公因式为多项式的提公司因式法
分解因式的方法与技巧
分解因式的方法与技巧分解因式是数学中的一项基本技能，它被广泛应用在代数、方程、函数及相关问题的求解中。
通过分解因式，我们可以将复杂的算式转化为更简单的形式，从而更方便地计算和解决问题。
本文将介绍一些常见的分解因式的方法和技巧。
一、提取公因式法提取公因式法是最常见且最基础的分解因式方法之一。
当一个多项式中各项有一个公共因子时，我们可以先提取出这个公因式，然后将多项式进行化简。
例如，对于多项式2x + 4xy，可以提取出公因式2，得到2(x+2y)。
二、差平方公式差平方公式是分解二次多项式的一种常见方法。
对于形如a^2 - b^2的二次多项式，我们可以将其分解为(a+b)(a-b)的形式。
例如，对于多项式x^2 - 4，可以直接使用差平方公式进行分解，得到(x+2)(x-2)。
三、完全平方公式完全平方公式是分解二次多项式的另一种常见方法。
对于形如a^2 + 2ab + b^2的二次多项式，我们可以将其分解为(a+b)^2的形式。
例如，对于多项式x^2 + 4x + 4，可以直接使用完全平方公式进行分解，得到(x+2)^2。
四、因式分解公式因式分解公式是一些特殊形式多项式的分解方法。
通过对这些特殊形式的多项式进行因式分解，可以加快计算速度。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以使用因式分解公式(x+2)(x+3)进行分解。
五、配方法配方法是一种适用于二次多项式的分解方法。
通过将二次多项式中的一项进行分解，然后进行配对，可以将其分解为两个一次多项式的乘积。
例如，对于多项式x^2 + 7x + 10，可以进行如下分解：将10分解为2和5，然后配对得到(x+2)(x+5)。
六、二次三项式的分解对于形如ax^2 + bx + c的二次三项式，可以使用二次三项式的分解公式进行分解。
例如，对于多项式x^2 + 6x + 8，可以使用二次三项式的分解公式得到(x+2)(x+4)。
综上所述，以上是一些常见的分解因式的方法和技巧。
新北师大版八年级数学下册《四章因式分解2.提公因式法公因式为多项式的提公司因式法》教案_2
4.2提公因式法第1课时提单项式因式分解导学案学习目标：1.经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式的公因式。
2.会用提取公因式法进行因式分解。
预习案：1、什么叫分解因式？2、整式乘法与分解因式之间的关系。
3、分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果：4、阅读教材P95～96内容问题1：多项式ma +mb +mc 有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？观察下列各式的结构有什么共同特点？①ax-ay ② ma +mb+mc③ 2πR + 2πr 归纳：多项式中都含有的，叫做这个多项式各项的公因式. 自学反馈：确定下列各多项式中的公因式1) a c+ b c 2)3 x2 +9xy 3) a 2 b – 2a b 2 + ab 4) 4xy2-6xy+8x 3y5、多项式中的公因式是如何确定的？探究案：例：找公因式： 3x 2y 2– 6xy 3 2 x2+ 6 x 3跟踪训练1：写出下列多项式各项的公因式：归纳总结：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式的形式，这种因式分解的方法叫做．3(2)x 7(3)x x 24(637)x x x 22(8121)ab a b b c 872x 222axy y x a 32224x x x 233642a b a b ab例1 ：将下列各式分解因式：例2 ：把9x 2－6xy+3xz 分解因式. 3a 2-9ab 用提公因式法分解因式的步骤跟踪训练2：把下列各式分解因式：例3：小颖解的有误吗？把8a 3b 2 –12ab 3 c + ab 分解因式.解：8 a 3b 2 –12ab 3c + ab= ab ·8a 2b - ab ·12b 2 c +ab ·１= ab(8a 2b - 12b 2c)跟踪训练3：把下列各式分解因式：例4：因式分解– 24x 3–12x 2+28x 跟踪训练4：把下列各式分解因式：5、提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？5、现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
2022年湘教版七下《公因式为多项式的提公因式法》公开课教案
第2课时公因式为多项式的提公因式法【知识与技能】进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.【过程与方法】进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.【情感态度】通过观察能合理地进行因式分解的推导，并能清晰地阐述自己的观点.【教学重点】能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解.【教学难点】准确找出公因式，并能正确进行因式分解.一、情景导入，初步认知上节课我们学习了用提公因式法因式分解，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.