第五节 线性规划建模举例
线性规划模型及其举例
线性规划模型及其举例摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。
关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。
如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。
一.背景介绍如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式：1()ni ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1)若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为：OPT. 1()nj j j f x c x ==∑ST. 1nij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2)0,j x ≥ 1,2,,j n =…（2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。
将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。
1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。
决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。
2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都应考虑是否符合实际，有没有可行性，因而要构造基于科学预测的综合性约束（或限定）条件。
数学建模教案--线性规划PPT课件
在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.
销地
产地
B1
B2
B3
B4 产量
4
12
4
11
A1 8
8
16
2
10
3
9
A2
64
10
8
5
11
6
A3
8
14
22
销量
8
14
12
14
48
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝372
表上作业法
1、初始基可行解－－沃格尔法
最小元素法，有时按某一最小单位运价优先安排 物品调运时，却可能导致不得不采用运费很高的其他 供销点，从而使整个运输费用增加。
ai b j
mn
min z
Cij xij
i1 j1
n
xij ai
i 1,2,...m
j 1
m
（Ⅰ ） xij bj
j 1,2,...n
i 1
xij 0
i 1,2,..., m; j 1,2,..., n
其中ai , b j Cij 0
运输问题及其数学模型
该模型是一个线性规划模型，可以用单纯形法 求解。但是变量数目非常多。如3个产地，4个销地。 变量数目会有19个之多。
(3)所有结构约束条件都是等式约束； (4)各产地产量之和等于各销地销量之和。 秩 ( A) =m+n-1 运输问题的基可行解中应包含m+n-1个基变量.
表上作业法
表上作业法是一种迭代法，迭代步骤为： 1、先按某种规则找出一个初始解(初始调运方案)； 2、再对现行解作最优性判别； 3、若这个解不是最优解，就在运输表上对它进行调整 改进，得出—个新解； 4、再判别，再改进； 5、直至得到运输问题的最优解为止。 迭代过程中得出的所有解都要求是运输问题的基可行解。
数学建模之线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134m ax x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
线性规划建模 (1)
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
D
x24
25
共二十九页
约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应
把全部资金投出去，于是(yúshì) x11+ x12 = 200； 第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的
资金为1.1x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是
4
共二十九页
例2-10数据表
甲 乙 丙 资源限制
铸造工时/(h/件)
5 10 7
8000
机加工工时/(h/件)
648
12000
装配工时/(h/件)
322
10000
自产铸件成本/(元/件) 3 5 4
外协铸件成本/(元/件) 5 6 --
机加工成本/(元/件) 2 1 3
装配成本/(元/件)
322
产品售价/(元/件)
产品名称 甲 乙 丙
规格要求 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50%
不限
单价/（元/kg） 50 35 25
原材料名称
1 2 3
每天最多供应量
100 100 60
单价/（元/kg） 65 25 35
共二十九页
解：设 xij 表示第 i 种 (甲、乙、丙) 产品中 原料(yuánliào) j 的含量。这样我们建立数学模 型时，要考虑的变量为：
x5（由外协铸造的乙产品）： 18元-（6 + 1 + 2）元= 9元；
