高考数学解析几何小题压轴题题库题(适用培优)
高考数学一轮复习 解析几何【配套文档】 压轴题目突破练—解析几何
压轴题目突破练——解析几何A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)D ．(1，3)答案 C解析 直线l 1的倾斜角为π4，依题意l 2的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4－π12，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π4＋π12，即⎝⎛⎭⎫π6，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 2． 若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6]答案 A解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为|4×3－3×(－5)－2|42＋32＝5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.3． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x答案 A解析 设点P (x 0，y 0)．依题意得，焦点F (2,0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3， 因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ＝±3x .4． 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离． 因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 如果x 2k －2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 将原方程化成标准方程为y 2k －1－x 2k －2＝1.由题意知k －1>0且k －2>0，解得k >2.又a 2＝k －1，b 2＝k －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝2k －3>1， 所以c >1，故半焦距c 的取值范围是(1，＋∞)．6． 若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.答案 2解析 设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.7． 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________． 答案 2 3解析 由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB 为直径的圆的半径为r ，则|AB |＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－(r －1)2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3.三、解答题(共22分)8． (10分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22.整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立， 所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 9． (12分)已知中心在原点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x >0)为椭圆C上一点，△MOF 1的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0,3)， 所以c ＝3，b 2＝a 2＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1，因为x >0，所以S △OMF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1.故点M 的坐标为(1,4)．因为点M (1,4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)， 则b 2＝9＋9＝18，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y 218＝1，消去y 化简，得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0. 进而得到x 1＋x 2＝－8m18，x 1·x 2＝m 2－1818.因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点， 所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)>0， 化简得m 2<162，解得－92<m <9 2. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点， 所以OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(4x 1＋m )(4x 2＋m )＝16x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2， x 1x 2＋y 1y 2＝17x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2 ＝17(m 2－18)18－32m 218＋m 2＝0.解得m ＝±102.由于±102∈(－92，92)， 所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为 y ＝4x ＋102或y ＝4x －102.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53B.23C.23D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a3.根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.2． 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2C.7D ．3答案 C解析 如图所示，设直线上一点P ， 切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长， MQ 为圆M 的半径，长度为1， |PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2. 所以|PQ |＝|PM |2－1≥(22)2－1＝7.3． 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >1，b >0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(－1,0)与点(1,0)到直线xa－y b ＝1的距离之和为S ，且S ≥45c ，则离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤52，5 B ．[2，7] C.⎣⎡⎦⎤52，7D ．[2，5]答案 A解析 由题意得S ＝|－b －ab |a 2＋b 2＋|b －ab |a 2＋b 2＝2ab c ≥45c ，所以2c 2≤5ab ，即4c 4≤25a 2(c 2－a 2)， 整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0，所以4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，即52≤e ≤ 5.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 答案63解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)， 设直线的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2， 代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63. 5． 已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a－1b 的值为________． 答案 2解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0. 由题意，知a ≠b .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b .OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2) ＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1. 所以2a ＋2ab a －b －2a a －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.6． 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则|AF |＋4|BF |的最小值为________． 答案 92解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋4|BF |＝x 1＋p2＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋12＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y 2＝2x消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据基本不等式|AF |＋4|BF |＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92.三、解答题7． (13分)在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0. (1)设动点P 满足：|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1)解 设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)， 则|PF |2＝(x －2)2＋y 2，|PB |2＝(x －3)2＋y 2，由|PF |2－|PB |2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4， 化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解 将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝⎛⎭⎫2，53，N ⎝⎛⎭⎫13，－209. 则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3)证明 如图所示， 点T 的坐标为(9，m )． 直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(80－m 2)80＋m 2，40m 80＋m 2， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(m 2－20)20＋m 2，－20m 20＋m 2. 直线MN 的方程为y ＋20m 20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3(m 2－20)20＋m 23(80－m 2)80＋m 2－3(m 2－20)20＋m 2. 令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)．。
高考解析几何压轴题精选
1、 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A 、若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
(3分)2 、已知m ＞1,直线2:02m l x my --=,椭圆222:1x C y m +=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点、 (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H 、若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围、(6分) 3已知以原点O 为中心,)5,0F为右焦点的双曲线C 的离心率5e =（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;（II ）如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求OGH ∆的面积。
(8分)4、如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞2,以该椭圆上的点与椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)、一等轴双曲线的顶点就是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 与2PF 与椭圆的交点分别为B A 、与C D 、、(Ⅰ)求椭圆与双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12·1k k =;(Ⅲ)就是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由、(7分)5、在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 。
设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。
高中数学解析几何小题压轴题题库题(适用培优)
解析几何压轴小题题库一、单选题1．中,,,,中,,则的取值范围是( ) A．B．C．D．2．是双曲线的左、右焦点,直线l为双曲线C的一条渐近线,关于直线l的对称点为,且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上,则双曲线C的离心率为A．B．C．2D．3．已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,,分别为的内心、重心,当轴时,椭圆的离心率为( )A．B．C．D．4．设,分别是椭圆的左、右焦点,直线l过交椭圆C于A,B两点,交y轴于C点,若满足且,则椭圆的离心率为A．B．C．D．5．若点A,F分别是椭圆的左顶点和左焦点,过点F的直线交椭圆于M,N两点,记直线的斜率为,其满足,则直线的斜率为A．B．C．D．6．已知点,是椭圆上的动点,且,则的取值范围是( ) A．B．C．D．7．过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,与圆交于,两点,若有三条直线满足,则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．8．设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是( )A ．[]0,1B ．[]1,1- C ．⎡⎢⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦9．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于,两点,使得,若这样的直线有且仅有两条,则离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10．已知直线 ,直线,其中,．则直线与的交点位于第一象限的概率为( ) A ．B ．C ．D ．11．已知正方体,空间一动点P 满足,且,则点P 的轨迹为A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线12．已知直线l ：x-y+3=0和点A (0,1),抛物线y=x 2上一动点P 到直线l 和点A 的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．C ．D ．13．已知实数满足,,则的最大值为( ) A ．B ．2C ．D ．414．已知双曲线的左、右焦点分别为,圆与双曲线在第一象限内的交点为M,若．则该双曲线的离心率为A．2B．3C．D．15．设不等式组所表示的平面区域为,其面积为.①若,则的值唯一；②若,则的值有2个；③若为三角形,则；④若为五边形,则．以上命题中,真命题的个数是( ) A．B．C．D．16．过双曲线的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,D为虚轴上的一个端点,且为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为A．B．C．D．17．过原点的一条直线与椭圆=1(a＞b＞0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2,若∠ABF2∈[],则该椭圆离心率的取值范围为( )A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为F,过F点的直线交抛物线于不同的两点A、B,且,点A关于轴的对称点为,线段的中垂线交轴于点D,则D点的坐标为A．(2,0)B．(3,0)C．(4,0)D．(5,0)19．在平面直角坐标系中,过双曲线上的一点作两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为,,若平行四边形的面积为3,则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．20．在坐标平面内,与点距离为2,且与点距离为1的直线共有( )条A．4B．3C．2D．121．已知圆,直线,若直线上存在点,过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是( )A．B．[,]C．D．)22．已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心,且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上,,分别为双曲线C的左、右焦点,则当取得最小值时,＝( )A．2B．4C．6D．823．已知是双曲线的右焦点,过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点,分别为双曲线的左、右顶点,连接交轴于点,连接并延长交于点,且为线段的中点,则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．24．设F为双曲线E：的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B 两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆与E在第一象限的交点是P,且,则双曲线E的方程是A．B．C．D．25．已知抛物线：与圆：交于,,,四点.若轴,且线段恰为圆的一条直径,则点的横坐标为( )A．B．3C．D．626．在圆锥中,已知高,底面圆的半径为4,为母线的中点；根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,下面四个命题,正确的个数为( )①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角为；④抛物线中焦点到准线的距离为.A．1个B．2个C．3个D．4个27．已知F为抛物线的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,其中O为坐标原点,则与面积之和的最小值是A．B．3C．D．28．已知,是椭圆的左右焦点,点M的坐标为,则的角平分线所在直线的斜率为A．B．C．D．29．双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与圆相切,与的左、右两支分别交于点,若,则的离心率为( )A．B．C．D．30．已知是抛物线的焦点,过点的直线与抛物线交于不同的两点,与圆交于不同的两点(如图),则的值是( )A．B．2C．1D．31．已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,则的面积的最小值为( )A．B．C．D．32．已知双曲线C：,过左焦点的直线l的倾斜角满足,若直线l分别与双曲线的两条渐近线相交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点,则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．33．在平面直角坐标系中,圆经过点,,且与轴正半轴相切,若圆上存在点,使得直线与直线关于轴对称,则的最小值为( )A．B．C．D．34．已知A,B分别是双曲线C：的左、右顶点,P为C上一点,且P在第一象限．记直线PA,PB 的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,△PAB的重心坐标为( )A．B．C．D．35．如图所示,,是椭圆C：的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M不与,重合,点N满足,,则A．B．C．D．36．若三次函数()的图象上存在相互平行且距离为的两条切线,则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知,则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有( )组？A．0B．1C．2D．337．已知是双曲线：上的一点,半焦距为,若(其中为坐标原点),则的取值范围是( )A．B．C．D．38．我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知、是一对相关曲线的焦点,是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A．B．C．D．239．已知双曲线,过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为A．B．C．2D．40．已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,以为边作一个等边三角形,若点在抛物线的准线上,则( )A．B．C．D．41．已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,则的横坐标范围是( )A．B．C．D．42．已知是双曲线上一点,是左焦点,是右支上一点, 与的内切圆切于点,则的最小值为 ( )A．B．C．D．43．已知直线过抛物线：的焦点,交于两点,交的准线于点。
