2023新高考数学函数压轴小题专题突破 专题5 函数嵌套问题(解析版)
嵌套函数的零点问题(3大压轴考法)原卷版—2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册
嵌套函数的零点问题（3大压轴考法）目录解题知识必备................................................................................................................1压轴题型讲练................................................................................................................1题型一、内外自复合型f (f (x ))..................................................................................1题型二、内外双函数复合型f(g(x ))..........................................................................2题型三、二次型因式分解型a [f (x )]2+bf (x )+c .................................................3压轴能力测评（9题）. (4)一、嵌套函数的零点问题对于嵌套型复合函数[()]y f g x =的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点(1,2,3,....)i u u i n ==；（3）确定直线(1,2,3,....)i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为，123,,.......,n a a a a 则函数[()]y f g x =的零点个数为123.......n a a a a +++.注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．【题型一、内外自复合型f (f (x ))】一、单选题1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数()220log 0x a x f x x x ì×£=í>î，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()(),00,1-¥ÈC ．[)1,+¥D ．()()0,11,+¥U2．（2024高一上·江苏·专题练习）已知222,1()2(1),1x x f x log x x ì+£ï=íï->î，则方程[()]2f f x =实数根的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知()()()22log 1121x x f x x m x ì-<ï=í--+³ïî，，，若方程()()0f f x =有6个不等实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()1,2B．æççèC．4ö÷÷øD．æççè二、填空题4．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数()21,0log ,0x x f x x x +£ì=í>î，则函数()()1y f f x =-的所有零点构成的集合为.5．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知()2ln 2,03,0x x f x x x ì+>=í-£î，若()()f f x a =只有5个不同的实根，则实数a 的取值范围是.6．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设a ÎR ，函数()21,0,0x x f x x ax x ì-³=í-+<î，当1a =时，函数()()y f f x =有 个零点；若函数()(y f f =恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ．【题型二、内外双函数复合型f (g (x ))】一、单选题1．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意R x Î，都有()1524xf f x x éù--=-ëû，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ）A ．10,2æöç÷èøB ．1,12æöç÷èøC ．31,2æöç÷èøD ．3,22æöç÷èø2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ()e ,0,ln ,0,x x f x x x ì£=í>î()3,g x x =-方程()()()3f g x g x =--有两个不同的根，分别是12,,x x 则 12x x +=（ ）A ．0B ．3C ．6D ．93．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数()22,0ln ,0x ax x f x x x ì+£=í>î，若函数()()()1g x f f x =+有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．()2,+¥C ．()0,1D ．()1,+¥4．（22-23高一上·上海·期末）已知()()()52log 11221x x f x x x ì-<ï=í--+³ïî，则方程()12f x a a x æö+-=Îç÷èøR 的实数根个数不可能为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个二、多选题5．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）若()f x 和()g x 都是R 上的函数，且()f g x x éù=ëû有实数解，则()[]g f x 可能是（ ）A ．215x x +-B ．215x x ++C ．215x -D ．215x +【题型三、二次型因式分解型a [f (x )]2+bf (x )+c 】一、单选题1．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知函数()()31,0,212,0,2x x f x f x x ì+£ïï=íï->ïî则方程()()212710f x f x -+=éùëû的实数个数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．122．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知函数()21,0,0x x f x lgx x ì-£=í>î，若方程()()22210f x f x m --+=有3个不同的实根，则实数m 取值范围值是（ ）A ．(][),11,-¥-+¥U B ．()2,2-C ．(][)2,11,2--U D ．[]1,1-3．（22-23高一下·江西宜春·开学考试）函数()11e xf x æö=+ç÷èø，若关于x 的方程()()()222330f x a f x a -++=有4个不同的根，则a 的取值范围（ ）A ．()1,2B ．3,22éö÷êëøC ．330,,222æöæöç÷ç÷èøèøU D ．331,,222æöæöç÷ç÷èøèøU 二、多选题4．（2024·河南·模拟预测）已知函数()2241,0,32,0,x x x x f x x -ì--+£=í-+>î关于x 的方程()(()20f x m f x -++=，下列命题正确的是（ ）A ．若23m <<，则方程恰有4个不同的解B ．若12m <<，则方程恰有5个不同的解C ．若方程恰有2个不同的解，则3m >或m =D ．若方程恰有3个不同的解，则1m ≤5．（2024·陕西·一模）已知函数2()log 1f x x =-，若函数()()()22g x f x af x b =++有6个不同的零点，且最小的零点为-1，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的所有零点之和是6B ．1a b +=-C ．0a =D ．1b =-三、填空题6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知()lg ,02,0x x x f x x ì>ï=í£ïî，则函数()()232y f x f x =-+的零点个数是 .7．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知函数()21xg x =-，若函数()()()()()2121f x g x a g x a =+--+éùëû有三个零点，则a 的取值范围为.8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数()24,0,log ,0,x x f x x x x ì+>ï=íï<î若方程()()20f x af x b ++=有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于.一、单选题1．（23-24高一上·广东湛江·期中）设()12xf x =-，若关于x 的方程22()3()20f x tf x t -+=有三个不同的实数根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．10,2æöç÷èøC ．1,12éö÷êëøD ．(0,1]2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知函数(),(1,1)1()lg,()2,(1,1)1f x x xf xg x k x x x Î-ì-==í+Ï-+î，函数(())y g g x =与函数3y =的图象有5个不同的交点，则正实数k 的取值范围是（ ）A ．1]-B ．1,1)-C ．æççèD ．ö÷÷ø3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在[]1,6-上的()f x 满足对()()22log 2,26(1),12x x f x x x ì-<£ï=í--££ïî，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=éùëû有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．(]2,4D ．(]1,44．（2024·安徽合肥·三模）设a ÎR ，函数()1221,0,0x x f x x ax x -ì-³ï=í-+<ïî，若函数()()y f f x =恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()2,2-B ．()0,2C ．[)1,0-D ．(),2-¥-5．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知()e 11x f x =--，若函数()()()2[]1g x f x af x =--有三个零点，则a的取值范围为（ ）A ．()0,¥+B ．()()1,00,-È+¥C ．()()1,00,1-U D ．()1,+¥6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数()2,0,,0.k x f x k x £=>若()()1f f x =恰有三个不同实根，则k 的取值范围是（ ）A ．é-êëB ．é-êëC ．ùúûD ．ùúû7．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数()2,0ln ,0x x f x x x ì£=í>î，()()2g x x x =-，若方程()()()0f g x g x a +-=的所有实根之和为4，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(1,+∞)B ．[)1,+¥C ．(),1¥-D ．(],1-¥二、填空题8．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数()12e 0ƒ210x x x x x x -ì>ï=í--+£ïî，，，若方程()()240f x bf x éù-+=ëû有6个相异的实数根，则实数b 的取值范围是 .9．（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）已知函数()()()211022420x x f x x x x ì+>ï=íï++£î，若函数()()()2g x f f x m =--，当()g x 恰有3个零点时，求m 的取值范围为 .。
2023年新高考一卷数学压轴题解析
2023年新高考一卷数学压轴题解析随着新高考一卷的发布，我们不得不佩服命题组的智慧和用心。
其中，压轴题作为考察学生综合能力的题目，一直备受关注。
本文将对2023年新高考一卷数学压轴题进行解析，希望能帮助大家更好地理解题目，提升解题能力。
首先，让我们回顾一下这道压轴题的主题和背景。
这道题主要考察函数的性质、导数的应用以及不等式的解法，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。
具体来说，题目给出了一组函数图像，要求学生在给定条件下，求出函数的单调区间、极值点和最值。
接下来，我们详细解析解题思路和方法。
首先，根据图像特征，我们可以判断出函数为复合函数，且内外函数的单调性需要分别讨论。
其次，根据给定条件，我们需要求出函数的导数，判断出函数的极值点，并利用极值与单调性的关系求出最值。
最后，我们需要将所得结果代回原图像中进行验证。
在解题过程中，我们需要关注以下几个方面：一是要善于观察图像特征，根据图像信息确定内外函数的单调性；二是要正确求导，判断出函数的极值点；三是要灵活运用极值与单调性的关系求出最值；四是要细心验证，确保所得结果正确无误。
当然，在解析过程中也出现了难点和陷阱。
例如，题目中的隐含条件需要仔细挖掘，才能正确解题；另外，导数求法中也容易出错，尤其是在极值点和极值大小的判断上，需要特别注意方法的选择和步骤的正确性。
针对这些难点和陷阱，我们提出了一些应对策略和建议。
首先，要加强对函数性质、导数应用和不等式解法等基础知识的理解和掌握；其次，要善于观察图像特征，根据图像信息进行解题；再次，要注重解题方法和步骤的正确性，避免因粗心大意而出错；最后，要善于总结经验教训，不断优化解题思路和方法。
总的来说，2023年新高考一卷数学压轴题是一道具有较高难度的题目，考察了学生的综合能力。
通过解析和总结，我们能够更好地理解题目、提升解题能力。
相信在今后的学习和考试中，我们能够更加从容地面对类似题目，取得更好的成绩。
数学-2023年高考终极押题猜想(新高考专用)(解析版)
数学-2023年高考终极押题猜想（新高考专用）（解析版）引言随着新高考改革的不断推进，数学科目在高考中的重要性日益凸显。
为了帮助广大考生更好地备战2023年高考数学科目，本文将提供一份终极押题猜想，以帮助考生有针对性地进行复习。
本文将从数学的各个知识点出发，进行解析和分析，为考生提供高分答题思路和解题方法。
一、代数与函数1.1 一次函数和二次函数今年的高考数学中，一次函数和二次函数的题目出现频率较高。
根据分析，2023年高考数学中的代数与函数部分可能会继续保持相对较高的比重。
1.1.1 一次函数关于一次函数的题目，以函数的性质、图像以及解析式为主要触点进行考查。
考生在复习一次函数时，应重点掌握一次函数的性质和变化规律，能够灵活应用解析式求解相关问题。
1.1.2 二次函数二次函数是一种重要的函数类型，其在数学中的应用广泛。
考生在复习二次函数时，应重点关注二次函数的图像与性质，能够根据图像特点确定函数的相关信息。
此外，应重点掌握二次函数的顶点坐标、轴对称与零点等重要概念，以及利用配方法、因式分解和求导等方法解题的技巧。
1.2 幂函数和对数函数幂函数和对数函数也是高考中的常见考点，这两种函数之间存在一定的对应关系。
考生在复习这部分内容时，应熟悉幂函数和对数函数的性质，能够掌握幂函数和对数函数图像的基本形状和特点，理解它们之间的对应关系。
1.3 组合与复合函数组合与复合函数是数学中的重要概念，几乎每年都会在高考中出现相关题目。
考生在复习这部分内容时，应掌握组合与复合函数的定义和性质，能够理解并运用组合与复合函数的概念解决相关问题。
二、数与空间2.1 数列数列是高考中常见的考点，涉及到数列的性质、通项公式、极限及求和等知识点。
考生在复习数列时，应掌握数列的定义和常见的数列类型，能够利用通项公式、递推关系式和求和公式解决相关问题。
此外，考生还要重点关注等差数列与等比数列的性质和特点。
2.2 空间几何空间几何是数与空间模块中的重要部分，主要考察空间图形的性质、直线与平面的关系以及立体图形的计算等。
2023-2024学年上海高一第一学期数学期中期末考试 专题05 期末解答压轴题(解析版)
专题05期末解答压轴题新定义题型1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数()y f x =，x D ∈，若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意12,x x （12x x ≠），都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”(1)判断函数①y x =，②3y x =是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(2)若函数y x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；(3)若()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，且(0)(1)f f =，求证：对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()121f x f x -≤．【答案】(1)y x =是，3y x =不是(2)12(3)证明见解析【分析】（1）证明()()1212f x f x x x -≤-即可判断y x =，举出反例即可判断3y x =；（2）分离参数，将不等式变为关于12,x x 的不等式,结合定义域即可求得常数k 的最小值；（3）对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12f x f x m -≤，只需要()()12max f x f x m -≤即可，根据新定义求出()()12max f x f x -即可得出答案.【解析】（1）对于函数()y f x x ==，不妨设12x x >，则()()1212f x f x x x -=-，符合题意，所以函数y x =是“1-利普希兹条件函数”，对于函数()3y f x x ==，因为()()21721f f -=>-，所以函数3y x =不是“1-利普希兹条件函数”；（2）若函数()f x x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，则对定义域[]1,4内任意12,x x （12x x ≠），均有()()1212f x f x k x x -≤-，即1212x x k x x -≤-，设12x x >，则1212x x k x x -≤-，即121k x x ≤+，因为2114x x ≤<≤，所以1211142x x <<+，所以12k ≥所以k 的最小值为12；（3）设12x x ≥，当1212x x -≤时，因为()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，所以()()121212212f x f x x x -≤-≤⨯=，当1212x x ->时，由[]12,0,1x x ∈，得12112x x <-≤，故()()()()()()121212(1)(0)(1)(0)f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-()()1212212221x x x x ≤-+=--≤恒成立，综上所述，()()121f x f x -≤，【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k -利普希兹条件函数”.2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间[],a b 上的函数()y f x =满足：存在常数M ，使得对任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y f x =为一个有界变差函数，并将满足条件的M 的最小值称为()y f x =的全变差.(1)判断函数()()311f x x x =--≤≤，和()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ð（Q 为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数()()414g x x x x=+≤≤的全变差；(3)证明：函数()2log 4xh x x x=+是[]1,4上的有界变差函数.