高考数学复习—常考小题点过关检测(含答案及解析)
高考数学必背公式与知识点过关检测
3．函数的单调性：设 x ，x ∈ [a, b ] ，且 ▲ y高考数学必背公式与知识点过关检测姓名班级第一部分：集合与常用逻辑用语1．子集个数：含 n 个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空 子集，有 个非空真子集 2．常见数集：自然数集： 正整数集： 或 整数集： 有理数集： 实数集：3．空集： φ 是任何集合的 ，是任何非空集合的 .4．元素特点： 、 、 确定性 5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算 6．四种命题：原命题：若 p ，则 q ；逆命题：若，则 ；否命题：若，则 ；逆否命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。
互 为逆否的命题7．充要条件的判断： p ⇒ q ， p 是 q 的 条件； p ⇒ q ，q 是 p 的 条件； p ⇔ q ， p , q 互为条件；若命题 p 对应集合 A ，命题 q 对应集合 B ，则p ⇒ q 等价于 ， p ⇔ q 等价于注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 ⇒ 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒ 甲）”； 8．逻辑联结词：或命题： p ∨ q ， p , q 有一为真即为 ， p , q 均为假时才为 ； 且命题： p ∧ q ， p , q 均为真时才为 ， p , q 有一为假即为 ；非命题：⌝p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题9.全称量词与存在量词：⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用 ∀ 表示；全称命题 p ： ∀x ∈ M , p ( x ) ；全称命题 p 的否定 ⌝ p ：；⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃ 表示；特称命题 p ： ∃x ∈ M , p ( x ) ；特称命题 p 的否定 ⌝ p ：；第二部分：函数与导数及其应用1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0 次幂的底数 0 ；对数函数 的真数 0；指数与对数函数的底数 0 且 1 2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论；分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的、值域是各段值域的121/2xyy=| cos2 x +1/2 图象，那么：（1）▲y=c osx|图象x⇔ f ( x 1 ) - f ( x 2 )> 0 ⇔ f ( x )在[a, b ]上是x - x1 2函数；x - x．．．．（2） ( x - x ) [ f ( x ) - f ( x )]< 0 ⇔ f ( x 1) - f ( x 2) < 0 ⇔ f ( x )在[a, b ]上是1 2 1 212函数；（3）如果 f '( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为函数； f '( x ) < 0 ，则 f ( x ) 为函数；（4）复合函数的单调性：根据“同 异”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于对称是函数具有奇偶性的前提条件⑵ f ( x) 是 函数 ⇔ f (- x) = - f ( x) ； f ( x) 是函数 ⇔ f (- x) = f ( x) .⑶奇函数 f ( x ) 在 0 处有定义，则⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有的单调性，偶函数有 的单调性⑸偶函数图象关于轴对称、奇函数图象关于坐标 对称5．函数的周期性：周期有关的结论：(约定 a ＞0)（1） f ( x ) = f ( x + a) ，则 f ( x ) 的周期 T=；（2） f ( x + a) = - f ( x ) ，或 f ( x + a) = 1 1( f ( x ) ≠ 0) ，或 f (x + a) = - ( f (x) ≠ 0),f ( x ) f (x)则 f ( x ) 的周期 T=（3） f ( x + a) = f ( x - a) 或 f ( x - 2a) = f ( x )(a > 0)⇒ f ( x ) 的周期为6．函数的对称性：① y = f ( x ) 的图象关于直线对称 ⇔ f (a + x) = f (a - x) ⇔ f (2a - x) = f ( x ) ；② y = f ( x ) 的图象关于直线对称 ⇔ f (a + x) = f (b - x ) ⇔ f (a +b - x ) = f (x) ；7．对数运算规律：（1）对数式与指数式的互化：（2）对数恒等式： l og 1 =， log a =， log a b =． lg 2+lg5 =，aaalne =（3）对数的运算性质：①加法： log M + log N =②减法：= log a a③数乘：= log M n (n ∈ R)④恒等式： a log a N =aMaN⑤ log a m b n =⑥换底公式： log a N = log N mlog am8．二次函数：二次函数 y = ax 2 + bx + c （a ≠0）的图象的对称轴方程是，顶点坐标是判别式 ∆ = b 2 - 4ac ； ∆ > 0 时，图像与 x 轴有个交点；' ' ' ' ' ' ' ' ⎡⎣ g (x )⎦⎢ tan∆ = 0 时，图像与 x 轴有个交点； ∆ < 0 时，图像与 x 轴没有交点；9. 韦达定理：若 x 1, x 2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个根，则： x 1+x 2= ，x 1x 2= .10．零点定理：若 y=f(x)在[a ,b ]上满足 , 则 y=f(x)在（a ,b )内至少有一个零点11．常见函数的导数公式：① (C )' =；② ( x n ）= ； (nx ）=③ (sin x ）= ； ④ (cos x ）= ；⑤ (e x ）= ； ⑥ (a x ）= ；⑦ (ln x ）= ；⑧(logx ）= .12．导数运算法则：（1） f (x )⋅ g (x )⎤⎦' =；⎡ f (x )⎤'（2） ⎥ =．⎣13．曲线的切线方程：函数 y = f ( x ) 在点 x 处的导数是曲线 y = f ( x ) 在 P( x , f ( x )) 处的切线的斜率为 f '( x ) ，相应的切线方程是 .14．微积分基本定理：如果 f (x )是 [a, b ]上的连续函数，并且有 F ' (x ) = f (x ) ，则第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形1．角度制与弧度制互化： 360°= rad ，180°= rad ，1°= ≈ rad ，1rad = ≈2．若扇形的圆心角为α(α为弧度制)，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则l =， C =，S==．3.三角函数定义式：角 α 终边上任一点（非原点）P ( x , y) ,设 | OP |= r 则sin α =， cos α =， tan α =4．同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：(2)商数关系： α = ．5.函数的诱导公式：口诀：.(5)sin ⎛ π - α ⎫⎪ = cos αcos+ α ⎪ = - sin α ⎝ 2 ⎭精品文档(1)sin (2k π + α ) = sin α， ， ．（k ∈Z ）（2）， ， tan (π + α ) = tan α．(3)， ，tan (-α ) = - tan α．(4) ，,⎝ 2⎭，．⎛ π ⎫ (6)， ．6．特殊角的三角函数值：tan (π - α ) = - tan α．角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°角α的 弧度数SinαCosαtanα7．三角函数的图像与性质：y = sin xy = cos xy = tan x定义域值域周期 奇偶性单调性1 .精品文档对称性8．几个常见三角函数的周期：① y = sin x 与 y = cos x 的周期为 .② y = sin(ωx + ϕ) 或 y = cos(ωx + ϕ) （ ω ≠ 0 ）的周期为.③ y = tan x 的周期为.2④ y = cos x 的周期为9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（）cos (α - β ) =；（2）cos (α + β ) = ；（3）sin (α - β ) =；（4）sin (α + β ) = ；（5）tan (α - β ) =; （6）tan (α + β ) =.10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 2α =cos2 α ===⇒ 降次公式： cos 2α =， sin 2α =, sin α cos α =tan2α =11．引入辅助角公式： a sin α + b cos α =. (其中,辅助角ϕ 所在象限由点 (a, b ) 所在的象限决定, tan ϕ = b a).12. 正弦定理：. （R 是 ∆ABC 外接圆直径）注 ： ① a : b : c = sin A : sin B : sin C ； ② a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C ；③ a b c a + b + c= = =sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C13. 余弦定理：⇔（变式） （以 A 角和其对边来表示）r r 3.三点共线的充要条件：P ，A ，B 三点共线 ⇔ OP =xOA +y → 且=1OB精品文档14. 三角形面积公式： S∆ABC = = = ．（用边与角的正弦值来表示） 三角形面积导出公式：S ∆ABC = （ r 为 ∆ABC 内切圆半径）=（ R 外接圆半径）15. 三角形内切圆半径 r =外接圆直径 2R ===第四部分：平面向量、数列与不等式r r r r1． 平面向量的基本运算：设 a = ( x , y ) ， b = ( x , y ) ；（ b ≠ 0 ）11 2 2▲r r= ； a - b = ；1/2y=|cos2 +1/2图象a ⋅b =（定义公式）=(坐标公式)．rra 在b 方向上的投影为. =(坐标公式)r ra ⊥b ⇔（一般表示） ⇔ （坐标表示） ．