【教学说明】提高学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.以下多项式中各项的公因式是什么？(1)2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)；(2)2x(3a-b)-y(b-3a).解：(1)公因式是2m(x+1).(2)b-3a可以看做-(3a-b)，所以2x(3a-b)与y(b-3a)的公因式是3a-b.2.把以下多项式因式分解.(1)x(x-2)-3(x-2)；解：x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)(2)x(x-2)-3(2-x)；解：x(x-2)-3(2-x)=x(x-2)-3［-(x-2)］=x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(x+3).3.根据上面的例题，你能总结提公因式法分解因式的方法吗？【归纳结论】提取公因式的一般步骤：①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式.4.因式分解时应注意些什么？【归纳结论】①当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－〞号时,余下的各项都变号;②提取公因式要彻底.【教学说明】由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、比照等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力.三、运用新知，深化理解1.见教材P61例6.2.将多项式a(x-y)+2bx-2by分解因式，正确的结果是(B)A.(x-y)(-a+2b)B.(x-y)(a+2b)C.(x-y)(a-2b)D.-(x-y)(a+2b)3.以下因式分解不正确的选项是(C)2+4a2b=2ab(-b+2a)B.3m(a-b)-9n(b-a)=3(a-b)(m+3n)C.-5ab+15a2bx+25ab3y=-5a(-3ax-5b2y)2-6ay-3a=3a(y2-2y-1)4.把2(a-b)2-a+b分解因式.解：2(a-b)2-a+b=2(a-b)2-(a-b)=(a-b)［2(a-b)-1］=(a-b)(2a-2b-1)5.因式分解3x(x－2)－(2－x).解：3x(x－2)－(2－x)=3x(x－2)+(x－2)=(x－2)(3x+1)a(a－b)3+2a2(b－a)2－2ab(b－a)2.解：原式=a(a－b)3+2a2(a－b)2－2ab(a－b)2=a(a－b)2［(a－b)+2a－2b］=a(a－b)2(3a－3b)=3a(a－b)27.计算：(－2)11+(－2)10的结果是(B)A.2100B.－210C.－2D.－18.x、y都是正整数，且x(x－y)－y(y－x)=12，求x、y. 解：∵x(x－y)－y(y－x)=12∴(x－y)(x+y)=12∵x、y是正整数∴12分解成1×12，2×6，3×4又∵x－y与x+y奇偶性相同，且x－y<x+y∴26－x yx y=+=⎧⎨⎩,∴42xy==⎧⎨⎩.【教学说明】让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用.四、师生互动,课堂小结同学们，今天这节课你学会了什么？在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？1.布置作业:教材第62页“〞中第3、4题.2.完成同步练习册中本课时的练习.学生们通过本节课的学习已经能准确的找出公因式，并用提公因式法分解因式，但是在学习的过程中，我发现学生们还存在以下几个缺乏之处：1.因式分解结果的书写不符合代数式的书写标准.当结果是几个因式的积时，应把单项式写在前面，多项式写在后面.2.因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同因式的，要写成幂的形式.提公因式后，还有同类项的，一定要合并.3.提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，应该取各项系数的最大公因数.4.遇到互为相反数的因式，有的学生不能很好的处理.遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原那么：变后不变前、变偶不变奇、变少不变多.本章复习【知识与技能】对本章的内容进行回忆和总结，熟练掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.【过程与方法】釆用讨论法、练习法、尝试指导法，反思有理数的概念和有理数的运算，培养学生应用数学知识的意识，训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力.【情感态度】通过本章知识的学习，渗透数形结合的思想、辩证唯物主义思想，使学生学会如何归纳知识，反思自己的学习过程.【教学重点】回忆本章知识，构建知识体系.【教学难点】有理数的运算.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回忆本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回忆边建立知识框图.二、释疑解惑，加深理解1.