2020届曲靖市二测文科数学参考答案
2020届云南省曲靖市第二中学高三第一次模拟考试数学(文)试题
2020届云南省曲靖市第二中学高三第一次模拟考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 1i i=-(i 是虚数单位)，则|z |=（ ）A ．12B ．2C ．1 D2．已知集合{}0,1,2A =，集合102x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,2 C ．{}1 D ．{}2 3．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A ．若m ∥β，则m ∥lB ．若m ∥l ，则m ∥βC ．若m ⊥β，则m ⊥lD ．若m ⊥l ，则m ⊥β4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC ，，满足10051006OC a OA a OB =+，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ）A ．1005B ．1006C ．2010D ．2012 5．已知向量m =(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-，且m ⊥n ，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）A ．12B ．2C ．D ．﹣2 6．执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)(2,5]-∞⋃B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(,2)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(1,5]-∞-⋃7．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件8．已知某班学生的数学成绩x (单位:分)与物理成绩y (单位:分)具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算:5511 475?320ii i i x y ====∑∑，，设其线性回归方程为:ˆˆ 0.4yx a =+.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（ ）A ．66B ．68C ．70D ．729．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ）A ．18B ．10C ．-14D ．-2210．函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．11．已知12,F F 是双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212||||MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于A ．54B ．53 CD ．5212．定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为( ) A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13．已知实数x 、y 满足50{30x y x x y -+≥≤+≥，则目标函数2z x y =+的最小值为_____________．14．已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于的概率为 .15．平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.三、双空题16．已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.四、解答题17．已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===⋅.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a sinB sinC ==，若f (A )=1，求△ABC 的周长.18．某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．19．如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上(如图1)，且BE =BF ，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ′(如图2).（1）求证：A ′D ⊥EF ；（2）BF 13=BC 时，求点A ′到平面DEF 的距离.20．已知P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()M 的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l 的方程.21．设函数()()2ln f x x ax x a R =-++∈. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．23．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.参考答案1．B【分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算. 【详解】z()()()1111 111222i ii iii i i+-+====-+ --+.所以|z|2==.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．C【分析】由分式不等式的解法可求得集合B，根据交集定义可求得结果.【详解】由12xx-≤-得：()()12020x xx⎧--≤⎨-≠⎩，解得：12x≤<，{}12B x x∴=≤<，{}1A B∴⋂=.故选：C.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题.3．D【分析】A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.【详解】A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.4．A【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ；∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+，所以A ，B ，C 三点共线；∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.5．B【分析】根据m ⊥n 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.【详解】因为向量m =(1，cosθ)，n =(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-因为m ⊥n ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题. 6．D【解析】分析：先根据程序框图得()f x 解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果. 详解：因为2,2()=23,251,5x x f x x x x x ⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a >得25225112311a a a a a a >⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或 所以11225115a a a a a <-<≤<≤∴<-<≤或或或，因此选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8．B【分析】 由题意求出x ､y ，代入线性回归方程求得a ，再计算x =105时y 的值.【详解】 由题意知，511 5i x ==∑x i 15=⨯475=95，511 5i y ==∑y i 15=⨯320=64， 代入线性回归方程y =0.4x a +中，得64=0.4×95a +，解a =26； 所以线性回归方程为y =0.4x +26，当x =105时，y =0.4×105+26=68， 即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68.故选：B.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题. 9．D【分析】由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由求和公式可得()212121a q S q -==-①，()313161a q S q -==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，()()()55152********a q S q ⎡⎤----⎣⎦∴===---- 故选D ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ．10．D【解析】∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ， 函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k （k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ， 故选D ．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法． 11．B 【解析】依题设，2122MF F F c ==， ∵12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2aMF F e c∠==， ∴等腰三角形12MF F ∆底边上的高为2a ， ∴底边1MF 的长为4b ， 由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，∴()224b a c =+，即22242b a ac c =++， ∴23250e e --=，解得53e =. 点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件2122MF F F c ==和双曲线的定义可得422b c a -=，即2b a c =+在三角形中寻找等量关系()224b a c =+，运用双曲线的a,b,c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率53e =.12．D 【分析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】 令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=， 1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭故选D 【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题 13．3- 【解析】满足条件的点(,)x y 的可行域如下：由图可知，目标函数2z x y =+在点(3,3)-处取到最小值-3 14．14【详解】试题分析：作出示意图，由题意P 到直线2x y +=的距离大于22，则P 在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为考点：几何概型 15．3π 【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积. 【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ， BD ⊥CD ， 所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ， 所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形， 由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.16．8 (4,2)-【分析】 x +2y =xy 等价于21x y+=1，根据基本不等式得出xy ≥8，再次利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得出m 的范围. 【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ， ∴21x y+=1，∴121x y =+≥ ∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号， ∴x +2y =xy ≥8(当x =2y 时，等号成立)， ∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2. 故答案为：8；(﹣4，2) 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.17．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）4+【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f (x )=sin (2x 6π+)12+，再利用正弦函数的单调性即可计算得解.（2）由题意可得sin (2A 6π+)12=，结合范围0<A <π，可求A 的值，由正弦定理利用sinB =3sinC ，可得b =3c ，根据余弦定理可求c 的值，进而可求b 的值，从而可求三角形的周长. 【详解】（1）因为a =(sinx ，cosx)，b =( ，cosx )，f (x )a =•3b =sinxcosx +cos 2x =2x 12+cos 2x 12+=sin (2x 6π+)12+，由2π-+2kπ≤2x 62ππ+≤+2kπ，k ∈Z ，可得：3π-+kπ≤x 6π≤+kπ，k ∈Z ，可得f (x )的单调递增区间是：[3π-+kπ，6π+kπ]，k ∈Z ， （2）由题意可得：sin (2A 6π+)12=，又0<A <π， 所以6π<2A 1366ππ+<， 所以2A 566ππ+=，解得A 3π=，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，所以a =BC =又sinB =3sinC ，可得b =3c ， 故7=9c 2+c 2﹣3c 2，解得c =1，所以b =3，可得△ABC 的周长为4. 【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及正弦定理，余弦定理的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.18．（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3）815. 【分析】⑴根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数可以求得25a =，100b =，250N = ⑵先求出这三组的总人数，根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数⑶利用列举法列出所有的组合方式共有15种，其中满足条件的组合有8种，利用古典概型概率公式求得结果 【详解】(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=， 第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为815. 