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
第五节 线性规划建模举例
第五节线性规划建模举例线性规划是一种操作研究的数学方法，广泛应用于商业、经济、工程领域中的优化问题。
线性规划建模是将实际问题描述为线性规划模型的过程。
本节将介绍几个线性规划建模的典型例子。
例1：混合饲料配方问题某饲料厂要生产一种混合饲料，需包括以下六种饲料成分：大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉、牛粉，并且要求这种混合饲料包含不少于25%的蛋白质和不多于15%的纤维素。
每吨饲料的生产成本和含量如下：| 饲料成分 | 成本（元/吨） | 蛋白质含量（%） | 纤维素含量（%） || -------- | ------------- | -------------- | -------------- || 大豆粉 | 200 | 45 | 10 || 面粉 | 100 | 10 | 2 || 玉米 | 150 | 8 | 5 || 鱼粉 | 300 | 60 | 0 || 鸡粉 | 280 | 50 | 2 || 牛粉 | 320 | 70 | 5 |问如何使得生产的混合饲料成本最小，同时满足蛋白质含量不少于25%和纤维素含量不超过15%的要求。
自变量：混合饲料中每种成分的含量。
目标函数：最小化混合饲料的成本。
约束条件：1. 蛋白质含量不少于25%：0.45×x1 + 0.1×x2 + 0.08×x3 + 0.6×x4 + 0.5×x5 + 0.7×x6 ≥ 0.25。
2. 纤维素含量不超过15%：0.1×x1 + 0.02×x2 + 0.05×x3 + 0×x4 + 0.02×x5 + 0.05×x6 ≤ 0.15。
3. 非负性：x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0。
其中，x1，x2，x3，x4，x5，x6 分别表示大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉和牛粉的含量，单位为吨。
线性规划-建模与求解
Min z= 464x11+513x12+654x13+867x14 + 352x21+416x22+690x23+791x24 + 995x31+416x32+690x33+791x34
供大于需
某水管站主管着广阔地域的水资源分配机构。由于该地域十分干燥，需要从外地引水。已知引入的水来自R1、R2、R3三条河流，主要供应客户为D1、D2、D3、D4四个城市的供水部门。除了R3的水不能供应D4之外，所有的河流均可供应这四个城市。运输表格如下：
当门和窗的单位利润分别在什么范围内变动时，公司的最优生产计划不变？
任务：
Max z=300D+500W 2W ≤12
1
s.t. 3D+2W ≤18
2
其中，D、W分别表示生产的门和窗
3
的个数。
4
数学模型为：
运算结果报告解释
01
列出目标单元格和可变单元格以及它们的初始值、最终结果、约束条件和有关约束条件的信息。
数学模型为：
x11+x12+x13+x14 =75 x21+x22+x23+x24 =125 x31+x32+x33+x34 =100 x11 +x21 +x31 =80 x12 +x22 +x32 =65 x13 +x23 +x33 =70 x14 +x24 +x34 =85 xij≥0 i=1，2，3；j=1，2，3，4
4
Байду номын сангаас
有某个银行的4个分理处数据如下：
数学建模 线性规划模型
数学建模教案－线性规划模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？初步分析可以先考虑两种“极端”的情况：（1）全部截出长为698mm的甲件，一共可截出EQ F(4000,698) »5件，残料长为510mm。
（2）全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 E Q F(4000,518) »7件，残料长为374mm。
由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条件数学化地表示出来就是：698 x + 518y £ 4000x ，y都是非负整数目标是使：z = EQ F(698x + 518y,4000) （材料利用率）尽可能地接近或等于1。
（尽可能地大）该问题可用数学模型表示为：目标函数： max z = EQ F(698x + 518y,4000)满足约束条件：698 x + 518y £ 4000 ， (1)x ，y都是非负整数 . (2)例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。
因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：x 1 + 2x 2£ 8 .同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式：4 x 1£ 164 x 2£ 12.该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1、x2以得到最大的利润。
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第五节 线性规划建模举例线性规划是运筹学中应用最广泛和最有效的一个分支，在用线性规划方法解决实际问题时，建模是十分重要和很关键的一步，它是在把实际问题条理化和抽象化的基础上进行的，是一种创造性的思维过程，兴有当建立的模型能正确反映实际问题的条件和决策者的要求时，才能进一步得出有意义的解答，为决策者作出正确决策提供帮助。