理解根本概念要注意的一些问题：〔1〕对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+〞号的数是正数，带“-〞号的数是负数.例如-a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，-a是0，当a是负数时，-a是正数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数.〔2〕数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.故而可以用数轴来比拟数的大小.〔3〕求相反数的方法：直接在数字前加负号；如果是式子，先把整个式子括起来，再在括号前加负号；在数轴上表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.0的相反数是0.〔4〕正数的绝对值是它本身；如果a＞0，那么｜a｜=a；一个负数的绝对值是它的相反数；如果a＜0，那么｜a｜=-a；0的绝对值是0，如果a=0，那么｜a｜=0.2.有理数的运算的说明：〔1〕进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法那么、运算律及运算顺序.比拟复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.〔2〕进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.3.关于本章的数学方法：数形结合的思想是数学中一种常用思想方法，在有理数的混合运算中常常与数轴、绝对值的知识融合于一体，画出数轴、观察数轴，从中进行体验，有助于解决问题.三、典例精析，复习新知例1一只蜗牛从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，这时蜗牛与数轴上的田螺相距1.5个单位，求田螺表示的数.【分析】先画出数轴，如以下图：蜗牛从原点O出发第一次向右移动2个单位，此时蜗牛表示的数为2，第二次向左移动5个单位，这时蜗牛表示的数为-3，又由于田螺与蜗牛相距1.5个单位，根据距离的概念和绝对值的知识，田螺在数轴上位置在点P或P1，即表示的数是-4.5或-1.5.例2假设数a在数轴上的对应点如以下图，请化简｜a+1｜和｜a-1｜.【分析】对于绝对值的化简，分析出a+1，a-1的正负是解题的关键.结合数轴很容易得出结论.观察数轴可知a的对应点在原点右侧，所以a为正数.所以a+1为正数，即｜a+1｜=a+1.因为a的对应点在0和1之间，所以a为小于1的正数.所以a-1＜0.解：因为a＞0，所以a+1＞0.所以｜a+1｜=a+1.因为0＜a＜1，所以a-1＜0.所以｜a-1｜=-〔a-1〕=1-a.例3计算：【分析】进行有理数的混合运算时，一定要准确地把握有理数的运算顺序和运算中的符号问题，恰当地运用运算律简化计算.例4下表是七年级〔1〕班第一组学生的体重.以体重50kg为标准〔超出局部为正，缺乏局部为负〕：求：〔1〕这组同学中，哪个同学的身体最重？哪个同学的身体最轻？〔2〕这组同学的平均体重是多少？【分析】〔1〕求哪个同学的身体最重，即求哪个同学的体重超出50kg的最多；〔2〕超出50kg局部的平均值与50kg的和即为这组同学的平均体重.解：〔1〕因为-6＜-4＜1＜3＜5＜7所以小天同学的身体最重，小丽同学的身体最轻.〔2〕这组同学的平均体重为：50+［〔-6〕+(-4)+1+3+5+7］÷6=50+6÷6=51(kg)【分析】一般情况下，分数计算是先通分.此题通分计算将很繁琐，但我们观察到各个分数分母的后一个因数比前一个大1，且后一个分数的分母含有前一个分数分母的因数，每一个分母中因数之差等于分子，故可利用如下一个关系式：再把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做裂项法.【教学说明】这一环节是本节课重点所在，这5个例题层次递进，对本章重要知识点进行有效复习和稳固，强化学生对本章重点知识的理解与运用.四、复习训练，稳固提高1.在数轴上的点A、B位置如以下图，那么线段AB的长度为〔〕3.〔1〕12的绝对值是_______，绝对值是12的是_______，绝对值等于它本身的数是_______.〔2〕绝对值小于3的整数有_______个；绝对值不大于3的整数有_______个，分别是______________________.4.粮库3天内进出库的吨数如下:〔“+〞表示进库,“-〞表示出库〕+26、-32、-15、+34、-38、-20.〔1〕经过这3天，库里的粮食是增多还是减少了.〔2〕经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮，那么3天前库里存粮多少吨？〔3〕如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？5.一个正方体木块粘合成如以下图形式，它们的棱长分别为1cm、2cm、4cm，要在模型外表涂油漆，如果除去局部不涂外，该油漆的本钱为5元/cm2，求模型涂漆共花费多少元钱？【教学说明】师生共同回忆本章主要知识点，教师适时予以评讲，说明应用各知识点要注意的问题.对于所选例题，可根据需要适当增减.3.〔2〕57-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+〔-32〕+〔-15〕+34+〔-38〕+〔-20〕=-45答：经过这3天，库里的粮食是减少了45吨.