r ra ∥b ⇔（一般表示） ⇔（坐标表示）．夹角公式： cos θ ==(坐标公式).r2.若 G 为 ∆ABC 的重心，则= 0 ；且 G 点坐标为 ( ， ) → →4.三角形的四心 重心：三角形三条 交点.外心：三角形三边 相交于一点. 内心：三角形三相交于一点.垂心：三角形三边上的相交于一点.5. 数列{ a }中 a 与 S 的关系 a = n nnn6. 等差数列与等比数列对比小结：等差数列 等比数列定义公式1． a =n1． a =n)2．S=2．S= n n1．a,b,c成等差数列⇒性质称b为a与c的等差中项2．若m+n=p+q,则1．a,b,c成等比数列⇒称b为a与c的等比中项2．若m+n=p+q,则7.常见数列的和：①1+2+3+……+n=②12+22+32+……+n2=③13+23+33+……+n3=8.一元二次不等式解的讨论.∆>0∆=0∆<0二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集9.均值不等式：若a>0，b>0，则⇔；10.重要不等式：11．极值定理：已知x,y都是正数，则有：(1)如果积xy是定值p，那么当x=y时和x+y有最小值；(2)如果和x+y是定值s，那么当x=y时积xy有最大值.12.两个著名不等式：（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么特别地， ab ≤ ( a + b ) 2 ≤ a +b （当 a = b 时， ( a + b ) 2 = a +b = ab ） ≥ ⎪ (a, b , c ∈ R, a = b = c 时取等)3 r r]c osθ=（两直线方向向量为 a, b ） r rb c （当仅当 a =b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）2 2 2 22 2 2 2a 2 +b 2 +c 2 ⎛ a + +b + c ⎫ 23 ⎝ ⎭⇒ 幂平均不等式： a 2 + a 2 + ... + a 2 ≥ 1 2 n 1n(a + a + ... + a ) 21 2 n（2）柯西不等式：.（当且仅当 ad=bc 时取等号）第五部分：立体几何与解析几何1. 三视图与直观图：原图形与直观图面积之比为 2. 常见几何体表面积公式：圆柱的表面积 S=圆锥的表面积 S=圆台的表面积 S=球的表面积 S=3．常见几何体体积公式：柱体的体积 V=锥体的体积 V=台体的体积 V= 球体的体积 V= 4. 常见空间几何体的有关结论：⑴棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底 面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ；相应 小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a ， ， ，则体对角线长为， 全面积为，体积 V=⑶正方体的棱长为 a ，则体对角线长为,全面积为，体积 V=⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的 长.球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的 直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长. ⑸正四面体的性质：设棱长为 a ，则正四面体的： ① 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径： 5. 空间向量中的夹角和距离公式：（1）空间中两点 A ( x , y , z ) ， B ( x , y , z ) 的距离 d =11 12 2 2π （2）异面直线夹角：θ ∈ (0, 2π（3）线面角：θ ∈ [0, ] ，且 sin θ=（ l ， n 为直线的方向向量与2平面的法向量）r r（4）二面角：θ ∈ [0, π ] ，且 cos θ=（两平面的法向量分别为 n 1 和 n 2 ）r（5）点到面的距离：平面α的法向量为n，平面α内任一点为N，点M到平面α的距离d=6．直线的斜率：k==（θ为直线的倾斜角，A(x,y)、B(x,y)为直线上的两点）11227.直线方程的五种形式：直线的点斜式方程：(直线l过点P(x,y)，且斜率为k)．111直线的斜截式方程：(b为直线l在y轴上的截距).直线的两点式方程：(P(x,y)、P(x,y)x≠x，y≠y).1112221212直线的截距式方程：(a、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且a≠0,b≠0).直线的一般式方程：(其中A、B不同时为0).8．两条直线的位置关系：（1）若l:y=k x+b，l:y=k x+b,则：111222.①l∥l⇔且；12（2）若l:A x+B y+C=0,l:A x+B y+C=0,则：11112222①l∥l⇔且；②.l⊥l⇔.12129．距离公式：（1）点P(x,y)，P(x,y)之间的距离：111222（2）点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离：00（3）平行线间的距离：Ax+By+C=0与Ax+By+C=0的距离：1210.圆的方程：（1）圆的标准方程：（2）圆的一般方程：（D2+E2-4F>0) 11．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离d与半径R的大小关系（1）当时，直线和圆（有两个交点）；x 1x 2=y 1y 2=1 |AF| |BF| （ （（2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点）； （3）当时，直线和圆 （无交点）；12. 圆与圆的位置关系：判断圆心距 d 与两圆半径和 R + R ，半径差 R - R （ R > R ） 121212的大小关系： （1）当 时，两圆 ，有 4 条公切线； （2）当 时，两圆 ，有 3 条公切线； （3）当 时，两圆 ，有 2 条公切线； （4）当 时，两圆 ，有 1 条公切线； （5）当时，两圆 ，没有公切线；13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= （d 为直线的距离 r 为半径） 14．椭圆的定义：（1）第一定义：平面内与两个定点 F 、F 的距离和等于常数 的点的轨 12迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（ a 2 = b 2 + c 2 ）（2）标准方程：焦点在x 轴上：；焦点在 y 轴上：.15．双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两个定点 F 、F 的距离之差的绝对值等于常 12数： 的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离 叫焦距.（ c 2 = b 2 + a 2 ）（2）标准方程：焦点在 x 轴上： ；焦点在 y 轴上： .16．抛物线的定义：（1）平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （点 F 不在 l 上）的距离的 的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线. （2）标准方程：焦点在 x 轴上： ；焦点在 y 轴上： .17．离心率：e = （椭圆的离心率 ，双曲线的离心率，抛物线的离心率）18．双曲线的渐近线： x 2 y 2 - a 2 b 2= 1（ a > 0 ， b > 0 ）的渐近线方程为 ，且与x 2 y 2 x 2 y 2- = 1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 - a 2 b 2 a 2 b 2= λ .19．过抛物线焦点的直线：倾斜角为 θ 的直线过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点 F 且与抛物线交于 A( x , y ) 、 B( x , y ) 两点11 2 2（ y > 0 ）：1|AF|=|BF|= |AB|==1 +=20．焦点三角形的面积： 1）椭圆：S= ； 2）双曲线：S=（ ∠F PF = θ ）1221．几何距离：（1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）：；②短轴（虚轴）：；③两焦点间距离：.（2）焦准距：①椭圆、双曲线：；②抛物线：.（3）通径长：①椭圆、双曲线：；②抛物线：.22．直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为A(x,y),B(x,y),则1122|AB|===23.中点弦问题：椭圆：k AB k OP=双曲线：k AB k OP=第六部分：统计与概率1.总体特征数的估计：⑴样本平均数⎺x==；⑵样本方差；S2==；⑶样本标准差S=2．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=⑵古典概型：基本事件的总数数为N，随机事件A包含的基本事件个数为M，则事件A发生的概率为：P(A)=⑶几何概型：P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积等）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）3．离散型随机变量：⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p i≥,i=1,2,3，…；p1+p2+…=②离散型随机变量：X x1X2…XnP P1P2…P n均值（又称期望）：EX＝方差：DX＝注：E(aX+b)=aEX+b;D(aX+b)=a2DX；③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n,p）,则EX＝,DX＝注：P(X=k)=C k p k(1-p)n-kn⑵条件概率：P（B|A）=-m 注：0 ≤ P （B|A ） ≤ 1⑶独立事件同时发生的概率：P （AB ）=第七部分：复数与计数原理1. 复数的基本概念： z = a + bi （ a ， b ∈ R ） （1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i 2=（2）模：|z |==（3）共轭复数：z =（4）在复平面内对应的点为（5）复数相等：a+bi=c+di （a ，b ，c ，d ∈R ） ⇔ 2. 复数的基本运算： （1）加减法：（a+bi ）＋（c+di ）= （a+bi ）－（c+di ）= （2）乘法：（a+bi ）×（c+di ）=（3）除法：（a+bi ）÷（c+di ）=注：对虚数单位 i ,有 i 4n +1 = i, i 4n +2 = -1, i 4n +3 = -i, i 4n = 1 .3．