高中数学圆锥曲线与方程2_3_2双曲线的简单几何性质2学案无答案新人教A版选修2_1
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》课件
2 y2 x 1 ， 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2
2 x (2)①双曲线C1： y 2 1，左顶点 A( 2 ，， 0) 渐近线方程： 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x ， y 2x ， 4 解方程组 得 y 1， y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
3 3 3
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案：②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ，所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程，可解得 b 1 ， P( 6 ， 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16 将①式代入②，解得 m 210 .
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 ， ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质 新人教A版选修1-1
解析答案
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2). 解 设所求双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1(16－k>0，4＋k>0)， ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴136－2k2－4＋4 k＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去). ∴所求双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
∴c＝ a2＋b2＝ 16＝4.
∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4 3.
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，
顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，
渐近线方程为 y＝± 33x，离心率 e＝2.
解析答案
题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为153； 解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
当λ<0时，焦点在y轴上.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率、渐近线方程. 解 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程x92－y42＝1，即3x22－2y22＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝ 13.
答案 不一样.椭圆的离心率0<e<1，而双曲线的离心率e>1.
(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
答案 当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；
反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线， 如具有相同的渐近线 y＝±bax 的双曲线可设为ax22－by22＝λ(λ≠0，λ∈R)， 当λ>0时，焦点在x轴上，
2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线2双曲线的简单几何性质1课件新人教A版选修2
渐近线方程为
y＝±
2 2 x.
典例剖析
一.已知双曲线的方程，研究其几何性质
• 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长 、离心率和渐近线方程，并作出草图．
• [分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依 据各几何量的定义作答．
[解析] 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 即3x22－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1.
三.双曲线的离心率
已知 F1、F2 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，求 双曲线的离心率．
• [解析] 设F1(c,0)，由|PF2|＝|QF2|， ∠PF2Q＝90°，
)
B．x42－y52＝1 D．x22－ y25＝1
• [答案] B
[解析] e＝32，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5， 即双曲线的标准方程为x42－y52＝1.
4．已知双曲线ax22－y52＝1 的右焦点为(3,0)，则该双曲线的
离心率等于( )
A．3 1414
B．3 4 2
C．32
D．43
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
• 1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质 ．
• 2．能运用双曲线的性质解决一些简单的问题．
高中数学第二章圆锥曲线与方程22双曲线222双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修1
[类题尝试] 直线 l 在双曲线x32－y22＝1 上截得的弦长 为 4，其斜率为 2，求 l 的方程．
y＝2x＋m， 解：设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，由x32－y22＝1， 得 10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*) 设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由 根与系数的关系，
切或相交，不正确．(2)求双曲线的渐近线时，先将“λ” 变成“0”，然后用因式分解即得渐近线方程，正确．(3)由 等轴双曲线的定义得 a＝b，c2＝a2＋b2＝2a2，所以 离心 率 e＝ 2，正确．
(4)双曲线与虚轴无交点，只与实轴有 2 个交点，不 正确．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
(0，a)，
坐标 (a，0)
(0，－a)
性质
渐近线 离心率
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈(1，＋∞)
2.等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近 线是 y＝±x，离心率为 e＝ 2.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切
类型 1 双曲线的几何性质(自主研析) [典例 1] 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦 点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [自主解答] 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 故 a＝3，b＝2，c＝ 13. 因此顶点坐标为 A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，
[变式训练]
(2017·天
津
卷
)
已
知
双
曲
线
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选修11