【答案】(1)3()f x x =-是有界变差函数,()D x 不是有界变差函数；(2)2；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;【解析】（1）由3()f x x =-在[1,1]-上递减，令121...1n x x x -=≤≤≤=，则23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=，显然，存在2M ≥，使任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，所以3()f x x =-为一个有界变差函数；对于()D x ，令120...1n x x x =≤≤≤=，所得i x *(1,N )i n n ≤≤∈中有理数、无理数都有可能为无限个，若12,,...,n x x x 以无理数、有理数成对依次出现时12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大，所以()D x 不是一个有界变差函数.（2）对任意的11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==，()g x 在[]1,2上单调递减，所以()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥，即()()()()()()12231...mm g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-，()g x 在[]2,4上单调递增，所以()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ ，即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-，所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=，所以，存在2M ≥使()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y g x =为一个有界变差函数，M 的最小值2称为()y g x =的全变差.（3）由（2）知：()g x 在[]1,4上是一个有界变差函数，令1()()p x g x =，则111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=，而在[]1,4上()54g x ≥≥，所以111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-，即11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑，故()p x 是有界变差函数；又2()log q x x =在[]1,4上递增且值域为[0,2]，任意1214n x x x =≤≤≤= ，则()()()12...n q x q x q x ≤≤≤，所以12|()()|n i i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=，故存在2M ≥使12|()()|ni i i q x M q x -=-≤∑，则()q x 是有界变差函数，令()()()h x q x p x =⋅，则11122|()()||()()()()|nn ii i i i i i i h x h xq x p x q x p x ---==-=-∑∑1112|()[()()]()[()()]|ni i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑，由上可设1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤且,N L 均为常数，故111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑，而()p x 、()q x 均为有界变差函数，所以()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+为有界变差函数.【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.3．（2023上·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],ma mb （其中(]0,1)m ∈，则称()f x 为区间[],a b 上的“m 倍缩函数”.(1)证明：函数()3f x x =为区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“14倍缩函数”；(2)若存在[],R a b ⊆，使函数()()2log 2xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，求实数t 的取值范围；(3)给定常数0k >，以及关于x 的函数()1kf x x=-，是否存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.若存在，请求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)1(0,)4；(3)答案见解析.【分析】（1）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，再结合定义判断作答.（2）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，结合定义构造方程，再利用方程有两个不等的正根求解作答.（3）根据给定条件，可得0a >，再分类去绝对值符号，结合单调性求出值域即可求解作答.【解析】（1）函数3()f x x =在R 上单调递增，则3()f x x =在区间11[,]22-上的值域为11[,]88-，显然有111111(),842842-=⨯-=⨯，所以函数()3f x x =为区间11[,]22-上的“14倍缩函数”.（2）因为函数2x u t =+在R 上单调递增，当0u >时，函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数2()log (2)xf x t =+是定义域上的增函数，因为函数2()log (2)xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，则函数()f x 在[],a b 上的值域为11[,]22a b ，于是得1()21()2f a a f b b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,()a b a b <是方程1()2f x x =的两个不等实根，则方程12221log (2)22(2)(2)02x xxx x t x t t +=⇔+=⇔-+=有两个不等实根，令(2)0x z =>，则关于z 的一元二次方程20z z t -+=有两个不等的正实根，因此Δ140100t t =->⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得104t <<，当104t <<时，函数()f x 恒有意义，所以实数t 的取值范围是1(0,)4.（3）常数0k >，函数()1kf x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，并且()0f x ≥，假定存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，由[,](,0)(0,)a b ⊆-∞+∞ ，及[,][0,)a b ⊆+∞知0a b <<，因为函数1k y x =-在[],a b 上单调递增，即111k k k a x b-≤-≤-，若101k ka b -<<-，即0a k b <<<，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域中有数0，矛盾，若10k b -≤，即0a b k <<≤，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递减，有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11ka bk ba⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得k b ab k a ab -=⎧⎨-=⎩，显然无解，若10k a -≥，即k a b ≤<，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递增，有()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即,()a b a b <是方程()f x x =的两个不等实根且a k ≥，而方程210kx x x k x-=⇔-+=，于是得方程2()0g x x x k =-+=在[,)k +∞上有两个不等实根，从而2Δ140()012k g k k k=->⎧⎪⎪=≥⎨⎪>⎪⎩，解得14k <，而0k >，即有104k <<，解方程20x x k -+=得：12114114,22k kx x --+-==，所以当104k <<时，存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，114114,22k ka b --+-==，当14k ≥时，不存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.4．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且对12,x x ∀∈R ，都有()()()1212f x x f x f x +≤⋅，则称()f x 为“J 形函数”(1)当()1f x x =+时，判断()f x 是否为“J 形函数”，并说明理由；(2)当()22f x x =+时，证明：()f x 是“J 形函数”；(3)如果函数()2x f x a =+为“J 形函数”，求实数a 的取值范围.【答案】(1)否，理由见解析；(2)证明见解析；(3)1a ≥或0a =.【分析】（1）作差可得()()()121212f x x f x f x x x +-⋅=-，根据12,x x 的任意性，无法判断该式符号，即可说明；（2）作差可得()()()1212f x x f x f x +-⋅()22212122x x x x =----，即可证明得出结论；（3）代入化简可得()12122x x f x x a ++=+，()()1212212222x x x x f x x a a ++++=+.由“J 形函数”的概念整理化简可得，()12122x xa -+≥，进而即可得出实数a 的取值范围.【解析】（1）解：()f x 不是“J 形函数”，理由如下：当()1f x x =+时，有()111f x x =+，()221f x x =+，()12121f x x x x +=++，则()()()1212f x x f x f x +-⋅()()1212111x x x x ++-++=12x x =-.因为12,x x ∈R ，所以12x x -与0的关系不确定，不能得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤，所以()f x 不是“J 形函数”.（2）证明：当()22f x x =+时，有()2112f x x =+，()2222f x x =+，()()22212121212222f x x x x x x x x +=++=+++，则()()()()2222221212121222224f x f x x x x x x x ⋅=++=+++，所以()()()1212f x x f x f x +-⋅212222121222x x x x x x =----()22212122x x x x =----，显然有()()()121220f x x f x f x +-⋅≤-≤对12,x x ∀∈R 恒成立，所以有()()()1212f x x f x f x +≤⋅对12,x x ∀∈R 恒成立，所以()f x 是“J 形函数”.（3）解：由已知可得()112x f x a =+，()222x f x a =+，()12122x x f x x a ++=+，所以()()121222x x f x f x a a ⋅=+⋅+()12122222x x x x a a +=+++.因为函数()2x f x a =+为“J 形函数”，所以有()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++，即()121212202222x x x x x x a a a ++++≤+≤+.由1220x x a ++≥，可得0a ≥；由()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++可得，()12222x x a a a ≤++.当0a =时，该式恒成立，满足；当0a >时，有()12122x xa -+≥恒成立.因为12220x x +>，所以1a ≥.综上可得，1a ≥或0a =.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J 形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简()()()1212f x x f x f x +-⋅.只要得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤恒成立，即可说明()f x 是“J 形函数”.5．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．【答案】(1)函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，理由见解析(2){|13x x ≤≤或}0x =(3)必要不充分条件，证明见解析【分析】（1）根据给定的定义为[)1,+∞时，求12()()f x f x -的取值区间即可判断作答.（2）根据给定条件，可得(2)()2f x f x +-=，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答.（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答.【解析】（1）函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，证明如下：任取12,x x ∈R ，若12[1,)-∈+∞x x ，则()()()[)121222,[1,)f x f x x x -=-∈+∞⊂+∞，()()()12122[1,)f x f x x x ∴-=-∈+∞所以函数()21f x x =-是[)1,+∞关联；函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，证明如下：：若12[1,)-∈+∞x x ，则121211()()(),22⎡⎫-=-∈+∞⎪⎢⎣⎭f x f x x x ，所以函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联；（2）因()f x 是{}2关联，则122x x -=，有12()()2f x f x -=，即(2)()2f x f x +-=，当[)0,2x ∈时，22111(),2244⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x x x x ，而()02f x ≤≤，即202≤-≤x x ，解得12x ≤≤或10x -≤≤，所以不等式的解集为{|12x x ≤<或}0x =，当[2,22),,0x n n n Z n ∈+∈≠时，()2112224f x x n n ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，所以当[2,4)x ∈时，2577()(2)2,4244⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x f x x ，而0()2f x ≤≤，得2570224⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭x ，解得23x ≤≤，所以不等式的解集为{}|23x x ≤≤，当0n <时，()0f x <或当2n ≥时，()2f x >，此时不等式0()2f x ≤≤无解；综上得13x ≤≤或0x =，所以不等式2()3f x ≤≤的解集为{|13x x ≤≤或}0x =，.（3）“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件，证明如下，易得函数,()1,x x Zf x x x Z ∈⎧=⎨-∉⎩是{}2关联，但1 2.112≤-≤时2)(2.1()0f f <-，所以函数()f x 不是[1,2]关联；所以充分性不成立；当函数()f x 是[1,2]关联时，即2112x x ≤-≤，21)1(()2f x f x -≤≤，则有1(2)(1)2f x f x -≤++≤，)1(1()2f x f x -≤+≤，即有)2(2()4f x f x -≤+≤，又1(2)2x x ≤+-≤，则有)1(2()2f x f x -≤+≤，于是得(2)()2f x f x +-=，从而得()()21212,=2x x f x f x -=-，即函数()f x 是{2}关联；所以“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.抽象函数6．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()221f x x x =+--，求()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；(3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.【答案】(1)[2,2]-；(2)4；(3)()152f x x-=.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t +-==++++，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，则有()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，再根据其单调性和已知条件可得()111()x f x f x x+=+，从而可求出()f x 的解析式.【解析】（1）由22010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为22y x =+和1y x =--在[1,1]-上均为增函数，所以()221f x x x =+--在[1,1]-上为增函数，所以min ()(1)221(1)2f x f =-=-+---=-，max ()(1)222f x f ==+=，所以()f x 的值域为[2,2]-；（2）因为()[]12241log ,,(04)214x x xf x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，且()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t+-==++++，所以()()m n f t f t +=-+112224241log 1log 214214t t t t t tt t -++-+-=++++++-++1222442log 212144t t t t t t t ++-⎛⎫=+++⋅ ⎪++-+⎝⎭22(21)2log 211t t +=+++224=+=；（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，所以111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()()111()()1()f x f fx f f f x f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以11()1()f f x x x f x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭+，所以()111()xf x f x x+=+，所以()()()()()()211f x f x xf x f x xf x f x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()210xf x f x x --=，解得()152f x x±=，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()152f x x-=.7．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）若函数f （x ）满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数f （x ）为“L 函数”.(1)试判断函数()2h x x =是否是“L 函数”，并说明理由；(2)若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数f （x ）为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，都有()2x f x >.【答案】(1)是“L 函数”，理由见解析；(2)[1,1]-；(3)证明见解析.