线性规划问题建模可按以下步骤进行：1．分析实际问题，弄清需要确定的未知量，在此基础上假定自变量（决策变量）。
这些自变量应彼此独立，意义明确，且可借助它们将实际问题正确、方便地表达出来。
2．确定有关参数的数据，包括价值系数j c 、约束条件右侧常数i b 和约束条件中的系数ij a 。
3．认清决策者想要达到的主要目标，据此列出目标函数（自变量的线性函数），并决定是要极大化或极小化。
4．分析并汇总问题的限制条件（包括明显的和隐含的），将其与有关自变量和参数联系起来，并逐一表达成等式或不等式约束。
约束条件既不要遗漏（有些限制条件未考虑到），也不要重复。
5．写出完整的线性规划数学模型，并进一步检验是否与描述的实际问题一致，如有不一致之处，则应适当修改模型。
对复杂的实际问题，有时还需在求解时进一步修正模型。
下面在本章第一节的基础上，再举出另外一些线性规划问题建模的例子，供读者分析思考，从中得到启发。
例14 裁料问题在某建筑工程施工中需要制作10000套钢筋，每套钢筋由2.9m 、2.1m 和1.5m 三种不同长度的钢筋各一根组成，它们的直径和材质相同。
目前在市场上采购到的同类钢筋的长度每根均7.4m ，问应购进多么根7.4m 长的钢筋才能满足工程的需要？解 该问题最简单的处理方法是：在每根7.4m 长的钢筋上截取2.9m 、2.1m 和1.5m 的短钢筋各一根，剩下料头0.9m ，共用去10000根7.4m 长的钢筋。
但这样做常是不经济的，基改用套裁就会节约原材料。
为此，必须分析共有多少种不同的裁法，该问题的可能裁料方案示于表1.10中。
表1.10设以i x （i =1，2，…，8）表示按第i 种裁料方案下料的原材料数量，则可得该问题的数学模型如下⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧min 8,,2,1,01000043231000023210000287643176532432187654321 =≥=+++++=++++=++++++++++=j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z j 最后算出的∑==81j j x z 就是所需使用的7.4m 钢筋原料的总数。
该问题的目标函数也可改用总料头长度极小化。
由本例的分析过程可知，这类问题的建模需列出所有裁料方案，当方案很多时常是十分困难的。
为此，需设立一些准则删除明显不合理的方案，以减少计算工作量。
例15 工作人员计划安排问题某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段（每4小时为一个时间段）所需的值班人数如表1.11所示，这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作8个小时（包括轮流用膳时间在内），问该公交系统至少需多少名工作人员才能满足值班的需要。
表1.11解 在本例中，每一时段上班的工作人员，既包括本时段开始上班的人，又包括上一个时段开始上班的人。
为便于建模，可设i x 为第i 个时段开始上班的人员数，如此可得数学模型如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧min 6,,2,1,0302050603706065544322116654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z j现给出它的一个解（如图1.9中所示，可知该系统有150人好够（仅在22∶—2∶00这个时段多10人）。
401=x 302=x 303=x 404=x 105=x 202=x 1x图 1.9例16 厂址选择问题考虑A 、B 、C 三地，每地都出产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品（见表1.12）。
已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：A —B ：150km ，A —C ：100km ，B —C ：200km 。
假定每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km 的运价是6000元。
由于地区条件的差异，在不 同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总费用最小？另外，由于其它条件限制，在B 处建厂的规模（生产的产品数量）不超过5万吨。
表1.12解 令ij x 为由i 地运到j 地的原料数量（万吨），ij y 为由主地运往j 地的产品数量（万吨），i ，j =1，2，3（分别对应A 、B 、C 三地）。
根据题意，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++≤++≤++≤++137241620322212312111333231232221131211y y y y y y x x x x x x x x x 注意，本来还可列出方程0332313=++y y y ，但因13y 、23y 和33y 非负，因而有0332313===y y y ，从而可将该方程略去。
若设i Q 为第i 处的设厂规模（年产产品数量，万吨），则有12111y y Q +=，22212y y Q +=，32313y y Q +=。