【点睛】本题主要考查了频率分布表和频率分布直方图的应用，还考查了利用古典概型概率公式求概率，熟练掌握各个定义，是解题的关键，属于基础题．19．（1）证明见解析.（2 【分析】（1）推导出A′E ⊥A′D ，A′F ⊥A′D ，由线面垂直的判定定理得到A′D ⊥平面A′EF ，由此得证.（2）设点A′到平面DEF 的距离为d ，由V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ，能求出点A′到平面DEF 的距离. 【详解】（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得： A′E ⊥A′D ，A′F ⊥A′D ， ∵A′E ∩A′F =A′， ∴A′D ⊥平面A′EF ，∵EF ⊂平面A′E F ，∴A′D ⊥EF . （2）∵113BE BF BC ===，∴23A E A F EF A D '''====，，∴'A EFS=DE =DF =52DEFS =，设点A′到平面DEF 的距离为d ， ∵V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ， ∴'11'33DEFA EFd SA D S ⨯⨯=⨯⨯，解得d =.∴点A′到平面DEF 的距离为5. 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及等体积法球点到面的距离，还考查转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20．（1）22143x y +=.（2）AOB ，此时直线l 的方程为x y =.【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x =ty 与椭圆22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程. 【详解】（1）由已知|QF 1|+|QF 2|=|QF 1|+|QP |=|PF 1|=4，所以点Q 的轨迹为以为1F ，2F 焦点，长轴长为4的椭圆， 则2a =4且2c =2，所以a =2，c =1，则b 2=3，所以曲线C 的方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2﹣ty ﹣3=0，则y 1+y2=y 1y 22334t =-+， 则S △AOB 12=|OM |•|y 1﹣y 2|2=2=•=u =，则u ≥1，上式可化为26633u u u u=≤=++， 当且仅当u =t时等号成立， 因此△AOB，此时直线l 的方程为xy 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.21．（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）ln 31,33⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由()2ln 0f x x ax x =-++=，可得ln x a x x =-，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln x g x x x =-，利用导数可得 ()g x 的减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，增区间为(]1,3，求得函数的极值与最值，从而可得结果. 【详解】（1）因为()()2ln f x x ax x a =-++∈R ，所以函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =-时，()212121x x f x x x x--+=--+='，令()0f x '=，得12x =或1x =-（舍去）. 当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）令()2ln 0f x x ax x =-++=，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ln x a x x =-， 令()ln x g x x x =-，其中1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()2221ln ln 11x x x x x g x x x ⋅-+-=-='，令()0g x '=，得=1x ， 当113x ≤<时，()0g x '<，当13x <≤时，()0g x '>， ()g x ∴的单调递减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,3，()()min 11g x g ∴==，又113ln333g ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ln3333g =-，且1ln33ln3333+>-， 由于函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，故实数a 的取值范围是ln31,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22．（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+. 【解析】试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+，.23．(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()1max f x m ≥-.由绝对值三角不等式可得123x x --+≤=，则13m -≤，实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313ab a b ++≥+，即34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313ab a b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).。
2020学年高考模拟考试 云南省曲靖市高考数学一模(文科)试卷 Word版含解析
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2} 2．已知复数z满足（1+i）z＝|+i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．+i3．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．4．设a＝log1.10.5，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤6．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k（k＞0），通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y＝k•0.9x（x∈N*），那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（参考数据：1g3≈0.477）A．9 B．10 C．11 D．127．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．B．8 C．D．48．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6 B．10 C．7 D．169．函数的大致图象是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝﹣x（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极小值，则27ab2的最大值为（）A．27 B．9 C．4 D．111．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5＝0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．在四面体ABCD中，AB＝BD＝AD＝CD＝3，AC＝BC＝4，用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为（）A．B．C．D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝．14．设变量x，y满足约束条件，则2x+y的最小值为．15．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，在几何体ADF﹣BCE内任取一点，则该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．16．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣x．则方程g（x）＝0有个实数根．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评．“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．18．已知函数的最大值为1．（1）求t的值；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，△ABC的面积为，且f（A）＝，求b+c的值．19．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，EF∥平面ABCD．（1）求证：平面ACF⊥平面BDF；（2）若∠CBA＝60°，求多面体ADFBCE的体积．20．已知函数f（x）＝ae x，g（x）＝lnx﹣lna，其中a为常数，e是自然对数的底数，曲线y＝f（x）在其与y轴的交点处的切线记作l1，曲线y＝g（x）在其与x轴的交点处的切线记作l2，且l1∥l2．（1）求l1，l2之间的距离；（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于π，直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D．若OA⊥OB，求动点D的轨迹方程．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣1|﹣1（a∈R）的一个零点为1．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若+＝a（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2} 【分析】求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．解：x2﹣x﹣2＜0，即为（x﹣2）（x+1）＜0，解的﹣1＜x＜2，即A＝{x|﹣1＜x＜2}，又A＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}，故选：D．2．已知复数z满足（1+i）z＝|+i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．解：（1+i）z＝|+i|＝＝2，∴z＝＝＝1﹣i，故选：A．3．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件即可求出，而根据即可得出，从而求出m的值．解：；∵；∴＝；∴解得．故选：D．4．设a＝log1.10.5，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】先利用函数的单调性比较a与b的大小，再利用中间量比较c与a、b大小．解：因为对数函数y＝log1.1x在（0，+∞）上单调递增，且0.5＜0.6＜1所以a＜b＜0，又c＝1.10.6＞1，所以a＜b＜c，故选：A．5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤【分析】由每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1＝4，a5＝2，利用求和公式即可得出．解：由每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1＝4，a5＝2，∴该金锤共重＝15斤．故选：D．6．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k（k＞0），通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y＝k•0.9x（x∈N*），那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（参考数据：1g3≈0.477）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】由题意可知，所以x＞，进而计算出结果即可解：设通过这样的玻璃x块，则由题意得，化得，两边同时取常用对数，可得，因为lg0.9＜0，所以，则至少通过11块玻璃，故选：C．7．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．B．8 C．D．4【分析】将直线方程y＝x﹣1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出||FA|﹣|FB||的值．解：F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝＝＝4．故选：C．8．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6 B．10 C．7 D．16【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解．解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10．故选：B．9．函数的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数，图象关于原点对称，排除BC；由函数零点为﹣1和1，排除D，进而得到答案．解：函数的定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，排除B，C；又函数的零点为﹣1和1，排除D；故选：A．10．已知函数f（x）＝﹣x（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极小值，则27ab2的最大值为（）A．27 B．9 C．4 D．1【分析】由已知，结合导数存在条件可求得a+b＝1，代入到所求式子，结合函数单调性可求．解：由，可得f'（x）＝ax2+bx﹣1，则f'（1）＝a+b﹣1＝0，即a+b＝1，所以ab2＝（1﹣b）b2＝﹣b3+b2，记g（b）＝﹣b3+b2，0＜b＜1，则g'（b）＝﹣3b2+2b，令g'（b）＞0，解得，所以g（b）在区间上单调递增，在区间上单调递减，，此时27ab2＝4，故选：C．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5＝0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意圆C：x2+y2﹣6x+5＝0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．解：因为圆C：x2+y2﹣6x+5＝0⇔（x﹣3）2+y2＝4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），∴a2+b2＝9①又双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，而双曲线的渐近线方程为：y＝±x⇔bx±ay＝0，∴＝2 ②连接①②得，可得c＝3，所以双曲线的离心率为：＝．故选：C．12．在四面体ABCD中，AB＝BD＝AD＝CD＝3，AC＝BC＝4，用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为（）A．