【分析】（1）根据“L 函数”的定义分析判断即可；（2）由()g x 为“L 函数”，可得()0g t >，则3t a <，得1a ≤，()()()g s g t g s t +<+可得30s t a ++>，得10a +≥，从而可求出实数a 的取值范围；（3）由函数f （x ）为“L 函数”，可得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，则112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，再结合111()(2)(2)(2)k k k f x f x f f --->-+>可证得结论.【解析】（1）对于()2h x x =，当0,0t s >>时，()20h t t =>，()20h s s =>，因为()()()222()20h s h t h s t s t s t st +-+=+-+=<，所以()()()h s h t h s t +<+，所以()2h x x =是“L 函数”；（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，得()()31310t t g t a -=-+->，即(31)(3)0t t a -->对一切正数t 恒成立，因为310t ->，所以3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤，由()()()g s g t g s t +<+，得3331(3331)0s t s t s t s t a +------++--+>，所以(31)(31)(3)0s t s t a +--+>，因为(31)(31)0s t -->，所以30s t a ++>，由30s t a ++>对一切正数,s t 恒成立，所以10a +≥，即1a ≥-，综上可知，实数a 的取值范围为[1,1]-；（3）因为函数f （x ）为“L 函数”，所以对于任意正数,s t 都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，所以对于正整数k 与正数s 都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，可得()()1*12,2N k k k x--∈∈，因为(1)1f =，所以11112()(2)(2)(2)2(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>.【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.8．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．(1)试判断函数2x y =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；(2)若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；(3)若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0∞-上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．【答案】(1)函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”(2)证明见解析(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【分析】（1）利用作差法结合“性质A ”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质A ”的定义结合不等式()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭可推导出()1102f n f n ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，()102f n f n ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取()2g x x =-可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，根据“性质A ”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得()()12g x g x >，即可证得结论成立.【解析】（1）解：函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”，理由如下：设()2xp x =，()2q x x =-，对任意的0t >，()()()()222222222x t x t x x t tp x t p x t p x +--++--=+-⋅=+-()222220x t t ->⨯⋅-=，所以，()()()2p x t p x t p x ++-<，所以，函数2x y =不具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()()()22222220q x t q x t q x x x t x t t ++--=-+--=<，所以，()()()2q x t q x t q x ++->，所以，函数2y x =-具有“性质A ”.（2）证明：因为函数()y f x =具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()2f x t f x t f x ++->，所以，()()()()f x f x t f x t f x -->+-，又因为()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，()()()1130011222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1111222f n f n f n f n f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-->+->+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()1021102f n f n f n f n ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，由不等式的可加性可得()()10f n f n +-<，故对任意的N n ∈，()()1f n f n +<.（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数()2g x x =-，由（1）可知，函数()g x 具有“性质A ”，函数()2g x x =-在区间(),0∞-上是严格增函数，但该函数在R 上不单调；对于命题②，对任意的0t >，对任意的x ∈R ，()()()2g x t g x t g x ++->，所以，()()()()g x t g x g x g x t -->-+，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，必存在1k ≥且N k ∈，满足()2201x kt x k t >->-+，因为函数()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，所以，()()()221g x kt g x k t -<-+，即()()()2210g x kt g x k t ---+<，所以，()()()()()()()()222222011g x k t g x kt g x kt g x k t g x t g x <-+--<----<<-- ，故()()()()22120g x t g x g x g x <--=-，即()()12g x g x >，故函数()y g x =在R 上是严格减函数.所以，命题②为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.9．（2022上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”；（2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【答案】（1）21()f x x =是“L 函数”.2()f x x =不是“L 函数”.（2）[11]-，（3）见解析【解析】试题分析：利用“L 函数”的定义判断函数21()f x x =符合要求，而2()f x x =不符合要求（只需举一个反例说明）；函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，则()g x 满足“L 函数”的定义，当0,0t s >>时，()0,()0,()()()g s g t g s g t g s t >>+<+成立；根据要求可以求出a 的范围；令s t =得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k kk k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，()()12,2N *k kx k -∈∈,则()112,2kk x--∈，利用(1)1f =，借助()()()1122k k f x f x f -->-+及()111122kk f f f x x --⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助不等关系证明.试题解析：（1）对于函数()21f x x =，当0,0t s >>时，()()22110,0f t t f s s =>=>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x =是“L 函数”.对于函数()2f x x =，当1t s ==时，()()()22222f t f s f t s +=>=+，故()2f x x =不是“L 函数”.（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，可知()()31310t t g t a -=-+->，即()()3130t ta -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤．由()()()g t g s g t s +<+，可得()+333133310s ts t s t s t a ------++--+>，故()()()31313+0s t s t a +-->，又()()31310t s-->，故3+0s t a +>，由3+0s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-．综上可知，a 的取值范围是[]11-，．（3）由函数()f x 为“L 函数”，可知对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，可得()112,2kk x--∈，又()11f =，所以()()()()()111122222122k k k k k xf x f x f f f ---->-+>≥=>，同理()()()11111112222212k k k k kf f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()1f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭22x x -．【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数()g x 是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.零点问题10．（2022上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，若存在常数0T >，使得对任意()0,x ∈+∞，都有()()f Tx f x T =+，则称函数()f x 具有性质()P T ．(1)若函数()f x 具有性质()2P ，求()122f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值(2)设()log a f x x =，若01a <<，求证：存在常数0T >，使得()f x 具有性质()P T (3)若函数()f x 具有性质()P T ，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数()f x 在()0,∞+上存在零点．【答案】(1)()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，代入2x =和12x =即可得出答案；（2）设()log a g x x x =-，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为()()nf T x f x nT =+，然后令1x =得，()()1nf T f nT =+，分情况利用零点存在性定理证得结论.【解析】（1）函数()f x 具有性质()2P ，所以对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，令2x =，得()()212f f =+，令12x =，得()1122f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）证明：函数()f x 具有性质()P T 的充要条件为存在0T >，使得()log log a a Tx x T =+，即log a T T =，设()log a g x x x =-，因为()110g =-<，()10g a a =->，所以在区间(),1a 上函数()g x 存在零点0x ，取0T x =，则log a T T =，得函数()f x 具有性质()P T ．（3）设n N *∈，因为()()f Tx f x T =+，所以()()nf T x f x nT =+，令1x =得，()()1nf T f nT =+，①若()10f =，则函数()f x 存在零点若()10f <，当()01f n T>-时，()00nf T >，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点②因为()n x f x f nTT ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()()1nf T f nT-=-若()10f >，当()01f n T>时，()00nf T -<，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点．综上，函数()f x 在()0,∞+上存在零点．11．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知函数21()4f x x ax =++，()ln g x x =-．（1）若函数[()]g f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．【答案】（1）()1,1-；（2）5[,)4-+∞；（3）答案见解析.【解析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为R ，利用判别式，列出不等式，即可求解；（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解；（3）根据函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，先分1x >，1x =和01x <<三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分∆<0，0∆=和0∆>三种情况讨论，即可求解.【解析】（1）由题意，函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，因为该函数的定义域为R ，则2104x ax ++>对任意x R ∈恒成立，可得210a ∆=-<，解得11a -<<，即实数a 的取值范围()1,1-.（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，若[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，则问题等价于()0f x >在(1,)+∞上恒成立，且()f x 在(1,)+∞上单调递增，即5(1)0412f a a ⎧=+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得54a ≥-，所以实数a 的取值范围是5[,)4-+∞．（3）当1x >时，()ln 0g x x =-<，所以当1x >时，min{(),()}()0≤<f x g x g x ，所以()h x 在(1,)+∞上没有零点；当1x =时，(1)0g =，5(1)4f a =+，若504a +≥即54a ≥-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，此时1x =是函数()h x 的一个零点；若504+<a 即54a <-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，此时1x =不是函数()h x 的一个零点；当01x <<时，因为()ln 0g x x =->，则函数()h x 的零点个数等价于函数()f x 的零点个数，①当210a ∆=-<，即11a -<<时，()0f x >，则()min{(),()}0=>h x f x g x ，函数()h x 在(0,1)上没有零点；②当0∆=即1a =±时，函数()f x 有且只有一个零点，若1a =，由()0f x =可得1(0,1)2=-∉x ，则函数()h x 在(0,1)上没有零点；若1a =-，由()0f x =可得12x =，则函数()h x 在(0,1)上有1个零点；③当0∆>，即1a <-或1a >时，函数()f x 有两个零点，不妨设为12,x x 且12x x <，当1a >时，120x x a +=-<，12104=>x x ，所以120x x <<，则()f x 在(0,1)上没有零点；当1a <-时，120x x a +=->，12104=>x x ，所以120x x <<，当5(1)04=+≤f a 即54a ≤-时，1(0)04=>f ，所以(0)(1)0f f <，则101x <<，21x ≥，所以此时()f x 在(0,1)上有且只有一个零点；当(1)0f >，即514a -<<-时，对称轴15(,)228=-∈a x ，且(0)0f >，(1)0f >所以1201x x <<<，()f x 在(0,1)上有两个零点，综上所述：当54a <-或1a >-时，()h x 有一个零点；当54a =-或1a =-时，()h x 有两个零点；当514a -<<-时，()h x 有三个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解12．（2023上·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）设k ∈R ，函数()y f x =的表达式为()243f x x x =-+，函数()y g x =的表达式为()1g x kx =+，()()y f x g x =-有四个零点，设为()12341234,,,x x x x x x x x <<<.(1)求实数k 的取值范围；(2)求22221234x x x x k+++的取值范围．【答案】(1)1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，做出图像，结合图像即可得到k 的取值范围；（2）根据题意，利用韦达定理，求得2214x x +，2223x x +和k 的关系，将目标式转化为关于k 的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【解析】（1）根据题意，令2430x x -+=，解得1x =或3x =，不妨设()()()1,03,0,0,,1A B C 做图如下：又直线BC 的斜率为13-，数形结合可知，要满足题意，1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，14,x x 为方程2431x x kx -+=+，即()2420x k x -++=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2480k ∆=+->，则41414,2x x k x x +=+=，故()()2422244111244x x x x x x k +=+-=+-；23,x x 为方程2431x x kx -+-=+，即()2440x k x +-+=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()24160k ∆=-->，则23234,4x x k x x +=-=，故()()2222232323248x x x x x x k +=+-=--；则22221234x x x x k +++22201012,,03k k k k k +⎛⎫⎛⎫==+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1012,,03f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对勾函数单调性可知()f x 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又118233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x ∈182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，即22221234x x x x k+++的取值范围为182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.13．