分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）：.（1）完成一件事有 n 类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m12种不同的方法，…，在第 n 类方案中有 m 种不同的方法．那么完成这件事共有 nN=种不同的方法．（2）完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 m 种12不同的方法……做第 n 步有 m 种不同的方法.那么完成这件事共有 N= 种n不同的方法.4．排列数公式： = =； =(m≤ n,、n ∈N*)规定 0! = 15．组合数公式：且 m ≤ n ）；6. 组合数性质：；7．二项式定理：（a+b ）n =（ C r 叫做二项式系数）n= （ n ，m ∈ N *，8．二项展开式的通项公式：T r+1=（r=0,1,2…… n ）⎧ ρ = x 2 + y 2 ⎩ y = ρ sin θ2 ) (a > 0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是⎪ (a > 0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 ⎛ b，第八部分：坐标系与参数方程⎧ x = ρ cos θ⎪1. 极坐标→直角坐标 ⎨直角坐标→极坐标 ⎨y⎪tan θ = ( x ≠ 0) ⎩ x2. 圆的极坐标方程：①以极点为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是；②以 (a,0) (a > 0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是；③以 (a,π；④以 (a,π )(a > 0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是;⑤以 a, ⎝ 3π ⎫ 2 ⎭3. 常见曲线的参数方程：普通方程参数方程常见曲线 的普通方 程与参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点 ( x , y ) 倾斜角为 α0 0y - y = tan α ( x - x )0 0或者 x = x( x - x )2 + ( y - y )2 = r 20 0x 2 y 2+ = 1 （a ＞b ＞0） a 2 b 2x 2 y 2- = 1（a ＞0， ＞0） a 2 b 2y 2 = 2 px （p ＞0）（ t 为参数）（θ 为参数）（θ 为参数）（θ 为参数）（ t 为参数）。
高考数学一轮复习课时过关检测二十七余弦定理和正弦定理含解析
课时过关检测(二十七) 余弦定理和正弦定理A 级——基础达标1．(2022·泰安模拟)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( )A ．56 B ．76 C ．53D ．73解析：D 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，因为AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，tan A ＝73，故选D ．2．在△ABC 中，A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，则BC 边上的高的长度为( )A ．2217B ． 2C ． 3D ．213解析：A 由A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，得S △ABC ＝12×4×3×12＝3，由余弦定理得：BC ＝3＋16－2×4×3×32＝7，BC 边上的高的长度为2×37＝2217．故选A ． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝b cos C 且c ＝6，A ＝π3，则△ABC 的面积为( )A ．36 3B ．27C ．20 3D ．18 3解析：D 在△ABC 中，a ＝b cos C ，所以sin A ＝sin B cos C ，又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝0，因为B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以sin C ≠0，所以cos B ＝0，所以B ＝π2，又因为c ＝6，a ＝6tan A ＝63，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ac ＝183，故选D ．4．(2022·耀华模拟)已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．是直角三角形但不是等腰三角形C ．是等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形解析：D 依题意△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)，则12bc sin A ＝14(b 2＋c 2)，2bc sin A ＝b2＋c 2，由于0＜A ＜π，0＜sin A ≤1，所以0＜2bc sin A ≤2bc ，由基本不等式可知b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以sin A ＝1，A ＝π2，△ABC 是等腰直角三角形．故选D ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ＝6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2．△ABC面积为42，则sin C ＝( )A ．16 B ．13 C ．69D ．223解析：B 因为b ＝3c ＝6，△ABC 的面积为42＝12bc sin A ＝6sin A ，解得sin A ＝223，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝13，在△ABC 中，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42，因为42223＝2sin C，所以sin C ＝13．故选B ．6．(多选)在△ABC 中，下列说法正确的是( ) A ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若a ＝40，b ＝20，B ＝25°，则△ABC 必有两解 C ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＞cos BD ．若cos 2A ＋cos 2B －cos 2C ＜1，则△ABC 为锐角三角形解析：BC 对于A ，由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°，∴△ABC 为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，a sin B ＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×12＝20，即a sin B ＜b ＜a ，∴△ABC 必有两解，故B 正确；对于C ，∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，即π2＞A ＞π2－B ＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B －1＋2sin 2C ＜1，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＞0，即a 2＋b 2－c 2＞0，∴cos C ＞0，即C 为锐角，不能说明△ABC 为锐角三角形，故D 错误．故选B 、C ．7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是( )A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形解析：ACD 因为a sin A ＝4b sin B ，所以a 2＝4b 2，所以a ＝2b ，故A 正确；因为ac ＝5(a 2－b 2－c 2)＝5·(－2bc cos A )，且a ＝2b ，所以2bc ＝－25bc cos A ，所以cos A ＝－55，故B 错误；因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝255，又因为a ＝2b ，所以sin A ＝2sin B ，所以sin B ＝55，故C 正确；由cos A ＝－55＜0可知A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以△ABC 为钝角三角形，故D 正确；故选A 、C 、D ．8．(2021·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．解析：由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA ＝π3，所以∠BDA ＝2π3，根据条件△AFC 与△BDA 全等，所以AF ＝BD ＝1在△ABD 中，AD ＝3，BD ＝1，AB 2＝AD 2＋BD 2－2×AD ×BD ×cos∠BDA ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以AB ＝13．答案：139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．解析：由题意得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，故bc ＝4．因为A ＝60°，b＋c ＝6，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝24，所以a ＝26，△ABC 的周长为6＋26，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12(a ＋b ＋c )r ＝12×()6＋26r ＝3，所以r＝3－2．答案：3－ 210．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC 的面积为12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． (1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)选择①，根据正弦定理得(a －c )(a ＋c )＝b (a －b )， 整理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3． 