新高考数学重难点培优专题讲义——立体几何小题专练(含详细答案解析)
立体几何小题培优讲义高考规律立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或偏上．知识梳理【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】1.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：2.空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两垂直，且P A=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【知识点3 几何法与向量法求空间角】1.几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3.几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5.几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点4 立体几何中的最值问题及其解题策略】1.立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2.立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】1.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．2.立体几何中的轨迹问题的求解方法解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【知识点6 以立体几何为载体的情境题的求解策略】1.以立体几何为载体的几类情境题以立体几何为载体的情境题大致有三类：(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．2.以立体几何为载体的情境题的求解思路以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题.此类问题的求解过程主要分四步：一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【题型1 求几何体的体积与表面积】【例1】（2023·江苏徐州·沛县湖西中学模拟预测）在三棱锥P−ABC中，三条侧棱P A，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，若三棱锥P−ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（）A．4√3πB．4√2πC．6πD．12π【变式1-1】（2023·陕西铜川·统考一模）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③V台=13(S上+S下+√S上⋅S下)ℎ）A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高为2,AB=2A1B1,P,Q分别为B1C1,C1D1的中点，若四边形PQDB的面积为152，则该四棱台的体积为（）A．563B．56C．283D．28【变式1-3】（2023·山东·统考一模）陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制陀螺因此，陀螺的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积是（）A．(144+12√13)πcm2B．(144+24√13)πcm2C．(108+12√13)πcm2D．(108+24√13)πcm2【题型2 与球有关的截面问题】【例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球O的一个截面的面积为2π，球心O到该截面的距离比球的半径小1，则球O的表面积为（）A．8πB．9πC．12πD．16π【变式2-1】（2023·全国·校联考模拟预测）上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为√15，2√6，则该球的表面积为（）A．32πB．36πC．40πD．42π【变式2-2】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在三棱锥A−BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=AC=AD=3，以A为球心，√6为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为（）A．2√3πB．√3πC．√3π2D．√3π4【变式2-3】（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1上的一点，且满足平面BDE⊥平面A1BD，则平面A1BD截四面体ABCE的外接球所得截面的面积为（）A．136πB．2512πC．83πD．23π【题型3 体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】【例3】（2023·福建莆田·莆田一中校考一模）如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（）A．a327B．a336C．a354D．a372【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=60°，侧面BCC1B1的面积为2√3，则直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．4√3πD．8√3π【变式3-2】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，P为底面A1B1C1D1的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高ℎ∈[√2,2√2]，点M到平面PCD的距离的最大值为（）A．2√63B．83C．4√23D．329【变式3-3】（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知A，B，C，D是体积为20√53π的球体表面上四点，若AB=4，AC=2，BC=2√3，且三棱锥A－BCD的体积为2√3，则线段CD长度的最大值为（）A．2√3B．3√2C．√13D．2√5【题型4 几何体与球的切、接问题】【例4】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=BC．过点A分别作AE⊥SB，AF⊥SC交SB、SC于点E、F，记三棱锥S−FAE的外接球表面积为S1，三棱锥S−ABC的外接球表面积为S2，则S1S2=（）A．√33B．13C．√22D．12【变式4-1】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（）A．π6B．πC．4π3D．4π【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）为了便于制作工艺品，某工厂将一根底面半径为6cm，高为4cm的圆柱形木料裁截成一个正四棱台木料，已知该正四棱台上底面的边长不大于4√2cm，则当该正四棱台的体积最大时，该正四棱台外接球的表面积为（）A．128πcm2B．145πcm2C．153πcm2D．160πcm2【变式4-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为2√6，则模型中九个球的表面积和为（）A．6πB．9πC．31π4D．21π【题型5 空间线段以及线段之和最值问题】【例5】（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知底面边长为a的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1内接于半径为√3的球内，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，G，H分别为线段AC1，EF上的动点，M为线段AB1的中点，当正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积最大时，|GH|+|GM|的最小值为（）A．√2B．3√22C．2D．1+√2【变式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 1，AA1=√3，在线段A1D上取点M，在CD1上取点N，使得直线MN//平面ACC1A1，则线段MN长度的最小值为（）A．√33B．√213C．√37D．√217【变式5-2】（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，以下四个命题：；④|C1P|+①三棱锥D−BPC1的体积为定值；②C1P⊥CB1；③直线DC1与平面ABC1D1所成角的正弦值为12|DP|的最小值为√10．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-3】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线，则下列说法正确的是（）段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为163A．EF=2B．EF=4C．EG+FG的最小值为3√2D．EG+FG的最小值为2√6【题型6 空间角问题】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积是底面积的6√3倍，点E为四边形ABB1A1的中心，点F为棱CC1的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（）A．2√3913B．√3913C．√3926D．3√3926【变式6-1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．则A1E与面AA1D1D所成角的余弦值为（）A．13B．√33C．23D．√53【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点N是棱BB1上的动点，点M是线段A1C1（不含线段的端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在直线MN，使MN//B1C B．异面直线CM与AB所成的角可能为π3C．直线CM与平面BND所成的角为π3D．平面BMC//平面C1NA【变式6-3】（2023·四川遂宁·统考三模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E,F（E在F的左边），且EF=√2．下列说法不正确的是（）A．当E运动时，二面角E−AB−C的最小值为45∘B．当E,F运动时，三棱锥体积B−AEF不变C．当E,F运动时，存在点E,F使得AE//BFD．当E,F运动时，二面角C−EF−B为定值【题型7 翻折问题】【例7】（2023·四川泸州·统考一模）已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C到点P处，且二面角A−BD−P为120°，则此时三棱锥P−ABD的外接球的表面积为（）A．21πB．28√21πC．52πD．84π【变式7-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，将△ABD 沿对角线BD翻折至△A′BD的位置，使得平面A′BD⊥平面BCD，则在三棱锥A′−BCD的外接球中，以A′C为直径的截面到球心的距离为（）A．√43510B．6√25C．√23910D．√11310【变式7-2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A．存在点P，使得PE∥CFB．存在点P，使得PE⊥EDC．三棱锥P−AED的体积最大值为√26D．当三棱锥P−AED的体积达到最大值时，三棱锥P−AED外接球表面积为4π【变式7-3】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D,E分别是AB,AC 的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P−BCED，则下列命题错误的是（）A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3B．存在某个点P位置，满足平面PDE⊥平面PBCC．当PB⊥PC时，直线PB与平面BCED所成角的正弦值为√33πD．当PB=√10时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为523【题型8 立体几何中的轨迹问题】【例8】（2023·全国·模拟预测）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点P是平面ACB1内的动点，M，N分别为C1D1，B1C的中点，若直线BP与MN所成的角为θ，且sinθ=√55，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（）A．3π4B．π2C．π3D．π4【变式8-1】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【变式8-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为π3，动点Q在正方形ABCD 内运动，且满足OQ=OP，则动点Q形成轨迹的周长为（）A．2π11B．3π11C．4π11D．5π11【变式8-3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点且满足∠APB1=∠ADB1，则以下说法正确的有（）A．若P在面AB1C1D上，则其轨迹周长为8√6π9B．若A1P⊥AB1，则D1P的最小值为√3+1−√6C．P的轨迹围成的封闭曲面体积为32√6π227+4√3πD．四棱锥P-ABCD体积最大值为4(2√6+√2+3)9【题型9 以立体几何为载体的情境题】【例9】（2023·云南大理·统考一模）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则该天池盆中水的体积为（）A．1404π立方寸B．1080π立方寸C．756π立方寸D．702π立方寸【变式9-1】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，且点O到正六边形面的距离为√62，则球O的体积为（）A．7√1424πB．7√143πC．11√2224πD．11√223π【变式9-2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm 和6dm，则该花灯的表面积为（）A．(108+30√3)dm2B．(72+30√3)dm2C．(64+24√3)dm2D．(48+24√3)dm2【变式9-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列等式错误的是（）A．V1+V2+V3=V B．V1=2V2C．V2=2V3D．V2−V3=V61．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平，则该五面体的所有棱长之和为（）面与平面ABCD的夹角的正切值均为√145A．102m B．112mC．117m D．125m2．（2023·全国·统考高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．√25C．√35D．253．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为√3，O为底面圆心，P A，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于9√34，则该圆锥的体积为（）A．πB．√6πC．3πD．3√6π4．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=13PC，PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（）A．19B．29C．13D．495．（2021·浙江·统考高考真题）如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B16．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体7．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4√3πC．AC=2√2D．△PAC的面积为√38．（2023·全国·统考高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=．9．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．10．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．11．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=√2，则该棱台的体积为．12．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．立体几何小题【题型1 求几何体的体积与表面积】 (4)【题型2 与球有关的截面问题】 (7)【题型3 体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】 (10)【题型4 几何体与球的切、接问题】 (13)【题型5 空间线段以及线段之和最值问题】 (18)【题型6 空间角问题】 (23)【题型7 翻折问题】 (30)【题型8 立体几何中的轨迹问题】 (35)【题型9 以立体几何为载体的情境题】 (40)立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或偏上．【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】1.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：2.空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两垂直，且P A=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【知识点3 几何法与向量法求空间角】1.几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3.几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5.几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点4 立体几何中的最值问题及其解题策略】1.立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2.立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】1.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．2.立体几何中的轨迹问题的求解方法解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【知识点6 以立体几何为载体的情境题的求解策略】1.以立体几何为载体的几类情境题以立体几何为载体的情境题大致有三类：(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．。