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，设()()f xg x x=.(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1a =，1b =(2)4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)()1,+∞【分析】（1）根据题意得0a >，再根据二次函数单调性列方程求解即可；（2）由题知2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，进而得2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，再求最值即可得答案；（3）用换元法化简方程()22131021xx mg m -+-+=-为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得m 的取值范围.【解析】（1）解：()()2221f x ax ax b a x b a =-+=-+-，(),0a b ≥因为，当0a =时，()f x b =，为常函数，不满足题意；所以，0a >，()()21f x a x b a =-+-在[]1,3x ∈上单调递增，因为函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，所以()()10334f b a f a b ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得1a b ==，所以1a =，1b =.（2）解：由（1）知()221f x x x =-+，()()12f x g x x x x==+-，因为不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，所以2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，则[]2,3t ∈，所以，120t kt t +--≤，在[]2,3t ∈上恒成立，所以2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，因为[]2,3t ∈，所以111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，当113t =时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为211394⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，则49k ≥，所以k 的取值范围是4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）解：方程()22131021xx m g m -+-+=-等价于122123102121xx x m m -+-+-+=--，即()()2211321120x x m m --+-++=，210x-≠，令21xt -=，则方程化为()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，因为方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，所以，画出21xt =-的图像如下图所示，所以()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =.记()()()21312h t t m t m =-+++，所以，()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩，即121m m ⎧>-⎪⎨⎪>⎩，此时1m >或()()()012011013012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=-=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩得1211133m m m ⎧>-⎪⎪=⎨⎪⎪-<<⎩，此时m 无解，综上，1m >，即实数m 的取值范围()1,+∞【点睛】本题第三问解题的关键在于令21xt -=，进而结合题意，数形结合得()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =，再根据零点存在性定理求解即可.二次函数（包括含绝对值）、对勾函数14．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足：①f （x ）在[m ，n]内是单调函数；②当定义域是[m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]．则称[m ，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数()53y g x x ==-不存在“和谐区间”．（3）已知：函数()()221aa x y h x a x+-==（a ∈R ，a≠0）有“和谐区间”[m ，n]，当a 变化时，求出n﹣m 的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间[]0,1上单调递增,且值域也为[]0,1满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设[],m n 是已知函数定义域的子集,我们可以用a 表示出n m -的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.试题解析：（1）y=x 2在区间[0，1]上单调递增．又f （0）=0，f （1）=1，值域为[0，1]，区间[0，1]是y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程的同号的相异实数根．x 2﹣3x+5=0无实数根，函数不存在“和谐区间”．（3）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根．，m ，n 同号，只须，即a ＞1或a ＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m ，n]，当a=3时，n ﹣m 取最大值考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用a 表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．15．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①(){}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.(1)写出集合A =R 到集合{R ,B x x =∈且}0x >的一个保序同构函数（不需要证明）；(2)求证：不存在从整数集Z 的到有理数集Q 的保序同构函数；(3)已知存在正实数s 和t 使得函数()21xf x x m =+-是集合[]0,s 到集合[]0,t 的保序同构函数，求实数m 的取值范围和s 的最大值（用m 表示）.【答案】(1)()2xf x =(2)见解析。
专题01嵌套函数问题-冲刺2024年高考数学压轴题微切口突破
嵌套函数是数学中常见的概念，也是高考数学中的重点内容。
在冲刺2024年高考数学压轴题微切口突破中，嵌套函数问题通常是压轴题的难点之一、本文将从嵌套函数的基本概念、题型分析和解题策略等方面，对如何突破嵌套函数问题进行探讨。
首先，我们来回顾一下嵌套函数的基本概念。
嵌套函数可以理解为一个函数内部包含了另一个函数。
通常，外层函数称为主函数，内层函数称为子函数。
子函数的输入来自主函数，子函数的输出作为主函数的一些步骤的计算结果。
在解决嵌套函数问题时，我们需要了解主函数的输入和输出，以及子函数的输入和输出之间的关系。
在冲刺2024年高考数学压轴题微切口突破中，嵌套函数问题的题型多种多样，常见的有求导、极值、函数图像等。
在解题过程中，我们需要根据问题的要求，灵活运用函数的基本性质和规律，以及合理的数学思维方式，来解决问题。
对于求导问题，通常我们需要根据链式法则和复合函数求导法则，仔细分析主函数和子函数之间的关系。
在求导过程中，我们需要注意运用求导法则和基本函数的导数公式，以及合理运用化简的方法，使得计算过程简洁明了。
对于极值问题，我们通常需要根据函数在一定区间上的单调性、导数的符号和零点等信息，来确定函数的极值点。
在嵌套函数问题中，我们需要仔细分析主函数和子函数之间的关系，并根据导数的性质，结合函数图像的特点来解题。
对于函数图像问题，我们通常需要结合主函数和子函数的图像特点，来确定函数的图像形状、对称性和变化趋势等。
同时，我们还需要运用函数图像的性质和定理，来解决相关的问题。
在解决嵌套函数问题时，我们需要注意以下几点策略。
首先，我们要充分理解题目的要求和条件，并运用已经掌握的基本概念和技巧，来分析问题。
其次，我们要注重培养空间想象力和数学直觉，通过观察和分析函数的图像、符号和变化趋势等，来解题。
此外，我们还可以通过化简运算、构造合适的例子和寻找一些特殊点等方法，来简化解题过程。
最后，我们要多进行练习和总结，不断强化对嵌套函数的理解和运用能力。
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习05 函数图象的辨析(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题05 函数图象的辨析1．（2020·浙江·高一期末）已知函数()1,01,0x x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩，则函数()()()112f x f x g x ++-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】写出函数()g x 的解析式，由此可得出函数()g x 的图象. 【详解】()1,01,0x x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩，则()1f x x =-，所以，()()()1,1112110,11221,1x x x x f x f x g x x x x --≤-⎧++--++-⎪===-<<⎨⎪-≥⎩， 因此，函数()g x 的图象如D 选项中的图象. 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．但关键还是要确定函数的解析式.2．（2020·江西·南昌二中高三月考（理））函数5sin()()x f x π-=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先对解析式进行化解，根据函数的奇偶性定义判断出函数是奇函数，可以排除BC 两项，再判断当函数的自变量当0x +→时，函数值，y →-∞即可解得.【详解】5sin()()x f x π-=()()f x f x -==-,故函数是奇函数，排B 、C ，当0x +→时，函数值y →-∞.故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势判断函数图像问题，属于中档题目，函数图像问题一般要用到函数的奇偶性、单调性、变化趋势等，解题中需要结合函数图像的特点灵活处理.3．（2021·江西·南昌市第十七中学高二月考（文））已知函数()()()1sin ,f x x x π=-则函数在[]1,3-上的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】运用排除法，由()(2)f x f x -=，可得()y f x =的图象关于直线1x =对称，当(1,2)x ∈时，所以()0,f x <可排除得选项. 【详解】由()()()()()()(2)21sin 21sin 21sin f x x x x x x x f x ππππ-=---=--=-=⎡⎤⎣⎦， 得()y f x =的图象关于直线1x =对称，故排除BC ， 当(1,2)x ∈时，()sin 0x π<，所以()0,f x <故排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象的辨别，常由函数的奇偶性，单调性，特殊点的函数的正负排除选项，属于中档题.4．（2021·全国·高三月考）函数()2sin 12x e x f x x +=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由()00f >，函数不具有奇偶性，以及0x >时，函数值大于0，结合选项即可得解． 【详解】解：()02sin 0020102e f +==>+，则可排除A ；又函数()2sin 12x e xf x x +=+不具有奇偶性，则可排除C ；当0x >时，sin 0x e x +>，2102x +>，则可排除B ．故选：D ． 【点睛】本题考查已知函数解析式，利用函数性质确定函数图象，常用排除法进行解题，属于中档题．5．（2021·浙江·台州市黄岩中学高三月考）某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（ ）A ．sin 2sin 2xxy e =B ．cos2cos2xxy e =C ．cos2cos 2xx y e =D ．cos cos xxy e =【答案】C 【分析】利用函数值恒大于等于0，排除选项A 、B 、D ，则答案可得. 【详解】当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而A 选项中，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 2sin 20xxy e =<，故排除A ； 当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而B 选项中，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2cos20x xy e=<，故排除B ；当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而D 选项中，当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos cos 0x xy e=<，故排除D ； 因此，C 选项正确； 故选：C . 【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于中等题.6．（2021·湖北·钟祥市实验中学高二月考）函数cos(π)()e e x xx f x -=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据定义域排除B ，根据(1)0f <排除A ，当1(0,)2x ∈时，()0f x >，当13()22x ∈，时，()0f x <，排除D 项，得到答案. 【详解】由e e 0x x --≠，解得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故排除B 项. 因为()cos[π()]cos(π)()()e e (e e )x x x xx x f x f x ------===----，所以函数()f x 为奇函数， 又1111cos π1(1)0e e e e f ---==<--，故排除A 项. 设()e e x x g x -=-，显然该函数单调递增，故当0x >时，()(0)0g x g >=，则当1(0,)2x ∈时，cos(π)0y x =>，故()0f x >，当13()22x ∈，时，cos(π)0y x =<，故()0f x <，所以排除D 项. 故选:C. 【点睛】本题考查了图像的识别，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．（2020·浙江·高三专题练习）已知函数()2sin 6241x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律，代入特殊值判断，即可得到答案． 【详解】解：函数2sin(6)2cos62()4141x x xx x x f x π+==--， 2cos(6)2cos6()()4141x x xx x xf x f x ---∴-==-=---， ()f x ∴为奇函数，故图象关于原点对称，故排除B 和D ，2sin(6)2cos62()4141x x xx x x f x π+==--， 可知当62x k ππ=+，即12x k ππ=+时，()0f x =当0x >时，12x π=时，()0f x =，从左到右()f x 第一个零点为12π，因为02412ππ<<，取24x π=，得()0f x >，则C 选项正确.故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，零点等排除.8．（2019·全国·三模（文））函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确.【详解】1.11.1ln |1.1|(1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()2f e ---==，1ln 22<=，2<，1()12f ∴-.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.9．（2019·全国·高三月考（理））已知函数()y f x =图象如下，则函数解析式可以为（ ）A ．()()()sin 2ln 1f x x x π=+B ．()()2sin 222xxx x f x π-=-C ．()()()sin 222x x f x x π-=-D ．()()()sin 222x x f x x π-=+【答案】C 【分析】根据图象可知函数()y f x =为偶函数，且定义域为R ，然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的定义域为R ，且为偶函数.对于A 选项，()()()sin 2ln 1f x x x π=+的定义域为{|0}x x ≠，不合乎题意；对于B 选项，令220x x --≠，得0x ≠，则函数()()2sin 222x xx x f x π-=-的定义域不为R ，不合乎题意；对于C 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=-的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=--=-=，该函数为偶函数，合乎题意； 对于D 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=+的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=-+=-+=-，该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：C.【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法求解，考查推理能力，属于中等题.10．（2020·湖北·武汉二中高二期中）下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】 首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解.【详解】 ∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-， 其图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称. 可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确. 故选:C.【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.11．（2020·云南·昆明一中高三月考（文））函数()()12xx f x x e -=-的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的定义域计算出导函数()f x '的正负，由此判断函数()f x 的单调性并判断出图象.【详解】因为定义域{}|2x x ≠，所以()2233()0(2)x x x f x x e --+'=<-，所以()f x 在(),2-∞和()2,+∞上单调递减，故选：A.【点睛】本题考查函数的图象的辨别，难度一般.根据函数解析式辨别函数图象，可以从函数的奇偶性、单调性、特殊点等方面进行分析.12．（2020·全国·模拟预测（理））(5分)函数cos ()cos x x f x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】A【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1f x <<.故选A ．13．（2019·甘肃·兰州五十一中高一期中）若函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以为（ ）A ．21()x f x x +=B ．()2ln 2()x f x x += C ．33()x f x x += D ．ln ()x f x x= 【答案】A【分析】根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案．