2023高考数学小题提速练(一)

小题限时提速练提速练(一)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=3+4i,则|z|+z=( D )A.28+4iB.28-4iC.8+4iD.8-4i解析:由复数z=3+4i,可得|z|=√32+42=5,z=3-4i,所以|z|+z= 5+3-4i=8-4i.故选D.2.已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|(x-1)2≥4},则A∩(∁R B)=( C )A.[3,4]B.[1,4]C.[1,3)D.[3,+∞)解析:由(x-1)2≥4,即(x-3)(x+1)≥0,解得x≥3或x≤-1,即B= {x|(x-1)2≥4}={x|x≥3或x≤-1},所以∁R B=(-1,3),又A={x|1≤x≤4},所以A∩(∁R B)=[1,3).故选C.3.已知等差数列{a n}中,a5+a6+a10=18,其前n项和为S n,则S13=( B )A.33B.78C.99D.66解析:设等差数列{a n}的公差为d,因为a6+a5+a10=18,所以(a1+5d)+(a1+ 4d)+(a1+9d)=18,整理得a1+6d=6,所以S13=13a1+13×12d=13a1+78d=13(a1+6d)=13×6=78.故选B.24.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典,如图所示的图形是由《易经》中的八卦图抽象而得到.图中正八边形代表八卦,中间的圆代表太极图,其余八块面积相等.已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2,P 是正八边形ABCDEFGH 内的一点,则AP →·AB →的取值范围是( D )A.(4-2√2,2√2)B.(-2√2,2√2)C.(4-2√2,4+2√2)D.(-2√2,4+2√2)解析:建立平面直角坐标系如图,则A(0,0),B(2,0),设点P(x,y),则AP →=(x,y),AB →=(2,0),AP →·AB →=2x, ABCDEFGH 为正八边形,内角为6×180°8=135°,BC 边和AH 边的外角为45°,即H(-√2,√2),C(2+√2,√2), 所以x ∈(-√2,2+√2),AP →·AB →=2x ∈(-2√2,4+2√2).故选D. 5.若将函数f(x)=sin(2x-π4)+1的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)在[0,π8]上的最小值为( C )A.√2+1B.√22C.√22+1 D.2解析:因为g(x)=f(x+π4)=sin(2x+π4)+1,且x ∈[0,π8],所以2x+π4∈[π4,π2],所以g(x)min =√22+1.故选C.6.已知三棱锥的三条侧棱长均为2,有两个侧面是等腰直角三角形,底面等腰三角形底上的高为√5,则这个三棱锥的表面积为( C ) A.4+3√3+√15 B .4+√3+2√15 C.4+√3+√15 D.4+2√3+√15解析:由题意可得,三棱锥如图所示,AB=AC=AD=2,由题意知△ABC, △A C D 是等腰直角三角形,则B C =C D =2√2,C E =√5,B E = √(2√2)2-(√5)2=√3,BD=2√3,AE=√22-(√3)2=1,则这个三棱锥的表面积为S △ABC +S △ACD +S △ABD +S △BCD =12×2×2+12×2×2+12×2√3×1+12×2√3×√5=4+√3+√15.故选C.7.过抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线C 于A,B 两点(A 在B 的上方),则|AF ||FB |的值为( A )A.3B.2C.32 D.1解析:抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标为F(p2,0),因为直线l 的倾斜角为60°,所以直线l 的方程为y-0=√3(x-p2).设直线l 与抛物线的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1>x 2, 所以|AF|=x 1+p2,|FB|=x 2+p2.联立{y -0=√3(x -p2),y 2=2px ,消去y 并整理,得12x 2-20px+3p 2=0, 解得x 1=3p2,x 2=p6,所以|AF|=x 1+p2=2p,|FB|=x 2+p 2=2p3,所以|AF ||FB |的值为3.故选A.8.已知函数f(x)=xe x ,g(x)=xln x,若f(m)=g(n)=t(t>0),则mn ·ln t 的取值范围为( D ) A.(-∞,1e) B.( 1e2,+∞)C.( 1e,+∞) D.