B．C．D．3【分析】由直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG∥AB，同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．四边形EFGH为平行四边形．又AD ＝BD，AC＝BC的对称性，可知AB⊥CD．从而四边形EFGH为矩形．建立二次函数关系求解四边形EFGH面积的最大值．解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB，同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，∴FG∥EH，EF∥HG．∴四边形EFGH为平行四边形．又∵AD＝BD，AC＝BC的对称性，可知AB⊥CD．∴四边形EFGH为矩形．设BF：BD＝BG：BC＝FG：CD＝x，（0≤x≤1），∴FG＝3x，HG＝3（1﹣x），∴，当时，四边形EFGH的面积有最大值．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝15 ．【分析】由题意知2a2﹣4a1＝a3﹣2a2，即2q﹣4＝q2﹣2q，由此可知q＝2，a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，于是得到S41+2+4+8＝15．解：∵2a2﹣4a1＝a3﹣2a2，∴2q﹣4＝q2﹣2q，q2﹣4q+4＝0，q＝2，∴a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴S4＝1+2+4+8＝15．答案：1514．设变量x，y满足约束条件，则2x+y的最小值为 1 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z＝2x+y，利用数形结合以及目标函数的几何意义，转化就即可．解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（0，1）．令z＝2x+y，由图可知，当直线z＝2x+y过点A（0，1）时，z有最小值为1，即2x+y的最小值为1，故答案为：1．15．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，在几何体ADF﹣BCE内任取一点，则该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．【分析】先根据三棱锥的体积公式求出F﹣AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF﹣BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．解：因为，，所以该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．故答案为：．16．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣x．则方程g（x）＝0有1 个实数根．【分析】直接利用分段函数，转化求解函数的零点即可．解：当0＜x＜π时，g（x）＝f（x）﹣x＝x sin x﹣x＝0，得sin x＝1，解得；当x≥π时，，此时无解．综上：方程g（x）＝0有1个实数根，且．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评．“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a．（2）第1，2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3．从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组抽到2人的概率．解：（1）由10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035．（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法共抽取5人，则第1，2组抽取的人数依次为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3；设从5人中随机抽取3人，则有（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），（b1，b2，b3）共10个基本事件；其中第2组恰好抽到2人包含（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3）共6个基本事件；所以第2组抽到2人的概率．18．已知函数的最大值为1．（1）求t的值；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，△ABC的面积为，且f（A）＝，求b+c的值．【分析】（1）对f（x）化简，利用f（x）最大值为1，求出t；（2）由，求出A，利用面积公式，结合余弦定理求出b+c．解：（1）＝，∵f（x）的最大值为1，∴，解得，（2）∵，∴，又△ABC是锐角三角形，得，．∴，解得，由三角形面积公式得，，可得bc＝4，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得8＝（b+c）2﹣3bc，（b+c）2＝20，而b+c＞0，∴．19．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，EF∥平面ABCD．（1）求证：平面ACF⊥平面BDF；（2）若∠CBA＝60°，求多面体ADFBCE的体积．【分析】（1）推导出AC⊥BD，FD⊥AC，从而AC⊥平面BDF，由此能证明平面ACF⊥平面BDF．（2）推导出FD⊥平面ABCD，高为DF．取BC中点G，连接GE，GD，GA，则EG⊥平面ABCD，从而DFEG是矩形，．由此能求出多面体ADFBCE的体积．【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵FD⊥平面ABCD，∴FD⊥AC，∵BD∩FD＝D，∴AC⊥平面BDF，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDF．解：（2）多面体ADFBCE由四棱锥F﹣ABCD和三棱锥F﹣BCE组合而成．在四棱锥F﹣ABCD中，∵FD⊥平面ABCD，∴高为DF．取BC中点G，连接GE，GD，GA（如图），则EG⊥平面ABCD，又EF∥平面ABCD，∴DFEG是矩形，．∵菱形ABCD的边长为2，∠CBA＝60°，∴，∴，∵，三棱锥F﹣BCE的高即，∴，所以多面体ADFBCE的体积为3．20．已知函数f（x）＝ae x，g（x）＝lnx﹣lna，其中a为常数，e是自然对数的底数，曲线y＝f（x）在其与y轴的交点处的切线记作l1，曲线y＝g（x）在其与x轴的交点处的切线记作l2，且l1∥l2．（1）求l1，l2之间的距离；（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）函数f（x）＝ae x的图象与y轴的交点为（0，a），函数y＝g（x）的图象与x轴的交点为（a，0），而f'（x）＝ae x，，利用l1∥l2，求出a，然后求解切线方程，求解平行线真假的距离．（2）由，推出在x≥0时有解，令，则只需m＜h（x）max，利用函数的导数求解函数的最大值即可．解：（1）函数f（x）＝ae x的图象与y轴的交点为（0，a），函数y＝g（x）的图象与x轴的交点为（a，0），而f'（x）＝ae x，，∵l1∥l2，∴f'（0）＝g'（a），得，又∵a＞0，∴a＝1．∴f（x）＝e x，g（x）＝lnx，∴切线l1过点（0，1），斜率为；切线l2过点（1，0），斜率为k2＝g'（1）＝1，l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，∴两平行切线l1，l2间的距离．（2）由，得，故在x≥0时有解，令，则只需m＜h（x）max，当x＝0时，m＜0；当x＞0时，可求得，∵，而e x＞1，∴，故，即h'（x）＜0，∴函数h（x）在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max＝h（0）＝0，即m＜0，∴实数m的取值范围为（﹣∞，0）．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于π，直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D．若OA⊥OB，求动点D的轨迹方程．【分析】（1）由题意知，，求出a，b，然后求解椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，由消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，利用韦达定理以及OA⊥OB转化求解即可．解：（1）由题意知，，解得，所以椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，由消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，根据题设有：△＝16（1+4k2﹣m2）＞0且，．∵OA⊥OB，∴，即x1x2+y1y2＝0，将y1＝kx1+m，y2＝kx2+m代入，化得，把，代入整理得：5m2＝4（k2+1），∵OD⊥l，∴；当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，由，得，．∵OA⊥OB，∴|OA|2+|OB|2＝|AB|2，解得，∴．所以动点D的轨迹是以原点O为圆心，半径为的圆，方程为．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．【分析】（1）消去参数t能求出直线l的普通方程，由，得，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）点是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得．由此能求出的值．解：（1）消去参数t得直线l的普通方程为；因为，所以，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为．（2）由题意判断点是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得．其中，，t1t2＝﹣2．于是．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣1|﹣1（a∈R）的一个零点为1．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若+＝a（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．【分析】（1）分类讨论去绝对值；（2）变形后，用基本不等式证明．解：（1）因为函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣1|﹣1（a∈R）的一个零点为1，所以a＝1，又当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|﹣1，f（x）≤1⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，上述不等式可化为或或，解得或或所以0≤x或＜x＜1或1，所以原不等式的解集为{x|0}（2）由（1）知＝a＝1，因为m＞0，n＞1，所以m+2（n﹣1）＝[m+2（n﹣1）]（+）＝5++≥0，当且仅当m＝3．n＝4时取等号，所以m+2n≥11．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国II卷)(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。
1.已知集合A= X|x 3,x Z ，B= X|x 1,x Z ，则A「|B =A.B.3, 2,2,3C.2,0,2D.2,22.(14i)=A.-4B.4C.-4iD.4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1, a2,…,a12.设1 i j k 12 . 若k j 3且j i4，则称a i, a j; a k为原位大三和弦；若k j 4且j i 3，则称a i, a j, a k为原位小三和弦•用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A. 5B. 8C.10D.154.在新冠肺炎疫情防控期间， 某超市开通网上销售业务， 每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加， 导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作， 已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者 A. 10 名 B. 18 名 C. 24 名 D. 32 名5.已知单位向量a ， b 的夹角为60 °，则在下列向量中，与b 垂直的是A. a 2bB. 2a bC. a 2bD.2a bA.2n -16.记S n 为等比数列｛ a n ｝的前n 项和•若a 5-a 3=12.a 6 - a 4 =24，S n =B. 2- 2t nC. 2- n-1D. 2t-n-1 C. 167. 执行右面的程序框图，若输入的 k=0, a=0,则输出的k 为:A. 2B. 3C. 4D. 58. 若过点(2,1 )的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线于D, E 两点，若 ODE 的面积为8,贝U C 的焦距的最小值为 A. 4 B. 8A. B. C. D.9.设0为坐标原点，直线x a 与双曲线C ：b 21 (a>0,b>0 )的两条渐近线分别交2x y 3 0的距离为D. 3210.设函数f(x)A. 是奇函数，且在B. 是奇函数，且在C. 是偶函数，且在D. 是偶函数，且在3 1x 3 ，贝U f(x)X(0,+ )单调递增(0,+ )单调递减(0,+ )单调递增(0,+ )单调递减11.已知△ ABC是面积为匹3的等边三角形，且其顶点都在球？？的球面上，若球？?的表面积为16 n，则？?到平面4ABC的距离为A.33B.2C.1D.212.若2X2y3x 3 y，则A. In( y x1)0B. In( y x1)0C. In | x y|0D. ln | x y|0C. 16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学全国卷2-文科数学试题参考答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试 ( 文科) 数 学 试题参考答案
1 . D 2 . A 3 . C 4 . B 5 . D 6 . B 7 . C 8 . B 9 . B 10 . A 11 . C
2 =
1-
a x
+l
n
a x
(x - a )2
.
取c = - 1 得h (x ) = 2l nx - 2x + 2 ,h (1 ) = 0 , 则由(1 ) 知, 当x ≠1 时,h (x ) < 0 , 即1 - x +l nx < 0 .
故当x
∈(0 ,a
) , (a
, + ∞) 时,1 -
a x
≤
3 2
或x
≥121
.
(2 ) 因为f (x ) = | x - a 2| + | x - 2a + 1| ≥| a 2 - 2a + 1| = (a - 1 )2 , 故当(a - 1 )2 ≥4 , 即| a - 1| ≥2 时,f (x ) ≥4 . 所以当a ≥3 或a ≤- 1 时,f (x ) ≥4 . 当- 1 <a < 3 时,f (a 2 ) = | a 2 - 2a + 1| = (a - 1 )2 < 4 . 所以a 的取值范围是( - ∞, - 1 ] ∪[3 , + ∞) .
y 2 =4 .