压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。
解析几何小题压轴题题库题(适用培优)
解析几何压轴小题题库一、单选题1．中，，，，中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．2．是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A．B．C．2D．3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心、重心，当轴时，椭圆的离心率为( )A．B．C．D．4．设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A．B．C．D．5．若点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，其满足，则直线的斜率为A．B．C．D．6．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．[]1,1- C ．⎡⎢⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦9．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知直线，直线，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 11．已知正方体，空间一动点P 满足，且，则点P 的轨迹为A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线12．已知直线l ：x-y+3=0和点A （0，1），抛物线y=x 2上一动点P 到直线l 和点A 的距离之和的最小值是（ ） A ．2 B ．C ．D ．13．已知实数满足，，则的最大值为（ ） A ．B ．2C ．D ．414．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2B．3C．D．15．设不等式组所表示的平面区域为，其面积为.①若，则的值唯一；②若，则的值有2个；③若为三角形，则；④若为五边形，则．以上命题中，真命题的个数是( )A．B．C．D．16．过双曲线的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为A．B．C．D．17．过原点的一条直线与椭圆=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为F，过F点的直线交抛物线于不同的两点A、B，且，点A关于轴的对称点为，线段的中垂线交轴于点D，则D点的坐标为A．(2，0)B．(3，0)C．(4，0)D．(5，0)19．在平面直角坐标系中，过双曲线上的一点作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为，，若平行四边形的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．20．在坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为1的直线共有（）条A．4B．3C．2D．121．已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A．B．[,]C．D．）22．已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上，，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（）A．2B．4C．6D．823．已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F为双曲线E：的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆与E在第一象限的交点是P，且，则双曲线E的方程是A．B．C．D．25．已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A．B．3C．D．626．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角为；④抛物线中焦点到准线的距离为.A．1个B．2个C．3个D．4个27．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A．B．3C．D．28．已知，是椭圆的左右焦点，点M的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为A．B．C．D．29．双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．30．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，与圆交于不同的两点（如图），则的值是( )A．B．2C．1D．31．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则的面积的最小值为( )A．B．C．D．32．已知双曲线C：，过左焦点的直线l的倾斜角满足，若直线l分别与双曲线的两条渐近线相交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．33．在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．34．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A．B．C．D．35．如图所示，，是椭圆C：的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与，重合，点N满足，，则A．B．C．D．36．若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有（）组？A．0B．1C．2D．337．已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（）A．B．C．D．38．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A．B．C．D．239．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为A．B．C．2D．40．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则（）A．B．C．D．41．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．42．已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点，与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )A．B．C．D．43．已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点。
专题18 解析几何(选填压轴题)(教师版)-备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)
专题18解析几何（选填压轴题）一、单选题1．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（）A．13B．12【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β，由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan tc aα=-，tan tc aβ-=+.12F MF βα∠=- ，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t t ct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-，当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.2．（2021·山东肥城·高三模拟预测）已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2【答案】B 【详解】由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d ==所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．3．（2021·丽水外国语实验学校高三期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段1B C 的中点，F 是棱11A D 上的动点，P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值是（）B．12C．6D．2【答案】C 【详解】在11D C 上取点1F 使得111D F D F =，由对称性可知1PF PF =.连接1BC ，则11BC B C E = ，点P 、E 、1F 都在平面11BC D 内，且111BC C D ⊥，11=1C D ，1BC =在11Rt BC D 所在平面内，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示.则1(1,0)D，B，0,2E ⎛ ⎝⎭，所以直线1BD的方程为1x =.设点E 关于直线1BD 的对称点为(,)E m n '，则22122n m n m ⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得236m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,36E ⎛' ⎝⎭.因此，1116PE PF PE PF PE PF E F ''+=+=+≥≥所以，当且仅当1,,E P F '三点共线且111E F C D '⊥时，PE PF +有最小值6.故选：C.4．（2021·四川成都七中高三三模（理））已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（）A．15B．25C．35D．45【详解】由双曲线方程知，12a =，b =，2c =，设2MF x =，则11MF x =+，12F F 120MF MF →→⋅=，则22(1)13x x ++=，解得2x =或-3（舍），设折叠后点1F 达到F 点，如图所示，作FA MN ⊥于A 点，易知FA ⊥平面12MF F ，1FAN F AN ≅ ，1F A MA ⊥，设1F MN α∠=，则22F MN πα∠=-，在1Rt MAF 中，13sin FA F A α==，3cos MA α=，在2MAF 中，由余弦定理知，222222222cos (3cos )423cos 2sin AF MA MF MA MF F MN ααα=+-⋅∠=+-⨯⨯29cos 6sin 24αα=-+，则2222222(3sin )9cos 6sin 24136sin 27FF AF AF αααα=+=+-+=-≥，当且仅当sin 21α=，即4πα=时，等号成立，折叠后点1F ，2F 距离最小.此时MN 为12F MF ∠的角平分线，由角平分线定理知，112232F N MF NF MF ==，则11235F N F F →→=，35λ=故选：C5．（2021·安徽师范大学附属中学高三开学考试（理））已知F 是椭圆2221(1)x y a a+=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点,M N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（）A．当01e <<时，2πα<B．当0e <2πα>C．当12e <<23πα>1e <<时，34πα>【详解】不失一般性，设M 在x 轴上方，N 在x 轴下方，设直线AM 的斜率为1k ，倾斜角为θ，直线AN 的斜率为2k ，倾斜角为β，则210,0k k ><，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()0,απθβπ=-+∈.又()2121tan tan tan tan 1+tan tan 1k k k k βθαπθββθ--=-+==+.又直线AM 的方程为()1y k x a =-，由()12222y k x a x a y a ⎧=-⎨+=⎩可得22232422111(1)20a k x a k x a k a +-+-=，故42212211M a k a x a a k -⨯=+，所以3212211Ma k ax a k -=+，故122121M ak y a k -=+，同理3222221N a k ax a k -=+，故222221N ak y a k -=+，因为,,M F N 共线，故21222221323221222221221111ak ak a k a k a k a a k ac ca k a k --++=--++++，整理得到()()()()21212210a a c k k k k c a k k +-+--=即()122c ak k a a c -=+，若01e <<，()()122211c a e k k a a c a e --==++，因为()1211,011e e e -=-∈-++，21a >，故121k k >-，所以2121tan 01k k k k α-=>+，故2πα<.6．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，若A 、B 两点在准线上的射影分别为M 、N ，线段MN 的中点为C ，则下列叙述不正确的是（）A．AC BC⊥B．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅C．AF BF AF BF +=⋅D．直线AC 与抛物线相切【答案】B 【详解】如图，由题意可得()1,0F ，抛物线的准线方程为1x =-．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为1x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，利用根与系数的关系得124y y =-，因为线段MN 的中点为C ，所以121,2y y C +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以21121,42y y y CA ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，22211,42y y y CB ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，所以，()()2222121212121111210444162y y y y y y y yCA CB -⎛⎫⎛⎫⋅=++-=++=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AC BC ⊥，A 选项正确；对于B 选项，因为()11,M y -，所以()12,MF y =-，所以()2112112220222y y y y y yCA MF -⋅=+-=+= ，所以AC MF ⊥，所以四边形AMCF 的面积等于12AC BF ⋅，B 选项错误；对于C 选项，根据抛物线的定义知2114y AF AM ==+，2214y BF BN ==+，所以221224y y AF BF ++=+，22222222121212121112441644y y y y y y y y AF BF ⎛⎫⎛⎫++⋅=++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AF BF AF BF +=⋅，C 选项正确；对于D 选项，直线AC 的斜率为()12111212221111422224414ACy y y y y y y k y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭====+++，抛物线24y x =在点A 处的切线方程为2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立211244y y y k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消去x 可得2211440ky y y ky -+-=，由题意可得()211016440k k y ky ≠⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩，可得12ky =，即12k y =，则AC k k =.所以，直线AC 与抛物线24y x =相切，D 选项正确.故选：B.7．（2021·全国高三模拟预测（理））如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A．53B．54C．43D．32【答案】A 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x yb a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22()2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⨯++=⨯⋅，化简可得2442c m n a c a+=--，①由双曲线的定义可得2m n a -=，②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan baθ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53ce a==．故选：A．8．（2021·湖南天心·长郡中学高三二模）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，则MT NT +的最小值是（）B．3C．2D．1【答案】B 【详解】解：A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB '的对称点为M '，记d 为直线EB '与AC 之间的距离，则MT NT M TNT M N d ''+=+≥≥，由//B E D C ''，d 为E 到平面ACD '的距离，因为111111333D ACE ACE V S '-=⨯⨯==⨯⨯= ，而21346D ACE E ACD V V d d ''--==⨯⨯⨯=，故3d =，故选：B.9．（2021·贵州贵阳·高三模拟预测（理））在平面内，已知动点P 与两定点,A B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB =，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（）A．12B．13C．14D．15【答案】D 【详解】如图，在平面PAB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，则MPN NAP ∠=∠,又因PNM ANP ∠=∠，所以PNM ANP ，所以2PN AN PA MN PN MP ===22,2AN MN PN =,所以22AM AN MN PN =-=.因为112AM AB ==，所以2,1PN MN ==,所以B、N 重合且2BP PN ==所以点P 落在以B 2作BH AC ⊥于H ，则222BH AB ==因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA ⊥BH ，又因为1AA AC A = ，所以BH ⊥面11AA CC ，所以B 到面11AA CC 的距离为=2=BH BP ，所以球面与面11AA CC 相切，而122BB π=>所以球面不会与面111A B C 相交，则31142833V BP π== ，111=222222V AB BC AA ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=三棱柱,所以2125222=33V V V πππ=-=-三棱柱，所以12V V =15.故选：D.10．（2021·吉林高三月考（理））已知双曲线C ：22197x y -=的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则14FA FB-的取值范围是（）A．13,67⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,06⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】设FA r =，则1r c a ≥-=.设双曲线的右焦点为F '，由对称性可知BF FA r '==，则26FB r a r =+=+，所以14146FA FB r r -=-+.令21463()66r f r r r r r -=-=++，[1,)r ∈+∞，则222223(412)3(2)(6)()(6)(6)r r r r f r r r r r --+-'==++，令()0f r '=得6r =，当(1,6)x ∈时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(6,)x ∈+∞时，()0f r '>，()f r 单调递增.所以min 1()(6)6f r f ==-，又当(6,)x ∈+∞时()0f r <，所以max 3()(1)7f r f ==.故14FA FB -的取值范围是13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.11．