2.2.2 双曲线的简单几何性质1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).(重点)2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点)[基础·初探]教材整理 双曲线的简单几何性质阅读教材P 49～P 51例3以上部分，完成下列问题. 1.双曲线的简单几何性质2.等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.其方程的一般形式为x 2－y 2＝λ(λ≠0).(2)性质：①渐近线方程为：y ＝±x . ②离心率为：e ＝ 2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线是中心对称图形.( )(2)双曲线方程中a ，b 分别为实、虚轴长.( )(3)方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .( )(4)离心率e 越大，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[小组合作型](1)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22C.1D. 2(2)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等(3)已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )【导学号：97792024】A.3＋1B.2＋1C.2 3D.2 2【自主解答】 (1)双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.(2)因为0<k <5，所以两曲线都表示双曲线，在x 216－y 25－k ＝1中a 2＝16，b 2＝5－k ；在x 216－k －y 25＝1中a 2＝16－k ，b 2＝5.由c 2＝a 2＋b 2知两双曲线的焦距相等，故选D.(3)不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ， ∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0. ∵e ＞1，∴e ＝2＋1. 【答案】 (1)B (2)D (3)B由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤[再练一题]1.(1)已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.【解析】 由双曲线x 2－y 2b 2＝1，得a ＝1，∴b1＝2，b ＝2.【答案】 2(2)求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】 将原方程转化为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133， 渐近线方程y ＝±23x .分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2).【精彩点拨】 用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.1.一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程.2.如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).[再练一题]2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：【导学号：97792025】(1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. 【解】 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).由已知得a ＝3，c ＝2， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1， ①或y 29k －x 2k＝1， ②把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.[探究共研型]探究1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？【提示】 判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x 或y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交只有一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系.探究2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？【提示】 直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1. (1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a 的取值范围； (2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a 的取值范围； (3)如果直线与双曲线没有公共点，求a 的取值范围.【精彩点拨】 将直线与双曲线方程联立用判别式Δ判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论.【自主解答】 把y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1， 整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. (1)∵直线与双曲线有两个公共点， ∴判别式Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2＞0， 且3－a 2≠0，得－6＜a ＜6，且a ≠± 3.故当－6＜a ＜6，且a ≠±3时，直线与双曲线有两个公共点. (2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－4a 2＝0，3－a 2≠0或3－a 2＝0，∴a ＝±6或a ＝± 3.故当a ＝±6或a ＝±3时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)∵直线与双曲线没有公共点， ∴3－a 2≠0，且Δ＝24－4a 2＜0. ∴a ＞6或a ＜－ 6.故当a ＞6或a ＜－6时，直线与双曲线没有公共点.1.研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解.2.直线与双曲线有三种位置关系(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点.(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点.[再练一题]3.(1)已知过点P (1,1)的直线l 与双曲线x 2－y 24＝1只有一个公共点，则直线l 的斜率k的取值为________.【解析】 设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得到(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.若4－k 2＝0，即k ＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k 2≠0，则Δ＝[－(2k －2k 2)]2－4(4－k 2)·(－k 2＋2k －5)＝0，解得k ＝52.综上可得，直线l 的斜率k 的取值为52或±2.【答案】 52或±2(2)已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0).①若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；②若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 【解】 ①当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y 得3x 2＋2x －2＝0.设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋x 2－x 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×289＝2143. ②将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2－a 2＞0，解得0＜a ＜2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∴e ＞62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫62， 2∪(2，＋∞).1.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4D.4 2【解析】 双曲线标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.【答案】 C2.下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 【解析】 双曲线x 24－y 22＝1中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62.【答案】 B3.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________.【解析】 由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.【答案】x 29－y 216＝1 4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b 2a2＝4，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝1，b 2＝4.又a ＞0，b ＞0，故a ＝1，b ＝2. 【答案】 1 25.求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程.【导学号：97792026】【解】 渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质1121数学
Q
B2
M(x,y)
b
（2) 在等 (yma轴ba0)x双 的 的曲 渐 下x2线 近 方 y线 2 为 m
A1
A2
o a
x
它与yybxx的. 位置的变化:趋势 B1
a
（3）利画用出逐渐双渐近曲(z线线hújià可的n)靠以 草近较图准．确的
ybx a
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y b x a
方程．。问：若将题目中“焦点在y轴上”改为(ɡǎi wéi)“焦点在坐标轴上”呢。2．若双曲线的离心率为2，则两条渐
近线的夹角为_________.