故C 2 的普通方程为x 2 - y 2 =4 .
云南省曲靖市2020版中考数学二模试卷D卷
云南省曲靖市2020版中考数学二模试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015四下·宜兴期末) -6的绝对值等于（）A .B .C .D . -2. （2分）如图，成轴对称的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分）(2019·永康模拟) 据开化旅游部门统计，2018年开化各景点共接待游客约为12926000人次，数据12926000用科学记数法表示为（）A . 0.12926×108B . 1.2926×106C . 12.926×105D . 1.2926×1074. （2分）某校开展为“希望小学”捐书活动，以下是八名学生捐书的册数2，3，2，2，6，7，6，5，则这组数据的中位数为（）A . 4B . 4.5C . 3D . 25. （2分）下列运算正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）商场将某种商品按标价的八折出售，仍可获利90元，若这种商品的标价为300元，则该商品的进价为（）A . 330元B . 210元C . 180元D . 150元7. （2分） (2016九下·杭州开学考) 若不等式组（x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（）A . 没有交点B . 一个交点C . 两个交点D . 不能确定8. （2分）如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若∠ADB=110°，则∠ACB的度数为（）A . 35°B . 40°C . 50°D . 80°9. （2分）如图所示，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD=100m，点C 在BD上，则山高AB为（）A . 100mB . 100 mC . 50 mD . m10. （2分） (2016八上·绵阳期中) 如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（）A . 5B . 4C . 3D . 211. （2分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2012﹣a﹣b的值是（）A . 2020B . 2018C . 2017D . 201612. （2分）如图，已知双曲线y=(k>0)经过直角三角形OAB的斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若ΔOBC的面积为3，则k的值为（）A . 2B . 3C . 5D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）分解因式：a3﹣4a2+4a=________．14. （1分）(2017·南充) 经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是________．15. （1分）(2016·内江) 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有________个小圆•（用含n的代数式表示）16. （1分） (2019八下·成都期末) 如图，已知边长为4的菱形ABCD中，AC＝BC，E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD与点M，N，给出下列结论：①∠AFC＝∠AGE；②EF ＝BE+DF；③△ECF面积的最小值为3 ，④若AF＝2，则BM＝MN＝DN；⑤若AF＝1，则EF＝3FG；其中所有正确结论的序号是________．三、解答题 (共7题；共66分)17. （20分）(2018·曲靖模拟) 计算：（1）（）2﹣﹣（2）（3） |﹣3|+（π+1）0（4）（）× ．18. （5分）(2018·建湖模拟) 先化简，再求值：，其中m满足方程m2-4m=0．19. （7分） (2018·甘孜) 某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设.为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组在该区域的甲、乙两个片区进行了调查，得到如下不完整统计图.请结合图中信息，解决下列问题：（1）此次调查中接受调查的人数为________人，其中“非常满意”的人数为________人；（2）兴趣小组准备从“不满意”的4位群众中随机选择2位进行回访，已知这4位群众中有2位来自甲片区，另2位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众来自甲片区的概率.20. （7分）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8）．（1）直接写出点C的坐标为：C（________，________）；（2）已知直线AC与双曲线在第一象限内有一交点Q为（5，n）；①求m及n的值；②若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．21. （10分）(2019·河北) 长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．22. （7分）(2018·江都模拟) 对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，），顶点C、D在x轴上，且OC=OD.（1）当⊙P的半径为4时，①在P1（，），P2（，），P3（，）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是________；②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标________；（2）已知点P在轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P 的纵坐标m的取值范围. （2）点P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，且⊙P与直线AD没有公共点，得出|m-1|＜，且|m-1|≠0，求解即可得出m的取值范围，即点P的纵坐标的取值范围23. （10分）已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
2020年云南省曲靖市高考(理科)数学二模试卷 (解析版)
2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．33．已知cos （π4−α）=45，则sin2α＝（ ） A ．−725B ．725C ．−15D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．115．已知向量a →，b →，|a →|=2，b →=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a →+2b →|=2√3，则a →与b →夹角是（ ） A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π66．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē，n ào ）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．547．已知实数x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0，z ＝ax +by （a ＞b ＞0）的最大值为2，则直线ax +by﹣1＝0过定点（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，3）D ．（﹣3，1）8．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65879．设函数f （x ）=2xx+1+lnx 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ） B ．x 0∈（a ，b ） C ．x 0∈（b ，c ） D ．x 0∈（c ，+∞）10．若双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．211．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√3412．f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1e2，+∞） B ．[1e，+∞）C ．[1，+∞）D ．[1e2，1e） 二、填空题13．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点，则p ＝ ． 14．已知二项式（1+x ）n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+x)n 展开式中常数项为 ．15．关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： ①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1﹣x 2必是π的整数倍； ②y ＝f （x ）在区间(−5π13，π13)上单调递增； ③y ＝f （x ）的图象关于点(−π6，0)对称； ④y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于 ． 三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝a n2+2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=1(a n+1)2，设数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＜14．19．如图所示，平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠APB＝90°，M，N分别是CD，PB的中点．（1）证明：CN∥平面PAM；（2）若直线PA与平面ABCD所成角等于60°，求二面角M﹣AP﹣C的余弦值．20．已知△ABC的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC的周长为8+4√3，O是坐标原点，点M满足OA→=−2AM→．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）＝xlnx，g(x)=12x2．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最值；（Ⅱ）若对b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．参考答案一、选择题1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．解：B ＝{x |﹣5＜x ＜3，x ∈Z}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：A ．2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3【分析】求出z ，求出z 的模即可． 解：z =21+i=1﹣i ， 故|z |=√2， 故选：B ．3．已知cos （π4−α）=45，则sin2α＝（ ）A ．−725B ．725C ．−15D ．15【分析】由题意利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin αcos α的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．解：∵cos （π4−α）=45，即 √22cos α+√22sin α=45，平方可得12+sin αcos α=1625，∴sin αcos α=750， 则sin2α＝2sin αcos α=725， 故选：B ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A．7B．9C．10D．11【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S＝﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．解：模拟程序的运行，可得：i=1，S=lg13=−lg3＞−1，否；i=3，S=lg13+lg35=lg15=−lg5＞−1，否；i=5，S=lg15+lg57=lg17=−lg7＞−1，否；i=7，S=lg17+lg79=lg19=−lg9＞−1，否；i=9，S=lg19+lg911=lg111=−lg11＜−1，是，输出i＝9，故选：B．5．已知向量a→，b→，|a→|=2，b→=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a→+2b→|=2√3，则a→与b→夹角是（）A．5π6B．2π3C．π3D．π6【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．解：由题意可得|b→|＝1，因为|a→+2b→|=2√3，所以a2+4a→⋅b→+4b→2=12，即8+4a→⋅b→=12，所以a→⋅b→=1，设向量a→与b→夹角θ，所以cosθ=a→⋅b→|a→||b→|=12，因为θ∈[0，π]，所以θ=π3．故选：C．6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（）A．6B．21C．27D．54【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：S=12⋅3⋅5+12⋅3⋅4+12⋅3⋅5+12⋅3⋅4，＝27，故选：C．7．已知实数x，y满足{x−2≥0y−2≥0x+y−8≤0，z＝ax+by（a＞b＞0）的最大值为2，则直线ax+by﹣1＝0过定点（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1）【分析】由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线ax+by﹣1＝0由直线系方程得答案．解：画出不等式组{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解， 联立{y −2=0x +y −8=0，解得C （6，2），所以6a +2b ＝2，即3a +b ＝1； 所以b ＝1﹣3a ，代入ax +by ﹣1＝0，得ax +y ﹣3ay ﹣1＝0， 即a （x ﹣3y ）+y ﹣1＝0， 由{x −3y =0y −1=0，解得{x =3y =1．