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆22:143x y C +=，P 是直线4x =-上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是（）437B．86565721032【答案】A 【详解】设11(,)A x y 若A 在椭圆的上半部分，则2314xy =-22332214144x x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=---A 在椭圆上，2211143x y +=，111211334414x x x x y y x ===--'．∴过A 点的切线方程是11113()4x y y x x y -=--，221111343412x x y y x y +=+=，即11143x x y y+=，同理可证当A 在下半圆时，过A 的切线方程也是11143x x y y+=，A 是椭圆的左右顶点时，切线方程也是．∴无论A 在椭圆的何处，切线方程都是11143x x y y +=．设22(,)B x y ，则过B 点的切线方程是22143x x y y +=，P 在直线4x =-，设(4,)P m -，则由两切线都过P 点∴11221313y m x y m x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴直线AB 方程是13my x -+=，易知直线AB 过定点(1,0)-，该定点为椭圆左焦点F ．直线OP 方程为4m y x =-，则由134my x m y x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221212312x m m y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22123,1212m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，3AB k m=，4(1)3PF m m k ==----，1AB PF k k =-，∴PF AB ⊥，PF =PM =∴2sin PFPMB PM =7===≥=．当且仅当22144m m =，即m =±时等号成立．故选：A．12．（2021·吉林长春·高三模拟预测（理））已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．(1)2B．(02，C．1(0)2，D．1(1)2，【答案】A 【详解】如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接11,,,AF AF BF BF .根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=︒由余弦定理有：2221112cos120FF AF AF AF AF =+-⋅︒即()()2221211142AF AF c AF AF AF AF AF AF ⎛⎫+=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭所以()221222214432AF AF c AF AFa a a⎛⎫+≥+-=-= ⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.所以等号不能成立,即即2234c a >，所以12e >>故选：A13．（2021·山西阳泉·高三期末（理））已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x 2212y -=1B．22134x y -=C．221169x y -=D．221916x y -=【答案】D 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，可得1||22AF a c =+，由于过F 2的直线斜率为247，所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-，则217cos 25AF F ∠=-，由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-= ，化简得：35c a =，即35a c =，45b c =，可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D．14．（2021·全国高三专题练习（理））已知O 为坐标原点，抛物线()220C y px p =>：上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，给出以下命题：①当MAF △为正三角形时，p 的值为2；②存在M 点，使得0MF MA -=；③若3MF FA =，则p 等于3；④OM MA +的最小值为p 等于4或12.其中正确的是（）A．①③④B．②③C．①③D．②③④【答案】C 【详解】对于①，当MAF △为正三角形时，如下图所示，抛物线的准线交x 轴于N ，4AF AM MF ===,由抛物线定义可知AF AM =，则AM 与准线垂直，所以60AMF AFM ∠=∠= ，则30FMN ∠= ，所以12NF MF =,而NF p =，即122p MF ==，所以①正确；对于②，假设存在M 点，使得0MF MA -= ，即MA MF =，所以M 点为AF 的中点，由抛物线图像与性质可知，A 为抛物线上一点，F 为焦点，线段AF 在y 轴右侧，点M 在抛物线C 准线上，在y 轴左侧，因而M 不可能为AF 的中点，所以②错误；对于③，若3MF FA =，则:3:4MF MA =，作AE 垂直于准线并交于E ，准线交x 轴于N ，如下图所示：由抛物线定义可知4AE AF ==，根据相似三角形中对应线段成比例可知MF FN MAAE=，即344p =，解得3p =，所以③正确；对于④，作O 关于准线的对称点O '，连接AO '交准线于M ，作AD 垂直于准线并交于D ，作AH 垂直于x 轴并交于H ，如下图所示：根据对称性可知，此时AO '即为OM MA +的最小值，由抛物线定义可知4AD AF ==，所以A 的横坐标为42p -，代入抛物线可知22242A p y AHp ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，OM MA AO +='的最小值为1342pO H NH O N '=+'=+，则22O O AHA H '='+，即(224241322p p p ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得216480p p -+=，即()()4120p p --=，解得4p =或12p =，当p =12时，不满足点A 到焦点F 的距离为4，所以④错误；综上所述，正确的为①③.故选：C.15．（2021·全国高三专题练习（理））关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（）A．{}5B．{}1-C．()0,1D．(){}0,11- 【答案】D 【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ，得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ，故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -==，又圆心O 1到A 的距离O 1A=，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.16．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r=（）A．12C．12-D．2【答案】D 【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11ABC D 处的截面如图所示，则122212AC O F r AO ===，221AF AO O F =-.又因为111AF AO O F r =+=+，因此)111r=，得12r =-所以122r r =-故选：D17．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））过抛物线()220y px p =>的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A．54B．43C．32D．2【答案】C 【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C18．（2021·西工大附中分校高三模拟预测（理））设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若12PF F ∆的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为A．2【答案】A 【详解】画出图形如图所示，设12PF F ∆的重心和内心分别为,G I ，且圆I 与12PF F ∆的三边1212,,F F PF PF 分别切于点,,M Q N ，由切线的性质可得1122||||,||||,||||PN PQ F Q F M F N F M ===．不妨设点()0,2P x a 在第一象限内，∵G 是12PF F ∆的重心，O 为12F F 的中点，∴1||||3OG OF =，∴G 点坐标为02(,33x a ．由双曲线的定义可得121212||||2||||||||PF PF a F Q F N F M F M -==-=-，又12||||2F M F M c +=，∴12||,||F M c a F M c a =+=-，∴M 为双曲线的右顶点．又I 是12PF F ∆的内心，∴12IM F F ⊥．设点I 的坐标为(,)I I x y ，则I x a =．由题意得GI x ⊥轴，∴3x a =，故03x a =，∴点P 坐标为()3,2a a ．∵点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，∴22222294491a a a a b b -=-=，整理得2212b a =，∴2c e a ==．故选A ．19．（2021·河西·天津市新华中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =A．12B．12+【答案】B 【详解】由题意12F P F P ⊥，则222212124F P F P F F c +==①，又122PF PF b -=②，2①－②得12PF PF ＝22a ，∵P 在渐近线上且OP c =，设A 为双曲线右顶点，如图，则PA b =，且12PA F F ⊥，由1212PF PF F F PA =得222a cb =，于是422222()a b c c c a ==-，变形为4210e e --=，解得212e =（12舍去），故选B．20．（2021·陕西西安·高新一中高三二模（理））我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是C．3D．2【答案】A 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，椭圆的离心率为1e ，则11c e a =，11c a e =．双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，c e a =，c a e=，设1PF x =，2PF y =(x >0)y >，则2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+- ，当点P 被看作是椭圆上的点时，有()22214343c x y xy a xy =+-=-，当点P 被看作是双曲线上的点时，有24c =()224x y xy a xy -+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即222143c c c e e ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211134e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11e e =，所以2234e e+=，整理得42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍去），所以e =故选A．二、多选题21．（2021·广东茂名·高三月考）已知曲线C ：1x x y y +=，则下列结论正确的是（）A．直线0x y +=与曲线C 没有公共点B．直线x y m +=与曲线C 最多有三个公共点C．当直线x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点()111,P x y ，()222,P x y 时，12x x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D．当直线x y m +=与曲线C 有公共点时，记公共点为()*,()i i P x y i N ∈．则1ni i x =∑的取值范围为(【答案】ACD 【详解】由题设得：曲线C 为()()()22222210,010,010,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=<>⎩，A：由0x y +=是221x y -=和221y x -=的渐近线，且0x y +=与()2210,0y x y x +=≥≥没有公共点，故正确；B：由A 中的分析知：x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故错误；C：由图可知，若x y m +=与曲线C 有两个公共点或一个公共点，当0m <<x y m +=与曲线C 有两个公共点()111,P x y ，()222,P x y ，由对称性知，()111,P x y ，()222,P x y 关于直线y x =对称，则12y x =，∴1211x x x y =，（1）当01m <<时，120x x -∞<<．（2）当12m ≤<时，由12x x ≠，则21112112122x y x x x y +=<=．（3）当2m =l 与曲线C 只有一个公共点，不合题意．（4）当2m >0m ≤时，直线l 与曲线C 无公共点，综上可知，C 正确；D：由C 的分析，02m <<x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点，则12111nii xx x x y m ==+=+=∑，即102ni i x =<∑．当2m =x y m +=与曲线C 只有一个公共点，此点为2222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．此时(111222ni x x ===∑．故正确．故选：ACD．22．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三开学考试）已知F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a．B．已知抛物线C 与直线l ：4320x y p --=在第一、四象限分别交于,A B 两点，若||||AF FB λ=，则4λ=．C．过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则四边形ADBE 面积的最小值为28p ．D．若过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于,M N 两点，过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点P ，则点P 在定直线上．【答案】BCD【详解】A：抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a，故A 错误；B：联立243202x y p y px--=⎧⎨=⎩，则22163440x px p -+=，解得12,28px x p ==，由题意可知25||2222p p p AF x p =+=+= ，15||2828p p p pFB x =+=+= ，故55428p p=⨯，所以4λ=，故B 正确；C：由题意可知直线1l ，2l 的斜率均存在，且不为0，设直线1:2pl x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则2220y pmy p --=，设两交点为()()1122,,,A x y B x y ，结合韦达定理122y y pm +=，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+；同理2121DE p m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()22111212122ADBE S AB DE p m p m ⎛⎫=⋅=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭222122p m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222p ⎛⎫≥+ ⎪ ⎪⎝⎭28p =，当且仅当1m =±时，等号成立；所以四边形ADBE 面积的最小值为28p ，故C 正确；D：设221212,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设120,0y y ><因为22y px =（0p >），若0y >，则y =y '，所以在点M1p y =，因此在M 处的切线方程为21112y p y y x y p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即112y p y x y =+，同理在N 处的切线方程为222y py x y =+，则112222y py x y y py x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y x p=，因为直线MN 过点F ，所以122212002222y y y y p p p p --=--，即212y y p =-，所以2p x =-，故点P 在定直线2px =-上，故D 正确；故选：BCD.23．（2021·全国高三模拟预测）已知点F 为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（）A．4e =B．4e =C．12916k k =-D．12916k k =【答案】AC 【详解】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒，所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =．由余弦定理可得()22222931122cos60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e ==．设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--．因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC．24．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点为(4,0)F ，直线l 经过点F 交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若2PB BF →→=，则（）A．8m =B．点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭C．50||3AB =D．弦AB 的中点到y 轴的距离为133【答案】CD 【详解】由于(4,0)F 得到16m =，故A 错误；抛物线方程为216y x =，过B 点作BD 垂直于y 轴，垂足为D 点，则//BD OF ,因为2PB BF →→=，所以23PB BD PFOF==,所以83BD =，即83B x =,代入抛物线方程216y x =，解得B y =B 错误；不妨取点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭，所以直线AB 的方程为：4)y x =-，联立抛物线方程得到：2326480x x -+=，韦达定理可知：12263x x +=，由抛物线的弦长公式可知：12268350|38|AB x x ++=+==，故C 正确；弦AB 的中点到y 轴的距离为121323x x +=，故D 正确；故选：CD.25．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，圆222:5O x y a +=+，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且21tan 3PF F ∠=，则下列结论中正确的有（）A．双曲线CB．点1FC．21PF F ∆的面积为D．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD 【详解】解：∵双曲线222:105()x y C a a -=＞，∴225c a =+，又圆222:5O x y a +=+，∴圆O 的半径为c ，∴12||F F 为圆O 的直径，∴122F PF π∠=，故作图如下：对于A ，∵21tan 3PF F ∠=，∴1212tan 3PF PF F PF ∠==，∴123||PF PF =，令20||()PF m m =>，则1||3PF m =，∴()22221231||0F F m m m =+=，∴12||2F F c ==，又12||22m PF PF a -==，∴双曲线C的离心率2222c e a m ===，故A 正确；对于B，由于()1,0F c -到渐近线y =的距离d ===B 正确；对于C，由离心率2e a ==得2103a =，21025533c =+=，∴122||F F c ===，∴2||m PF ==，1||3PF m ==，∴21PF F的面积为152=，故C 错误；对于D，由2103a =得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，故其两条渐近线方程为y =0=，设(),M p q 为双曲线C 上任意一点，则2211053q p -=，即223211010p q -=①，(),M p q到两条渐近线的距离1d =，2d =，∴22123210255p q d d -====，故D 正确；故选：ABD.26．