No
Image
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x2
y2
a2 b2 1
(a b 0)
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
范围(fànwéi)
－a
x a
(xa或 xa)
－b y b
对称性
对称轴：x 轴 ，y轴 对称轴： x 轴，y轴 对称中心 ：坐标原点 对称中心：坐标原点
顶点
(dǐngdiǎn)
(±a,0) (0,c2 a2b2
在a，b，c，e四个参数中，知二二可．求
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5．渐近线．
双曲线在第一象分 限的 内方 部程为
（1） y
b双曲 x2 线 axa222(xby2201)(a
0,b
0)
a的渐近线y为b x.
它与ybx的位置 a 关: 系
y N(x,y′)
解:由题意(tíyì)可
得
实轴长:
虚轴长:
焦点(jiāodiǎn)坐标:
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修1_1
[解析] 双曲线 C：x62－y32＝1 中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则 C 的右焦点的坐
标为(3,0)，C 的渐近线方程为 y＝± 36x，即 y＝± 12x，即 x± 2y＝0，则 C 的焦点
到其渐近线的距离
d＝
3＝ 3
3.
6．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 y＝± 3x，且双曲线过点( 2， 3)．
1．双曲线2x52 －y92＝1 的顶点坐标是( A )
A．(±5,0)
B．(±5,0)或(0，±3)
C．(±4,0)
D．(±4,0)或(0，±3)
[解析] ∵双曲线的顶点在x轴上，又a＝5，∴选A．
2．(2019·浙江卷，2)渐近线方程为 x±y＝0 的双曲线的离心率是( C )
A．
2 2
B．1
(1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的焦点到渐近线的距离．
[解析] (1)设双曲线的方程为：3x2－y2＝λ(λ≠0)，点( 2， 3)代入得 λ＝3， 所以所求双曲线方程为 x2－y32＝1.
(2)由于双曲线的方程为 x2－y32＝1，所以它的焦点为(－2，0)、(2,0)，点(－ 2,0)到直线 y＝± 3x 的距离为 d＝ |21＋3|3＝ 3.则双曲线的焦点到渐近线的距离为
1．双曲线的简单几何性质
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
双曲线方程 _____ax_22_－__by_22_＝__1_(a_>_0_，__b_>__0_) ____ ______ay_22－__bx_22_＝__1_(_a_>_0_，__b_>_0_)____
范围
___x_≤_－__a_或__x_≥_a____
C． 2 [解析] 由题意可得ba＝1，∴ e＝
浙江专版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修2
[典例] 已知方程k－x25－|k|y－2 2＝1 对应的图形是双曲线，
那么 k 的取值范围是
()
A．k>5
B．k>5 或－2<k<2
C．k>2 或 k<－2
D．－2<k<2
[解析] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0． 即k|k－|－52>>00，， 或k|k－|－52<<00，. 解得 k>5 或－2<k<2． [答案] B
设所求标准方程为1y62 －bx22＝1(b>0)， 把 A 点的坐标代入，得 b2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1． (2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝9n1＝，1， 解得mn＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1．
1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双 曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程xa22－by22＝1 或ay22－xb22＝ 1(a，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方 程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定 a2，b2 的具体数值，常根据条件列 方程求解．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的
点的轨迹是双曲线
【红对勾】高中数学 2-3-2-1 双曲线的简单几何性质课时作业 新人教A版选修2-1(1)
课时作业14 双曲线的简单几何性质时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．(2020·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．22C ．4D ．4 2解析：双曲线标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.答案：C2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m 的值为( )A ．－ 14B ．－4C ．4D .14解析：∵mx 2＋y 2＝1是双曲线，∴m<0，且其标准方程为y 2－x 21－m＝1.又∵其虚轴长是实轴长的2倍，∴－1m ＝4，即m ＝－14.答案：A3．假设双曲线x 28－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±2x，那么实数m 等于() A ．4 B ．8C ．16D ．32解析：由题意，得双曲线核心在x 轴上，且a 2＝8，b 2＝m ，∴a＝22，b ＝m.又渐近线方程为y ＝±2x，∴m 8＝4.∴m＝32. 答案：D 4．假设直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，那么a 的值能够是( ) A ．4 B ．2C ．1D ．－2解析：∵双曲线x 24－y 2＝1中，x≥2或x≤－2， ∴假设x ＝a 与双曲线有两个交点， 那么a>2或a<－2，故只有A 选项符合题意．答案：A5．设a>1，那么双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5) 解析：e ＝c a ＝b 2＋a 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2. ∵a>1，∴0<1a<1， ∴1<1＋1a<2， ∴2<e<5，应选B .