所以直线ax +by ﹣1＝0必过定点（3，1）． 故选：A ．8．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．6587【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算． 解：∵X ～N （1，1），∴μ＝1，σ＝1．μ+σ＝2∵P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，∴则P （0＜X ＜2）＝68.26%， 则P （1＜X ＜2）＝34.13%， ∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587． 故选：D ． 9．设函数f （x ）=2xx+1+lnx 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ）B ．x 0∈（a ，b ）C ．x 0∈（b ，c ）D ．x 0∈（c ，+∞）【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 解：函数函数f （x ）=2x x+1+lnx ＝2+lnx −2x+1的定义域为{x |x ＞0}，函数是增函数， 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），说明f （a ），f （b ），f （c ），有1个是负数一定是f （a ）两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a ，c ），在（a ，b ），在（c ，+∞）， 不可能在（b ，c ）． 故选：C ． 10．若双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．2【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 解：设双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线不妨为：bx +ay ＝0，圆（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=2b√a 2+b ，解得：4c 2−4a 2c 2=3，可得e 2＝4，即e ＝2．故选：D ．11．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√34【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积．解：∵c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，∴sin C sin A cos B +sin A sin B cos C =√32sin A ，∵sin A ≠0，∴sin C cos B +sin B cos C =√32，即sin （B +C ）＝sin A =√32，∴A =π3或A =2π3． 若A =2π3，则a ＞b ，a ＞c ，故2a ＞b +c ，与a ＝1，b +c ＝2矛盾． ∴A =π3，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ＝1， ∴bc ＝1，∴S =12bc sin A =12×1×√32=√34．故选：D ．12．f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1e，+∞） B ．[1e，+∞）C ．[1，+∞）D ．[1e，1e） 【分析】对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），在坐标系中，画出函数y ＝f （x ）﹣1与y ＝a （x +1）的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，推出结果． 【解答】解：f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），则f （x ）﹣1={x 2−1，−1≤x ≤0ln(x +1)−1，x ＞0，在坐标系中，画出函数y ＝f （x ）﹣1与y ＝a （x +1）的图象，如图： 对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），就是函数y ＝a （x +1）的图象都在y ＝f （x ）﹣1图象的上方， 则y ＝ln （x +1）﹣1可得y ′=1x+1（x ＞0），设切点坐标（m ，n ）， 可得1m+1=nm+1，可得n ＝1，此时ln （m +1）﹣1＝1，解得m ＝e 2﹣1，所以切线的斜率为：1e 2−1+1=1e 2．可得a ≥1e 2． 故选：A ． 二、填空题13．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点，则p ＝ 2 ． 【分析】判断抛物线的准线方程，利用直线与x 轴的交点在抛物线的准线上，求解即可． 解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线：x =−p2，经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点（﹣1，0），可得：−p2=−1，解得p ＝2． 故答案为：2．14．已知二项式（1+x ）n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+x)n 展开式中常数项为 16 ．【分析】因为只有第四项的二项式系数最大，所以第四项是唯一中间项，由此求出n 的值；然后再将(1+1x2)(1+x)n 拆成两个式子，求出展开式中的常数项． 解：由题意，（1+x ）n 展开式中第n 2+1=4项的二项式系数最大，故n ＝6． 故(1+1x 2)(1+x)n =(1+1x 2)(1+x)6=(1+x)6+1x2⋅(1+x)6． 该式中前一项的常数项为：C 60=1，后一项展开式的常数项为1xC 62⋅x 2=C 62=15． 故原式展开式中的常数项为1+15＝16． 故答案为：16．15．关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： ①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1﹣x 2必是π的整数倍； ②y ＝f （x ）在区间(−5π13，π13)上单调递增； ③y ＝f （x ）的图象关于点(−π6，0)对称； ④y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 ②③ ．（把你认为正确的命题序号都填上）【分析】利用特殊值判断①；函数的单调性判断②；函数的对称中心判断③；函数的对称轴判断④．解：函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，①特例：x 1=−π6，x 2=π3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝0，但是x 1﹣x 2不是π的整数倍；所以①不正确；②y ＝f （x ）的周期为π，−π2≤2x +π3≤π2，可得−5π12≤x ≤π12是函数的单调增区间，所以函数在区间(−5π13，π13)上单调递增；所以②正确； ③y ＝f （x ）可知x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以③正确；④x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以y ＝f （x ）的图象不关于直线x =−π6对称．所以④不正确； 故答案为：②③．16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于28π3．【分析】通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：△PAB 是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB 的中心的垂线上，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以作GO ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ，外接球的球心也在平面ABC 的重心的垂线上，作OE ⊥平面ABC 交AC 于E ，O 为外接球的球心，由题意可知EC =√2，GD =13×√32×2=√33，外接球的半径为：OC =(√33)2+(√2)2=√73．外接球的表面积为：4π×(√73)2=28π3．故答案为：28π3．三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．【分析】（Ⅰ）先由茎叶图得到分数的中位数，由茎叶图看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可；（Ⅱ）用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人，再由排列组合确定出概率．解：（Ⅰ）根据茎叶图得：甲班抽出同学分数的中位数：122+1142=118，乙班抽出同学分数的中位数：128+1282=128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（Ⅱ）根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人．设“抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A，则P(A)=C22⋅C83C105⋅C33⋅C114C147=5234．故抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝a n2+2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n =1(a n +1)2，设数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：T n ＜14．【分析】（Ⅰ）由4S n =a n 2+2a n ⇒4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，再由a n ＞0得a n +1﹣a n ＝2，然后求出a 1，说明数列{a n }为等差数列，进而求得通项公式； （Ⅱ）由a n ＝2n ⇒b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1＜14n(n+1)=14(1n −1n+1)，进而证明结论． 解：（Ⅰ）∵4S n =a n 2+2a n ①，∴4S n+1=a n+12+2a n+1②，由②﹣①得，4a n+1=a n+12−a n 2+2a n+1−2a n ，即（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，因为a n +1+a n ＞0，所以a n +1﹣a n ＝2．又由4S 1=a 12+2a 1解得a 1＝2，故数列{a n }为等差数列，公差d ＝2．故a n ＝2（n ﹣1）×2＝2n ； （Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ，∴b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1＜14n(n+1)=14(1n −1n+1)，所以T n ＜14(1−12)+14(12−13)+14(13−14)+⋯+14(1n −1n+1)=14(1−1n+1)＜14． 19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，∠APB ＝90°，M ，N 分别是CD ，PB 的中点． （1）证明：CN ∥平面PAM ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，求二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值．【分析】（1）取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，由已知可知四边形CNEM 为平行四边形，得到CN ∥EM ，再由线面平行的判定可得CN ∥平面PAM ；（2）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，可得∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面APM 与APC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，则EN ∥AB 且EN =12AB ．在正方形ABCD 中，∵M 是CD 的中点，∴CM ∥AB 且CM =12AB ． ∴CM ∥EN ，且CM ＝EN ，则四边形CNEM 为平行四边形． ∴CN ∥EM ，∵CN ⊄平面PAM ，EM ⊂平面PAM ， ∴CN ∥平面PAM ；（2）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABCD ．又PA ∩平面ABCD ＝A ，从而AO 为直线PA 在平面ABCD 内的射影， 故∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，如图，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），P （0，0，√3），M （4，1，0），C （4，3，0）， AM →=(4，2，0)，AP →=(0，1，√3)，AC →=(4，4，0)．设m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)分别为平面APM 与APC 的一个法向量， 则{m →⋅AM →=4x 1+2y 1=0m →⋅AP →=y 1+√3z 1=0，取y 1=2√3，得m →=(−√3，2√3，−2)； {n →⋅AC →=4x 2+4y 2=0n →⋅AP →=y 2+√3z 2=0，取y 2=√3，得n →=(−√3，√3，1)． ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=3+6+2√7×√19=11√133133． 即二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值为11√133133．20．