（2021·广东汕头·高三二模）已知抛物线方程为24x y =，直线:220l x y --=，点00(,)P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为,A B ，则以下选项正确的是（）A．当00x =时，直线AB 方程为1y =B．直线AB 过定点()0,1C．AB 中点轨迹为抛物线D．PAB ∆的面积的最小值为2【答案】ACD 【详解】解析：214y x =Q ，12y x '∴=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则1111:()2PA y y x x x -=-，即211111111222y x x x y x x y =-+=-，同理221:2PB y x x y =-，PA PB 、都过点00(,)P x y ，010102021212y x x y y x x y⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩∴直线001:2AB y x x y =-，即0012y x x y =-，当000,1x y ==-时，:1AB y =.故A 正确；00112y x =- ，01:(1)12AB y x x ∴=-+，∴直线AB 过定点(1,1)，故B 错误；联立021(1)124y x x x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2002240x x x x -+-=，1202x x x ∴+=，12024x x x ⋅=-，212002y y x x +=-+，A B ∴、中点坐标为200011(,1)22x x x -+，故其轨迹方程为211122y x x =-+，故C正确；AB ==d2001122S x x ∴=-+∴当01x =时，min 2S =，故D 正确；故选：ACD 三、填空题27．（2021·浙江高三模拟预测）设正四面体ABCD 的棱长是1，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，P 是平面ABC 内的动点.当直线EF 、DP 所成的角恒为θ时，点P 的轨迹是抛物线，此时AP 的最小值是______.【详解】设点D 在底面ABC 的射影点为O ，连接OA，则132sin3OA π==，OD =以点O 为坐标原点，CB 、AO 、OD uuu r分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则30,3A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、13,026B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、13,26C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、360,66E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、30,6F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设点(),,0P x y ，则3636EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，6,,3DP x y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，223133cos 2223y DP EFDP EFx y θ+⋅==⋅++整理可得2222121231cos 23399x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，方程2222121231cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭表示的曲线为抛物线，所以211cos 23θ=，故22cos 3θ=，即有2122313999x y ++，可得23326y x =，则()22222423335331344242AP x y x x x x ⎛⎫=++++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当0x =时，等号成立，故AP 323228．（2021·全国高三开学考试（理））设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.【答案】2【详解】设1||(0)F B k k =>，则1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k ∴=-，2||2BF a k =-.23cos 5AF B ∠= ，在2ABF 中，由余弦定理得，22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k ∴=-+----，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =，21||||3AF AF k ∴==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB ∴=+，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △是等腰直角三角形，2c a ∴=，∴椭圆的离心率c e a ==，故答案为：2.29．（2021·黑龙江大庆中学高三模拟预测（理））已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C上存在两点,A B 满足2MA AB = ，则实数t 的取值范围___________【答案】⎡⎣【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB = 知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上，∴22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点，∴两圆的圆心距离为243t d +=，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意，∴2021t ≤≤，即t ∈[21,21]-.故答案为：[21,21].30．（2021·全国高三专题练习（理））焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆()()2222:10C x y R R -+=>交于A 、B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程()22224,1,A A y x x x x y R x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，C 是圆2C 与x 轴的交点，O 是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角()0,απ∈，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠>；②对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<；③对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ；④当2021R >时，存在面积大于2021的内接正△O P Q .【答案】①②③【详解】联立抛物线与圆的方程，消去y 得22(1)4x x R -+=，即22(1)x R +=，而0R >且0x ≥，∴11R x =+≥，即A 、B 横坐标与半径R 的关系，∵抛物线与圆有两个交点，即11R x =+>，∴当2,1R x ==时，AFB πα∠=>，①正确；∵由题意知：,A B 关于x 轴对称，则对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R 使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，即只需存在R 使)3AFB π∠∈(0,即可.∴令||2210sin 212A y AFB x x R R x ∠<==<，则10x x ->23x >+23x <，1、当0743x <<-AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，23x >+x →+∞时0AFB ∠→︒，故AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，∴7x >+07x <<-10sin 22AFB ∠<<即)3AFB π∠∈(0,，所以对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，故②正确；由OP OQ =，于是PQ x ⊥轴，直线：:OP y x =，同理:OQ y =，∴,OP OQ 与Γ分别都只有一个交点，即对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ，③正确；当1R =时，如下图示，抛物线1C 与圆2C 只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴当113R <≤时，,OP OQ 与Γ的交点在圆2C 上，OPQ S 会一直增大，如下图示，直到13R =，即,P Q 与A 、B 重合分别为(12,、(12,-，此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴OPQ S ∈ (4.当13R >时，,OP OQ 与Γ的交点在抛物线1C 上，R 的变化对OPQ S 没有影响，如下图示，OPQ S =∴④错误.。
专练14(解析几何压轴题)(30题)2021高考数学考点必杀500题(山东、海南专用)(解析版)
1专练14 解析几何压轴题 （30题）（山东、海南专用）1．（2021·海南高三其他模拟）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为圆F ：2220x x y -+=的圆心，y 轴负半轴上有一点P ，直线PF 被C 截得的弦长为5． （1）求点P 的坐标；（2）过点P 作不过原点的直线PA ，PB 分别与抛物线C 和圆F 相切，A ，B 为切点，求直线AB 的方程． 【答案】（1）()0,2P -；（2）4340x y +-=． 【详解】（1）圆F 的方程可化成()2211x y -+=，所以()1,0F ，所以抛物线C 的方程为24y x =．设()()0,0P m m <，则直线PF 的方程为1yx m+=， 由21,4y x my x⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y ，得()2222240m x m x m -++=， 设直线PF 与C 的交点横坐标分别为1x 和2x ，由题意知1225AB x x =++=，即222425m m++=，解得2m =-，故()0,2P -． （2）由条件可设直线PA 的方程为2y kx =-，由22,4y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y ，整理得()224440k x k x -++=， 因为PA 与抛物线C 相切，所以()2244160k k ∆=+-=，解得12k =-． 代入原方程组解得()4,4A -．设()00,B x y ，由题意可知点B 与坐标原点关于直线PF ：22y x =-对称，所以00001,222,22y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⨯-⎪⎩解得84,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2所以直线AB 的方程为()44544845y x -++=--，即4340x y +-=． 2．（2019·海南海口市·高考模拟（理））在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：26x y =与直线l ：3y kx =+交于M ，N 两点.（1）设M ，N 到y 轴的距离分别为1d ，2d ，证明：1d 与2d 的乘积为定值.（2）y 轴上是否存在点P ，当k 变化时，总有OPM OPN ∠=∠？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在, (0,3)P -【解析】（1）证明：将3y kx =+代入26x y =，得26180x kx --=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1218x x =-， 从而12121218d d x x x x =⋅==为定值. （2）解：存在符合题意的点，证明如下：设()0,P b 为符合题意的点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k .从而()()()12121212121212233663kx x b x x k k b y b y b k k x x x x x x +-+-+---+=+==. 当3b =-时，有120k k +=对任意k 恒成立，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,3P -符合题意.3．（2021·海南高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)A ，过右焦点F 且与x 轴垂直的直线l 被C 截得的线段长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 上，直线AP 与l 交于点M ，过点M 作AP 的垂线，与y 轴交于点Q ，若PF QF ⊥，求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）226,33⎛-± ⎝⎭.3【详解】（1）由条件知2a =.设(,0)(0)F c c >，将x c =代入椭圆方程得22221c y a b+=，得2by a =±，直线l 被C 截得的线段长为3，即223b a ⨯=，所以23b =，因此椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知直线:1l x =，点(2,0)A ，(1,0)F . 设直线AP 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，点()11,P x y ，联立22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +-+-=，则2121612234k x k -=+，于是2128634k x k-=+，()11212234k y k x k -=-=+， 即2228612,3434k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 在直线AP 的方程中，令1x =，得()1,M k -，则直线MQ 的方程为1(1)y k x k+=--，令0x =，得1y k k =-，即10,Q k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因为PF QF ⊥，所以0PF QF ⋅=，即2222286121831,1,0343434k k k k k k k k ⎛⎫--⎛⎫-⋅-== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以238k =，6k =， 所以点P 的坐标为226,3⎛- ⎝⎭. 4．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知曲线2:4x C y =，与直线:2l y x t =+．（1）若直线l 与曲线C 相切，求t 的值；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点(0,1),M O -为坐标原点，当t 为何值时，OMA OMB ∠=∠？4【答案】（1）4t =-；（2）1t =或1t =-．【详解】（1）设直线l 与曲线C 相切于点()00,P x y ，由24x y =，则002x x x y ='=，所以022x =，解得04x =，所以2044x y ==，即(4,4)P ． 将点(4,4)P 代入直线l 的方程：48t =+，解得4t =-． （2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ．将2y x t =+代入曲线C 的方程整理，整理得2840x x t --=． 所以12128,4x x x x t +==-，且64160t ∆=+>，即4t >-．（1）当直线l 交x 轴于非负半轴时，若过点(0,1)M -，则点,,M A B 三点共线， 显然有OMA OMB ∠=∠，代入直线方程得1t =-．（2）当直线l 交x 轴与负半轴时，若OMA OMB ∠=∠，则120k k +=， 所以()1212121212124(1)110x x t x x y y k k x x x x ++++++=+==，代入12128,4x x x x t +==-，解得1t =．综上所述，1t =或1t =-时，OMA OMB ∠=∠．5．（2020·海南高三一模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为32，过点1,0P 作直线交椭圆于点C ，D （与A ，B 均不重合）.当点D 与椭圆E 的上顶点重合时，5AD =（1）求椭圆E 的方程（2）设直线AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】5（1）当点D 与椭圆E 的上顶点重合时，有()0,D b ， 所以225AD a b =+=①又因为离心率2232a b e a -==，②由①②解得2a =，1b =，所以E 的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线CD 的方程为1x my =+，联立方程组221,41,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()224230m y my ++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+. 由（1）得()2,0A -，()2,0B ，所以2122=+y k x ，1212=-y k x ，()()()()212111222121212121233y x y my k my y y k y x y my my y y ---===+++ ()1212121121121433334my my y y y y m m my y y y m -+-+++===-+++.6．（2020·海南高三其他模拟）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点．（Ⅰ）当14y =时，求2y 的值；（Ⅱ）过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为E ，过点B 作EF 的垂线，交抛物线于另一点D ，求ABD △面积的最小值．【答案】（Ⅰ）21y =-；（Ⅱ）16. 【详解】6（Ⅰ）由题意知()1,0F ，设直线AB 的方程为1x ty =+，联立21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=． 由根与系数的关系得124y y =-．当14y =时，21y =-．（Ⅱ）设()00,D x y ，()20,4m m m A ⎛⎫⎪⎝≠⎭，则()1,E m -， 由（Ⅰ）知24y m =-，所以244,B m m⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为BD EF ⊥，0112EF m m k -==---，所以2BD k m=． 所以直线BD 的方程为2424y x m m m⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即28240x my m ---=． 联立方程组得228240,4,x my my x ⎧---=⎪⎨⎪=⎩消去x 得2216280y my m ---=， 所以202y y m +=，202168y y m=--． ()2222020202644432y y y y y y m m -=+-=++， 所以222202161484m BD y m m m=+-=+++设点A 到BD 的距离为d ，则2222222816482424m m m mm d m m ---++==++． 所以33222222111611682816244ABDSBD d m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2m =±时等号成立，所以ABD △面积的最小值为16．7．