【详解】选项B 根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B 排除；选项C 根据图象x 趋向于-∞，函数值为负，与C 矛盾故排除；选项D 函数图象在第三象限，0x <，与D 的定义域矛盾，故排除；由此可得只有选项A 正确；故选:A.【点睛】本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题.14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22cos xe x xf x x +=，则()f x 的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性得函数为偶函数，故排除B ，C ，再根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，排除A 得答案.【详解】因为()22cos xe x xf x x +=，定义域为{}0x x ≠， 所以()()()()()2222cos cos x xe x x e x xf x f x x x --+-+-===-， 所以()f x 为偶函数，所以排除B ，C 选项. 又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，所以排除A 选项. 故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15．（2021·山东省实验中学高三月考）函数()cos f x x x=-( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数f (x )定义域，排除两个选项，再取特殊值得解.【详解】∵令g (x )=2cos x x -，x >0时，x 2是递增的，cos x 在(0,π)上递减，则有g (x )在(0,π)上单调递增，而(0)1,(1)1cos10g g =-=->，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0g x =，()f x ∴中0,x R x x ∈≠，排除C 、D ， ∵2x π=时()0f x >，排除B ，所以选A.故选：A【点睛】给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及特殊值等方面入手.16．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）函数()22()6log ||f x x x =-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，然后根据x →+∞时的函数值确定出正确选项.【详解】因为()()()2222()6log ||6log ||()f x x x x x f x -=---=-=，且定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数，所以排除C ，D ；又因为当x →+∞时，y →+∞，所以排除A .故选:B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.17．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项； 22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''. 对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 18．（2021·广东广州·高二期中）已知函数()f x =，则其图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【分析】通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除C D 、.再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像.【详解】()f x的定义域为0x≠,22cos()()xf x f x-====-所以()f x为奇函数，则C D、排除若0x>,且0x→，则cos1)0,()x x f x→+→∴→+∞若0x<,且0x→，则cos1),()x x f x→→-∞∴→-∞f>，(0f-<，011<<，1)0<.故选：A【点睛】判断图像类问题，主要考虑以下几点：函数的定义域；函数的奇偶性；函数的单调性；图像中的特殊值.并且通常用到排除法.19．（2020·浙江·诸暨中学高三月考）函数sin lnxy x e x=+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据0x >、0x <分类讨论sin ln x y x e x =+的图象，利用导函数研究它在各个区间上的单调性，分别判断两个区间某一部份的单调性即可得到它的大致图象；【详解】1、当0x >时，sin ln x y x e x =+，即1cos (ln )x y x e x x '=++，令1()(ln )x g x e x x=+，则1()ln (2)x xe g x e x x x '=+-， ∴1x >时，()0g x '>即()g x 单调递增，故()(1)g x g e >=，∴此时，cos ()cos 0y x g x x e '=+>+>，即y 在(1,)x ∈+∞单调递增，故排除D 选项；2、当0x <时，sin ln()x y x e x =+-，令()ln()x g x e x =-，则1()[ln()]x g x e x x'=-+， ∴1()(1)0e g e e e-'-=->，1(1)0g e -'-=-<，故0(,1)x e ∃∈--有00001()[ln()]0x g x e x x '=-+=即001ln()x x -=-，所以000001()ln()x x e g x e x x e =-=-<，∴在1x <-上010()()g x g x e<<<，而sin [1,1]x ∈-，故sin ln()x y x e x =+-在1x <-上一定有正有负，则有B 正确；故选：B【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，并确定函数的大致图象，注意按区间分类讨论，以及零点、极值点的讨论20．（2020·湖南常德·高三期末（文））函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象大致为 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】排除法，求出函数的定义域可排除A 、B ，函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象可由函数()11ln x x e e g x x +-+=的图象向左平移一个单位得到，利用导数研究函数()11ln x x e e g x x+-+=的单调性，从而可得出结论．【详解】 解：由ln 10x +≠得10x +≠且11x +≠，即1x ≠-且0x ≠，∴函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的定义域为()()()11,00,-∞--+∞，故A 、B 错；又函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象可由函数()11ln x x e e g x x+-+=的图象向左平移一个单位得到， ∵0x >时，()11ln x x e e g x x +-+=，()()1121ln ln x x e e x x g'x x +-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 由()'0g x =得1ln 0x x -=，令()1ln h x x x=-， ∵()11h =-，()12ln 202h =->， ∴存在实数()01,2x ∈，使得()00h x =，又函数()1ln h x x x=-在()0,∞+上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，函数()g x 单调递增；∴函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+在()0,∞+上的单调性应是先递减后递增， 故C 错，D 对；故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的性质与图象，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题．。
专题05 三角函数-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(解析版)
专题05 三角函数目录一览2023真题展现考向一 三角函数的图象与性质考向二 三角恒等变换真题考查解读近年真题对比考向一 三角函数的图象与性质考向二 三角恒等变换考向三 同角三角函数间的基本关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 三角函数的图象与性质1．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），如图，A ，B 是直线y =12与曲线y ＝f （x ）的两个交点，若|AB |=π6，则f （π）＝ ．【答案】解：由题意：设A （x 1，12），B （x 2，12），则x 2﹣x 1=π6，由y ＝A sin （ωx +φ）的图象可知：ωx 2+φ﹣（ωx 1+φ）=5π6−π6=2π3，即ω（x 2﹣x 1）=2π3，∴ω＝4，又f （2π3）＝sin （8π3+φ）＝0，∴8π3+φ＝k π，k ∈Z ，即φ=−8π3+k π，k ∈Z ，观察图象，可知当k ＝2时，φ=−2π3满足条件，∴f （π）＝sin （4π−2π3）=故答案为：2．（2023•新高考Ⅰ•第15题）已知函数f （x ）＝cos ωx ﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．【答案】[2，3）【解答】解：x ∈[0，2π]，函数的周期为2πω（ω＞0），cos ωx ﹣1＝0，可得cos ωx ＝1，函数f （x ）＝cos ωx ﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2⋅2πω≤2π＜3⋅2πω，所以2≤ω＜3．考向二 三角恒等变换3．（2023•新高考Ⅱ•第7题）已知α为锐角，cos αsin α2=（ ）A B C D 【答案】D解：cos α则cos α=1−2si n 2α2，故2si n 2α2=1﹣cos αsi n 2α2=∵α为锐角，∴sin α2＞0，∴sin α2=4．（2023•新高考Ⅰ•第8题）已知sin （α﹣β）=13，cos αsin β=16，则cos （2α+2β）＝（ ）A ．79B ．19C ．−19D ．−79【答案】B解：因为sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣sin βcos α=13，cos αsin β=16，所以sin αcos β=12，所以sin （α+β）＝sin αcos β+sin βcos α=12+16=23，则cos （2α+2β）＝1﹣2sin 2（α+β）＝1﹣2×49=19．【命题意图】考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=A sin （wx+ϕ）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．【考查要点】三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助角公式等．常考查y=A sin （wx+ϕ）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．【得分要点】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α+cos 2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan α．2．诱导公式公式一：sin （α+2k π）＝sin α，cos （α+2k π）＝cos_α，其中k ∈Z ．公式二：sin （π+α）＝﹣sin_α，cos （π+α）＝﹣cos_α，tan （π+α）＝tan α．公式三：sin （﹣α）＝﹣sin_α，cos （﹣α）＝cos_α．公式四：sin （π﹣α）＝sin α，cos （π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin （π2−α）＝cos α，cos （π2−α）＝sin α．公式六：sin （π2+α）＝cos α，cos （π2+α）＝﹣sin α．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C （α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．（2）C （α+β）：cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β．（3）S （α+β）：sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β．（4）S （α﹣β）：sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β．（5）T （α+β）：tan （α+β）=tanαtanβ1−tanαtanβ．（6）T （α﹣β）：tan （α﹣β）=tanα−tanβ1tanαtanβ．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．（2）C 2α：cos 2α＝cos 2α﹣sin 2α＝2cos 2α﹣1＝1﹣2sin 2α．（3）T 2α：tan 2α=2tanα1−tan 2α．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质R R k ∈Z y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的步骤7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M−m2，k=M m2，ω由周期T确定，即由2πω=T求出，φ由特殊点确定．考向一三角函数的图象与性质1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）A．1B．C．D．3【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）A．f（x）在区间（0，）单调递减B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）单调递减，A正确；x∈（﹣，），2x+∈（，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；f（x）＝sin（2x+），求导可得，f'（x）＝，令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．故选：AD．3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（ ）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）【解答】解：令，k∈Z．则，k∈Z．当k＝0时，x∈[，]，（0，）⊆[，]，故选：A ．考向二 三角恒等变换4．（2022•新高考Ⅱ）若sin （α+β）+cos （α+β）＝2cos （α+）sin β，则（ ）A ．tan （α﹣β）＝1B ．tan （α+β）＝1C ．tan （α﹣β）＝﹣1D ．tan （α+β）＝﹣1【解答】解：解法一：因为sin （α+β）+cos （α+β）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）＝2cos （α+）sin β，即sin （）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）cos β+sin βcos （）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）cos β﹣sin βcos （）＝0，所以sin （）＝0，所以＝k π，k ∈Z ，所以α﹣β＝k，所以tan （α﹣β）＝﹣1．解法二：由题意可得，sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β﹣sin αsin β＝2（cos α﹣sin α）sin β，即sin αcos β﹣cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β＝0，所以sin （α﹣β）+cos （α﹣β）＝0，故tan （α﹣β）＝﹣1．故选：C ．考向三 同角三角函数间的基本关系5．（2021•新高考Ⅰ）若tan θ＝﹣2，则＝（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【解答】解：由题意可得：＝＝＝．故选：C．结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。
2022年新高考数学函数压轴小题专题突破专题5 函数嵌套问题(解析版)
专题5 函数嵌套1．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为( ) A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或62．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A．(1,1)+ B．(0 C ．1(1,1)e+ D． 3．已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+…，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A ．(4,2)−− B．(4,−− C ．(3,2)−− D．(3,−−4．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>= −+< ，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)−∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2−∞ ，)+∞D ．(−∞，0)(1∪，)+∞5．已知函数33,0()1,0xx x x f x x lnx x e x −= ++> …，若关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2−，11e + )B ．(2−，0 )(∪ 0，11e + )C ．2321(,)2e e e+−+D ．( 32−，0 )(∪ 0，221)e e e++6．已知函数|1|221,0()21,0x x f x x x x − −= ++<…，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根，则m 的值是( ) A ．0或12B ．12C ．0D ．不存在7．已知函数2(2),0()|2|,0x x f x x x += −>…，方程2()()0f x af x −=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根的和为q ，则p 、q 的值分别为( ) A ．6，4B ．4，6C ．4，0D ．6，08．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线与直线610x y ++=垂直( 2.71828e =…是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +−−=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c <在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是()A ．21(1,2]e + B ．221[2,2]e e+−C ．2221[2,]e e e−+ D ．221(2,]e e+ 9．已知函数()1xf x x =+，(1,)x ∈−+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A ．3(2−，0)B ．3(2−，4)3−C ．3(2−，4]3−D ．4(3−，0)10．已知函数2()x x f x e =，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．1(1,2)e−C ．24{1,1}e − D ．24(1,1)e −11．已知函数()1xxf x e=−，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( )A ．(−∞，2)(2∪，)+∞B ．1(2,)e−+∞C ．1(2,2)e−D ．12e−12．