高考数学试题卷(附答案)

高考数学试题卷（附答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}2230P x x x =∈--≤N 和{}21,Q x x k k ==-∈Z ，则集合()UP Q ⋂的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4．2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是()2,1-，则21z z +=+（ ） A ．15i 22- B ．15i 22+ C ．53i 22- D ．53i 22+3．如图所示，在三棱台'''A B C ABC -中，沿平面'A BC 截去三棱锥'A ABC -，则剩余的部分是（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．组合体4．已知cos 21sin cos 3ααα=+则3πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．13CD ．13-5．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y 在椭圆22:12x C y +=上，且直线OA ，OB 的斜率之积12-，则22221121x y x y -+-=（ ）A ．1B ．3C ．2D ．526．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ，CD ，EF ，GH 分别是单位圆上的四段弧，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若sin cos tan ααα<<，则点P 所在的圆弧是（ ）A ．ABB ．CDC ．CDD ．GH7．如图，对于曲线Γ所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得对于曲线Γ上的任意两个不同的点A ，B 恒有AOB α∠≤成立，则称角α为曲线Γ的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Γ的相对于点O 的“确界角”．已知曲线121,0,:41,0,x xe x C y x x x -⎧+≥⎪=⎨++<⎪⎩（其中 2.71828e =是自然对数的底数），O 为坐标原点，则曲线C 的相对于点O 的“确界角”为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 8．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，C ，D ，其中()60n Ω=，()30n A =，()10n B =，()20n C =，()30n D =，()40n A B ⋃=，()10n A B ⋂=，()60n A D ⋃=，则（ ）A ．A 与B 不互斥 B ．A 与D 互斥但不对立C ．C 与D 互斥D ．A 与C 相互独立二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知D 是ABC △的边BC 上的一点（不包含顶点），且AD AB AC x y =+，其中,x y ∈R ，则（ ） A ．1x y +=B ．21x y +=C2≥D ．22log log 2x y +≤-10．已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()0,+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()f x 在11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是奇函数11．已知曲线2:16y x Γ=，直线l 过点()4,0F 交Γ于A ，B 两点，下列命题正确的有（ ） A ．若A 点横坐标为8，则24AB = B ．若()2,3P ，则AP AF +的最小值为6C ．原点O 在AB上的投影的轨迹与直线60x +-=有且只有一个公共点 D ．若2AF FB =，则以线段AB 为直径的圆的面积是81π12．如图，以正方形的一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作，保持所作的直角三角形都相似，得四个正方形，记为A 、B 、C 、D ，其面积记为A S ，B S ，C S ，D S ，则下列结论正确的有（ ）A ．A DBC S S S S +=+ B ．AD B C S S S S ⋅=⋅ C ．2A D B S S S +≥D ．2A D C S S S +<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为______．（用数字作答） 14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，120ABC ∠=︒，棱长均为4，AB ，1CC 的中点分别为P 、Q ，则三棱锥11P A D Q -的体积为______．15．设(),0,,013, 1.x xe xf x e x x x -⎧<⎪=≤≤⎨⎪->⎩若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则()()()112233x f x x f x x f x ++的取值范围是______．16．已知双曲线22:26x y C λ-=过点，则其方程为______；设1F ，2F 分别为双曲线C 的左右焦点，D 为右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则MD ND -的取值范围是______（第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）设ABC △内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin sin sin c C b BC A a a-=-，4b =．（1）求角B 的大小（2）若3c =，求ABC △的面积． 18．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a -=+，()2,n n ≥∈N ． （Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）若()()121n n n b n a a +=+-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．19．（本题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，侧面P AB 是等边三角形，2BC AB =，60ABC ∠=︒，PB AC ⊥．（Ⅰ）求证：面PAB ⊥面ABCD ；（Ⅱ）设Q 为侧棱PD 上一点，四边形BEQF 是过B ，Q 两点的截面，且AC ∥平面BEQF ，是否存在点Q ，使得平面BEQF ⊥平面P AD ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，说明理由．20．（本题满分12分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：（Ⅱ）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中团体赛获奖的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断()D ξ与()D η的大小关系．（结论不要求证明）21．（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，A 、F 分别为Γ的左顶点和右焦点，O 为坐标原点，以OA 为直径的圆与Γ交于M 点（第二象限），2aOM =．