（2020·海南高三三模）已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的离心率12e =，直线 20l x y m -+=：与E 相交7于A ，B 两点，当0m =时，15AB =（1）求椭圆E 的标准方程.（2）在椭圆E 上是否存在点P ，使得当()44m ∈-，时，APB ∠的平分线总是平行于y 轴？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c 因为离心率12e =，所以2a c =，222243b c c c =-= 由222214320x y c c x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得3x c =±. 不妨设33,A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33B c ⎫⎪⎪⎭，则2212315AB c c =+=所以1c =，从而2a =，23b =.所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）假设存在点(),P x y ，设()11,A x y ，()22,B x y .由2214320x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-=.因为44m -<<，所以()22416120m m ∆=-->，且122m x x +=-，212124m x x -=. 由APB ∠的平分线平行于y 轴，得0AP BP k k +=所以12120y y y y x x x x --+=--，即1212220x m x my y x x x x ++--+=--，8可得()()()()12121222220x x x x x m y x m y x x +-+---+=，所以()()2212220222m m y mx m m y x ---+-+-=，整理得()321280x y m xy -+-=. 当m 变化时，上式恒成立，所以3201280x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.故满足条件的P 点的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 8．（2020·海南高三一模）已知抛物线()2:20C y px p =>上横坐标为2的点到焦点的距离为4. （1）求抛物线C 的方程；（2）若过(),0A m ()4m >的直线与圆()22:24D x y -+=切于B 点，与抛物线C 交于,P Q 点，证明：82PQ >.【答案】（1）28y x =；（2）见解析 【详解】（1）由已知可得242p+=，解得4p =. 所以抛物线C 的方程为28y x =.（2）设直线AB 的方程为x ty m =+，因为直线AB 与圆D 相切，2221mt-=+，即2244m mt -=. 将x ty m =+与28y x =联立消去x 得2880y ty m --=， 所以8P Q y y t +=，8P Q y y m =-. 因为()()2284842P Q y y t m m m -=---所以()3222142222P Q m PQ t y y m m m m -=+-=⋅-=-9因为4m >，()()32g m m m =-单调递增，所以()()33244232m m ->⨯-=， 所以82PQ >.9．（2021·海南高三二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22198x y ；（2）存在，坐标为(3,0)-和(3,0).【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412228a a c =⎧⎨+=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，所以2222b ac =-因此椭圆C 的方程为22198x y .（2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，联立方程221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()228916640m y my ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212216896489m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()1212218289x x m y y m +=++=+， ()()()2212121212272911189m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，22TN y k x t=-，10则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=--()2122221212226489729188989y y m m x x t x x t t t m m -+==-+-++-⋅+++()222648729189t m t t -=-+-+. 所以当28720t -=，即当3t =-时，m ∀∈R ，49TM TN k k ⋅=-； 当3t =时，m ∀∈R ，169TM TNk k ⋅=-.因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).10．（2020·海南海口市·高三其他模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，3OA =C 6（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知不经过点A 的直线():0,l y kx m k m =+≠∈R 交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的中点为B ，若2MN AB =，求证：直线l 过定点．【答案】（Ⅰ）2213x y +=（Ⅱ）证明见解析【详解】（Ⅰ）由已知3OA =3a = 设椭圆C 的半焦距为c ，因为6c e a ==，所以2c =2321b =-=， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意知()3,0A ，11联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222316330k x kmx m +++-=， 由题意知()()()222226431331236120km k m k m ∆=-+-=+->．（*）设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631km x x k -+=+，21223331m x x k -=+，因为2MN AB =，B 为线段MN 的中点，所以AM AN ⊥， 所以(1212330AM AN x xy y ⋅=++=，又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++， 所以()(()2212121330k x x km x x m ++++++=，所以()()(2222263331303131km km mk m k k +-+-++=++，整理得2233320k km m -+=，得3k =或23k =， 当3k =时，l 的方程为(33y x =，过定点()3,0A -，不符合题意； 当233k m =时，l 的方程为233y x ⎛= ⎝⎭， 过定点3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，经检验，符合（*）式，综上所述，直线l 过定点32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 11．（2020·海南）已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）,椭圆上的点到焦点的最小距离为22P 2）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M （3,0）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ,若点P 关于x 轴的对称点为P ',判断直线P 'Q 是否经过定点,如果经过,求出该定点坐标；如果不经过,说明理由．12【答案】（1）22142x y +=．（2）直线P 'Q 过x 轴上定点403⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【详解】（1）由题意222222221122a b a c a b c ⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=．（2）显然直线l 的斜率存在,且当l 斜率为0时, 直线P 'Q 为x 轴. 故定点若存在则必在x 轴上,设定点为(),0M m . 故设:3l x ty =+,()()1122,,,P x y Q x y ．将直线与椭圆的方程联立得：223142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去x ,整理得()222650t y ty +++=．由根与系数之间的关系可得：12262t y y t +=-+,12252y y t =+． ∵点P 关于y 轴的对称点为P ',则P '（x 1,﹣y 1）,且,,P Q M 三点共线 ∴'P M QM k k =,即1212y y x m x m-=--.即112233y y m ty y mt -=+--+,1212303ty t my m y y --++=+ 整理对()1212032y y t m y y +-=+,代入韦达定理有()62035t t m --=,即()33105m t -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦恒成立.解得43m =. ∴直线P 'Q 过x 轴上定点403⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 12．（2020·海南高三其他模拟）已知点O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，P 为13椭圆C 上一点，椭圆C 上异于P 的两点A ，B 满足AFO BFO ∠=∠，当PF 垂直于x 轴时，32PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PA ，PB 分别与x 轴交于点(),0M m ，(),0N n ，问：mn 的值是否为定值？若是，请求出mn 的值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；4mn =【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，根据题意可得221c a b ==-当PF 重直于x 轴时，232b PF a ==.因为222a b c =+，由此解得24a =，23b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由AFO BFO ∠=∠，可得A ，B 关于x 轴对称.设()11,A x y ，()11,B x y -，()00,P x y ，易知10x x ≠，10y y ≠，0x m ≠. ∵PA PM k k =，∴100100y y y x x x m-=--.∴()100010x x y x m y y --=-，∴()10001101010x x y x y x y m x y y y y --=-=--.同理，得011010x y x y n y y +=+.∴222201100110011022101010x y x y x y x y x y x y mn y y y y y y -+-=⋅=-+-. 又2200143x y +=，2211143x y +=，∴2200413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2211413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴2222011022220110222210104141334y y y y x y x y mn y y y y ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--，为定值.1413．（2021·山东高三其他模拟）ABC 中，已知()2,0B -，)2,0C ，AD BC ⊥交BC 于点D ，H 为AD 中点，满足BH AC ⊥，点H 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程：（2）过点10,3M ⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，求证：以PQ 为直径的圆恒过定点，【答案】（1）()22102x y y +=≠；（2）证明见解析.【详解】（1）设(),H x y ，(),2A x y ，()2,BH x y =，()2,2CA x y =-， 因为BH AC ⊥，所以0BH CA ⋅=，即(22220x x y ++=，整理得：2222x y +=，即2212x y +=.ABC 中，三顶点不可能共线，所以0y ≠，故曲线C 的方程为()22102x y y +=≠.（2）若直线l 斜率不存在，可得圆：221x y +=，若直线l 斜率为0，可得圆：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 两个圆的公共点为()0,1N -，若直线l 斜率存在且不为0时，设其方程为()103y kx k =+≠， 221312y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得()2241621039k x kx ++-=， 0∆>恒成立，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，15可得韦达定理：12212246316189k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩()()()()11221212,1,111NP NQ x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++12124433x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()21212416139k x x k x x =++++()()22244161163189639k k k k k --+=++++ ()22221616161618990189k k k k ---++==+ 即NP NQ ⊥，以PQ 为直径的圆经过定点()0,1N -. 综上所述，以PQ 为直径的圆经过定点()0,1N -.14．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知抛物线2:4C y x =．（1）若C 与圆22:(4)13G x y -+=在第一象限内交于,M N 两点，求直线MN 的方程；（2）直线l 过点(1,0)D -交C 于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，直线AE 交x 轴于点P ，求证：P 为定点．【答案】（1）)31330x y -=；（2）证明见解析【详解】（1）解：联立()22244130y xx y y ⎧=⎪⎪-+=⎨⎪>⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2323131MN k ==-，可得直线MN 的方程为)()2311y x -=-，即()31330x y -=．16（2）证明：设直线():1l y kx =+，(),0P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，()22,E x y -，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()2222240k x k x k +-+=，所以0k ≠，()()22422441610k k k ∆=--=->，即21k <，12242x x k+=-，121=x x ， 由A ，P ，E 三点共线得AP EP k k =，所以1212y yx t t x =--， 所以()()()()211211t x x x t x -+=-+， 所以()12122(1)20x x t x x t +-+-=， 所以242(1)220t t k ⎛⎫+---=⎪⎝⎭， 解得1t =，即点()1,0P ， 所以P 为定点．15．（2021·山东济南市·高三二模）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，且经过点(2,1)H ．（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()3,0P-的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线HA ，HB 分别交x 轴于M ，N 两点，点()2,0G -，若PM PG λ=，PN PG μ=，求证：11λμ+为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析．17【详解】（1）由题意知22212c b e a a ==-=，则222a b =， 又椭圆C 经过点(2,1)H ，所以22411a b +=； 联立解得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）证明：设直线AB 方程为3x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223163x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立消x 得()222630m y my +-+=，所以()22361220m m ∆=-+>，12262my y m +=+，12232y y m =+， 由题意知，1y ，2y 均不为1． 设(),0M M x ，(),0N N x ，由H ，M ，A 三点共线知AM 与MH 共线， 所以()()112M M x x y x -=---，化简得11121M x y x y +=-；由H ，N ，B 三点共线，同理可得22221N x y x y +=-；由PM PG λ=，得()()3,01,0M x λ+=，即3M x λ=+； 由PN PG μ=，同理可得3N x μ=+；所以11221211111122333311M N x y x y x x y y λμ+=+=+++++++--()()121211221211113311y y y y x y x y m y m y ----=+=+-+-+--182121212122611111222231112m y y y y m m y y m y y m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫--++=+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭， 所以11λμ+为定值．16．（2021·山东高三其他模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3E ，左焦点为F ，且满足直线EF 与圆2234x y +=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设,A B 是椭圆C 上两个动点，且直线,OA OB 的斜率满足14OA OB k k ⋅=-，证明：AOB 的面积为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）由3e =22222234c a b e a a -===，解得：2a b =，3c b ∴=， 则()3,0F b -，()0,E b ，则303EF k b ==+， ∴直线3:3EF l y x b =+，即330x b =，又直线EF 与圆C 相切，33313b b ==+1b =，2a ∴=， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）当直线AB 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222418440k x kmx m +++-=，则()2216410k m ∆=+->， ∴122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，19()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x km x x m k-∴=++=+++=+， ∴()()()222222121212141114k km AB k x k x x x x ++-=+-=++-=又原点到直线AB 的距离为21m d k=+224112AOBm k m SAB d +-∴==，221221214444OA OBy y m k k k x x m -∴⋅==-=-，即22214m k =+， 2241112AOBm k m SAB d +-∴===. 当直线AB 斜率不存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x =，12y y =-， 则212114OA OBy k k x -⋅==-，22114x y ∴=，又221114x y +=，解得：12x =122y =， 111AOBSx y ∴==.