选择②，根据正弦定理有sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ． 因为C ∈()0，π，所以sin C ≠0，从而有cos C ＝12，故C ＝π3．选择③，因为12ca sin B ＝12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )，所以a sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C ，由正弦定理得ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ， 即b 2＝1＋3－23cos ∠ADC ．在△BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ， 即a 2＝1＋3－23cos ∠BDC ． 因为∠ADC ＋∠BDC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC ， 所以a 2＋b 2＝8．由C ＝π3及c ＝2，得a 2＋b 2－4＝ab ，所以ab ＝4，从而a 2＋b 2－2ab ＝0， 所以a ＝b ＝2．B 级——综合应用11．(多选)(2022·长治模拟)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是( )A ．AB ＝8 B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为374解析：BCD 如图所示，因为AD 是角平分线，设∠CAD ＝∠DAB ＝α，则∠BAC ＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos 2α－1＝18，且0＜α＜π2，所以cos α＝34，在Rt △ACD 中，AD ＝1，所以AC ＝AD cos α＝34，在Rt △ACB 中，AB ＝ACcos 2α＝34×8＝6，故A 错误，C 正确；根据角平分线定理，CD BD ＝AC AB ＝34×16＝18，故B 正确；因为cos α＝34，且0＜α＜π2，所以sin α＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin α＝12×6×74＝374，故D 正确，故选B 、C 、D ． 12．(2022·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)( )A ．65．46 kmB ．85．09 kmC ．74．35 kmD ．121．12 km解析：A 如图所示，由题意可得AC ＝46 km ，∠ACB ＝16．28°，∠BAC ＝132．57°，由正弦定理可得BCsin A ＝AC sin B ，即BC sin 132.57°＝46sin 31.15°，解得BC ＝46sin 31.15°·sin 132．57°≈460.52×0．74≈65．46．故选A ．13．(2022·淮安模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝12b ，若满足条件的△ABC 有两个，则12b ＜1且1＝a ＜b ，所以1＜b ＜2． 答案：32((1,2)内任一数即可)14．(2022·济南模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cosC ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．解析：∵(3b －a )cos C ＝c cos A ，∴利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sinC cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．又∵sin B ≠0，∴cos C ＝13，则C 为锐角，∴sin C ＝223．由△ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，∴ab ＝9．由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(a ＋b )2＝113ab ＝33，∴a ＋b ＝33．答案：93315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a ＝cos Bcos A ．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解：(1)已知3b 2c －3a ＝cos Bcos A，则由正弦定理可得3sin B 2sin C －3sin A ＝cos Bcos A ，即3sin B cos A ＝(2sin C －3sin A )cos B ，即3sin(A ＋B )＝2sin C cos B ，即3sin C ＝2sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，则B ＝π6． (2)由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即22＝a 2＋c 2－2ac cos π6，即4＝a 2＋c 2－3ac ≥2ac －3ac ，当且仅当a ＝c 时，等号成立，ac ≤42－3＝4(2＋3)，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ≤12×4(2＋3)×12＝2＋3．∴△ABC 的面积的最大值为2＋3．C 级——迁移创新16．(2022·大庆模拟)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤32，334B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，334C ．⎝⎛⎭⎪⎫34，334D ．⎝⎛⎦⎥⎤34，334解析：A 由于a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，且A ∈(0，π)，所以A＝π3，那么外接圆半径为R ＝12×332＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34·2R sin B ·2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B ⎝⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝32sin B cos B ＋32sin 2B ＝34sin 2B ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos 2B ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2B －12cos 2B ＋34＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋34．由于△ABC 为锐角三角形，所以0＜B＜π2，0<C ＝π－A －B ＝2π3－B <π2，所以π6<B <π2，所以π6＜2B －π6＜5π6，12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，故32＜S △ABC ≤334．故选A ． 17．(2022·济南三模)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋5π6＝－14． (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋5π6＝－14，所以⎝⎛⎭⎪⎫32sin A －12cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin A ＋12cos A ＝－14，即32sin A cos A －34sin 2A －14cos 2A ＝－14，所以34sin 2A －38(1－cos 2A )－18(1＋cos 2A )＝－14，整理可得34sin 2A ＋14cos 2A ＝14， 所以可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12， 因为A ∈(0，π)，可得2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，可得A ＝π3．(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且a ＝1，A ＝π3，所以b ＝233sin B ，c ＝233sin C ；所以a ＋b ＋c ＝1＋233(sin B ＋sin C )＝1＋233⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6．因为△ABC 为锐角三角形， 所以得⎩⎪⎨⎪⎧0＜B ＜π2，0＜2π3－B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以π3<B ＋π6<2π3，所以1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1＋3，3]，即△ABC 周长的取值范围是(1＋3，3]．。
高考数学一轮复习课时过关检测六函数的单调性与最值含解析