已知△ABC 的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC 的周长为8+4√3，O 是坐标原点，点M 满足OA →=−2AM →． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l 与曲线E 交于P ，Q 两点，若直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）通过|AB |+|AC |＝8＞|BC |，说明点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．求出a ，b 即可得到点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0）．由OA →=−2AM →，转化求解点M 的轨迹E 的方程．（Ⅱ）直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，利用韦达定理，结合直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求出直线的斜率，求出弦长，通过点到直线的距离表示三角形的面积求解即可．解：（Ⅰ）已知|AB |+|AC |＝8＞|BC |，所以，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．因为，2a ＝8，c =2√3，所以，a ＝4，b ＝2． 所以，点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0），由OA →=−2AM →得，{x 0=2x y 0=2y ，又x 0216+y 024=1． 故，点M 的轨迹E 的方程为(2x)216+(2y)24=1，即x 24+y 2=1(y ≠0)．（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0， 则△＝64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）＝16（4k 2﹣m 2+1）＞0， 即4k 2﹣m 2+1＞0，且x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2，故y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2． ∵直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， ∴y 1x 1⋅y 2x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k 2，即−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，又m ≠0，所以k 2=14，即k =±12．由△＞0，及直线OP ，OQ 的斜率存在，得0＜m 2＜2，∵|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10−5m 2， 点O 到直线l 的距离d =√1+k=5．S △OPQ =12|PQ|⋅d =√m 2(2−m 2)=√1−(m 2−1)2≤1，当m 2＝1时取等号， 此时直线l 的方程为y =±12x ±1，S △OPQ 的最大值为1．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，g(x)=12x 2．（Ⅰ）求函数f （x ）在[t ，t +1]（t ＞0）上的最值；（Ⅱ）若对b ＞a ＞0，总有m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；（Ⅱ）由m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）等价于mg （b ）﹣f （b ）＞mg （a ）﹣f （a ），构造函数h(x)=mg(x)−f(x)=m2x 2−xlnx ，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．解：（Ⅰ）因为，f '（x ）＝lnx +1单调递增；令f '（x ）＝lnx +1＝0得，x =1e． 当x ∈(0，1e)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x∈(1e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①当0＜t＜t+1＜1e时，满足条件的t不存在；②当0＜t＜1e＜t+1即0＜t＜1e时，f(x)min=f(1e)=−1e；③当1e≤t＜t+1即t≥1e时，f（x）min＝f（t）＝tlnt．（Ⅱ）因为，m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）等价于mg（b）﹣f（b）＞mg（a）﹣f（a），令h(x)=mg(x)−f(x)=m2x2−xlnx，因为b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，所以，h（x）在（0，+∞）上单调递增．问题化为h'（x）＝mx﹣lnx﹣1≥0对x∈（0，+∞）恒成立．即m≥lnx+1x对x∈（0，+∞）恒成立．令φ(x)=lnx+1x，则φ′(x)=−lnxx2．由φ′(x)=−lnxx2=0得，x＝1．当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）递增，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）递减，φ（x）max＝φ（1）＝1，故m的取值范围是：[1，+∞）．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，将直线l的参数方程{x=3+√32ty=12t代入曲线C的直角坐标方程得：(3+√32t−2)2+(12t)2=4，化简得t2+√3t−3=0，设A，B的参数分别为t1，t2，由韦达定理得：t1+t2=−√3，于是t P=t1+t22=−√32．设P（x0，y0），则{x0=3+√32×(−√32)=94y0=12×(−√32)=−√34故，点P的直角坐标为P(94，−√34 )．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t1+t2=−√3，t1•t2＝﹣3所以，|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√15又直线l的普通方程为x−√3y−3=0，圆心C（2，0）到直线l的距离为d=|2−3|√1+(√3)2=12，圆半径r＝2．所以，点M到直线l的距离的最大值为h max=d+r=52．因此，△MAB面积的最大值为：S=12|AB|⋅h max=12√15×52=5√154．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得|2x+1|+|2x﹣1|≥2，把不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，求解绝对值的不等式得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+b+c＝1，配凑使用柯西不等式，得12a+b+3b+2c=12[(2a+b)+(b+2c)](12a+b +32b+c)，则结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵|2x+1|+|2x﹣1|≥|（2x+1）﹣（2x﹣1）|＝2，∴不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1，∴m的取值范围是[﹣3，1]；（Ⅱ）证明：∵M＝1，∴a+b+c＝1，又a ，b ，c 均为正实数，配凑使用柯西不等式， 得12a+b +3b+2c=12[(2a +b)+(b +2c)](12a+b+3b+2c)≥12(√2a +b ⋅√12a+b +√b +2c ⋅√3b+2c )2 =12(1+√3)2=2+√3． 当且仅当3(2a+b)b+2c =b+2c 2a+b时上式等号成立．∴12a+b+3b+2c≥2+√3．。
2020届全国新课标2高考数学(文科)预测卷 (二)
2020年新课标二高考数学(文科)预测卷 （二）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知集合{}2|20A x x x =-≥，{}|1B y y =>-，则A B ⋂=( )A.(]10-,B.(]1102⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭,, C.112⎛⎤- ⎥⎝⎦, D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2.设复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1)2-,，则()12i z -+=( ) A.43i --B.43i -C.34i +D.33.若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )A. 3B.52C. 5D.24.已知12==，a b ，且()()52+⊥-a b a b ，则a 与b 的夹角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°5.已知(0,π)α∈,2sin2cos21αα=-,则cos α=( )A.55B.55-C.255D.255-6.如图,在等腰直角三角形ABC 中, AB BC =, 90ABC ∠=︒,以AC 为直径作半圆,再以AB 为直径作半圆,若向整个几何图形中随机投掷一点,那么该点落在阴影部分的概率为( )A.4π1+ B.2π1+ C.22π1+ D.1π1+7.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A,//α平面11CB D ,α平面ABCD m =,α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A.32B.22C.3 3D.138.函数3()cos ()exx x xf x +=的图象可能是( )A. B.C. D.9.函数()()(sin 00π)f x x ωωϕϕ=+><<,的部分图象如图所示，关于函数()f x 有下述四个结论: ①3π4ϕ=②2122f ⎛⎫⎪⎭=- ⎝；③当51,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，)(f x 的最小值为1-；④()f x 在117,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中所有正确结论的序号是( )A.①②④B.②④C.①②D.①②③④10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为( )323πB. 32πC. 36πD. 48π11.抛物线24x y =的焦点为F ,准线为l , ,A B 是抛物线上的两个动点,且满足AF BF ⊥,P 为线段AB 的中点,设P 在l 上的射影为Q ,则PQ AB的最大值是( )A.233 C.223 12.已知函数()21log 2,1()15,1a x x f x x a x ⎧+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，且(0a >,且1a ≠)在区间(),-∞+∞上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A.13[,]55B.12[,]55C.1313[,]{}5520⋃ D.1213[,]{}5520⋃ 二、填空题13.命题“2210x x ax ∀∈-+>R ,”是假命题则实数a 的取值范围是 .14.已知直线:330l mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点,过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,若23AB =则CD =__________.15.已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,若2z y z =-的最大值为11,则实数c 的值为________.16.在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,，且 ()sin cos2cos sin 22A A C C =-，3cos ,45A a ==，则ABC △的面积为 .三、解答题17.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()21n n n a S n +=+，且35a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()111322n a n n b a -=++⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3BC =，1AB =，12AA AC E ==，为1AA 的中点.(1)证明:平面EBC ⊥平面11EB C . (2)求三棱锥1C BC E -的体积.19.下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y (单位:kg)和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年~2018年的年份代码x 分别为1~7).附:回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑,a y bx =-.(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系;(2)根据散点图相应数据计算得77111074,4517ii i i i yx y ====∑∑,求y 关于x 的线性回归方程;(精确到0.01)(3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果.20.已知椭圆()2222:10y x C a b ab+=>>直线l 过焦点1(0)F ,并与椭圆C 交于M N ,两点，且当直线l 平行于x 轴时，MN =(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若2MF FN =，求直线l 的方程.21.已知函数()22()ln xae f x x a x x=+-∈R .(1)若0a ≤，讨论()f x 的单调性.(2)若()f x 在区间(0)2,内有两个极值点，求实数a 的取值范围. 