综上所述：AOB 的面积为定值1.17．（2021·山东滨州市·高三二模）已知圆(22:212C x y +=，动圆M 过点)2,0D且与圆C 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）假设直线l 与轨迹E 相交于A ，B 两点，且在轨迹E 上存在一点P ，使四边形OAPB 为平行四边形，试问平行四边形OAPB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）是定值，定值为32.【详解】（1）因为2223CD =，所以点D 在圆内. 又因为圆M 过点D 且与圆C 相切，所以23MC MD =， 所以23MC MD CD +=>. 即点M 的轨迹是以C ，D 为焦点的椭圆. 则223a =3a =又因为222a b -=，所以21b =.20故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：2213x y +=.（2）当直线AB 的斜率不存在时，可得直线AB 的方程为3x =，此时3A y =，所以四边形OAPB 的面积32S =.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得，()()222316310k x kmx m +++-=. 因为直线l 与轨迹E 相交于A ，B 两点，所以()()()222222361231112310k m k m k m =-+-=-+>△.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122631km x x k +=-+，()21223131m x x k -=+. 所以()121222231my y k x x m k +=++=+.设AB 的中点为Q ， 则Q 的坐标为223,3311km m k k ++⎛⎫-⎪⎝⎭. 因为四边形OAPB 为平行四边形，所以22622,3131kmm OP OQ k k ⎛⎫==-⎪++⎝⎭， 所以点P 的坐标为2262,3131kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. 又因为点Р在椭圆上，所以222262311331km m k k ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭.整理得，22431m k =+.又因为22222122331111k m AB k x k k ⋅-+=+-=+=+△， 原点О到直线AB 的距离为21m d k=+，21所以平行四边形OAPB 的面积222331322AOBm k m S SAB d -+==⋅==.综上可知，平行四边形OAPB 的面积为定值32. 18．（2021·山东高三月考）已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=. （1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上. 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析． 【详解】（1）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由221,2,y x x py =+⎧⎨=⎩，得()28210y p y -++=， 则1282y y p +=+， 从而12922022p pAF BF y y p +=+++=+=， 解得2p =，故C 的方程为24x y =.（2）证明：设()33,M x y ，()44,N x y ，()00,T x y ，()1TM TA λλ=≠.因为//AB MN ，所以TN TB λ=.根据2112224,4,x y x y ⎧=⎨=⎩得()()()1212124x x x x y y +-=-，则()12121248y y x x x x -+==-， 同理得348x x +=.又()()30104020,,x x x x x x x x λλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩两式相加得()34012022x x x x x x λ+-=+-，即()()0410x λ--=，由于1λ≠，所以04x =. 故点T 在定直线4x =上.19．（2021·山东高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．22（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 作两条直线12,l l 与圆()2223102x y r r ⎛⎫-+=<<⎪⎝⎭相切且分别交椭圆于,M N 两点． ①求证：直线MN 的斜率为定值；②求MON △面积的最大值（其中O 为坐标原点）．【答案】（1）22143x y +=；（2）①证明见解析；3【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由12e =得：2a c =， C 过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，221914a b ∴+=，又222c b a +=，解得：2a =，3b =∴椭圆C 方程为：22143x y +=；（2）①由题意知：两直线12,l l 的斜率存在，设为12,k k ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线12,l l 与圆()2223102x y r r ⎛⎫-+=<< ⎪⎝⎭相切，12k k ∴=-， 直线1l 的方程为()1312y k x -=-， 联立方程组112232143y k x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()()()22211114312832120x k k k x k ++-+--=， ,P M 为直线与椭圆的交点，()11121812143k k x k -∴+=+，同理可得：当2l 与椭圆相交时，()11221812143k k x k ++=+，112212443k x x k -∴-=+，而()11211212112243k y y k x x k k --=+-=+， ∴直线MN 的斜率121212y y k x x -==-，即直线MN 的斜率为定值12；23②设直线MN 的方程为12y x m =+， 联立方程组2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2230x mx m ++-=， ()222431230m m m ∆=--=->，解得：24m <，12x x m ∴+=-，2123x x m =-，()2222115143422MN m m m ⎛⎫∴=+--=- ⎪⎝⎭又原点O 到直线MN 的距离25m d =，()222222115334443222225MONm m m Sm m m +-∴=-=-⋅=22m =时取等号）， 当22m =时，满足24m <，且存在30,2r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的两条直线与圆()2221x y r -+=相切，且与椭圆C 有两个交点,M N ，MON ∴△320．（2021·山东高三二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，圆P 是2MNF ∆的内切圆．当直线l 的倾斜角为45︒时，直线l 与椭圆C 交于点41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程； （2）求圆P 周长的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）π．【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，则()1,0F c -， 当直线l 的倾斜角为45︒时，直线l 的方程为y x c =+，24又直线l 与椭圆C 交于点41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1c ∴=，221a b ∴=+将点41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：()221611991b b +=+ 解得21b =或219b =-（舍），22a ∴= ∴椭圆C 的方程为2212x y +=（2）设圆P 的半径为()0r r >，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，2MN =222MNF MPN MPF NPF S S S S ∆∆∆∆=++()2212MN MF NF r =++22r =1222=⨯12r ∴=当直线l 的斜率存在时，设为k ，直线l 的方程为y kx k =+， 设()11,M x y ，()22,N x y由2212y kx k x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +++-= 2122421k x x k ∴+=-+，21222221k x x k -=+ 2121212MNF S F F y y ∆∴=-12||k x x =- ()21212|4k x x x x =+-()()242228116||2121k k k k k-=-++()422244221k k k+=+()2212121k =-+又22222MNF MPN MPF NPF S S S S r ∆∆∆∆=++=25()221222121r k∴=-+()2211112221r k ∴=-<+ 综上，102r <≤∴当12r =时，圆P 的周长取得最大值π． 21．（2021·山东淄博市·高三二模）已知抛物线Ω的标准方程是()220x py p =>，过点()0,2M p 的直线l 与抛物线Ω相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且满足1264y y ⋅=． （1）求抛物线Ω的标准方程及准线方程；（2）设垂直于l 的直线1l 和抛物线Ω有两个不同的公共点C ，D ，当C ，D 均在以AB 为直径的圆上时，求直线l 的斜率．【答案】（1）抛物线方程为28x y =；准线方程为2y =-；（2）1或1-．【详解】（1）由题意可知，直线l 的斜率存在，设其斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx p =+，由222x py y kx p ⎧=⎨=+⎩消元得：22240x pkx p --=． ∴122x x pk +=，2124x x p ⋅=-，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线Ω上，∴2112x py =，2222x py =，∴22212124x x p y y =，∴212464y y p ⋅==，解得：4p =，∴抛物线Ω的标准方程为28x y =，准线方程为2y =-．（2）由（1）得：抛物线Ω的方程为28x y =，若0k =，则直线1l 与抛物线仅有一个交点，不合题意，0k ∴≠， 设()33,C x y ，()44,D x y ，143344318l y y x x k x x k -+∴===--，则348x x k+=-，,C D 在以AB 为直径的圆上，CA CB ∴⊥，DA DB ⊥，26即0CA CB ⋅=，0DA DB ⋅=，()()()()()()()()222231323132222241424142064064x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧--⎪--+=⎪∴⎨--⎪--+=⎪⎩，整理得：()()()()31324142640640x x x x x x x x ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩，由（1）知：128x x k +=，1264x x ⋅=-，2332448080x kx x kx ⎧+=∴⎨+=⎩， 两式作差得：348x x k +=-， 又348x x k +=-，88k k∴-=-，解得：1k =±. ∴直线l 的斜率为1或1-.22．（2021·山东省实验中学高三一模）已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为23，过点2F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 在第一象限交于点P ，且12F PF △的面积为103. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点()3,0A 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线C 交于点E ，1EF x ⊥轴，过点S 的另一直线与曲线C 交于M ，N 两点，若2SMA SEN S S =△△，求MN 所在的直线方程.【答案】（1）22195x y +=；（2）513y x =+或513y x =-+.【详解】（1）由题意知23c e a ==，2103b c a ⋅=，又222a b c =+，∴25b =，2c =，∴椭圆标准方程为22195x y +=.（2）∵1EF x ⊥轴，∴52,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，27设()00,S y ，则03553y =，∴01y =，即()0,1S ，∵23c a =，∴32SA SE =，∴1sin 32312sin 2SMA SEN SM SA MSA SM S S SNSN SE ESN ⋅∠===⋅∠， ∴2SM SN =，即2SM SN =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,1SM x y =-，()22,1SN x y =-， ∴122x x =-.①当直线MN 的斜率不存在时，MN 的方程为0x =，此时∴5251SM SN=≠-不符合条件. ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+，联立221195y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225918360k x kx ++-=.12212212185936592k x x k x x k x x -⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩得2222218591859k x k x k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∴22218185959k k k⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得53k =±. 故直线MN 的方程为51y x =+或51y x =+. 23．（2021·山东烟台市·高三二模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点(22（1）求椭圆的方程；（2）过点()0,1P 作椭圆的两条弦AB ，CD （A ，C 分别位于第一、二象限）．若AD ，BC 与直线1y =分别交于点M ，N ．求证：PM PN =．28【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析．【详解】（1）∵椭圆22221x y a b +=过点(2，则22421a b +=，又2c a =，则222a c =．又222a b c =+，∴联立上述式子，解得28a =，24b =，故椭圆的方程为22184x y +=．（2）由题意，可设直线AB ：11y k x =+，CD ：21y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，M ，N 点的横坐标为M x ，N x ，将直线AB 方程代入椭圆22184x y +=，整理得()221112460k x k x ++-=，而2164240k ∆=+>，由韦达定理可得，11221412k x x k +=-+，1221612x x k ⋅=-+， 同理得：23422412k x x k +=-+，3422612x x k ⋅=-+，∵()11,1M AM x x y =--，()44,1M DM x x y =--，且三点A ，M ，D 共线， ∴()()()()1441110M M x x y x x y -----=，将1111y k x -=，4241y k x -=代入并整理可得()()24112114M k x k x x k k x x -=-， 又14y y ≠，即24110k x k x -≠， ∴()21142411M k k x x x k x k x -=-，同理：()21232312N k k x x x k x k x -=-，∴()()2114212324112312M N k k x x k k x x x x k x k x k x k x --+=+--()()()()()21234121123423122411k k k x x x x k x x x x k x k x k x k x -+-+⎡⎤⎣⎦=-- ()()()()()()()12122122221212231224112424121212120k k k k k k k k k k k x k x k x k x ⎡⎤--⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦==--， ∴M N x x =-，M N x x =，故PM PN =．2924．（2021·山东潍坊市·高三月考）椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆短轴上的一个顶点，1PF 的延长线与椭圆相交于G ，2PGF △的周长为8，113PF GF =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 外一点A 作矩形ABCD ，使椭圆E 与矩形ABCD 的四条边都相切，求矩形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）8212S ≤≤.【详解】（1）由2PGF △的周长为8得48a =，则2a =， 由113PF GF =且G 在1PF的延长线上，得143PG PF =， 设点P 为椭圆的上顶点，设()00,G x y ，则()()004,,3x y b c b -=--，解得043x c =-，013y b =-， 由2200221x y a b +=，解得22c =，所以22b =，椭圆E 的方程为22142x y +=； （2）设四边形ABCD 面积为S .当四边形ABCD 的一边与坐标轴平行时，因为四边形ABCD 为矩形，2282S a b =⋅= 当四边形ABCD 的各边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边AB 所在直线方程为y kx m =+，则对边所在直线CD 方程为y kx m =-，则另一边AD 所在直线方程为1y x n k=-+， 则BC 所在直线方程为1y x n k=--， 联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=， 得()()22221681220k m km∆=-+-=，可得2242m k =+，同理2242n k =+， 矩形一边长1221m d k =+22211nd k =+，30矩形面积为22212222222121224182111121k k m n mnk k S d d k k k k k ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭=====++++++因为22221122k k k k+≥⋅=，当且仅当1k =±时，等号成立，所以8212S <≤. 综上得8212S ≤≤.25．（2021·山东临沂市·高三二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，以1PF 为直径的圆22149:416E x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭过焦点2F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的右顶点为A ，与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点（M ，N 与A 点不重合），且满足AM AN ⊥，点Q 为MN 中点，求直线MN 与AQ 的斜率之积的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭．【详解】（1）在圆E 的方程中，令0y =，得23x =，解得3x =±所以，1F ，2F 的坐标分别为()3,0，)3,0．∵10,4E ⎛⎫⎪⎝⎭，又因为212OE F P =，2//OE F P ，所以点P 的坐标为13,2⎫⎪⎭，所以，127122442a PF PF =+=⨯+=，得2a =，1b =， 即椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）右顶点为()2,0A ，由题意可知直线AM 的斜率存在且不为0， 设直线AM 的方程为()2y k x =-，由MN 与x 轴不垂直，故1k ≠±．