课时过关检测(六) 函数的单调性与最值A 级——基础达标1．已知函数y ＝f (x )是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1<x 2”是“f (x 1)<f (x 2)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：C 当x 1<x 2时，因为函数y ＝f (x )是R 上的增函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以“x 1<x 2”是“f (x 1)<f (x 2)”的充分条件；当f (x 1)<f (x 2)时，因为函数y ＝f (x )是R 上的增函数，所以x 1<x 2，所以“x 1<x 2”是“f (x 1)<f (x 2)”的必要条件．综上得“x 1<x 2”是“f (x 1)<f (x 2)”的充要条件．故选C ．2．已知函数f (x )＝x 2＋(k －2)x 在[1，＋∞)上是增函数，则k 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：B 函数f (x )＝x 2＋(k －2)x 的对称轴为x ＝－k －22，且开口向上，因为f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以－k －22≤1，解得k ≥0．故选B ．3．设函数f (x )＝x ＋1x－2(x >0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：B ∵x >0，∴f (x )＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，∴f (x )有最小值，又由对勾函数的图象可知f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性．故选B ．4．(2022·大庆月考)已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)<f (1－3x )，则x 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D ．(1，＋∞)解析：A 由题意，函数f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，因为f (x －1)<f (1－3x )，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1－3x ，－1≤x －1≤1，－1≤1－3x ≤1，解得0≤x <12，所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12．故选A ．5．满足函数f (x )＝ln(mx ＋3)在(－∞，1]上单调递减的充要条件是( )A ．－4<m <－2B ．－3<m <0C ．－4<m <0D ．－3<m <－1解析：B 若f (x )＝ln(mx ＋3)在(－∞，1]上单调递减，则满足m <0且m ＋3>0，则－3<m <0，即f (x )在(－∞，1]上单调递减的充要条件是－3<m <0．故选B ．6．(多选)设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论错误的是( ) A ．y ＝1|fx |在R 上为减函数B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数C ．y ＝－1f x在R 上为增函数D ．y ＝－f (x )在R 上为减函数解析：ABC 对于A ，若f (x )＝x ，则y ＝1|fx |＝1|x |，在R 上不是减函数，错误； 对于B ，若f (x )＝x ，则y ＝|f (x )|＝|x |，在R 上不是增函数，错误； 对于C ，若f (x )＝x ，则y ＝－1f x＝－1x，在R 上不是增函数，错误；对于D ，函数f (x )在R 上为增函数，则对于任意的x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，必有f (x 1)<f (x 2)，对于y ＝－f (x )，则有y 1－y 2＝[－f (x 1)]－[－f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)>0，则y ＝－f (x )在R 上为减函数，正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2,3)，则函数f (|x |)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－3，－1)C ．(0,1)D ．(1,3)解析：BC 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x ＝1，开口向下，所以函数f (|x |)满足－2<|x |<3，所以－3<x <3．又f (|x |)＝－x 2＋2|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，0≤x <3，－x 2－2x ＋1，－3<x <0，且y ＝－x 2－2x ＋1图象的对称轴为直线x ＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f (|x |)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)，故选B 、C ．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≥0，x 2＋2x x <0在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：由分段函数解析式知：f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，由f (x )在[－1，a －2]上单调递增，得－1<a －2≤1，即a ∈(1,3]．答案：(1,3]9．若函数f (x )＝a ＋log 2x 在区间[1，a ]上的最大值为6，则a ＝________．解析：由题意，函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，又a >1，且x ∈[1，a ]，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最大值，即a ＋log 2a ＝6，因为4＋log 24＝6，所以a ＝4．答案：410．(2022·杭州模拟)探究函数f (x )＝x ＋4x，x ∈(0，＋∞)的图象时，列表如下：x … 0．5 1 1．5 1．7 1．9 2 y…8．554．17 4．05 4．005 4x 2．1 2．2 2．3 3 4 7 … y 4．005 4．02 4．04 4．357．57…观察表中y 值随x 值的变化情况，完成以下的问题： (1)求函数f (x )＝x ＋4x(x >0)的递减区间及递增区间；(2)若对任意的x ∈[1,3]，f (x )≥m ＋1恒成立，试求实数m 的取值范围．解：(1)由表中y 值随x 值的变化情况可得函数f (x )＝x ＋4x(x >0)的递减区间是(0,2)，递增区间是(2，＋∞)．(2)由表中y 值随x 值的变化情况可得当x ∈[1,3]时，f (x )min ＝f (2)＝4， 所以要使对任意的x ∈[1,3]，f (x )≥m ＋1恒成立，只需f (x )min ＝f (2)＝4≥m ＋1， 解得m ≤3，故m 的取值范围为(－∞，3]．B 级——综合应用11．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，若a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (log 26)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：D ∵f (x )＝x ＋sin x ，∴f ′(x )＝1＋cos x ≥0，∴f (x )单调递增，∵2<log 26<3，∴f (2)<f (log 26)<f (3)，即b <c <a ，故选D ．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋3a ，x <1，log 2x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．[－1,2)C ．(－∞，－1]D ．{－1}解析：B 因为函数y ＝log 2x ，x ≥1在[1，＋∞)上为增函数，故y ≥0，则y ＝(2－a )x＋3a ，x <1需满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，2－a ×1＋3a ≥0，解得－1≤a <2．13．写出一个值域为(－∞，1)，在区间(－∞，＋∞)上单调递增的函数f (x )＝________．解析：f (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，理由如下：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为R 上的减函数，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0，∴f (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为R 上的增函数，且f (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∴f (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈(－∞，1)．答案：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(答案不唯一)14．(2022·柳州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1； ②当x >0时，f (x )>－1．(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1．又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋1>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5． 由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4， 得f (x 2＋2x )＋f (1－x )＋1>5， 即f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．C 级——迁移创新15．(多选)对于定义域为D 的函数y ＝f (x )，若同时满足下列条件：①f (x )在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，那么把y ＝f (x )(x ∈D )称为闭函数，下列结论正确的是( )A ．函数y ＝x 2＋1是闭函数 B ．函数y ＝－x 3是闭函数 C ．函数f (x )＝xx ＋1是闭函数D ．k ＝－2时函数y ＝k ＋x ＋2是闭函数解析：BD 对于A ，因为y ＝x 2＋1在定义域内不是单调函数，所以函数y ＝x 2＋1不是闭函数，所以错误；对于B ，函数y ＝－x 3在定义域内是减函数，设[a ，b ]⊆R ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a 3，a ＝－b 3，b >a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]，使得y ＝－x 3在[－1,1]上的值域为[－1,1]，所以函数y ＝－x 3是闭函数，所以正确；对于C ，y ＝xx ＋1＝1－1x ＋1在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f (x )＝xx ＋1不是闭函数，所以错误；对于D ，y ＝－2＋x ＋2的定义域为[－2，＋∞)，并且在[－2，＋∞)上为增函数，若y ＝－2＋x ＋2是闭函数，则存在区间[a ，b ]，使函数的值域为[a ，b ]，即⎩⎨⎧a ＝－2＋a ＋2，b ＝－2＋b ＋2，所以a ，b 是方程x ＝－2＋x ＋2的两个不相等的实根，整理方程得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1，所以存在区间[－2，－1]⊆[－2，＋∞)，使得函数y ＝－2＋x ＋2的值域为[－2，－1]，所以函数y ＝－2＋x ＋2是闭函数，所以D 正确，故选B 、D ．16．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0，不合题意；当x >1时，x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )． 由(x －2)(x －2a )≤0得2≤x ≤2a ．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]．(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.。