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率e ；（Ⅱ）若2b =，直线l AM ∥，l 交Γ于P 、Q 两点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ． （ⅰ）若l 过F ，求12k k ⋅的值；（ⅱ）若l 不过原点，求OPQ S △的最大值．22．（本题满分12分）已知函数()xf x e kx k =--，k ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当1k =时，令()()22f x g x x =（ⅰ）证明：当0x >时，()1g x >； （ⅱ）若数列{}n x 满足：113x =，()1n xn e g x +=，证明：1ln 12n n x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭．参考答案一、选择题13．240；14．15．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦16．221412x y -=，33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭12．解：设123α∠=∠=∠=，最大正方形边长为1，小正方形A 、B 、C 、D 的边长分别为a ，b ，c ，d则2cosa α=，cos sinb αα=，sin cosc αα=，2sind α=所以4422sin cos 2sin cos 22A D B C S S S S αααα+=+≥==，故C 正确44sin cos A D B C S S S S αα==，故B 正确所以选BC ．16．解①由双曲线22:26x y C λ-=过点，所以53226λλ-=⇒=，所以方程为221412x y -= ②如图：设12AF F △的内切圆与1AF ，2AF ，12F F 分别切于H ，D ，G ， 所以AH AD =，11HF GF =，22DF GF =，所以121212122AF AF AH HF AD DF HF DF GF GF a -=+--=-=-=， 又122GF GF c +=，所以1GF a c =+，2GF c a =-，又1EF a c =+，2EF c a =-，所以G 与(),0E a 重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，设直线AB 的倾斜角为θ，则22EF M πθ-∠=，22EF N θ∠=，()()tantan22ME NE c a c a πθθ--=---()sin sin 222cos cos 222c a πθθθπθ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=-⋅-⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()cos sin 22sin cos 22c a θθθθ⎡⎤⎢⎥=-⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()22cos sin 22sin cos22c a θθθθ-=-⋅⋅()2cos sin c a θθ=-当2πθ=时，0ME NE -=， 当2πθ≠时，由题知，2a =，4c =，ba=因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>∴13tan 3θ-<<且10tan θ≠，()24420,tan tan 33ME NE θθ⎛⎫⎛-=-⋅=∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，综上所述，ME NE ⎛-∈ ⎝⎭ 故①答案为：221412x y -=；,33⎛- ⎝⎭ 三、解答题17．（本题满分10分） 解：（1）由sin sin sin sin c C b BC A a a-=- 得22c b c a a a -=-，即222a cb ac +-=，则2221cos 22a c b B ac +-==，所以3B π=．（2）注意到4b =，3B π=，3c =，由sin sin b cB C=得43sin sin 3C π=，即23sin 42C ⨯==． 又20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4C π=．则53412A ππππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭． 5sin sin sin sin cos cos sin 12464646A πππππππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭122224=+=所以11sin 4422343ABCSbc A ==⨯⨯=+． 18．（本题满分12分）（1）注意到()*1322,n n a a n n N-=+≥∈，则()1131n n a a -+=+，即1131n n a a -+=+．所以{}1n a +是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列． （2）由（1）知1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-．所以()()()14212312312133nn n n b n n -=+⋅--⋅+=+⋅． 故()2343353732133n n S n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⋅⎣⎦，两同乘以3，错位 ()()2314333532132133n n n S n n +⎡⎤=⨯+⨯++-⋅++⋅⎣⎦，两式相减得 ()23142332323232133n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⋅-⋅⎦+⎡⎤⎣ ()()161343213313nn n +⎡⎤-⎢⎥=+-+-⎢⎥⎣⎦ 83n n =-⋅所以43nn S n =⋅，*n N ∈19．（本题满分12分）（1）证明：在ABC △中，因2BC AB =，60ABC ∠=︒ 所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，又AC PB ⊥，PB ，AB 相交， 所以AC ⊥面P AB ，所以面PAB ⊥面ABCD 得证 （2）假设存在点Q ，使得平面BEQF ⊥平面P AD ．如图，以A 为原点，分别以AB ，AC 为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -， 则()0,0,0A ，()2,0,0B，()C -，(P()2,AD =-，(AP =，()BD =-，(3,DP =-，设()1111,,x n y z =是平面P AD的法向量，则11111120n AD n A x x P ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()13,1,1n =-设DQ DP λ=，其中01λ≤≤．则()3BQ BD DQ BD DP λλ=+=+=-连接EF ，因AC ∥平面BEQF ，AC ⊂平面P AC ，平面PAC ⋂平面BEQF EF =，故AC EF ∥ 取与EF 同向的单位向量()0,1,0j =． 设()2222,,n x y z =是平面BEQF的法向量，则())22222203410j y BQ x n n y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，取()23,0,43n λλ=-．由平面BEQF ⊥平面P AD ，知12n n ⊥，有123340n n λλ⋅=+-=，解得23λ=． 故在侧棱PD 上存在点Q 且当23DQ DP =时，使得平面BEQF ⊥平面P AD ． 另，用几何法也可： 由题意及（1）得EFPA ⊥，取E 为P A 中点，则BE PA ⊥所以PA ⊥面BEQF ，故平面BEQF ⊥平面P AD在PAD △中，QE PA ⊥，E 为中点，进而求解。