31由()222,14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()222214161640k x k x k +-+-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，又点()2,0A ，则由根与系数的关系可得：212164214k x k -=+，得2128214k x k -=+，()1124214k y k x k -=-=+， ∵AM AN ⊥，∴直线AN 的方程为()12y x k=--， 用1k -替换k 可得：222824k x k-=+，2244k y k =+， ∴点Q 坐标为()()()()()2222226130,144144k k k k k k k ⎛⎫-⎪ ⎪++++⎝⎭， ∴直线AQ 的斜率()()()()()()()2222124222611443130222144k k k k k k k kk k k k -++-==++++，直线MN 的斜率()222122222122445414828241414k ky y k k k k k k x x k k k +-++===-----++， ∴()212422215152822821k k k k k k k ==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，∵20k >且21k ≠，∴22222221224k k k k++>⨯=，32∴22153028821k k <<⎛⎫++ ⎪⎝⎭．即1230,8k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴直线MN 与AQ 的斜率之积的取值范围是30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭．26．（2021·山东日照市·高三二模）已知抛物线2:2E y px =，过抛物线E 上一点(1,3)C 作直线CA CB ，交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于D ，F 两点，且CD CF =． （1）求E 的方程：（2）求ABC 的面积，并判断是否存在最大值，若存在请求出最大值，不存在请说明理由． 【答案】（1）29y x =；（2）323539m m m -++1m >-且3m ≠)；不存在． 【详解】（1）因为抛物线E 过点()1,3C ，所以2321p =⋅，所以29p =，所以E 的方程，29y x =．（2）因为CD CF =，所以直线AC 斜率AC k 与直线BC 斜率BC k 满足0AC BC k k +=，设()()1122,,A B x y x y ，，则2119y x =，2229y x =，22121212121293333110001133911y y y y x x y y y y ----+=⇒+=⇒+=--++--，则有126y y +=-， 直线AB 斜率122212129936299AB y y k y y y y -====-+--；设直线AB 的方程为：23x y m =-+， 由2239x y m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去x 得：2690y y m +-=，由题意易知264(9)363601m m m ∆=--=+>⇒>-，直线AB 不过点C ，即3m ≠， 由根与系数的关系知：12126,9y y y y m +=-=-，()22121212213131()436362131333AB y y y y y m m =+--=+-=+=+33又因为点C 到直线AB 的距离213334131319mm d +⋅--===+， ABC 的面积11||213131|3|2213ABCSAB d m m m =⋅=⋅+=+⋅-323539m m m =-++1m >-且3m ≠)， 设10t m =+>，2|3||(1)4||4|0m m t -=+-=->，t →+∞时，2|4|t -→+∞，即31|3|m m +⋅-→+∞，ABC 的面积不存在最大值.27．（2021·山东高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l 是12F PF ∠的外角平分线，直线2PF 交椭圆C 于另一点Q ，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为N ，延长1F N 交直线2PF 于点M ，||2ON =（其中O 为坐标原点），椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求1PFQ 的内切圆半径r 的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=；（2）23. 【详解】（1）由题意可得1||||F N NM =，且1||||PF PM =， 所以1222||||||||||2PF PF PM PF MF a +=+==，因为O ，N 分别为线段12F F ，1F M 的中点，所以ON 为12MF F △的中位线， 所以2//ON MF 且21||||22ON MF a ===， 由12c a =，222a b c =+得23b =， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.。
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解析几何压轴小题题库一、单选题1．中，，，，中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．2．是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A．B．C．2D．3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心、重心，当轴时，椭圆的离心率为( )A．B．C．D．4．设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y 轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A．B．C．D．5．若点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，其满足，则直线的斜率为A．B．C．D．6．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,1- C ．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．20,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知直线，直线，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 11．已知正方体，空间一动点P 满足，且，则点P 的轨迹为A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线12．已知直线l ：x-y+3=0和点A （0，1），抛物线y=x 2上一动点P 到直线l 和点A 的距离之和的最小值是（ ） A ．2 B ．C ．D ．13．已知实数满足，，则的最大值为（ ） A ．B ．2C ．D ．414．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2B．3C．D．15．设不等式组所表示的平面区域为，其面积为.①若，则的值唯一；②若，则的值有2个；③若为三角形，则；④若为五边形，则．以上命题中，真命题的个数是( )A．B．C．D．16．过双曲线的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为A．B．C．D．17．过原点的一条直线与椭圆=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为F，过F点的直线交抛物线于不同的两点A、B，且，点A关于轴的对称点为，线段的中垂线交轴于点D，则D点的坐标为A．(2，0)B．(3，0)C．(4，0)D．(5，0)19．在平面直角坐标系中，过双曲线上的一点作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为，，若平行四边形的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．20．在坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为1的直线共有（）条A．4B．3C．2D．121．已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A．B．[,]C．D．）22．已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上，，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（）A．2B．4C．6D．823．已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F为双曲线E：的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆与E在第一象限的交点是P，且，则双曲线E的方程是A．B．C．D．25．已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A．B．3C．D．626．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角为；④抛物线中焦点到准线的距离为.A．1个B．2个C．3个D．4个27．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A．B．3C．D．28．已知，是椭圆的左右焦点，点M的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为A．B．C．D．29．双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．30．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，与圆交于不同的两点（如图），则的值是( )A．B．2C．1D．31．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则的面积的最小值为( )A．B．C．D．32．已知双曲线C：，过左焦点的直线l的倾斜角满足，若直线l分别与双曲线的两条渐近线相交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．33．在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．34．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A．B．C．D．35．如图所示，，是椭圆C：的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与，重合，点N满足，，则A．B．C．D．36．若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有（）组？A．0B．1C．2D．337．已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（）A．B．C．D．38．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A．B．C．D．239．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为A．B．C．2D．40．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则（）A．B．C．D．41．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．42．已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点，与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )A．B．C．D．43．已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点。
若，且，则（）A．B．C．D．44．在正四面体 ABCD 中，P，Q分别是棱 AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M 是EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（）A．PE＋QF＝2B．PE•QF＝2C．PE＝2QF D．PE2＋QF2＝245．设动点在抛物线上，点，直线的倾斜角互补，中点的纵坐标为，则不可能为（）A．3B．4C．5D．646．已知，由所有直线组成的集合记为，则下列命题中的假命题是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等47．已知双曲线的左、右顶点分别为A，点F为双曲线的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P、Q两点，连接PB交y轴于点连接AE，EA延长线交QF于点M，且，则双曲线C的离心率为A．B．2C．3D．548．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，O为坐标原点，A为椭圆上一点，且，直线交y轴于点M，若，则该椭圆的离心率为A．B．C．D．49．已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为A．4B．3C．2D．150．已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．51．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．52．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则的面积为A．12B．24C．36D．4853．定长为4的线段MN的两端点在抛物线上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )A．B．1C．D．54．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A．3B．4C．5D．655．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是A．B．C．D．56．已知不过原点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，若，且，则直线l的斜率为A．B．C．D．57．已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的离心率为A．4B．C．2D．58．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：符合的点的轨迹围成的图形面积为8；设点是直线：上任意一点，则；设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；设点是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为A．B．C．D．59．已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．60．已知圆，，过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是A．6B．5C．4D．361．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )A．(，＋∞)B．(，]C．(0，)D．(，]62．已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．63．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．64．已知双曲线，分别是双曲线的左右焦点，存在一点，点关于点的对称点是点，点关于点的对称点是点，线段的中点在双曲线上，则（）A．B．4C．D．865．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=( ) A．2B．4C．4D．866．已知点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P在椭圆C上，则使为等腰三角形的点P的个数是A．2B．3C．4D．567．设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足，且原点O到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．68．已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．69．已知定点及抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为（）A．2B．C．D．370．过双曲线右焦点的直线交两渐近线于两点，，为坐标原点，且内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．71．已知椭圆的左焦点为，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，则的长度为（）A．B．C．D．72．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为A．B．C．D．73．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx+3m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A．B．C．D．74．如图：已知双曲线中，为左右顶点，为右焦点，为虚轴的上端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点,使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．75．已知圆与函数的图象有唯一交点，且交点的横坐标为，则( ) A．B．2C．D．376．已知椭圆的右焦点为，离心率为e，过原点斜率为k的直线与椭圆交于A、B 两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，以MN为直径的圆过原点O，若，则e的取值范围是A．B．C．D．77．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为（）A．2B．1C．D．478．设，是双曲线（）的左、右两个焦点，点为双曲线右支上的一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率等于（）A．B．2C．3D．79．已知椭圆的左、右焦点分别是，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.下列有三个命题：①在黄金椭圆中，成等比数列；②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，则；③在黄金椭圆中，以为顶点的菱形的内切圆经过焦点.正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．380．直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，，，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为（）A．B．C．D．81．已知抛物线,其准线与轴的交点为,过焦点的弦交抛物线于两点,且,则( )A．B．C．D．82．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个公共点，则b的取值范围是( )A．|b|＝B．－1<b<1或b＝－C．－1<b≤1D．－1<b≤1或b＝－83．如下图，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于两点，且点A、B分别为的内心，则的取值范围是A．B．C．D．84．已知双曲线，直线过左焦点交双曲线于，两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．2D．85．已知圆：与轴负半轴交于点，圆与直线：交于两点，那么在圆内随机取一点，则该点落在内的概率为（）A．B．C．D．86．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A．B．C．D．87．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为( ).A．B．C．D．88．已知双曲线mx2-ny2＝1与直线y＝1+2x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )A．-B．C．D．89．已知分别是双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点，若，且在线段上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．90．设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).A．B．C．D．91．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于。