高考数学一轮复习课时过关检测六十七列联表与独立性检验含解析
课时过关检测(六十七) 列联表与独立性检验A级——基础达标1．想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验( )A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关解析：D 独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设．2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7．01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为( )A．0．1% B．1%C．99% D．99．9%解析：C 易知χ2＝7．01>6．635＝x0．01，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．3．(2022·湖北四校联考)两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%，则c 等于( )A．3 B．4C．5 D．6附：α0．050．025xα3．8415．024解析：A 列2×2列联表如下：XY合计y1y2x1102131 x2 c d 35 合计10＋c 21＋d 66故χ2＝66×[1035－c－21c]231×35×10＋c56－c≥5．024．把选项A、B、C、D代入验证可知选A．4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有( )参考数据及公式如下：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，α 0．050 0．010 0．001 x α 3．841 6．635 10．828A ．12人B ．11人C ．10人D ．18人解析：A 设男生人数为x ，依题意可得列联表如下： 单位：人性别追星合计喜欢追星不喜欢追星男生 x65x6x 女生 x3x6x2合计x2x3x 2若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则χ2>3．841，由χ2＝3x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 236－5x 2182x 2·x ·x ·x 2＝38x >3．841，解得x >10．24，因为x 2，x 6为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人．故选A ．5．(多选)有两个分类变量X ，Y ，其列联表如下所示，Y 1 Y 2X 1 a20－a X 215－a30＋a其中a,15－a 均为大于5的整数，根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，认为X ，Y 有关，则a 的值可能为( )A ．8B ．9C ．7D ．6解析：AB 根据公式，得χ2＝65×[a 30＋a －15－a 20－a ]220×45×15×50＝13×13a －60220×45×3×2>3．841＝x 0．05，根据a >5且15－a >5，a ∈Z ，求得当a ＝8或9时满足题意．6．(多选)下列关于χ2的说法正确的是( )A ．根据2×2列联表中的数据计算得出χ2＝6．735＞6．635＝x 0．01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B ．χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大 C ．χ2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量 D ．χ2＝n ad －bc a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量解析：ABC D 选项的公式中分子应该是n (ad －bc )2．故选A 、B 、C ．7．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：单位：人年龄 是否喜欢西班牙队合计 不喜欢西班牙队喜欢西班牙队高于40岁 pq50 不高于40岁153550 合计a b100若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为35，则在犯错误的概率不超过________下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d．α 0．150．100．05 0．025 0．010 0．005 0．001x α 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828解析：设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A ，由已知得P (A )＝q ＋35100＝35，所以q ＝25，p ＝25，a ＝40，b ＝60．χ2＝100×25×35－25×15240×60×50×50＝256≈4．167>3．841＝x 0．05．根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，在犯错的概率不超过5%下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．答案：5%8．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；(2)根据小概率值α＝0．025的独立性检验． 解：建立性别与态度的2×2列联表如下： 单位：人性别 态度 合计 肯定 否定 男生 22 88 110 女生 22 38 60 合计44126170根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为22110＝0．2，女生中作肯定态度的频率为2260≈0．37．作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．零假设为H 0：性别和态度没有关系．根据列联表中的数据得到χ2＝170×22×38－22×882110×60×44×126≈5．622>5．024＝x 0．025．根据小概率值α＝0．025的χ2独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为性别和态度有关系，此推断认为犯错误的概率不大于0．025．B 级——综合应用9．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：焦虑 说谎 懒惰 总计 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 总计252065110( ) A ．焦虑B ．说谎C ．懒惰D ．以上都不对解析：B 对于焦虑，说谎，懒惰三种心理障碍，设它们观测值分别为χ21，χ22，χ23，由表中数据可得：χ21＝110×5×60－25×20230×80×25×85≈0．863，χ22＝110×10×70－20×10230×80×20×90≈6．366，χ23＝110×15×30－15×50230×80×65×45≈1．410，因为χ22的值最大，所以说谎与性别关系最大．故选B ．10．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：喜欢 不喜欢 合计 大于40岁 20 5 25 20岁至40岁10 20 30 合计302555根据小概率值α＝0．005的独立性检验，________推断出在犯错误的概率不大于0．005的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关(填“能”或“不能”)．解析：零假设为H 0：喜欢“人文景观”景点与年龄无关．由公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得，χ2≈11．978>7．879＝x 0．005，根据小概率值α＝0．005的χ2独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关，此推断认为犯错误的概率不大于0．005．答案：能11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：单位：人性别 休闲方式 合计 看电视 看书 男 10 50 60 女 10 10 20 合计206080(1)～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的数学期望和方差．解：(1)零假设为H 0：在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系， 根据2×2列联表得，χ2＝80×10×10－10×50260×20×20×60＝809≈8．889>6．635＝x 0．01， 根据小概率值α＝0．01的χ2独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0．01．(2)由题意得，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56， 且P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫56k ⎝ ⎛⎭⎪⎫163－k，k ＝0,1,2,3，故E (X )＝np ＝3×56＝52，D (X )＝np (1－p )＝3×56×16＝512．C 级——迁移创新12．