从而得到⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++=++)(3)(3)(3323133323122212322211211131211y y x x x y y x x x y y x x x 将11x 、12x 和33x 消去，并考虑2221y y +≤5和变量非负条件，得约束条件如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≠=≥≤+=++=++≤++--+≤-++-+≤--+++2,1;3,2,1,0;3,2,1,,051372433163320332221322212312111323123133231322321122221312113121211j i y j i j i x y y y y y y y y x x x x y y x x x x y y x x x x y y ijij 目标函数为（包括原材料运输费、产品运输费和生产费）：min z =32233113211210010050507575x x x x x x +++++)(15060609090121132312112y y y y y y ++++++ )(100)(12032312221y y y y ++++=32233113211210010050507575x x x x x x +++++323122211211220160210210240150y y y y y y ++++++某石油公司用A 、B 、C 三种原料混合成普通汽油、高级汽油和低铅汽油3种成品出售。
3种原料的单位成本及每月最大购入如表3-1。
表3-1每公斤成品售价为：普通汽油d 元，高级汽油e 元，低铅汽油f 元。
低铅汽油每月最多销售50t 。
各种汽油规格如下：普通汽油R ：A 不少于20%，C 不多于30%；高级汽油P ：A 不少于40%，B 不少于10%，并不多于20%，C 不多于10%；低铅汽油L ：B 不少于30%。
要求建立线性规划模型，以决定各种汽油的销售数量来取得最大利润。
解 通常，建立数学模型的第一步是确定决策变量。
如果我们设1x 、2x 、3x 分别为3种成品的销售数量，那么，必须知道各种汽油的成本和售价，以便决定j c 。
现在题目中已给出了售价，但由于各种汽油的确切配方不知道，算不出各种汽油的单位成本，因此用上面设的决策变量不能建立问题的线性规划模型。
在这个问题里，必须作出两个决策，即每种汽油各用多少A 、B 、C 原料以及各生产多少。
遇到这种情况，采用双下标决策变量往往能顺利建立模型。
我们设：ij x =j 种汽油中所用的原料i （kg ），i =A ，B ，C ；j =R ，P ，L 。
这样，j 种汽油的生产量就是：∑===Ri ij j L P R j x T 1,,, （3-1）例如对普通汽油：CR BR AR R x x x T ++= 与此相似，原料i 的需要量是：∑===LR j ij t C B A i x D ,,, （3-2）例如对原料A ：AL AP AR A x x x D ++=目标函数是总销售收入减总成本的余额最大，max z DC DB DA TL TP TR c b a f e d ---++=将式（3-1）、（3-2）代入得max z =)()()(CL BL AL CP BP AP CR BR AR x x x f x x x e x x x d ++++++++)()()(CL CP CR BL BP BR AL AP AR x x x c x x x b x x x a ++-++-++- （3-3）根据各种原料的每月最大购入量列出第一组约束条件方程：AL AP AR x x x ++≤100000， （3-4） BL BP BR x x x ++≤150000， （3-5） CL CP CR x x x ++≤50000， （3-6）第二组约束条件方程是对低铅汽油销售量的限制：CL BL AL x x x ++≤50000 （3-7）第三组约束条件方程是各种汽油规格的限制，以普通汽油规格1为例：普通汽油重量的重量普通汽油中原料A ≥0.2即CRBR ARARx x x x ++≥0.2即 CR BR AR x x x 2.02.08.0++-≤0 （3-8）与此相似，普通汽油规格2：CR BR AR x x x 7.03.03.0++-≤0 （3-9）高级汽油规格1：CP BP AP x x x 4.04.06.0++-≤0 （3-10）高级汽油规格2：CP BP AP x x x 1.09.01.0+-≤0 （3-11） CP BP AP x x x 2.08.02.0-+-≤0 （3-12）高级汽油规格3：CP BP AP x x x 9.01.01.0+--≤0 （3-13）低铅汽油规格：CL BL AL x x x 3.07.03.0+-≤0 （3-14）式（3-3）至（3-14），加上ij x ≥0，i =A ，B ，C ；j =R ，P ，L ，就是这个问题的线性规模模型。
用单纯形法求出这个问题的解以后，决策人不但知道最有利的各种汽油数量，而且知道各种汽油的确切配方。
例3 多阶段投资问题某公司有200000元可用于投资，投资方案有以下5种，每种方案的投资额不受限制。
方案A：5年内每年都可投资，在年初投资1元，2年后可收回1.2元；方案B：5年内每年都可投资，在年初投资1元，3年后可收回1.3元；方案C：只在第1年初有一次投资机会，每投资1元，4年后可收回1.4元；方案D：只在第2年初有一次投资机会，每投资1元，4年后可收回1.7元；方案E：只在第4年初有一次投资机会，每投资1元，1年后可收回1.4元。