已知函数||||()1x x f x e =+，2(),0()2,0f x x g x x x a x = −+>…，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t −−=实根个数的判断正确的是( )A ．当2t <−时，方程(())10g g x t −−=没有相异实根B ．当110t e−+<<或2t =−时，方程(())10g g x t −−=有1个相异实根 C ．当111t e<<+时，方程(())10g g x t −−=有2个相异实根 D ．当111t e −<<−+或01t <…或11t e=+时，方程(())10g g x t −−=有4个相异实根 13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x= −< …，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．14．已知函数,1()1,12lnx x f x x x= −< …，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围 ．15．已知函数,2()48,25xexx e f x x x x= − > …（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a −+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ．16．已知函数231,0()26,0ax x f x xlnx x x ++< = −> ，若关于x 的方程()()0f x f x +−=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 ．17．已知函数21,0()21,0x x f x x x x + = −+>…，若关于x 的方程2()()0f x af x −=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 ．18．已知函数()|1|33f x x x x =−−+． （1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m −+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．19．已知函数2()sin()2cos 1,468f x x x x R πππ=−−+∈．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x−+=∈在内有实数解，求实数m 的取值范围．20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +−=+−成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的解析式；（Ⅱ）记函数()h x 在[1−，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m −…，当0b >时，求b 的最大值； （Ⅲ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|x x kf k −+−=−有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．专题5 函数嵌套1．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为( ) A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x ′=−++−−=+−， ∴当2x <−或1x >时，()0f x ′>，当21x −<<时，()0f x ′<，()f x ∴在(,2)−∞−上单调递增，在(2,1)−上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 的极大值为25(2)f e −=，()f x 的极小值为f （1）e =−． 作出()f x 的函数图象如图所示：25()()()f x mf x m R e−=∈，25()()0f x mf x e ∴−−=，△2200m e=+>， 令()f x t =则，则125t t e=−．不妨设120t t <<，（1）若1t e <−，则2250t e <<，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解； （2）若1t e =−，则225t e =，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解； （3）若10e t −<<，则225t e >，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解； 综上，25()()f x mf x e−=有三个不同的实数解．故选：A ．2．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A．(1,1)2e+ B．(0 C ．1(1,1)e+ D．【解析】解：化简可得0()0x f x x =<…，当0x >时，()0f x …，()f x ′= 当102x <<时，()0f x ′>，当12x >时，()0f x ′<， 故当12x =时，函数()f x有极大值1()2f =； 当0x <时，()0f x ′=<，()f x 为减函数，作出函数()f x 对应的图象如图：∴函数()f x 在(0,)+∞上有一个最大值为1()2f =； 设()t f x =，当t >()t f x =有1个解，当t =()t f x =有2个解，当0t <<时，方程()t f x =有3个解， 当0t =时，方程()t f x =有1个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，则方程2()()10f x mf x m −+−=等价为210t mt m −+−=，等价为方程21(1)[(1)]0t mt m t t m −+−=−−−=有两个不同的根1t =，或1t m =−， 当1t =时，方程()t f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则1t m −∈，即01m <−<11m <<+， 则m的取值范围是1) 故选：A ．3．已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+…，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A ．(4,2)−− B．(4,−− C ．(3,2)−− D．(3,−−【解析】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+ …，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t 且1t ，2(1,2)t ∈．可得22280112032220122b b b b b =−> ++> ⇒−<<− ++><−< ． 故选：D ．4．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>= −+< ，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)−∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2−∞ ，)+∞D ．(−∞，0)(1∪，)+∞【解析】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>=−+< 的图象如图： 方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x …，2()2()10()f x af x a a R −+−=∈，可得()f x a =±，当1a >时，1a +>，(0,1)a −．满足题意．当1a =时，2a +=，0a −=，不满足题意． 考察选项可知，D 正确； 故选：D ．5．已知函数33,0()1,0xx x x f x x lnx x ex −= ++> …，若关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2−，11e + )B ．(2−，0 )(∪ 0，11e + )C ．2321(,)2e e e+−+D ．( 32−，0 )(∪ 0，221)e e e ++【解析】解：当0x …时，3()3f x x x =−，则2()333(1)(1)f x x x x ′=−=−+， 令()0f x ′=得：1x =−，∴当(,1)x ∈−∞−时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当(1,0)x ∈−时，()0f x ′>，()f x 单调递增，且(1)2f −=−，(0)0f =，当0x >时，1()x x lnx f x e x +=+，则21()x x lnxf x e x−−′=+，显然f ′（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ′<，()f x 单调递减，且f （1）11e=+， 故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x −−=化为关于t 的方程210t mt −−=， △240m =+>，∴方程210t mt −−=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ， 由韦达定理得：12t t m +=，1210t t =−<，不妨设10t >，20t <，关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根， ∴由函数()f x 的图象可知：1101t e<<+，220t −<<，设2()1g t t mt =−−，则(2)0(0)01(1)0g g g e−>< +>，解得：23212e m e e+−<<+， 故选：C ．6．已知函数|1|221,0()21,0x x f x x x x − −= ++< …，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根，则m 的值是( ) A ．0或12B ．12C ．0D ．不存在【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，当()1f x =时，有三个根，把()1f x =代入方程22()(1)()20f x m f x m −++=得，21(1)20m m −++=， 解得：0m =或12， 当0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为2()()0f x f x −=，所以()0f x =或1，所以有五个根， 当12m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为231()()022f x f x −+=，所以()1f x =或12，所以有7个根，舍去，综上所求，0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根， 故选：C ．7．已知函数2(2),0()|2|,0x x f x x x += −>…，方程2()()0f x af x −=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根的和为q ，则p 、q 的值分别为( )A ．6，4B ．4，6C ．4，0D ．6，0【解析】解：2()()0f x af x −= ，()0f x ∴=或()f x a =．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有两解，()f x a =有四解．6p ∴=．由图象可知()0f x =的两解为2x =−，2x =，()f x a =的四个解中，较小的两个关于直线2x =−对称，较大的两个关于直线2x =对称， 0q ∴=．故选：D ．8．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线与直线610x y ++=垂直( 2.71828e =…是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +−−=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c <在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是( )A ．21(1,2]e + B ．221[2,2]e e +− C ．2221[2,]e e e −+ D ．221(2,]e e + 【解析】解：函数()(1)(1)g x a x ln x =++的导数为()(1)g xaln x a ′=++， 可得()g x 图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线斜率为3a ，由切线与直线610x y ++=垂直，可得36a =，解得2a =，()2(1)(1)g x x ln x =++，3()(1)0xf x g x x +−−=，可得2()2f x x lnx =−， 导数为222(1)(1)()2x x f x x x x −+′=−=， 当1x >时，()0f x ′>，()f x 递增；当01x <<时，()0f x ′<，()f x 递减． 即有1x =处()f x 取得最小值1．则()f x 在1[e，]e 的图象如右： 若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c < 在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解， 可令()t f x =，则20t bt c −+=，（1） 可得t 的范围是[1，22]e −，方程（1）判别式为240b c −>，必有两不同的实数解，设为1t ，2t ，12t t b +=，可得11t =，22112t e <+…， 即21112b e <−+…， 解得2123b e <+…，① 又212122t e e +<−…， 22112t e <+…， 则21222113t t b e e e+<+=+…，② 由①②求并可得2212b e e <+…， 故选：D ．9．已知函数()1x f x x =+，(1,)x ∈−+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( )A ．3(2−，0)B ．3(2−，4)3−C ．3(2−，4]3−D ．4(3−，0) 【解析】解：1()11f x x −=++，|()|y f x =，(1,)x ∈−+∞的图象如下：设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根，①0t =时，代入2230t mt m +++=得32m =−，即2302t t −=，另一根为32只有一个交点，舍去 ②一个在(0,1)上，一个在[1，)+∞上时，设2()23h t t mt m =+++(0)230(1)1230h m h m m =+> =+++ …，解得3423m −<−…． 故选：C ．10．已知函数2()x x f x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．1(1,2)e −C ．24{1,1}e −D ．24(1,1)e − 【解析】解：函数2()x x f x e=的导数为22()x x x f x e −′=， 当02x <<时，()0f x ′>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x ′<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0，在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象，设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++−=，即为210t mt m ++−=，解得1t =−或1t m =−，当1t =−时，()1f x =−无实根； 由题意可得当241(0,)t m e =−∈， 解得241m e −=或1m =， 所以24(1m e ∈−，1) 故选：D ．11．已知函数()1x x f x e=−，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( )A ．(−∞，2)(2∪，)+∞B ．1(2,)e −+∞C ．1(2,2)e −D ．12e −【解析】解：由题意1()x x f x e −′=．令1()0xx f x e −′==，解得1x =； 且1x >时，()0f x ′<，1x <时，()0f x ′>，所以()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值11e=−． ()f x 大致图象如下：令()t f x =，则2[()]()10f x mf x m ++−=可化为210t mt m ++−=． 假设2m =，则2210t t ++=．解得1t =−，即()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时只有一个解，故2m =不符合题意，由此排除B 选项；假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =−，21t =−．即()2f x =−，或()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解，故3m =不符合题意，由此排除A 选项． 假设12m e=−时，则211(2)10t t e e +−+−=，解得111t e =−，21t =−． 即()1f x =−或1()1f x e=−， 根据()f x 的图象，很明显此时方程只有两个根， 故12m e=−不符合题意，由此排除D 故选：C ．12．已知函数||||()1x x f x e =+，2(),0()2,0f x x g x x x a x = −+>…，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t −−=实根个数的判断正确的是( )A ．当2t <−时，方程(())10g g x t −−=没有相异实根B ．当110t e−+<<或2t =−时，方程(())10g g x t −−=有1个相异实根 C ．当111t e <<+时，方程(())10g g x t −−=有2个相异实根 D ．当111t e−<<−+或01t <…或11t e =+时，方程(())10g g x t −−=有4个相异实根 【解析】解：当0x …时，||||()111x x x x x f x xe e e−−=+=+=−+， 因为g （1）0=，所以120a −+=，所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x −+= −+> …， 图象如图所示：当0x …时，0x −…，0x e >， 则11x xe −+…，当且仅当0x =时等号成立，()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,0)−上是减少的； 当0x >时，()f x 在(0,1)上是减少的，在(1,)+∞上是增加的， 故()(1)0g x g −=…恒成立．故()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,1)−上是减少的，在(1,)+∞上是增加的． 令()m g x t =−，则()10g m −=，解得：0m =或2m =，当0m =即()0g x t −=时，()g x t =，当2t <−时，()2g x <−，无解，当2m =即()2g x t −=时，()2g x t =+，当2t <−时，()0g x <，无解，故方程(())10g g x t −−=没有相异实根，故A 正确；当2t =−时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e −+<<时，12(1,2)t e+∈+， 由上可知()f x 在1x =−时取得极大值为1(1)1g e−=+， 结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点， 故B 正确； 当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+， 若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点，若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+， 此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t −−=有4个相异实根，故C 错误； 当111t e −<<−+时，1()2(1,1)g x t e=+∈+， 由C 可知此时有三个不等实根，当01t <…时，()g x t =或()2g x t =+，当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根，故此时方程(())10g g x t −−=共有9个不等实根， 故D 错误．故选：AB ．13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 1 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．