答案：B6．设F 1、F 2别离是双曲线x 2－y 29＝1的左、右核心．假设P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，那么|PF 1→＋PF 2→|等于( ) A ．2 5 B .5C ．210D .10 解析：由题意，可知双曲线两核心的坐标别离为F 1(－10，0)、F 2(10，0)．设点P(x ，y)，则PF 1→＝(－10－x ，－y)，PF 2→＝(10－x ，－y)， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10.∴|PF 1→＋PF 2→|＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝2x 2＋y 2＋20＝210. 答案：C二、填空题(每题8分，共24分)7．(2020·辽宁高考)已知(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)上，C 的焦距为4，那么它的离心率为______________．解析：∵2c ＝4，∴c ＝2，那么b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，故4a 2－94－a2＝1得a 2＝1，a ＝1， ∴e ＝c a＝2. 答案：28．已知双曲线C ：x 24－y 2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，那么实数m 的取值范围是________． 解析：∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2m＝1的离心率e>2，即4＋m 4>2. ∴m>4.答案：(4，＋∞)9．(2020·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个核心与抛物线y 2＝16x 的核心相同，那么双曲线的方程为________．解析：由条件知双曲线的核心为(4,0)，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝16，b a ＝3，解得a ＝2，b ＝23，故双曲线方程为x 24－y 212＝1. 答案：x 24－y 212＝1 三、解答题(共40分)10．(10分)(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率． (2)双曲线的离心率为2，求双曲线的两条渐近线的夹角．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ， ∴b a ＝34或b a ＝43. 当b a ＝34时，e ＝54；当b a ＝43时，e ＝53. (2)∵e ＝c a ＝2，∴a 2＋b 2a ＝2即a ＝b ，∴双曲线渐近线方程为y ＝±x.∴双曲线两条渐近线的夹角为90°.11．(15分)设F 1、F 2别离是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右核心，假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，求双曲线的离心率．解：∵AF 1⊥AF 2，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2.①∵|AF 1|＝3|AF 2|，∴点A 在双曲线的右支上．那么|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，|AF 1|＝3a ，代入到①式得(3a)2＋a 2＝4c 2，c 2a 2＝104. ∴e ＝c a ＝102. 12．(15分)中心在原点，核心在x 轴上的一椭圆与一双曲线有一起的核心F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)假设P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n>0，且a>b)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝47·13a ＝3·13m ，解得：a ＝7，m ＝3，∴b＝6，n ＝2，∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2别离为左、右核心，P 是第一象限的一个交点，那么PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6， ∴PF 1＝10，PF 2＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝45， ∴sin ∠F 1PF 2＝35. ∴S△F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2＝12·10·4·35＝12.。
新课标人教A版选修2-1辅导资料—双曲线的简单几何性质(含答案)
双曲线的简单几何性质一、要点精讲1．双曲线的标准方程和几何性质2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为()022≠=-λλy x ，离心率2=e ，渐近线方程x y ±=。
3、共渐近线的双曲线系方程：与-22a x 22b y =1有相同渐近线的双曲线系方程可设为-22ax ()022≠=λλb y ，若0>λ，则双曲线的焦点在轴上；若0<λ，则双曲线的焦点在轴上。
4、共焦点的双曲线系方程：与-22ax 22b y =1焦点相同的双曲线系方程可设为()2222221,+x y k b k a a k b k -=<<-二、基础自测1.（15安徽）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 2．（2013湖北）已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．（2013课标）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =± 4.（15广东）已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B.191622=-y x C.116922=-y x D. 14322=-y x 5．（2013湖南）设F 1、F 2是双曲线C,22221x y a b-=(a >0，b>0)的两个焦点。
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2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
学习目标：能够根据渐近线方程求双曲线的方程;掌握直线与双曲线的位置关系并能解决简
单问题.