〔2〕480-〔-45〕=525答：3天前库里存粮525吨.〔3〕〔26+32+15+34+38+20〕×5=825答：这3天要付装卸费825元.5.解：大正方体的涂漆面积是:42×4＋〔42-22〕＝64＋12＝76〔cm2〕棱长为2cm的正方体的涂漆面积是:22×4＋〔22-12〕＝16＋3＝19〔cm2〕棱长为1cm的正方体涂漆面积是:12×5＝5〔cm2〕所以，总涂漆的面积为:76＋19＋5＝100〔cm2〕总费用为5×100＝500〔元〕答：模型的涂漆的总费用为500元.五、师生互动，课堂小结本堂课你能系统地回忆本章所学有关有理数的知识吗？你会用数轴来比拟数的大小吗？你能熟练地进行有理数的混合运算吗？【教学说明】教师引导学生回忆本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.1.布置作业:从教材第52页“复习题〞中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节复习是首先通过知识框图整体把握,引导学生对本章知识点进行梳理，构建本章知识体系，通过典型例题探究加深学生对主要思想方法的理解，掌握常用解题方法.在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的根底上构建合理的知识体系.通过典型例题强化有理数的运算，训练学生的计算能力和分析解决问题的能力,从而提高他们应用数学的意识.。
沪科初中数学七下 《因式分解《提公因式法》教案 (公开课获奖)2022沪科版2
《提公因式法》教学目标：1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式.教学重难点教学重点：因式分解的概念及提取公因式法.教学难点：多项式中公因式确实定和当公因式是多项式时的因式分解.教学设计：〔一〕新课引入：回忆：运用所学知识填空〔1〕x 〔x +1〕= 〔2〕〔x +1〕〔x -1〕=〔3〕2ab 〔a 2+b +1〕=反之：〔1〕x 2+x = 〔2〕x 2-1=〔3〕2a ³b +2ab ²+2ab =观察以下式子的特点：〔1〕15=3×5〔2〕18=2×32 〔3〕x 2+x=x 〔x+1〕〔4〕x ²-1=〔x+1〕〔x-1〕〔5〕2a ³b +2ab ²+2ab =2ab 〔a ²+b +1〕由分解质因数类比到分解因式.〔二〕新知学习：1、分解因式的概念，与整式乘法的关系.稳固概念：判断以下各式从左到右哪些是因式分解？〔1〕m 〔a +b 〕=ma +mb〔2〕2a +4=2〔a +2〕〔3〕4a ²-6ab ²+2a =2a 〔2a -3b ²+1〕〔4〕a ²-2a +1=a 〔a -2〕+1〔5〕)10)(10(100)(2-+=-xy x y x y 2、确定公因式.问题：ma +mb +mc 这个多项式有什么特征？ 引入公因式概念.例1：找出6x ³y 5-3x ²y 4的公因式,归纳找公因式的方法.课堂练习一：找出以下各多项式中的公因式填在后面括号内.〔1〕3mx-6nx2〔〕〔2〕x4y3+x3y4 〔〕〔3〕12x2yz-9x2y2 〔〕〔4〕5a2-15a3+25a〔〕3、用提公因式法分解因式.m〔a+b+c〕＝ma+mb+mc可得ma+mb+mc＝m〔a+b+c〕，观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的？m是这个多项式的公因式，而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.想一想：提公因式法的理论依据是什么?4、知识运用：例2：把8a²b²+12ab²c分解因式例3：把－24x³－12x²＋28x分解因式.判断以下各式分解因式是否正确？如果不对，请加以改正.〔1〕2a2+4a+2=2〔a2+2a〕〔2〕3x2y3－6xy2z=3xy〔xy2－2yz〕把以下各式分解因式.〔1〕x2+x6〔2〕12xyz-9x2y2〔3〕-6x2-18xy+3x〔4〕2a n+2-4a n+1-6a n-1例4：把3a〔b+c〕-3〔b+c〕分解因式将以下各式分解因式.〔1〕p〔a2+b2〕-q〔a2+b2〕〔2〕 2a² 〔y-z〕2-4a〔z-y〕2例5：先分解因式，再求值.4a2〔x+7〕-3〔x+7〕，其中a=-5，x=3.5、拓展与提高：〔1〕20212+2021能被2021整除吗？〔2〕利用因式分解进行计算：23.1×24-46.2×7〔3〕将2a〔a+b-c〕-3b〔a+b-c〕+5c〔c-a-b〕分解因式.〔三〕课堂小结：〔1〕什么叫因式分解？〔2〕确定公因式的方法.〔3〕提公因式法分解因式的步骤.〔4〕提公因式法分解因式的步骤.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
多项式的因式分解(1)——提公因式法
（1）解：原式=5x2·x-5x2·2 =5x2(x-2)
记得写出因数“1”
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1 =6ab(2bc-1)
（3）解：原式=-(2m3 -8m2 +12m) =-(2m·m2-2m·4m+2m·6) =-2m(m2-4m+6)
二．填空题 5. 多项式 2x2 y3z 4x3 y3z 6x4 yz2 各项的公因式是___________；
6. 12 x2 32 x 4x (________); 5x2 10 xy (________) (x 2y).