【解析】解：()(()1)g x f f x =+，,1()1,12lnx x f x x x = −< …， 当1x …时，0lnx …，()11f x +…，则(()1)(1)f f x ln lnx +=+， 当1x <时，1112x −+>，则(()1)(2)2x f f x ln +=−． (1),1()(()1)(2),12ln lnx x g x f f x x ln x + ∴=+= −< …， 令()0g x =，则1(1)0x ln lnx += …或1(2)02x x ln < −= ， 解得1x =．故函数()(()1)g x f f x =+的零点是1；由上可知，(()1)(()1)f f x ln f x +=+，()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，即(()1)ln f x m +=−有两根，也就是()1m f x e −+=，()1m f x e −=−有两根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则 2lnx t =，2t x e =，112x t −=，122x t =−， ∴1222t x x e t +=+−，12t >， 设()22t t e t ϕ=+−，12t >， 则()2t t e ϕ′=−，可得当1(2t ∈，)lnt 时，()0t ϕ′<， 当(,)t lnt ∈+∞时，()0t ϕ′>， 则()t ϕ的最小值为(2)422ln ln ϕ=−． 12x x ∴+的最小值是422ln −． 故答案为：1；422ln −．14．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围(−∞ ．【解析】解：当1x …时，()0f x lnx =…，则()11f x +…，(()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+， 当1x <时，1()122x f x =−>，则3()12f x +>， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+， 综上可知，()(()1)(()1)F x f f x m ln f x m =++=++， 令()0F x =，得()1m f x e −+=，依题意，()1m f x e −=−有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则1221,,1,222t x lnx t x e t x t ==−==−， ∴121(22),2t x x e t t =−>， 设1()(22),2t g t e t t =−>，则()20t g t te ′=−<，()g t ∴在1(,)2+∞上单调递减，∴1()()2g t g <， 12x x ∴的取值范围为(−∞．故答案为：(−∞．15．已知函数,2()48,25x ex x e f x x x x= − > …（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a −+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 1{}2 ． 【解析】解：当2x …时，令()0xe exf x e −′==，解得1x =， 所以当1x …时，()0f x ′>，则()f x 单调递增，当12x 剟时，()0f x ′<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x −==−单调递增，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=，则()20f x a =−<，()0f x a =−<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a −+=−−=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e> < …，解得245a e <…， 故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解，当()0f x <时，()2f x a =−和()f x a =−无解，不符合题意．综上：a 的范围是12{}[2e ，4)5故答案为12{}[2e ，4)516．已知函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ，若关于x 的方程()()0f x f x +−=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 (2,0)− ．【解析】解：已知定义在(−∞，0)(0∪，)+∞上的函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ， 若()()0f x f x +−=在定义域上有四个不同的解 等价于231a y x x =++关于原点对称的函数231a y x x=−+−与函数()26(0)f x lnx x x =−>的图象有两个交点， 联立可得226310a lnx x x x −+−+=有两个解， 即23263a xlnx x x x =−++，0x >，可设23()263g x xlnx x x x =−++，0x >，2()32129g x lnx x x ′=+−+，2()1812120g x x x ′′=+−−=…，可得()g x ′在(0,)+∞递增， 由g ′（1）0=，可得01x <<时，()0g x ′<，()g x 递减；1x >时，()0g x ′>，()g x 递增， 即()g x 在1x =处取得极小值且为2−，作出()y g x =的图象，可得20a −<<时，226310a lnx x x x−+−+=有两个解， 故答案为：(2,0)−．17．已知函数21,0()21,0x x f x x x x + = −+> …，若关于x 的方程2()()0f x af x −=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 (0,1) ．【解析】解：作()f x 的图象如下，，2()()()(())0f x af x f x f x a −=−=，()0f x ∴=或()f x a =；()0f x = 有两个不同的解，故()f x a =有三个不同的解，故(0,1)a ∈；故答案为：(0,1)．18．已知函数()|1|33f x x x x =−−+．（1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m −+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）由题得2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…， ①当1x <时，令()0f x =，得3x =−或1x =（舍)；②当1x …时，令()0f x =，得1x =或3x =， ∴函数()f x 的零点是3−，1，3；（2）作出函数2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n −+=恰有5个不同的实数解， 解法一：则函数2()g t t mt n =−+的零点分布情况如下：①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，则(1)0(4)0142g g b a −= > −<−< ，得101640142m n m n m ++= −+> −<< ，故(2,3)m ∈−；②当14t =，2(1,4)t ∈−时，则(4)0(1)0142g g b a = −> −<−< ，得164010142m n m n m −+= ++> −<< ，故(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)；解法二：则方程20t mt n −+=的根的情况如下：①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，由11t =−得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m −−+=，即(1)(1)0t t m +−−=，故21(1,4)t m =+∈−，所以(2,3)m ∈−；②当14t =，2(1,4)t ∈−时，由14t =得1640m n −+=，则方程24(4)0t mt m −+−=，即(4)(4)0t t m −−+=，故24(1,4)t m =−∈−，所以(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)．19．已知函数2()sin()2cos 1,468f x x x x R πππ=−−+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x −+=∈在内有实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】解：（1）23()sin()2cos 1sin cos cos sin cos cos sin()4684646442443f x x x x x x x x ππππππππππππ=−−+=−−=−=−… （3分） ∴函数()f x 的最小正周期为8．…（4分） 令222432k x k ππππππ−−+剟，k Z ∈，求得2108833k x k −+剟，k z ∈，故函数的单调递增区间为210[8,8]33k k −+，k Z ∈…（6分）（2）设()t f x =，4(3x ∈ ，4)，∴2(0,)433x πππ−∈，()(0f x ∴∈，∴方程2410t mt −+=在(0t ∈内有实数解，即当(0t ∈时方程有实数解．…（10分） 11442t t t += 当且仅当…时取等号，4m ∴…，…（8分） 故实数m 的取值范围是[4，)+∞．…（12分） 20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +−=+−成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的解析式；（Ⅱ）记函数()h x 在[1−，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m −…，当0b >时，求b 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）令1x =，0y =得g （1）(0)1g −=−，g （1）0=，(0)1g ∴=， 令0y =得()(0)(2)g x g x x −=−，即2()21g x x x =−+．（Ⅱ）2()(1)h x g x bx c x bx c =+++=++．①当12b −<−，即2b >时，M m h −=（1）(1)24h b −−>，与题设矛盾②当102b −−<…时，即02b <…时，M m h −=（1）2()(1)422b b h −−+…恒成立， 综上可知当02b <…时，b 的最大值为2．（3）当0x =时，210x −=则0x =不是方程的根， 方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−可化为： 2|21|(23)|21|(12)0x x k k −−+−++=，|21|0x −≠， 令|21|x t −=，则方程化为2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >， 方程2(|21|)310|21|x x k f k −+−−=−有三个不同的实数解， ∴由|21|x t =−的图象知， 2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >，有两个根1t 、2t ， 且1201t t <<<或101t <<，21t =． 记2()(23)(12)h t t k t k =−+++，则(0)210(1)0h k h k =+> =−<，此时0k >， 或(0)210(1)032012h k h k k =+> =−= + << ，此时k 无解， 综上实数k 的取值范围是(0,)+∞．。
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专题5 函数嵌套1．已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为( ) A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x '=-++--=+-， ∴当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在(,2)-∞-上单调递增，在(2,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 的极大值为25(2)f e -=，()f x 的极小值为f （1）e =-． 作出()f x 的函数图象如图所示：25()()()f x mf x m Re -=∈，25()()0f x mf x e∴--=，△2200m e=+>， 令()f x t =则，则125t t e=-．不妨设120t t <<，（1）若1t e <-，则2250t e<<，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解； （2）若1t e =-，则225t e =，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解； （3）若10e t -<<，则225t e >，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解； 综上，25()()f x mf x e-=有三个不同的实数解． 故选：A ．2．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A．(1,1) B．(0 C ．1(1,1)e+D．,1)【解析】解：化简可得0()0x f x x =<，当0x >时，()0f x，12()x x e x f x e '===， 当102x <<时，()0f x'>，当12x>时，()0fx '<， 故当12x=时，函数()f x有极大值21()2f e====； 当0x <时，2()0x xxe x e x xf x x e --'==<，()f x 为减函数，作出函数()f x 对应的图象如图：∴函数()f x 在(0,)+∞上有一个最大值为1()2f ；设()t f x =， 当t >()tf x =有1个解， 当t =()t f x =有2个解， 当0t <<时，方程()t f x =有3个解， 当0t =时，方程()t f x =有1个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，则方程2()()10f x mf x m -+-=等价为210t mt m -+-=，等价为方程21(1)[(1)]0t mt m t t m -+-=---=有两个不同的根1t =，或1t m =-， 当1t =时，方程()t f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根， 则1t m =-∈，即01m <-<11m <<+，则m的取值范围是1)+ 故选：A ．3．已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A ．(4,2)--B．(4,--C ．(3,2)--D．(3,--【解析】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t 且1t ，2(1,2)t ∈．可得22280112032220122b b b b b ⎧=->⎪++>⎪⎪⇒-<<-⎨++>⎪⎪<-<⎪⎩． 故选：D ．4．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2-∞，)+∞D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞【解析】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩的图象如图：方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x ，2()2()10()f x af x a a R -+-=∈，可得()f x a =，当1a >时，1a >，(0,1)a ．满足题意．当1a =时，2a ，0a =，不满足题意． 考察选项可知，D 正确； 故选：D ．5．已知函数33,0()1,0x x x x f x x lnx x ex ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩，若关于x 的方程2()()10f x mf x --=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2-，11e + )B ．(2-，0 )(⋃ 0，11e + )C ．2321(,)2e e e+-+D ．( 32-，0 )(⋃ 0，221)e e e++【解析】解：当0x 时，3()3f x x x =-，则2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+， 令()0f x '=得：1x =-，∴当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，且(1)2f -=-，(0)0f =，当0x >时，1()x x lnx f x e x +=+，则21()x x lnxf x e x--'=+，显然f '（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，且f （1）11e=+， 故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x --=化为关于t 的方程210t mt --=， △240m =+>，∴方程210t mt --=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ， 由韦达定理得：12t t m +=，1210t t =-<，不妨设10t >，20t <， 关于x 的方程2()()10f x mf x --=恰好有6个不相等的实根， ∴由函数()f x 的图象可知：1101t e<<+，220t -<<，设2()1g t t mt =--，则(2)0(0)01(1)0g g g e ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪+>⎩，解得：23212e m e e+-<<+，故选：C ．6．已知函数|1|221,0()21,0x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根，则m 的值是( ) A ．0或12B ．12C ．0D ．不存在【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，当()1f x =时，有三个根，把()1f x =代入方程22()(1)()20f x m f x m -++=得，21(1)20m m -++=， 解得：0m =或12， 当0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=为2()()0f x f x -=，所以()0f x =或1，所以有五个根， 当12m =时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=为231()()022f x f x -+=，所以()1f x =或12，所以有7个根，舍去，综上所求，0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根， 故选：C ．7．已知函数2(2),0()|2|,0x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，方程2()()0f x af x -=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根的和为q ，则p 、q 的值分别为( ) A ．6，4 B ．4，6C ．4，0D ．6，0【解析】解：2()()0f x af x -=，()0f x ∴=或()f x a =．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有两解，()f x a =有四解． 6p ∴=．由图象可知()0f x =的两解为2x =-，2x =，()f x a =的四个解中，较小的两个关于直线2x =-对称，较大的两个关于直线2x =对称， 0q ∴=．故选：D ．8．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e -，2(1))g e -处的切线与直线610x y ++=垂直( 2.71828e =⋯是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +--=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b -+=，c R ∈，且0)c <在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是() A ．21(1,2]e + B ．221[2,2]e e +-C ．