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：30≤x <40,40≤x <50,50≤x <60,60≤x <70，70≤x <80,80≤x <90,90≤x ≤100)．②国家创新指数得分在60≤x <70这一组的是：61．7,62．4,63．6,65．9,66．4,68．5,69．1,69．3,69．5．③40个国家的人均国内生产总值(万美元)和国家创新指数得分情况统计图：④中国的国家创新指数得分为69．5，人均国内生产总值9 960美元． (以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》) 根据以上信息，解答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第几？(2)是否有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？ (3)用(1)(2)得到的结论，结合所学知识，合理解释④中客观存在的数据． 附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d．α 0．050 0．010 0．001 x α 3．841 6．635 10．828解：(1)由国家创新指数得分的频率分布直方图可得，“国家创新指数得分”在70≤x ≤100的频率为(0．03＋0．005＋0．005)×10＝0．4．因此，中国的国家创新指数得分排名为0．4×40＋1＝17．(2)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可得2×2列联表如下：国家创新指数得分 人均国内生产总值合计人均国内生产总值≤2人均国内生产总值>2国家创新指数得分≥65 22022国家创新指数得分<65 12 6 18 合计142640由2×2列联表可得χ2＝40×2×6－12×20214×26×18×22≈14．43，由于14．43>10．828，所以有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”．(3)由(2)的结论说明：“人均国内生产总值与国家创新指数得分成线性相关关系”；事实上，我国的人均国内生产总值并不高，但是我国的国家创新指数相对比较高，恰恰说明了“中国特色社会主义制度的优越性，能够集中社会力量办大事”．。
高考数学考点过关检测19__正弦定理和余弦定理
考点过关检测19__正弦定理和余弦定理一、单项选择题1．[2022·福建上杭模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则A ＝( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．[2022·河北保定月考]在△ABC 中，sin A ＝sin B cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．[2022·山东莱芜一中月考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b sin A ＝a cos B ，b ＝2，c ＝6，则角C 为( )A.2π3B.5π6C.π6或5π6D.π3或2π34．[2022·北京顺义模拟]在△ABC 中，b ＝3，c ＝3a ，B ＝π6，则cos C ＝( ) A.32 B.12C ．－32D ．－125．[2022·广东河源模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知(a ＋b )(sin A －sin B )＝c sin C ＋b (1＋cos A )sin C ，则cos A ＝( )A ．－13B ．－23C.13D.236．[2022·山东济南模拟]在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝23，且b ＋c ＝6若12b cos A ＝sin B ，则△ABC 等于( ) A ．2 B ．4C ．2 3D ．437．[2022·天津十四中月考]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S,3c 2＝16S ＋3(b 2－a 2)，则tan B ＝( )A.23B.32C.43D.348．[2022·江苏盐城中学月考]在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，则cos ∠BAC 的值是( )A.5714 B ．－5714C ．－2114 D.2114二、多项选择题9．[2022·江苏扬州月考]不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是( )A ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解B ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．a ＝3，b ＝6，A ＝60°，无解10．[2022·山东淄博实验中学月考]在△ABC 中，下列结论中正确的是( )A ．若A <B ，则sin A <sin BB ．若A <B ，则cos 2A <cos 2BC ．若A <B ，则cos A >cos BD ．若A <B ，则1sin 2A <1sin 2B11．已知△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，下列结论正确的是( )A ．sin C ＝2sin BB ．若∠B ＝30°，则△ABC 为直角三角形C ．若∠BAC ＝60°，则△ADC 为等边三角形D ．若∠BAD ＝30°，则△ABD 为等腰三角形12．[2022·广东顺德模拟]在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，设BC 边上的中点为M ，△ABC 的面积为S ，其中a ＝23，b 2＋c 2＝24，下列选项正确的是( )A ．若A ＝π3，则S ＝33 B ．S 的最大值为33C ．AM ＝3D ．角A 的最小值为π3三、填空题13．[2022·清华附中月考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝120°，a ＝7，cos B ＝1114，则b ＝________. 14．[2022·浙江金华一中月考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若A ＝B ，b ＋a cos C ＝c ＝1，则b ＝________.15．[2022·辽宁大连模拟]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝6，且a cos A ＝b cos B，则△ABC 的面积等于________． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c sin A ＝3a cos C ，则角C ＝________，若c ＝2，则a 2＋b 2的最大值为________．四、解答题17．[2022·山东青岛模拟]在①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．[2021·新高考Ⅱ卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．。
2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】
课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。
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1 高考数学复习—常考小题点过关检测 一、单项选择题 1.(2021·山东潍坊一模)已知集合A={-2,0},B={x|x2-2x=0},则下列结论正确的是( )
A.A=B B.A∩B={0} C.A∪B=A D.A⊆B 2.(2021·广东广州二模)已知集合P={x|-3≤x≤1},Q={y|y=x2+2x},则P∪(∁RQ)=( ) A.[-3,-1) B.[-1,1] C.(-∞,-1] D.(-∞,1] 3.(2021·河北保定一模)设a,b∈R,则“|a+bi|=|1+i|”是“a=b=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2021·福建福州一中模拟)在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ (O为坐标原点),设|𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ |=r,以x轴的非负半轴为始边,射线OZ为终边的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ).法国数学家棣莫佛发现棣莫佛定理:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3i D.-512+512√3i 5.(2021·东北三校第一次联考)土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有( )种不同的排法. A.480 B.240 C.384 D.1 440
6.(2021·河北唐山一模)记(𝑥+12𝑥)4展开式的偶数项之和为P,则P的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2021·江苏南京三模)在正方形ABCD中,O为两条对角线的交点,E为边BC上的动点.若
𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +μ𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),则2𝜆+1𝜇的最小值为( )
A.2 B.5 C.92 D.143 8.(2021·山东日照一中月考)已知f(x)=x2+4x+1+a,且对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[
√5-1
2,+∞) B.[2,+∞)
C.[-1,+∞) D.[3,+∞) 二、多项选择题 9.(2021·河北张家口一模)如果平面向量a=(2,-4),b=(-6,12),那么下列结论正确的是( ) A.|b|=3|a| B.a∥b 2
C.a与b的夹角为30° D.a·b=-60 10.(2021·河北唐山二模)已知a>b>0,且ab=4,则 ( ) A.2a-b>1 B.log2a-log2b>1 C.2a+2b>8 D.log2a·log2b<1 11.(2021·山东临沂模拟)下列四个条件中,能成为x>y的充分不必要条件的是( )
A.xc2>yc2 B.1𝑥<1𝑦<0 C.|x|>|y| D.ln x>ln y 12.