22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4ρθ=，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线(:0)01l y kx x k '=≥<<,与曲线C 交于O M ,两点.(1)写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程.(2)若射线l '与直线l 交于点N ，求OMON的取值范围. 23.设函数()223f x x x =-++. (1)解不等式()8f x ≥；(2)若函数()f x 图象的最低点的坐标为(),m n ，且正实数a b ,满足a b m n +=+，求2211a b b a +++的最小值.参考答案1.答案：B2.答案：C3.答案：C4.答案：C5.答案：B6.答案：B7.答案：A8.答案：A 10.答案：D 11.答案：C 12.答案：C13.答案：[)1(1-∞-⋃+∞,］, 14.答案：4 15.答案：23 16.答案：617.答案：(1)由()21n n n a S n +=+，得()1n n na S n n =+-①，所以()()1111n n n a S n n +++=++②，由②-①，得()1112n n n n a na a n +++-=+，所以12n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为2的等差数列.因为35a =，所以112225a d a +=+⨯=，解得11a =， 所以()12121n a n n =+-=-.(2)由(1)得，134n n b n -=+⨯，所以()011123444n n T n -=++⋯++⨯+++()1143214n n n +-=+⨯-()1412n n n +=+-. 解析：18.答案：(1)易知1BB CB ⊥，3BC =1AB =，2AC =，222BC AB AC ∴+=，BC AB ∴⊥，又1BA BB B ⋂=，1BA BB ⊂，平面11ABB A ， BC ∴⊥平面11ABB A ，1B E ⊂平面11ABB A ，1BC B E ∴⊥.E 为1AA 的中点，11AE A E ∴==，2212BE B E ∴==，22211BE B E B B ∴+=，1BE B E ∴⊥.又BE BC B ⋂=，BE BC ⊂，平面BCE ，1B E ∴⊥平面BCE ， 又1B E ⊂平面11B C E ，∴平面EBC ⊥平面11EB C . (2)由(1)知BC AB ⊥，1AB BB ⊥，1B B BC B ⋂=，1B B BC ⊂，平面11B C CB ，AB ∴⊥平面11B C CB .又11//A A B B ，1B B ⊂平面11B C CB ，1A A ⊄平面11B C CB ，1//A A ∴平面11B C CB ，∴点E 到平面11B C CB 的距离为线段AB 的长.11C BC E E BC C V V --∴=113BC C S AB =⋅⋅△112132=⨯⨯.解析：19.答案：(1)根据散点图可知y 与x 正线性相关. (2)由所给数据计算得1(12...7)47x =+++=,721()28ii xx =-=∑,777111()()451741074221ii i i i i i i xx y y x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑,71421()()2217.8928()ii i ii xx y y b xx ==--==≈-∑∑, 10747.894121.877a y bx =-=-⨯≈, 所求线性回归方程为7.89121.87y x =+.(3)由题中的残差图知历年数据的残差均在-2到2之间,说明线性回归方程的拟合效果较好. 解析：20.答案：(1)当直线l 平行于x 轴时，直线:1l y =， 则MN =221112b a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-又1c =，222a b c =+，22a ∴=，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2212y x +=.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时不满足2MF FN =. 且由(1)知当0k =时也不满足.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠ 设11(,)M x y ，22(,)N x y . 联立得方程组22112y kx y x =++=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 并整理，得()222210k kx x ++-=.12222k x x k ∴+=-+，12212x x k =-+. 2MF FN =，122x x ∴=-，()2121212x x x x +∴=-，即()22422k k =+，解得k = ∴直线l的方程为1k =+. 解析：21.答案：(1)由题意可得()f x 的定义域为(0)+∞,，()()23212xae x f x x x x -'=--()()32xx ae x x--=， 当0a ≤时，易知0x x ae ->，所以，由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >， 所以()f x 在(0)2,上单调递减，在()2+∞,上单调递增. (2)由(1)可得()()()32xx ae x f x x --'=，当02x <<时320x x -<， 记()xg x x ae =-，则()1xg x ae '=-， 因为()f x 在区间(0)2,内有两个极值点， 所以()g x 在区间(0)2,内有两个零点，所以0a >. 令()0g x '=，则ln x a =-，①当ln 0a -≤，即1a ≥时，在(0)2,上，0()g x '<，所以在(0)2,上，()g x 单调递减，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意②当ln 2a -≥，即210a e <≤时，在(0)2,上，()0g x '>，所以在(0)2,上， ()g x 单调递增，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意.③当0ln 2a <-<，即211a e <<时，()g x 在(0)ln a -,上单调递增，在(ln 2)a -,上单调递减， 由()00g a =-<知，要使()g x 在区间(0)2,内有两个零点， 必须满足()()2ln ln 10220g a a g ae -=-->⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<， 综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 解析：22.答案：(1)依题意，直线l 的直角坐标方程为4x =.曲线2:2cos 2sin C ρρθρθ=+，故22220x y x y +--=，故()()22112x y -+-=，故曲线C的参数方程为12cos 1x y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(φ为参数). (2)设1,()M ρα，2(,)N ρα，则12cos 2sin ραα=+，24cos ρα=. 所以()122cos 2sin cos 4OM ON αααρρ+==2sin cos cos 2ααα+=()11sin 2cos244αα=++π1244α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为01k <<，故π04α<<，所以ππ3π2444α<+<πsin 214α⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以1π12244α⎛⎫<++ ⎪⎝⎭OM ON 的取值范围是112,24+⎛⎤ ⎥⎝⎦.解析：23.答案：(1)()34,28,3234,3x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，所以不等式()8f x ≥等价于2348x x ≥⎧⎨+≥⎩，或3288x x -<<⎧⎨+≥⎩，或3348x x ≤-⎧⎨--≥⎩， 解得2x ≥或02x ≤<或4x ≤-，所以不等式()8f x ≥的解集为,(),40-∞-⋃+∞］［(2)由(1)可得函数()f x 图象的最低点的坐标为(35)-,， 则3,5m n =-=，所以2a b m n +=+=，2211a b b a +++()()22111411a b a b b a ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()()2222111411a a b b a b b a ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()22124ab a b ≥++()22114a b =+=，当且仅当1a b ==时取等号， 所以2211a b b a +++的最小值为1。
云南省曲靖市2020版中考数学二模试卷C卷
云南省曲靖市2020版中考数学二模试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）比2小3的数是（）A . -1B . -5C . 1D . 52. （2分）下列图形是轴对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·芜湖模拟) 下列四个几何体中，主视图与其它三个不同的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2016·荆门) 化简的结果是（）A .B .C . x+1D . x﹣16. （2分）(2018·金华模拟) 本学期，大兴区开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动小江统计了班级30名同学四月份的诗词背诵数量，具体数据如表所示：诗词数量首4567891011人数34457511那么这30名同学四月份诗词背诵数量的众数和中位数分别是（）A . 11，7B . 7，5C . 8，8D . 8，77. （2分）给出下列命题：①四条边相等的四边形是正方形；②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．其中错误命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A . 289(1-2x)=256B . 256(1+x)2=289C . 289(1-x)2=256D . 289-289(1-x)-289(1-x)2=2569. （2分）已知等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，如果底边BC的长为6，则底角的正切值为（）A . 3B . 或C . 3或D . 3或10. （2分） (2016九上·黑龙江期中) 已知抛物线的解析式为为y=（x﹣2）2+1，则当x≥2时，y随x增大的变化规律是（）A . 增大B . 减小C . 先增大再减小D . 先减小再增大二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）(2019·夏津模拟) 多项式4a-a3分解因式的结果是________。
2020年云南曲靖高三一模文科数学试卷-学生用卷
2020年云南曲靖高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）1、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第1题5分设A ={x|x >1}，B ={x|x 2−x −2<0}，则A ∩B =（ ）．A. {x|x >−1}B. {x|−1<x ⩽1}C. {x|−1<x <1}D. {x|1<x <2}2、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第2题5分2017年广东深圳高三二模理科第2题5分已知复数z 满足(1+i)z =|√3+i|，其中i 是虚数单位，则z =（ ）．A. 1−iB. 1+iC. 12−12iD. 12+12i3、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第3题5分2020年云南曲靖高三一模理科第3题5分已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，b →=(12,m)，若(a →+b →)⊥(a →−b →)，则实数m 等于（ ）．A. ±12B. 12C. ±√32D. √324、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第4题5分2020年云南曲靖高三一模理科第4题5分2019~2020学年1月四川泸州叙永县四川省叙永县第一中学高一上学期月考第6题5分设a=log1.10.5，b=log1.10.6，c=1.10.6，则（）．A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. b<a<c5、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第5题5分2020年云南曲靖高三一模理科第5题5分我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”．意思是：“现有一金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”．若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，则该金锤总重为（）．A. 6斤B. 7斤C. 9斤D. 15斤6、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第6题5分2020~2021学年4月陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三下学期月考理科（十五模）第3题5分设光线通过一块玻璃，强度损失10%，如果光线原来的强度为k（k>0），通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k⋅0.9x（x∈N∗），那么光线强度减弱到原来的1以下时，至少通过这样的玻3璃块数为（）（参考数据：lg3≈0.477）A. 9B. 10C. 11D. 127、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第7题5分已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|−|FB||的值等于（）．A. 8√2B. 8C. 4D. 4√28、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第8题5分2020年云南曲靖高三一模理科第8题5分图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，记1号到16号同学的成绩依次为A1A2…A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）．A. 16B. 10C. 7D. 69、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第9题5分函数f(x)=ln x 4x的大致图象是（）．A.B.C.D.10、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第10题5分已知函数f(x)=13ax3+12bx2−x（a>0，b>0）在x=1处取得极小值，则27ab2的最大值为（）．A. 27B. 9C. 4D. 111、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第11题5分已知双曲线M:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线均和圆N:x2+y2−6x+5=0切，且双曲线M的右焦点为圆N的圆心，则双曲线M的离心率为（）．A. 32B. 3√55C. √3D. √212、【来源】 2020年云南曲靖高三一模文科第12题5分在四面体ABCD 中，AB =BD =AD =CD =3，AC =BC =4，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ）．A. 43B. 94C. 92D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年曲靖市数学高二第二学期期末检测试题含解析