2221[2,]e e e-+ D ．221(2,]e e+ 【解析】解：函数()(1)(1)g x a x ln x =++的导数为()(1)g x aln x a '=++， 可得()g x 图象在点2(1e -，2(1))g e -处的切线斜率为3a ， 由切线与直线610x y ++=垂直，可得36a =， 解得2a =，()2(1)(1)g x x ln x =++，3()(1)0xf x g x x +--=，可得2()2f x x lnx =-， 导数为222(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=， 当1x >时，()0f x '>，()f x 递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减． 即有1x =处()f x 取得最小值1． 则()f x 在1[e，]e 的图象如右：若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b -+=，c R ∈，且0)c < 在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，可令()t f x =，则20t bt c -+=，（1） 可得t 的范围是[1，22]e -，方程（1）判别式为240b c ->，必有两不同的实数解， 设为1t ，2t ，12t t b +=， 可得11t =，22112t e<+， 即21112b e <-+， 解得2123b e <+，① 又212122t e e+<-， 22112t e <+， 则21222113t t b e e e+<+=+，② 由①②求并可得2212b e e <+， 故选：D ．9．已知函数()1xf x x =+，(1,)x ∈-+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A ．3(2-，0)B ．3(2-，4)3-C ．3(2-，4]3-D ．4(3-，0)【解析】解：1()11f x x -=++，|()|y f x =，(1,)x ∈-+∞的图象如下：设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根， ①0t =时，代入2230t mt m +++=得32m =-，即2302t t -=，另一根为32只有一个交点，舍去②一个在(0,1)上，一个在[1，)+∞上时， 设2()23h t t mt m =+++(0)230(1)1230h m h m m =+>⎧⎨=+++⎩，解得3423m -<-． 故选：C ．10．已知函数2()x x f x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．1(1,2)e-C ．24{1,1}e -D ．24(1,1)e -【解析】解：函数2()x x f x e =的导数为22()xx x f x e-'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象， 设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++-=， 即为210t mt m ++-=， 解得1t =-或1t m =-， 当1t =-时，()1f x =-无实根； 由题意可得当241(0,)t m e=-∈， 解得241m e-=或1m =， 所以24(1m e ∈-，1) 故选：D ．11．已知函数()1x x f x e=-，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( )A ．(-∞，2)(2⋃，)+∞B ．1(2,)e-+∞C ．1(2,2)e -D ．12e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】解：由题意1()x x f x e -'=．令1()0x xf x e-'==，解得1x =； 且1x >时，()0f x '<，1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值11e=-．()f x 大致图象如下：令()t f x =，则2[()]()10f x mf x m ++-=可化为210t mt m ++-=． 假设2m =，则2210t t ++=．解得1t =-，即()1f x =-． 根据()f x 图象，很明显此时只有一个解， 故2m =不符合题意，由此排除B 选项；假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =-，21t =-． 即()2f x =-，或()1f x =-．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解， 故3m =不符合题意，由此排除A 选项．假设12m e =-时，则211(2)10t t e e +-+-=，解得111t e =-，21t =-．即()1f x =-或1()1f x e=-，根据()f x 的图象，很明显此时方程只有两个根， 故12m e=-不符合题意，由此排除D故选：C ．12．已知函数||||()1x x f x e =+，2(),0()2,0f x x g x x x a x ⎧=⎨-+>⎩，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t --=实根个数的判断正确的是( )A ．当2t <-时，方程(())10g g x t --=没有相异实根B ．当110t e-+<<或2t =-时，方程(())10g g x t --=有1个相异实根C ．当111t e<<+时，方程(())10g g x t --=有2个相异实根D ．当111t e -<<-+或01t <或11t e=+时，方程(())10g g x t --=有4个相异实根 【解析】解：当0x 时，||||()111x x x x xf x xe e e--=+=+=-+， 因为g （1）0=， 所以120a -+=， 所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x ⎧-+=⎨-+>⎩，图象如图所示：当0x 时，0x -，0x e >，则11x xe -+，当且仅当0x =时等号成立， ()g x 在(,1)-∞-上是增加的，在(1,0)-上是减少的；当0x >时，()f x 在(0,1)上是减少的，在(1,)+∞上是增加的， 故()(1)0g x g -=恒成立．故()g x 在(,1)-∞-上是增加的，在(1,1)-上是减少的，在(1,)+∞上是增加的． 令()m g x t =-，则()10g m -=， 解得：0m =或2m =， 当0m =即()0g x t -=时， ()g x t =，当2t <-时，()2g x <-，无解， 当2m =即()2g x t -=时， ()2g x t =+，当2t <-时，()0g x <，无解， 故方程(())10g g x t --=没有相异实根， 故A 正确；当2t =-时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e -+<<时，12(1,2)t e+∈+， 由上可知()f x 在1x =-时取得极大值为1(1)1g e-=+，结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点， 故B 正确；当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+，若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点， 若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+，此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t --=有4个相异实根， 故C 错误； 当111t e -<<-+时，1()2(1,1)g x t e=+∈+， 由C 可知此时有三个不等实根， 当01t <时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+，当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 故此时方程(())10g g x t --=共有9个不等实根， 故D 错误． 故选：AB ．13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 1 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．【解析】解：()(()1)g x f f x =+，,1()1,12lnx x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，当1x 时，0lnx ，()11f x +，则(()1)(1)f f x ln lnx +=+， 当1x <时，1112x -+>，则(()1)(2)2xf f x ln +=-． (1),1()(()1)(2),12ln lnx x g x f f x xln x +⎧⎪∴=+=⎨-<⎪⎩， 令()0g x =，则1(1)0x ln lnx ⎧⎨+=⎩或1(2)02x xln <⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得1x =．故函数()(()1)g x f f x =+的零点是1； 由上可知，(()1)(()1)f f x ln f x +=+，()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，即(()1)ln f x m +=-有两根，也就是()1m f x e -+=，()1m f x e -=-有两根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x 时，21m lnx e -=-，当1x <时，1112m x e --=-， 令112m t e -=->，则 2lnx t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-， ∴1222t x x e t +=+-，12t >， 设()22t t e t ϕ=+-，12t >， 则()2t t e ϕ'=-，可得当1(2t ∈，)lnt 时，()0t ϕ'<，当(,)t lnt ∈+∞时，()0t ϕ'>， 则()t ϕ的最小值为(2)422ln ln ϕ=-． 12x x ∴+的最小值是422ln -．故答案为：1；422ln -．14．已知函数,1()1,12lnx x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围(-∞ ．【解析】解：当1x 时，()0f x lnx =，则()11f x +， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，当1x <时，1()122x f x =->，则3()12f x +>， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，综上可知，()(()1)(()1)F x f f x m ln f x m =++=++，令()0F x =，得()1m f x e -+=，依题意，()1m f x e -=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x 时，21m lnx e -=-，当1x <时，1112m x e --=-， 令112m t e -=->，则1221,,1,222t x lnx t x e t x t ==-==-， ∴121(22),2t x x e t t =->， 设1()(22),2t g t e t t =->，则()20t g t te '=-<，()g t ∴在1(,)2+∞上单调递减，∴1()()2g t g <=12x x ∴的取值范围为(-∞．故答案为：(-∞．15．已知函数,2()48,25xexx e f x x x x⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 12{}[2e ，4)5．【解析】解：当2x 时，令()0xe exf x e -'==，解得1x =， 所以当1x 时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当12x 时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x -==-单调递增，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=， 则()20f x a =-<，()0f x a =-<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a -+=--=， ()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得245a e <， 故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解， 当()0f x <时，()2f x a =-和()f x a =-无解，不符合题意． 综上：a 的范围是12{}[2e ，4)5故答案为12{}[2e ，4)516．已知函数231,0()26,0ax x f x xlnx x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 (2,0)- ．【解析】解：已知定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数231,0()26,0ax x f x xlnx x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩， 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解 等价于231a y x x =++关于原点对称的函数231ay x x=-+-与函数()26(0)f x lnx x x =->的图象有两个交点，联立可得226310alnx x x x-+-+=有两个解， 即23263a xlnx x x x =-++，0x >， 可设23()263g x xlnx x x x =-++，0x >， 2()32129g x lnx x x '=+-+， 22()1812218120g x x x x x''=+-=，可得()g x '在(0,)+∞递增， 由g '（1）0=，可得01x <<时，()0g x '<，()g x 递减；1x >时，()0g x '>，()g x 递增， 即()g x 在1x =处取得极小值且为2-，作出()y g x =的图象，可得20a -<<时，226310alnx x x x-+-+=有两个解， 故答案为：(2,0)-．17．已知函数21,0()21,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 (0,1) ．【解析】解：作()f x 的图象如下，，2()()()(())0f x af x f x f x a -=-=，()0f x ∴=或()f x a =； ()0f x =有两个不同的解，故()f x a =有三个不同的解， 故(0,1)a ∈； 故答案为：(0,1)．18．已知函数()|1|33f x x x x =--+． （1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m -+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）由题得2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+⎩，①当1x <时，令()0f x =，得3x =-或1x =（舍)； ②当1x 时，令()0f x =，得1x =或3x =， ∴函数()f x 的零点是3-，1，3；（2）作出函数2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+⎩的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n -+=恰有5个不同的实数解， 解法一：则函数2()g t t mt n =-+的零点分布情况如下：①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，则(1)0(4)0142g g b a ⎧⎪-=⎪>⎨⎪⎪-<-<⎩，得101640142m n m n m ⎧⎪++=⎪-+>⎨⎪⎪-<<⎩，故(2,3)m ∈-；②当14t =，2(1,4)t ∈-时，则(4)0(1)0142g g b a ⎧⎪=⎪->⎨⎪⎪-<-<⎩，得164010142m n m n m ⎧⎪-+=⎪++>⎨⎪⎪-<<⎩，故(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈-，3)(3⋃，8)； 解法二：则方程20t mt n -+=的根的情况如下：①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，由11t =-得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m --+=，即(1)(1)0t t m +--=，故21(1,4)t m =+∈-，所以(2,3)m ∈-；②当14t =，2(1,4)t ∈-时，由14t =得1640m n -+=，则方程24(4)0t mt m -+-=，即(4)(4)0t t m --+=，故24(1,4)t m =-∈-，所以(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈-，3)(3⋃，8)．19．已知函数2()sin()2cos 1,468f x x x x R πππ=--+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x ⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭在内有实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】解：（1）23()sin()2cos 1sin cos cos sin cos cos 3sin()4684646442443f x x x x x x x x ππππππππππππ=--+=----⋯（3分） ∴函数()f x 的最小正周期为8．⋯（4分）令222432k x k ππππππ--+，k Z ∈，求得2108833k x k -+，k z ∈，故函数的单调递增区间为210[8,8]33k k -+，k Z ∈⋯（6分）（2）设()t f x =，4(3x ∈，4)，∴2(0,)433x πππ-∈，()(0f x ∴∈，∴方程2410t mt -+=在(0t ∈内有实数解，即当(0t ∈时方程有实数解．⋯（10分） 11442t t t +=当且仅当时取等号，4m ∴，⋯（8分） 故实数m 的取值范围是[4，)+∞．⋯（12分） 20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +-=+-成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的解析式；（Ⅰ）记函数()h x 在[1-，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m -，当0b >时，求b 的最大值；（Ⅰ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|x x k f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）令1x =，0y =得g （1）(0)1g -=-，g （1）0=，(0)1g ∴=，令0y =得()(0)(2)g x g x x -=-，即2()21g x x x =-+．（Ⅰ）2()(1)h x g x bx c x bx c =+++=++．①当12b -<-，即2b >时，M m h -=（1）(1)24h b --=>，与题设矛盾②当102b --<时，即02b <时，M m h -=（1）2()(1)422b b h --=+恒成立， 综上可知当02b <时，b 的最大值为2．（3）当0x =时，210x -=则0x =不是方程的根，方程2(|21|)30|21|x x k f k -+-=-可化为： 2|21|(23)|21|(12)0x x k k --+-++=，|21|0x -≠，令|21|x t -=，则方程化为2(23)(12)0t k t k -+++=，(0)t >，方程2(|21|)310|21|x x k f k -+--=-有三个不同的实数解， ∴由|21|x t =-的图象知，2(23)(12)0t k t k -+++=，(0)t >，有两个根1t 、2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =．记2()(23)(12)h t t k t k =-+++，则(0)210(1)0h k h k =+>⎧⎨=-<⎩，此时0k >， 或(0)210(1)032012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，此时k 无解，综上实数k 的取值范围是(0,)+∞．。