角相等.
2.三角形中，除了角和边这两种元素 外，还有哪几种特殊的线段？
高线
角平分线
中线
相似三角形的对应边上高线有什么关系？ 已知 ： ΔABC∽ΔA'B'C' AD BC于D， A ' D ' B 'C '于D ' ，
已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k. ABC 求证: =k2 A´B´C´ A
s s
A’
D´ C D 证明： 如图AD和A´D´分别是BC，B´C´边上的高。 ∵△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为k B
AD BC k ∴ D C 1 BC AD ABC的面积 BC AD 2 k k k2 ∴ A BC的面积 1 BC A D BC A D 2
解：设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以
AE AD 80–x
A P Q E N
=
=
PN BC x
B
D M
C
因此
80
120
，得 x=48（毫米）。答：-------。
27.2.3 相似三角形的周长与面积
27.2.3 相似三角形的周长与面积（1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高的比等于相似比）（2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是32，它们的面积之比不一定是94 （3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积比要平方，反过来，由面积比求相似比要开方，如：如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．1．复习提问：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：）问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2．思考：（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？3.结论——相似三角形的性质：性质1 相似三角形周长的比等于相似比．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 k AC C B B A CA BC AB =''+''+''++． 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆．一、例题讲解例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长．例2（教材P53例6）二、课堂练习1．教材P54．1．2．填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．3．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．三、课后练习1．教材P54．3、4．2．如图，点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长︰△ABC 的周长＝ ．3．已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，（1）若32EC AE =，① 求ACAE 的值； ② 求ABC ADE S S ∆∆的值； ③ 若5S ABC =∆，求△ADE 的面积；（2）若S S A B C =∆，32EC AE =，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积；（3）若k EC AE =， 5S ABC =∆，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积．(第3题)。
人教版九年级数学下册相似三角形的周长与面积
练习
1.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍．
（1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍． 解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S S A'B'C'
A'C ' D'
C'
S四边形ABCD =k2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长 和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
1.三角形相似的判定方法有那些？ 定义三个对应角相等，三条对应边的比相等。 （不常用） 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 常 三边对应成比例的两个三角形相似。 用 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。
2. 相似三角形的有哪些性质? 相似三角形的对——应—角——相—等—, 各对应边——成——比—例—。
B
C
3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，
（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是
——————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分 别是_____________。
4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，
相似三角形的周长和面积
C
A
B
F
D
E
一、如果△ABC∽△A’B’C’，相似比为
探究
C
A
B
C’
A’
B’
，那么，其周长比
是多少？
归纳
相似三角形的性质：
相似三角形的周长比等于形似比。
二、如果两个相似多边形的相似比为k， 那么，这两个相似多边形的周长比又会 等于多少？
探究
A1
A2
A3
A4
A5
An
A1′
A2′
探究
C
A
B
D
C’
A’
B’
D’
四、如图，△ABC∽△A’B’C’，且其相 似比为k，那么，S△ABC与S △A’B’C’ 的比 会是多少？
探究
C
A
B
C’
A’
B’
D
D’
22%
40%
归纳
相似三角形的性质：
五、如果两个相似多边形的相似比为k， 那么，这两个相似多边形的面积比又会 等于多少？
探究
A1
A2
A3′
A4′
A5′
An′
归纳
相似多边形的性质：
相似多边形的周长比等于相似比。
如图，△ABC∽△A’B’C’，它们的 周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm， B’C’=24cm，求BC、AC、A’B’、 A’C’ 的长。巩固C来自ABC’
A’
B’
三、如图，△ABC∽△A’B’C’，且其相 似比为k，AD、A’D’分别是两个三角形 的高，那么，AD与A’D’比会是多少？
A3
A4
A5
An
A1′
A2′
3.4.2 第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质
2 3
,
S△ABC S△A' B 'C '
2 3
2
4， 9
即S△ABC
4 9
S△A' B 'C '.
∵ S△ABC+ S△A'B'C'=91，
∴4 9
S△A ' B 'C '
S△A ' B 'C '
91，
∴S△A'B'C'=63. 7
例3：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重 叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平 移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
S△GEC S△ABC
EC BC
2
EC 2 BC 2
G
1 2
EC 2 22
EC2 2.EC
2.
BE BC EC 2 2.
即，△ABC平移的距离为2 2. 8
AE 解：∵∠BAD=∠DAE，且AC
AD AB
3, 5
A
∴△ABC ∽△ADE . ∴它们的相似比为5：3，
E D
面积比为25：9.