7. 若 x=49,y=1007,则 xy-7x=
.
8. 若 a2+a-1=0,则 a -a -a 2019 2020 2021 =___________.
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
“数”与“式”
=3198(9-12+10）
的相互变换
提公因式法
=3198×7
∵ 3198为整数， ∴ 3198×7是7的倍数， 即： 3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
学以致用
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC
=3(x-y)2·[a- 2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
学以致用
1、已知a+b=5 ， ab=3， 求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a +ab·b =ab(a+b)
4.2.2提公因式为多项式的因式分解教案
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式表示为几个因式的乘积的过程。它在解决代数问题和简化表达式方面起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个多项式通过提取公因式进行因式分解，以及这一过程如何帮助我们简化问题。
五、教学反思
今天在教授“4.2.2提公因式为多项式的因式分解”这一章节时，我发现学生们在提取公因式和进行因式分解的过程中存在一些困难。首先，他们在识别多项式中的公因式时显得有些犹豫不决，尤其是当多项式中包含多个项时。我意识到，这可能是因为他们对公因式的概念还不够熟悉。
在讲解过程中，我尽量用简单的语言和具体的例子来阐述提取公因式的步骤，希望这样能让学生们更容易理解和掌握。同时，我也强调了在提取公因式时要注意系数的处理，尤其是分数和负数系数的情况。我观察到，当学生们亲自尝试解题时，他们在处理系数方面的问题有所减少。
此外，因式分解的步骤对学生来说也是一个挑战。两步法因式分解需要学生们在提取公因式后，能够正确处理剩余的部分。我发现有些学生在这一步上犯了难，他们不知道如何继续分解。为了解决这个问题，我通过案例分析，逐步引导学生们理解如何将剩余部分进一步分解为更简单的因式。
在实践活动中，分组讨论和实验操作环节收到了良好的效果。学生们在小组内积极讨论，互相交流想法，这有助于他们巩固所学知识。同时，通过实验操作，学生们对因式分解的过程有了更直观的认识。
4.2.2提公因式为多项式的因式分解教案
一、教学内容Biblioteka 本节课选自教材第四章第二节，标题为“4.2.2提公因式为多项式的因式分解”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.理解提公因式的概念：通过实例引导学生认识什么是公因式，以及如何提取多项式中的公因式。
1.2提公因式法(2)公因式为多项式
（1）3x3-2x2+x= x( 3x2-2x+1 )
（2）-30x3y2+48x2yz = -6x2y ( 5xy-8z )
复习
3、把8x2y4-12xy2z因式分解. 解
8x2y4-12xy2z = 4xy2· 2xy2+4xy2· (-3z) = 4xy2(2xy2-3z).
复习
4. 说说你如何理解公因式？
2. 把下列多项式因式分解：
（7）a2b(a-b)-ab2(a-b). （8）x(y-3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-(2y-6)
解：原式=ab(a-b)(a-b) 解：原式= x(y-3)-2(y-3) =ab(a-b)2 = (y-3) (x-2)
2. 把下列多项式因式分解：
（9）x(x2-xy)-(4x2-4xy)
解：原式=x﹒x(x-y)-4x(x-y) =x2(x-y)-4x(x-y) =x(x-y)(x-4)
作业： 课本P11 A组第2(4)(5)(6)(7)题 B组第1题
练习
1. 在左、右两列多项式中，把相等的两个多项 式用线连起来： - (y-x)3 y-x (x-y)2 (x-y)3
-( x-y )
(y-x)2
练习
2. 把下列多项式因式分解：
（1）y(x-y)+x(x-y)；
解：原式=(x-y)(x+y)
（2）y(x-y)+x(y-x)；
解：原式=y (x-y)-x (x-y) = (x-y) (y-x) = - (x-y) (x-y) = - (x-y) 2
为什么呢？ 为什么呢？
例1
把x(x-2)-3(x-2)因式分解.