(2021·广东茂名模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图,设圆柱的体积与球的体积之比为m,
圆柱的表面积与球的表面积之比为n,若f(x)=(𝑚𝑛𝑥3-1𝑥)8,则( ) A.f(x)的展开式中的常数项是56 B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0 C.f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70 D.f(i)=-16,其中i为虚数单位 三、填空题
13.(2021·福建厦门双十中学月考)设复数z满足z=4i1+i,则z的共轭复数𝑧在复平面内对应的点位于第 象限. 14.(2021·上海嘉定二模)将(𝑥+1√𝑥)7的二项展开式的各项重新随机排列,则有理项互不相邻的概率为 . 15.(2021·浙江嘉兴二模)为满足某度假区游客绿色出行需求,某电力公司在该度假区停车楼建设了集中式智慧有序充电站,充电站共建设901个充电桩,其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩.现有A,B,C,D,E,F六辆新能源大巴,需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电,每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电,若要求A,B两大巴不能同时在上午充电,而C大巴只能在下午充电,且F大巴不能在甲充电桩充电,则不同的充电方案一共有 种.(用数字作答) 16.(2021·辽宁葫芦岛一模)在边长为2的正三角形ABC中,D是BC边的中点,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE交AD于点F.若𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =x𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +y𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y= ;𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = . 3
答案及解析 1.B 解析 由题设得B={0,2},所以A≠B,A∩B={0},A∪B≠A,A不是B的子集. 2.D 解析 因为Q={y|y=x2+2x}={y|y=(x+1)2-1}={y|y≥-1},所以∁RQ={y|y<-1}, 又P={x|-3≤x≤1},所以P∪(∁RQ)={x|x≤1}. 3.B 解析 ∵|a+bi|=|1+i|,∴√𝑎2+𝑏2=√12+12,即a2+b2=2. ∵a2+b2=2a=b=1,而a=b=1⇒a2+b2=2,
∴“a2+b2=2”是“a=b=1”的必要不充分条件,即“|a+bi|=|1+i|”是“a=b=1”的必要不充
分条件.
4.D 解析 由题意,得(-1+√3i)10=210cos(10×2π3)+isin10×2π3=1 024cos20π3+isin20π3=1 024(-12+√32i)=-512+512√3i.
5.A 解析 当圆形排在第一个时,有A55A22=240种不同的排法.同理,当圆形排在最后一个时,有A55A22=240种不同的排法. 综上,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有480种不同的排法.
6.B 解析 由已知得x≠0,则x2>0,所以P=C41x3·12𝑥+C43x·(12𝑥)3=2x2+12𝑥2≥2√1=2,
当且仅当2x2=12𝑥2即x=±√22时等号成立. 7.
C 解析 如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为1,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),于是可得O(12,12).
设点E的坐标为(1,m)(0≤m≤1),则由𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜇𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),可得(1,m)=λ(1,1)+𝜇(12,-12)(λ>0,μ>0),所以1=λ+12𝜇(λ>0,μ>0),则2𝜆+1𝜇=(2𝜆+1𝜇)(𝜆+
12𝜇)=2+12+𝜇𝜆+𝜆𝜇≥52+2√𝜇𝜆·𝜆𝜇=92,当且仅当{ 𝜆𝜇=𝜇𝜆,1=𝜆+12𝜇,𝜆>0,𝜇>0,即λ=μ=23时取等号,此时2𝜆+1𝜇
的最小值为92. 4
经检验,此时m=13∈[0,1]符合题意.
8.B 解析 由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a, 令t=f(x),则t=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3, 又对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立, 当a-3≤-2时,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解; 当a-3>-2时,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,所以a≥2. 综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞). 9.ABD 解析 因为a=(2,-4),b=(-6,12),所以b=-3a. 所以|b|=3|a|,a∥b,a与b的夹角为180°,a·b=2×(-6)+(-4)×12=-60,故选项A,B,D正确,选项C错误. 10.ACD 解析 因为a>b>0,且ab=4,对A,a-b>0,所以2a-b>20=1,故A正确;
对B,取a=83,b=32,则log2a-log2b=log2𝑎𝑏=log2169对C,2a+2b≥2√2𝑎·2𝑏=2√2𝑎+𝑏,当且仅当a=b时取等号,又因为a+b≥2√𝑎𝑏=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以2a+2b≥2√2𝑎+𝑏≥2√24=8,当且仅当a=b=2时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故C正确; 对D,当a>1>b>0时,log2a>0,log2b<0,所以log2a·log2b<1;当a>b>1
时,log2a>0,log2b>0,所以log2a·log2b≤(log2𝑎+log2𝑏)24=[log2(𝑎𝑏)]24=1,当且仅当a=b时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故D正确. 11.ABD 解析 对于A选项:若xc2>yc2,则c2≠0,于是x>y,而当x>y,c=0时xc2=yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A符合题意;
对于B选项:由1𝑥<1𝑦<0可得yy;但x>y不能推出1𝑥<1𝑦<0(因为x,y
的正负不确定),所以“1𝑥<1𝑦<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B符合题意; 对于C选项:由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y;由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C不符合题意; 对于D选项:若ln x>ln y,则x>y,而由x>y不能推出ln x>ln y,所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件. 故选项D符合题意. 12.BC 解析 设内切球的半径为r(r>0),则圆柱的高为2r.
于是m=π𝑟2·2𝑟43π𝑟3=32,n=2π𝑟2+2π𝑟·2𝑟4π𝑟2=32,所以𝑚𝑛=1,所以f(x)=(𝑥3-
1
𝑥)8.
对于A,f(x)展开式通项为Tr+1=C8𝑟x24-3r·(-1𝑥)𝑟=(-1)rC8𝑟x24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)展开式中的常数项为(-1)6C86=28,A错误;