[-1e,+∞)解析:由于f(m)=g(n)=t(t>0),即me m =nln n=t>0,所以m>0,n>1, 当x>0时,f ′(x)=(x+1)·e x >0,f(x)单调递增,所以f(m)=t 有唯 一解.当x>1时,g ′(x)=1+ln x>0,g(x)单调递增,所以g(n)=t 有唯一解. 由me m =nln n 得me m =e ln n ·ln n ⇒m=ln n,所以mn ·ln t=(nln n)· (ln t)=tln t.令h(t)=tln t,h ′(t)=1+ln t,所以在区间(0,1e )上,h ′(t)<0,h(t)单调递减;在区间(1e,+∞)上,h ′(t)>0,h(t)单调递增,所以h(t)≥h(1e)=-1e,所以mn ·ln t 的取值范围为[-1e,+∞).故选D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列命题正确的有( BD )A.已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)且P(X ≤4)=0.9,则P(0<X< 2)=0.3B.设随机变量X ～B(20,12),则D(X)=5C.天气预报,五一假期甲地的降雨概率是0.3,乙地的降雨概率是0.2,假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响,则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为0.5D.在线性回归模型中,R 2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率,R 2越接近于1,表示回归的效果越好解析:对于A,随机变量X 服从正态分布N(2,σ2),即μ=2, 因为P(X ≤4)=0.9,可得P(X>4)=P(X<0)=0.1, 所以P(0<X<2)=P(X<2)-P(X<0)=0.4,所以A 不正确;对于B,由随机变量X ～B(20,12),可得D(X)=20×12×(1-12)=5,所以B正确;对于C,这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为(1-0.3)(1-0.2)= 0.56,所以C 不正确;对于D,在线性回归模型中,R 2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率,根据相关系数的含义,可得R 2越接近于1,表示回归的效果越好,所以D 正确.故选BD.10.已知不相等的两个正实数a 和b,满足ab>1,则下列不等式正确的是( BD )A.ab+1>a+bB.log 2(a+b)>1C.a+1a<b+1bD.a+b>1a +1b解析:由于两个不相等的正实数a 和b,满足ab>1,所以a 和b 可取一个比1大,一个比1小,即(1-a)(1-b)=1+ab-a-b<0,故ab+1<a+b,A错误;由题意得a+b>2√ab >2,所以log 2(a+b)>1,B 正确;a+1a-(b+1b)=a-b+1a -1b=(a-b)(1-1ab),其中1-1ab>0,但不知道a 和b 的大小关系,故当a>b 时,a+1a>b+1b,当a<b 时,a+1a<b+1b,C 错误;a+b-(1a +1b)=(a+b)(1-1ab),其中1-1ab>0,a+b>0,所以a+b-(1a +1b)=(a+b)(1-1ab)>0,即a+b>1a +1b ,D 正确.故选BD.11.已知双曲线E:x 2a2-y 2=1(a>0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0),过点F 2作直线与双曲线E 的右支相交于P,Q 两点,在点P 处作双曲线E 的切线,与E 的两条渐近线分别交于A,B 两点,则( ACD ) A.若|PF 1|·|PF 2|=2,则PF 1→·PF 2→=0 B.若asin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F 1,则双曲线的离心率e ∈(1,√2+1]C.△F 1PQ 周长的最小值为8D.△AOB(O 为坐标原点)的面积为定值解析:对于A,由题意知|PF 1|-|PF 2|=2a,a 2+1=c 2,则|PF 1|2-2|PF 1|· |PF 2|+|PF 2|2=4a 2,所以有|PF 1|2+|PF 2|2=4a 2+4=4c 2=|F 1F 2|2,从而PF 1→⊥PF 2→,PF 1→·PF 2→=0,故A 正确; 对于B,在△PF 1F 2中,由正弦定理得|PF 1|sin∠PF 2F 1=|PF 2|sin∠PF 1F 2,则sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=|PF 2||PF 1|=a c,解得|PF 1|=c a|PF 2|.