2020年曲靖市数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ,若对任意的正实数x ,都有()()22f x xf x '+<恒成立,则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为( )A ．()(),11,-∞-+∞UB ．()1,1-C ．()()1,00,1-UD ．{}|1x x ≠±【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：构造新函数22()()g x x f x x =-，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．详解：设22()()g x x f x x =-，则2'()2()'()2g x xf x x f x x =+-(2()'()2)x f x xf x =+-，由已知当0x >时，'()(2()'()20g x x f x xf x =+-<，∴()g x 在(0,)+∞上是减函数，又∵()f x 是偶函数，∴22()()g x x f x x =-也是偶函数，(0)0g =，不等式22()(1)1x f x f x -<-即为22()(1)1x f x x f -<-，即()(1)g x g <， ∴()(1)g x g <，∴1x >，即11x x <->或． 故选A ．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如()()g x xf x =，()()f x g x x=，()()xg x e f x =，()()xf xg x e =等等． 2．函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+单调递增，则()20f x ->的解集为 A ．{}|22x x -<< B ．{|2x x >或}2x <- C ．{}|04x x << D ．{|4x x >或}0x <【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到2b a =，在()0,+∞单调递增，得0a >，再由二次函数的性质得到()200f x f ->=（），【详解】函数()()222f x ax b a x b =+--为偶函数，则20b a -=，故()()()2422f x ax a a x x =-=-+，因为在()0,+∞单调递增，所以0a >. 根据二次函数的性质可知，不等式()202f x f ->=（），或 者()202f x f ->=-（），的解集为{2222}{|04}x x x x x x --<-=或或， 故选D. 【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.3．在极坐标系中，圆cos ρθθ=的圆心的极坐标为（ ） A ．1,3π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,6π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，找到此时的圆心再化为极坐标. 【详解】Q cos ρθθ=可化简为：2cos sin ρρθθ=根据极坐标与直角坐标的互化公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩可得：22x y x +=-220x x y -+=化简可得：21130244xx y ⎛⎛⎫--++-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即：22112x y ⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴圆心为：13 ,2⎛⎫-⎪⎪⎝⎭1tan3ρθ=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩故圆心的极坐标为：1,3π⎛⎫-⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题主要考查了极坐标和直角坐标的互化和圆的极坐标方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4．函数()y f x=在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示，记()y f x=的导函数为()y f x'=，则不等式()0f x'≤的解集为（）A．1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦B．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C．31,[1,2]22⎛⎤-⋃⎥⎝⎦D．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫--⋃⋃⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭【答案】A【解析】【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数()f x的单调性【详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题．5．若关于x的不等式ln(1)e xx ax b++≥+对任意的0x≥恒成立，则,a b可以是（）A ．0a =，2b =B ．1a =，2b =C ．3a =，1b =D ．2a =，1b =【答案】D 【解析】 【分析】分别取0,1x x ==代入不等式，得到答案. 【详解】不等式()ln 1e xx ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立取0x =得：1b ≥取1x =得：ln 2e a b +≥+ 排除A,B,C 故答案为D 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，用特殊值法代入数据是解题的关键.6．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x +-的取值范围是（ ） A ．30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子111y x y x x +--=+，1y x-的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩即21x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩ 22211x y ∴-+-=（）（）， 其中[12]y ∈， 由题意作出图形，111y x y x x+--=+， 令11y k x-=+，则k 可看作圆22211x y ∴-+-=（）（），上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，在直角三角形ACB 中，30ACB k ∠=︒⇒=，由图形知，k 的取值范围是[0．则1y x x +-的取值范围是1,1⎡+⎢⎣⎦．故选C ．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想． 7．已知()*111()123f n n N n =++++∈L ，用数学归纳法证明()*2,2n nf n N >∈时，从假设n k =推证1n k =+成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（ ）A ．21k -B ．2kC ．21k +D ．1【答案】B 【解析】 【分析】分别计算n k =和1n k =+时的项数，相减得到答案. 【详解】()*111()123f n n N n=++++∈L n k =时，()11121223k k f =++++L ，共有2k 项.1n k =+时，()1111121322k k f ++=++++L ，共有12k +项.需在左边的表达式上多加的项数为：1222k k k +-= 故答案选B 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力. 8．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ） A ．20192 B ．1C ．0D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】首先采用赋值法，令12x =，代入求值201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭，通分后即得结果. 【详解】 令12x =， 201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭, 20192018201732019012201820191202320192019222...2...022222a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==，∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.故选：C 【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.9．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．16B ．2524C ．34D ．1112【答案】D 【解析】 【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n 8=时，不再运行循环体，直接输出S 值． 【详解】模拟程序图框的运行过程，得 S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=1,4,2n =满足条件，进入循环： 11,6,24s n =+=进入循环：111,8,246s n =++=不满足判断框的条件，进而输出s 值，该程序运行后输出的是计算：11111S 24612=++=．故选D ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．已知:1p a >，213211:22a aq +-⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：首先根据指数函数的单调性，结合幂的大小，得到指数的大小关系，即2132a a +>-，从而求得12a >，利用集合间的关系，确定出p,q 的关系. 详解：由21321122a a+-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2132a a +>-，解得12a >， 因为(1,)+∞是1(,)2+∞的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解的过程中，首先需要判断命题q 为真命题时对应的a 的取值范围，之后借助于具备真包含关系时满足充分非必要性得到结果. 11．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+【答案】D 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值．【详解】 由于()210,X N σ:，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=，由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=，当且仅当()420,0m n m n n m =>>，即当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+，故选D.【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．12．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到一组样本数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），则下列说法中不正确的是A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1. 【答案】C 【解析】由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心(),x y ，正确； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R 2来刻画回归效果,R 2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确， 线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。