课前练习:双曲线14222yx的渐近线方程为_____
自主学习：
例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程。
(1)双曲线的渐近线方程为23yx,且过点9(,1)2M
(2)已知双曲线渐近线方程为12yx，焦距为10；
(3)与双曲线1222yx有共同渐近线,且过点(2,-2)
小结：利用待定系数法求双曲线方程时，常用结论：
(1)若双曲线的渐近线方程为byxa，则双曲线方程可设为______________________
(2)与双曲线22221(0,0)xyabab有共同渐近线的双曲线方程可设为__________________
(3) 双曲线22221(0,0)xyabab与双曲线)(1222222akbkbykax有相同的______
自主探究：直线与双曲线的位置关系
联立12222byaxmkxy
消元得:02)(222222222bamamkxaxkab
(1)当0222kab时,即abk时,直线与渐近线平行,直线与双曲线有_____个交点,位置关
系是________
(2) 当0222kab时, 即abk时,
若Δ>0, 则有____个交点,位置关系是________;
若Δ=0, 则有____个交点,位置关系是________;
若Δ<0, 则_______交点,位置关系是________.
思考:直线与双曲线有一个公共点,则直线与双曲线一定相切吗?
自主学习：
例2.已知直线y=kx+1与双曲线1322yx相交于A,B两点, 当k为何值时,以AB为直径的
圆过原点, 并求此时弦长|AB|.
自主学习：自学教材P58-60例4、例5、例6
思维拓展：双曲线的第二定义（P59例5）
2.3.2双曲线的简单几何性质(2)作业
1.双曲线6x2－2y2 = －1的两条渐近线的夹角是（ ）
A．3 B．23 C．6 D．2
2.已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=5k,则双曲
线方程为( )
A．22xa－224ya=1 B．22xa- 225ya=1
C．222214xybb D．222215xybb
3.中心在原点,离心率为35的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为
( )
A.xy45 B.xy54 C.xy34D.xy43
4.与双曲线1422yx有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线方程为
( )
A. 112322xy B. 18222xy
C. 18222yx D. 112322yx
5.直线)2(xky与双曲线1422yx有且只有一个公共点,则k的不同取值有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.直线033yx被双曲线122yx截得的弦AB的长为___________
7.过双曲线1322yx的左焦点F1,作倾斜角为6π的弦AB,则ΔABF2的面积为_________
8.若双曲线)0(14222bbyx的渐近线为xy21,则b等于__________
9.若双曲线的渐近线方程为xy3,它的一个焦点是)0,10(,则双曲线方程是
__________________
10.求与曲线2212449xy共焦点，而与曲线2213664xy共渐近线的双曲线的方程为
_________________
11.已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线方程为33yx，若顶点到渐近线的距离
为1，求双曲线方程。
12.过点A(6,1)作直线l与双曲线141622yx相交于B,C两点,且A为线段BC的中点,求直线
l
的方程.
13.已知双曲线C:22221(0,0)xyabab的离心率为3,虚轴长为22. (1)求双曲线C的
方程;
(2)已知直线0myx与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆522yx上,
求m的值.