又|PF 1|-|PF 2|=2a,所以|PF 2|=2a 2c -a>c-a,整理得c 2-2ac-a 2<0,所以e 2-2e-1<0,解得1<e<√2+1,故B 错误; 对于C,当直线PQ 垂直于x 轴时,得|PQ|的最小值为2a ,此时|PF 1|+|QF 1|+|PQ|=2a+|PF 2|+2a+|QF 2|+|PQ|=4a+2|PQ|=4a+4a≥8,当且仅当a=1时,取等号,故C 正确;对于D,设P(x 0,y 0),过点P 的双曲线E 的切线方程为x0a2x-y 0y=1,E 的渐近线方程为y=±1ax,不妨设切线x 0a2x-y 0y=1与渐近线y=1ax 的交点为A,联立方程组{y =1ax ,x 0a 2x -y 0y =1,解得{x =a 2x 0-ay 0,y =a x 0-ay 0, 即A(a 2x 0-ay 0,ax 0-ay 0),同理可得B(a 2x 0+ay 0,-ax 0+ay 0).又因为点P 在双曲线E上,则有x 02a 2-y 02=1,x A +x B =a 2x 0-ay 0+a 2x 0+ay 0=2x 0,故点P 是AB 的中点.设切线x 0a2x-y 0y=1与x 轴的交点为G,易知G(a 2x 0,0),所以S △AOP =12·a 2x 0|y A -y 0|=a2·ax 0|ax 0-ay 0-y 0|=a2,所以S △AOB =2S △AOP =a,故D 正确.故选ACD.12.如图甲,在边长为2的正方形ABCD 中,点E,F 分别是AB,BC 的中点,点M 是AD 上靠近A 的四等分点.现将△AED,△DCF 分别沿DE,DF 折起,使A,C 两点重合于点P,连接PB,如图乙所示,则下列说法正确的是( ACD )A.PB ∥平面EFMB.PD ⊥PBC.平面EFM 与平面BFDE 所成角的余弦值为√63D.点P 到平面BFDE 的距离为23解析:如图,连接BD 与EF 相交于点G;MD PD =DG DB =34⇒MG ∥PB ⇒PB ∥平面EFM,故A 正确;由PD ⊥PE,PD ⊥PF,PE ∩PF=P,知PD ⊥平面PEF,PB ∩平面PEF=P,故PD 与PB 不垂直,故B 错误;显然平面EFM 与平面BFDE 所成角即为∠MGD,在△MGD 中,GD=3√22,MD=32, M G =√MF 2-GF 2=√(√52) 2-(√22) 2=√32,由余弦定理得c o s ∠M G D =MG 2+GD 2-MD 22MG ·GD =√63,故C 正确;由cos ∠MGD=√63,知sin ∠MGD=√33,过点M 作MN ⊥BD 于点N,则点P 到平面BFDE 的距离等于点M 到平面BFDE 的距离的43,又43MN=43MG ·sin ∠MGD=23,故D 正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知(1-2x)n 的展开式中二项式系数的和为32,则展开式中x 2项的系数为 .解析:由题意可知2n =32,所以n=5.因为(1-2x)5展开式的通项为T r+1=C 5r ·(-2x)r ,所以x 2项的系数为C 52×(-2)2=40.答案:4014.已知直线m:x+ay-1+√3a=0与圆x 2+y 2=4交于P,Q 两点,过P,Q 分别作m 的垂线与y 轴交于不同的两点M,N,若|PQ|=2,则|MN|= .解析:圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0),半径r=2,点(0,0)到直线m:x+ay-1+√3a=0的距离为d=√3a √1+a 2,由于|PQ|=2,所以(|PQ |2)2+d 2=r 2,即1+(√3a -1)21+a 2=4,解得a=-√33,所以直线m 的方程为x-√33y-2=0,即√3x-y-2√3=0.直线m 的斜率为√3,倾斜角为π3,所以直线PM,QN 的斜率为-√33,倾斜角为5π6.所以∠MNQ=π3,所以|MN|=|PQ |sinπ3=2×√3=4√33.答案:4√3315.苹果、草莓属于温带水果,椰子、香蕉、菠萝属于热带水果,某人计划元宵节买两种水果去看望朋友,他从苹果、草莓、椰子、香蕉、菠萝这五种水果中任意选择两种,则他选的不全是热带水果的概率为 .解析:他从五种水果中选择两种共有C 52=10种不同的结果,其中选的两种水果全是热带水果的结果有C 32=3种,故所求概率为1-310=710.答案:71016.已知函数f(x)=2|x|+x 2-28,则不等式f(x 2-3x)≤4的解集为 . 解析:函数f(x)的定义域为R,f(-x)=2|-x|+(-x)2-28=2|x|+x 2-28=f(x),所以函数f(x)为偶函数,当x ≥0时,f(x)=2x +x 2-28单调递增, 因为f(4)=24+42-28=4,则f(x 2-3x)≤4=f(4),所以f(|x 2-3x|)≤f(4),所以|x 2-3x|≤4,所以-4≤x 2-3x ≤4, 又因为x 2-3x+4=(x-32)2+74>0,故x 2-3x ≥-4恒成立,由x 2-3x ≤4,可得x 2-3x-4≤0,解得-1≤x ≤4.因此,原不等式的解集为[-1,4]. 答案:[-1,4]。