解 x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x-3)
6.2 提取公因式法
1.你能确定多项式 am+an+bm+bn的公因式吗 的公因式吗? 1.你能确定多项式 am+an+bm+bn的公因式吗? 2.把多项式 2.把多项式 分解因式
1.分解因式计算（-2）101+（-2）100 分解因式计算（ ） （ ） 分解因式计算 2.利用简便方法计算： 利用简便方法计算： 利用简便方法计算 4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3.已知 已知a+b=3,ab=2,求代数式 已知 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值 的值. 4.把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式 分解因式. 把 5.分解因式 分解因式: 分解因式
公 因 式 各项 都含有 的相同 因式. 因式 把公因式提出来 提公因式法 首先需要会 首先需要会 找公因式
你能把12、 因数分解吗 因数分解吗？ 你能把 、15因数分解吗？ 12=2 × 2×3； × ； 15= 3 × 5
12、15这 、 这 两数有公 因数吗？ 因数吗？
你能找出下面两个单项式的公因式吗?
婺江风光带修建了三块长方形的绿 化草坪， 化草坪，它们的宽都为 8m ，长分别 k 是 a 55.5m ， b 20.1m ，c 24.4m ，那么这些绿 化带的面积之和为多少？ 化带的面积之和为多少？
8m k
a b c 55.5m 24.4m 20.1m
a k + b k + c k = k (a + b + c)
2 2
4m(a + b) + 8m (a + b) = 4m(a + b) (a +b + 2m)
七年级数学下册《9.5 多项式的因式分解—提公因式法》教学设计 (新版)苏科版
§9.5《多项式的因式分解——提公因式法》【教学目标】1.知道因式分解的意义和提公因式法的概念.2.能用提取公因式法对一个多项式进行分解因式（指数是正整数.3.经历通过单项式乘多项式探索提取公因式法因式分解的过程,体会单项式乘多项式与提取公因式之间的联系,发展逆向思维的能力，渗透类比和整体思想.【教学重点】因式分解的概念，用提公因式法分解因式.【教学难点】认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.【教学准备】投影仪、PPT课件、随堂练习纸.【教学过程设计】:一、创设情境：同学们，前面我们已经学习了整式的乘法运算，本节课开始我们将通过对整式乘法的再认识，共同学习新的数学知识。
观察分析：根据单项式乘多项式的乘法法则:a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①反过来，就得到ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d）②这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.思考:（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？（说明: ①式是单项式乘多项式,其依据是乘法分配律,运算结果是一个多项式,和的形式;②式是①式的相反过程,与①式是互逆变形关系, ②式的变形依据是乘法分配律的逆用,变形的结果是积的形式,我们把一个多项式的这种变形叫多项式的因式分解.板书课题§9.5多项式的因式分解）（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 吗？（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？（设计意图：通过创设问题情境,激发学生学习兴趣，从数式类比的角度,让学生感受分解因式在解决相关问题中的作用和因式分解的必要性,让学生去理解所学数学知识之间的内在联系,并为探索学习提公因式法把多项式分解因式作好铺垫，从而自然引出课题导入新课学习。
）二、引导探究：（一）认识公因式:1、概念1.多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式.2多项式公因式提问：根据上面的填表的过程，你能归纳出找一个多项式各项公因式的方法吗？根据学生的回答总结归纳出找一个多项式各项公因式的方法：一看系数：当一个多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数.二看字母：公因式的字母应取各项都含有的相同字母.三看指数：相同字母的指数，取次数最低的.3、小结:（教师讲解并板书）一个多项式各项的公因式常常不止一个.通常,当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数; 字母应取各相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.即把一个多项式的各项系数的最大公约数与各项相同字母（或因式）的最低次幂的乘积作为一个多项式的各项的公因式.（设计意图：鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，通过教师引导学生观察、分析、归纳,师生间的相互交流,最终得到一个多项式各项的公因式的确定方法.）（二）归纳多项式的因式分解概念和提公因式法的概念:（1（2）填空并说说你的方法. ①a 2b ＋ab 2＝ab （ b a + ） ②3x 2－6x 3＝3x 2（ x 21- ）③9abc －6a 2b 2＋12abc 2＝3ab （ 2423c ab c +- ） 说明：通过填空让学生熟练掌握找一个多项式公因式的方法，并由此自然得出因式分解的定义．（3）提出因式分解的概念.概念2.像这样，把一个多项式写出几个整式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解.（4）连一连：把下面左右两列具有相等关系的式子用线连起来.4a 2b(a-2b) x 2-2xy+y 2(x-y)2 m 2-n 2(m+n)(m-n) 4a 3b-8a 2b 2提问：观察上面从左到右和从右到左的过程，你能说出因式分解和整式乘法的区别与联系吗？