又∵△ABC的面积为100 cm2 ， B
C
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
17
6. 若△ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60cm和72cm， 且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC，AC，A′B′,A′C′的长.
27[1][1].2.3相似三角形的周长和面积(cr)
4.如图，AD＝3，BD＝1，DE∥BC， DF∥AC，EG∥AB。 （1）△ADE和△EGC的相似比是 3 ∶1 ， 对应高的比是 3∶ 1 。 （2） △ABC和△DBF的相似比 4 ∶1 ，对 应角平分线的比 4 ∶1 ，对应中线的比 A 是 4 ∶1 。
D B F G E C
5.老师在电脑上画了一个六边形，上课时发 现，原来一条5厘米的边在电视屏幕上变成了 1：3 15厘米，那么电视屏幕的放大比例是___,这 个六边形的面积扩大为原来的____倍。 9
EF E1 F1
FA F1 A1
k.
相似多边形对应边成比例, 对应边的比叫做相似比
AB BC CD DE EF FA A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 E1 E1 F1 F1 A1 六边形ABCDEF 的周长 六边形A1 B1C1 D1 E1 F1的周长 k. k 等比.
2.如果把一个三角形的面积扩大为原来的9 倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （ ）
填空
1.两个相似三角形的对应高的比为3∶5，它 们的对应角平分线的比是 。
2.两个相似三角形各自的最长边分别是7cm、 5cm，它们的对应高的比是 。
3.两个相似三角形对应高的比是 4 ：9 ， 则相似比是 对应角平分线的比是 ， 周长的比是 ___,面积比是____..__
A1 B1 A2
B2
• 如果把四边形换成五边形,那 么结论又如何? ……? 换成n边形呢? 通过上面的活动,你得出了什么结论?
结论: (1)相似多边形对应对角线的比等于 相似多边形的相似比 (2)对应三角形相似,且相似比等于 相似多边形的相似比. (3)相似多边形对应三角形面积的比 等于相似多边形相似比的平方
九年级数学 《相似三角形的周长与面积》教案
“三部五环”教学模式设计《27.2.3相似三角形的周长与面积》教学设计3、如何计算两相似三角形的面积？4、面积比与相似比关系如何？5、总结所得结论并规范写出证明过程。
6、如何把四边形转化为你熟悉的三角形？7、连接对应对角线AC和A′C′后所得的对应三角形△ABC与△A’B’C’、△ADC和△A’D’C’有什么关系？为什么？8、根据相似三角形面积的性质猜想并推证两相似四边形的面积比与相似比的关系？9、类似地，两相似多边形的面积比与相似比的关系呢？首先教师启发学生连接一条对角线，把四边形转化为两个三角形，于是，四边形的面积就转化为两个三角形的面积和。
其次引导学生证明对应三角形相似。
再利用活动3得出的结论把一个三角形的面积用与它对应的三角形的面积与相似比的乘积来表示。
最后求得两个四边形的面积后，求比值，通过约分得到结论。
对于相似多边形面积比的证明，教师要强调从多边形的一个顶点引（n-3）条对角线，将多边形分割成（n-2）个三角形，证法同上。
本次活动中教师重点关注：1、学生能否顺利地通过连接对角线将四边形转化为两个三角形；2、通过点拨学生是否理解证明相似多边形的面积比时为什么应从一个顶点引出对角线；3、学生证明对应三角形相似是否熟练；4、学生是否会把相似三角形的面积比的性质灵活运用；5、学生能否类比着相似四边形的面积比的性质的证法来证明相似多边形的面积比的性质。
通过把相似多边形问题转化为三角形问题来解决，使学生体会转化思想在几何中的作用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
从相似四边形面积比性质的证明到相似多边形面积比性质的证明，进一步渗透类比的数学方法。
A’B’C’D ’ABCD举例应用练习巩固活动4运用新知：如图，在△ABC与△DEF中，DE=21AC, FD=21CB且∠C=∠D,△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积。
变式练习：1、判断：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍。
相似三角形的周长和面积
相似三角形的周长和面积性质1 相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比等于相似比。
即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 k A C C B B A CA BC AB =''+''+''++．（为什么有这一结论？） 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆． 例 1已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长．例2、已知,k b c a a c b c b a =+=+=+求k 的值例3、. 如图，AD=DF=FB ，DE//FG//BC ，且把△ABC 分成面积为S 1、S 2、S 3的三部分，则S 1：S 2：S 3=_______. .4. 已知三角形ABC 的三边长分别为5、12、13，与其相似的A B C '''△的最大边长为26，则A B C '''△的面积为 ．5. 已知△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为4，5，6，△DEF 的一边长为2，则△DEF 的周长为（ ）．（A ）7.5 （B ）6 （C ）5或6 （D ）5或6或7.56. 两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm 和12cm ．(1)若它们的周长和是120cm ，则这两个三角形的周长分别为 和 ； (2)若它们的面积差是420cm 2，则这两个三角形的面积分别为 和 ．