合情推理与演绎推理的关系教学设计

6.1.4 合情推理与演绎推理的关系
一、教学目标
（一）知识目标：
通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．初步了解探索自然规律的原理与方法：使用合情推理发现问题提出猜想，再使用合情推理总结出解决方案或猜想，最后利用演绎推理加以论证．
（二）情感目标：
通过学习让学生体会探索自然规律和证明定理过程中激动人心的一幕，促使学生爱数学、学数学、应用数学并发现数学，养成学生勤于观察、思考，擅于提出问题、解决问题的优良品质．
（三）能力目标：
进一步提高学生归纳与类比的推理能力，进一步提高学生演绎推理的能力，并能在实际问题中综合应用合情推理与演绎推理．
二、教学重点
了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异，在实际问题中综合应用合情推理与演绎推理．
三、教学难点
在实际问题中综合应用合情推理与演绎推理．
四、教学过程
（一）引入课题
在我们学习了合情推理与演绎推理之后，必须认识到，归纳、类比和演绎不是孤立地出现的，它们紧密地交织在一起．
在数学史中，有许多世界著名的数学问题如哥德巴赫猜想、“四色定理”、费马大定理等主要是数学家依靠合情推理得以发现或解决的，但在发现和解决它们的时候也离不开演绎推理．
（二）传授新知
（配合多媒体演示）古希腊亚历山大城有一位久负盛名的学者——海伦，有一天，一位远道而来的将军向他请教一个问题：
从A地出发到河边饮完马再到B地去，在河边哪个地方饮马可使路途最短？如下图6-3所示：
A
B
M N
P 河岸
图6-3
N A
B
M P 河岸
A/
P/
图6-4
如何用更数学化的语言表述这个要解决的问题？
(学生)要解决的问题就是，如何在MN 上选出一个点P ，使AP ＋BP 最短． 这是一个路径最短的问题，我们在平面几何中知道，一个平面上两个点之间最短的路径是什么？
(学生 )连结这两个点的直线段．
现在的问题是一个折线段路径最短的问题，请思考，如何解决这个问题？ （提示学生化折为直）
(学生)将折线段路径最短问题转化为直线段路径最短问题．
在宇宙间最大的速度是光的速度，光总是走最短路径，这样，我们又可以展开类比的合情推理：假设一条光线从点A 出发射到直线上的点P ，再从点P 反射经过点B ，因为光总是走最短路径，可以猜想，最短路径可能就是光的入射线与反射线的路径．
师生共同用合情推理构思证明:如果把MN 看成镜子，把点B 看作一只眼睛，从镜子里看点A 的像点A '，点A '应该在镜子的背后，并且点A '在BP 的延长线上．由此先作点A 关于MN 的对称点A '，连接BA '，交MN 于P ，点P 即为所求．
用演绎法证明如下：如图6-4所示，在MN 上任取一点P '(异于点P )，则AP P A '''=，AP PA '=，从而AP P B A P P B A B A P PB AP PB '''''''+=+>=+=+．
由此可知：A 到B 经点P 距离最短．
（三）课堂小结
以上是一个经典的几何最短路径问题的提出与解决的全过程，从中可以总结出探索自然规律的原理与方法：使用合情推理发现问题提出猜想，再使用合情推理得到解决方案或猜想，最后利用演绎推理加以论证．
合情推理和演绎推理的主要区别是思维进程的不同，比如合情推理中的归纳推理的思维进程是从个别到一般．而演绎推理的思维进程是从一般到特殊，是一个必然得出的思维进程．合情推理和演绎推理有着紧密的联系，一方面，归纳、类比推理的可靠性不仅要用许多事例去验证，而且也要用较一般的原理、较一般的规律去验证（即用演绎法来验证）；另一方面，演绎的前提是过去通过归纳得出的．任何一门科学的发展都有一个通过观察、实验而积累材料的阶段．当材料积累到一定程度，就要整理材料，从中概括出带普遍性的结论，即提出假说、定理、定律或公式．
逻辑史上曾出现两个相互对立的派别——全归纳派和全演绎派．全归纳派把归纳说成惟一科学的思维方法，否认演绎在认识中的作用．全演绎派把演绎说成是惟一科学的思维方法，否认归纳的意义．这两种观点都是片面的．正如恩格斯所说：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的．不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系、它们的相互补充．”
（四）技能训练
１． 教材P.137 例1．
２．直角三角形中有勾股定理：“△ABC 两边AB ，AC 互相垂直，则
AB 2+AC 2=BC 2”，将勾股定理推广到直四面体可以猜想所得的结果应是：“设直四面体A —BCD 的三个侧面ABC, ACD, ADB 两两相互垂直，且三个侧面面积分
别等于1S ,2S ,3S ，底面△BCD 的面积S ，则2
322212S S S S ++=．”现将二者的证明类比如下：
勾股定理的证明△ABC 中，如图6-5,过点A 作斜边BC 的垂线，垂足为D ，由AB
BD BC AB =得BC BD AB ⋅=2，同理，CB CD AC ⋅=2，两式相加得222BC AC AB =+．
类比勾股定理的证明，在三棱锥中，如图6-6,设二面角B CD A --的平面角
大小为α，由立体几何知识有ACD
COD BCD ACD S S S S ∆∆∆∆==αcos ，故有BCD COD ACD S S S ∆∆∆⋅=2，同理有BCD BOC ABC S S S ∆∆∆⋅=2，BCD BOD ABD S S S ∆∆∆⋅=2，三式相加得2
322212S S S S ++=．
（五）思维与拓展
在探索自然规律时，首先要确定一个目标，或者提出一个要解决的问题；然后通过日常的实践、分析和合情推理，总结出一个预期的解决方案或猜想；最后还需对此猜想作出严格的证明．证明的过程中则需要按演绎推理的规则进行．证明完前一步，下一步又该如何演绎，仍需依靠合情推理提供思路，直到完成全部证明．
美国著名的数学教育家G 波利亚曾指出：“数学的创造过程是与其他知识的创造一样的，在证明一个定理之前，你先得猜想这个定理的内容，在你完全作出详细的证明之前，你得猜想证明的思路．你要先把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地尝试．数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理），即证明．但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的．”
在平面几何与立体几何中存在着许多类比发现的过程，比如：
１．正三角形的中心位于高线的三等分点处，类比发现正四面体的中心位于高线的四等分点处；
２．三角形的内切圆半径为r ，各边长为,,a b c ，则三角形的面积为
1()2
S r a b c =++，类比发现四面体的内切球半径为R ，各表面三角形面积为1234,,,,S S S S 其体积为12341()3
V R S S S S =+++． 五、布置作业
教材P.141 习题 16，17，18，20．
A
C 图6-5 A B C
D O 图6－6。