通过学生的回答总结出因式分解和整式乘法的区别与联系.整式的乘法4a 2b(a-2b) = 4a 3b-8a 2b2 因式分解区别：整式乘法：由几个整式的乘积的形式转化成一个多项式的形式.因式分解：由一个多项式的形式转化成几个整式的乘积的形式.联系：多项式的因式分解和多项式的乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程.说明：通过对整式乘法和因式分解的对比，搞清两者之间的关系.（5）概念辨析:下列各式由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是？① ab ＋ac ＋d ＝a （b ＋c ）＋d ② a 2－1＝（a ＋1）（a －1）③（a ＋1）（a －1）＝a 2－1 ④8a 2b 3c ＝2a 2·2b 3·2c⑤()x ax ax ax 34412162+=+ 解答：②⑤是因式分解（6）学生观察第⑤小题从左到右的变形，归纳提公因式法的概念:概念 3.如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.说明：通过练习加以判别，加深对因式分解的理解．（设计意图：通过填表填空、连线讨论、概念辨析、观察归纳等数学活动,引导学生熟练寻找一个多项式各项的公因式,掌握一个多项式各项的公因式的确定方法及提取公因式后另一个因式如何确定,从而归纳多项式的因式分解概念和提公因式法的概念，为例题教学做铺垫.）（三）例题解析:例1、把下列各式分解因式（1）23105x x - （2）b a c b a b a 2223396+- （3）－2m 3＋8m 2－12m 分析：对于第（1）小题，请同学们想一想多项式5x 3－10x 2各项的公因式是什么？你能把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式吗？你是如何得到另一个因式的？那你现在能对这个式子进行因式分解了吗？（板书）解：（1）5x 3－10x2 25522⋅-⋅=x x x)2(52-=x x总结用提公因式法发因式分解的一般步骤.提问：根据例1第（1）小题的解答过程，你能归纳出用提公因式法分解因式的一般步骤吗？ 根据学生回答总结出用提公因式法分解因式的一般步骤:第一步：找出多项式中各项的公因式；第二步：把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式；第三步：逆用单项式乘多项式法则，把多项式转化成公因式和另一个多项式的乘积的形式. 说明：通过例1第（1）小题的教学，使学生知道提公因式法分解因式的概念并帮学生总结出用提公因式法分解因式的一般步骤，帮助学生巩固新知，同时教师的板书也能给学生以示范作用．解：（2）ba cb a b a 2223396+- 133323222⋅+⋅-⋅=b a bc b a a b a )132(32+-=bc a b a说明：通过此例题教学,使学生掌握提取的公因式与多项式的某项相同时，那么提取公因式后该项剩下“1”，结果中的“1”不能漏写.解：（3）－2m 3＋8m 2－12m)1282(23m m m +--=)62422(2⋅+⋅-⋅-=m m m m m )64(22+--=m m m说明:学生自主完成后校对答案，在解题过程中，学生可能会出现)64(22-+-m m m 和)64(22+--m m m ．两种不同的答案，教师对这两种答案进行对比后，得出)64(22+--m m m 是正确的答案，并总结注意点.注意点：当多项式的第一项系数为负数时，通常把“-”号作为公因式的符号写在括号外，使得括号内的第一项系数变成正数.在提出“-”号时，多项式的每项都要改变符号.学生讨论:下列多项式可以用提取公因式法分解因式吗？如果可以,你能讲出多项式各项的公因式吗？（学生口答,快速反应）①()()y x b y x a +++； ②()()x y b y x a -+-； ③()()x y b y x a +-++提问：请同学们想一想，公因式一定是单项式吗？总结：一个多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式.例2、把下列各式分解因式：（1）()()y x b y x a +-+23. （2）)()(a b y b a x -+- （3）23)(12)(6m n n m --- 说明： 分析：第(1)小题中,这个多项式就整体而言可以分为两大项3a(x+y)和-2b(x+y)， 每一项中都含（x+y ）, 所以可以把（x+y ）看成公因式提出来,另外两小题学生独立尝试解 答, 教师巡视,个别辅导,校对解答过程,总结解题经验.)解：)(2)(3y x b y x a +-+)23)((b a y x -+=（设计意图：通过例题教学，归纳提公因式法因式分解的一般步骤和注意点，要求学生在学生练习中仿照课本的规范书写格式写出过程，让学生体会公因式也可以是多项式,只要把它看成一个“字母或一个单项式”,就能运用提取公因式法进行分解因式,让学生进一步加深对多项式因式分解与整式乘法关系的理解与认识．采取教师引导，学生讨论交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结, 有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点. 渗透了“整体法”思想.）（四）巩固练习1.练一练：把下列各式分解因式.（学生板演）①32124x x - ②a ab a 412832-- ③y xy y x 542-+- ④2)1()1(x x x -+- （说明：学生独立完成,教师巡视,个别辅导,校对解答过程,总结解题经验.）2、练习后学生思考：（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？3、解题经验小结:（教师讲解）用提公因式法分解因式后,括号里的多项式没有公因式, 括号里多项式的项数与原多项式的项数一样, 提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是互逆的,两者的运算过程和结果形式是相反的,根据因式分解和整式乘法是互逆过程，可把因式分解的结果进行乘法运算，看所得的结果是否与原多项式相同,对分解因式的结果加以检验。
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“-”号,使等式成立.