对应练习：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．A B C D E（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．3．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．4. ABC △的三边之比为2:4:5，与其相似的另一个A B C '''△最大边长为20cm ，则A B C '''△的周长为 cm ．5. 连结三角形三边中点所构成的三角形的周长为36，并且三边长度之比为3:4:5，则原三角形的三边分别为 ．6. 一个三角形的三边分别是8cm ，6cm ，12cm ，另一个与它相似的三角形的最长边为6cm ，则它的周长为 ．7. 如果两个相似多边形的面积比为9:25，第一个多边形的周长为36，那么第二个多边形的周长为 ．8. 已知两个多边形相似，它们的面积的比为16：25，若其中一个周长为28，则另一个多边形的周长为 ．9. 两个多边形相似，相似比是3：5，则其周长之比是 ，面积之比是 ．10. 已知两个相似三角形的面积比为4∶9，那么这两个三角形对应边的比为 ．11. 已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 ．(第3题)。
相似三角形的周长与面积
①相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /， 相似比为k，它们的面积比是多少？
A D B
A/
D/ B/ C/
C
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.
三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线，角平分线， 中线
高线
角平分线
中线
②相似三角形的
A
D
B
H
C
E
G
F
AH AB 求证： k DG DE
相似三角形的相似比与对应边上高线比 有什么关系？ A
D
B
H
C
E
G
F
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
（1）如图ΔABC∽ΔDEF ，相似比为k，它们的 面积比是多少？ A
D
B
H
C
E
G
F
SABC SDEF
1 BC AH 2 k k k2 1 EF DG 2
2 ： 3 则周长比为 ，对应边上的高之比 4 ： 9 面积之比为 。
2： 3 ，
（2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4，
则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的
高线之比 3：2 。
相似三角形的周长与面积
饶建东 三岔河中学
已知：ΔABC∽ΔDEF，你可以得出哪些结论？
A B C D
E
F
A D B E C F
AB BC CA DE EF DF
相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比
即
AB BC CA k DE EF DF
ΔABC∽ΔDEF 相似 比为 k,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xx学校xx学年xx学期xx试卷
姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分
得分
一、xx题
（每空xx 分，共xx分）
试题1:
已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为
(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1
试题2:
在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6
试题3:
、分别是、的中点，则（）
A． 1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D． 2∶3
试题4:
下列说法错误的是（）
A．如果把一个三角形的各边扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍
B．相似三角形对应高的比等于对应中线的比
评卷人得分
C ．相似多边形的面积比等于周长比的平方
D．如果把一个多边形的面积扩大为原来的5倍，那么它的各边也扩大为原来的5倍
试题5:
两个相似多边形的相似比为2：3，它们的面积和为78cm2，则较大的多边形的面积为( )
A.54cm2
B.42cm2
C.56cm2
D.52cm2
试题6:
顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（）
A． B． C． D．
试题7:
如图所示，在△ABC中，DE∥BC，BD=10，DA=15，BE=8，则 EC= ，= ，
_______
试题8:
在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的最小边长是2,则另一个三角形的周长
是
试题9:
如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，AE/AC=AD/AB=3/5，已知△ABC的面积为100CM² .求四边形BCDE的面积.
试题10:
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=12，AF：FD=1：3，BF=5，CE⊥BF,于点E，交AD
于点G，求△BCE的周长.
试题1答案:
B
试题2答案: A
试题3答案:
C
试题4答案:
D
试题5答案:
A
试题6答案:
C
试题7答案:
12,
试题8答案:
9
试题9答案:
证：∵AE/AC=AD/AB=3/5, ∠A=∠A
∴△ABC∽△ADE
试题10答案:
证：∵矩形ABCD, ∴∠A＝∠E＝90°∠AFB＝∠EBC,AD=BC ∴△ABF∽△EBC
∵BC=12, AF:FD=1:3
∴AF=3
∵BF=5, ∴C△ABF=12,
∴C△ABF:C△BCE=BF:BC=5:12
∴C△BCE=144/5。