(1) a+b=+(b+a)
(2)2-a= - (a-2)
(3)a-b= + (-b+a)
(4) (b-a)2=+(a-b)2
(5)-m-n= - (m+n) - (6) (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-a)3= (a-b)3
- (7) (-b-a)3 = (a+b)3 (8) (b-a)4=+ (a-b)4
(1)a(x y) b( y x); (2)6(m n)3 12(n m)2;
解：(1)a(x y) b( y x) (2)6(m n)3 12(n m)2
a(x y) b(x y) 6(m n)3 12(m n)2
(x y)(a b)
6(m n)2[(m n) 2]
6(m n)2 (m n 2)
课堂检测，学习反思
把下列各式因式分解：
3m(x y) n(y x)
2x 2 y 2 y x2 x 2 y2 2 y
知识小结，巩固升华
• 通过本节课的学习， 你有什么收获？
小组合作，成果展示
做一做：请在下列各式等号右边填入“+”或
“-”号,使等式成立.
第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第2课时
龙川第一实验学校
知识链接，预习导课
一、确定公因式的方法：
1、定系数： 公因式的系数是多
项式各项系数的__最__大__公__因___数_____;
2、定字母： 字母取多项式各项
中都含有的相___同__的__字__母___;
3、定指数： 相同字母的指数取
各项中最小的一个,即_最__低__次__幂__.
由此可知规律：
(1)a-b 与 b-a 互为相反数
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2)a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (-a-b)n = -(a+b)n
(n是偶数） (n是奇数）
例2 把下列各式因式分解：
(1) a+b=+(b+a)
(3)a-b= + (-b+a)
小组合作，成果展示
做一做：请在下列各式等号右边填入“+”或
“-”号,使等式成立.
(2)2-a= - (a-2)
(4) (b-a)2=+(a-b)2
(5)-m-n= - (m+n) - (6) (b-a)3= (a-b)3 - (7) (-b-a)3 = (a+b)3 (8) (b-a)4=+ (a-b)4 - (9) (-b-a)2 =+ (a+b)2 (10)–s2+t2= (s2-t2)
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直 觉思维并渗透化归的思想方法.
探究新知，学法指导
例1 把下列各式因式分解：
(1) y(x 1) y2 (x 1) y(x+1)
(2)7x(m n) 2y(m n).
(m-n)
思考：找找上面各式的公因式.
小组合作，成果展示
做一做：请在下列各式等号右边填入“+”或
- (9) (-b-a)2 =+ (a+b)2 (10)–s2+t2= (s2-t2)
1.观察以上式子，并说说发现了什么特点？ 等式两边是只有符号不同的多项式.
2.观察式子（1）、（3）可以得出什么结论？ 当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等.
3.观察剩下的式子，你可以得出什么结论？
当相同字母前的符号均相反时, 则两个多项式互为相反数.
二、把下列各式因式分解：
（1） 3ma3 6ma2 12ma
（2） 2x4 4x2 8x
上面各式的公因式有什么特点？
都是单项式
当公因式 是多项式形式，怎样运 用提公因式法分解因式？
【学习目标】
1.经历探索多项式因式分解方法的过程，并在 具体问题中，能确定多项式各项的公因式；
2.会用提公因式法把多项式因式分解；