周益春-材料固体力学习题解答习题三

--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。

当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。

在主应变方向上，剪应力分量为：zzyy xx zx zz yy xx yz zzyy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为0636261535251434241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。

如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。

在此情况下，当存在以x ，y ，z 轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为0434241==++=zx yz zz yy xx xy c c c ττεεετ （d ）若应变分量之间满足0434241=++=zz yy xx xy c c c εεετ，则此点的应变主方向和应力主方向重合。

如果材料性能对称于Oxy ，Oyz ，Ozx 三个平面，则有056342414====c c c c ，此时（d ）式总是满足的。

由此可知，当x ，y ，z 轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。

但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。

对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。

习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。

且进一步证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。

解：各向同性条件下的广义虎克定律为()[]()[]()[])3___(1)2___(1)1___(1yy xx zz zz zz xx yy yy zz yy xx xx EE E σσνσεσσνσεσσνσε+-=+-=+-=将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分别得：()()()xx zz xx zz zz yy zz yy yy xx yy xx E E Eσσνεεσσνεεσσνεε-+=--+=--+=-111 即 ()()()()()()xx zz xx zz xx zz zz yy zz yy zz yy yy xx yy xx yy xx G EG E G E εεεενσσεεεενσσεεεενσσ-=-+=--=-+=--=-+=-212121 证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。

0>G 且321σσσ≥≥，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有321εεε≥≥。

习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力2/45.0mm N p =作用下，测得体积应变5106.3-⨯-=e ，若泊松比v =0.3，试求该物体的弹性模量E 。

解：设kk zz yy xx σσσσ=++=Θ为第一应力不变量，而p zz yy xx -===σσσ，pa mm N p zz yy xx 621035.1/35.13⨯-=-=-=++=Θσσσ据各向同性条件下的广义虎克定律为有：Θ-=Ee ν21，其中体积应变5106.3-⨯-=++=zz yy xx e εεε，故有()2421065/105.1/105.11035.1106.33.02121mm N m N e E ⨯=⨯=⨯-⨯-⨯-=Θ-=-ν 。

习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力p ，且横向变形完全被限制住（如图所示）。

试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以c E 表示）。

解：设柱体的轴线z 轴，p zz -=σ。

因为横向变形被限制， 所以0==yy xx εε。

据各向同性条件下的广义虎克定律()[]()[]()[]yy xx zz zz zz xx yy yy zz yy xx xx EE E σσνσεσσνσεσσνσε+-==+-==+-=10101得：()zz yyxx σσνσ+=，()zz xx yy σσνσ+=，将此两式相减得：()xx yy yy xx σσνσσ-=-，而泊松比v 的理论取值范围为2/11<<-v ，故ννσσσ-==1zzyy xx ，将其代入广义虎克定律得： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=νσνσνσσε121212zz zz xx zz zz E E从而()()()νννεσ2111-+-==E E zz zz c ，得解。

习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。

和90。

方向上的正应变，其值分别为6010100-⨯-=ε，6601050-⨯=ε，69010150-⨯=ε，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（25/101.2mmN E ⨯=，3.0=ν）。

解：设该点的x ，y 轴向的正应变分别为x ε，y ε，剪应变为xy γ。

任意方向α（α为与x 轴正向的夹角）上的正应变为：αγαεεεεεα2sin 22cos 22xyyx yx --++=，所以220yx yx εεεεε-++=，0060120sin 2120cos 22xyyx yx γεεεεε--++=，2290yx yx εεεεε--+=，解由此三式组成的方程组得该点的x ε，y ε和xy γ分别为：6906010150,10100--⨯==⨯-==εεεεy x ,66090010350343-⨯=-+=εεεγxy 。

（1）计算该点的主应变：图3-1由x ε、y ε 、xy γ和2221222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫xy y x y x γεεεεεε得该点的主应变为： max 611029.157εε=⨯=-，min 621029.107εε=⨯-=-。

（2）该点的最大剪应变621max 1058.264-⨯=-=εεγ。

（3）计算该点的主应力：现611029.157-⨯=ε、621029.107-⨯-=ε、03=ε，据向同性条件下的广义虎克定律得εI σG e 2+=λ，即()()ij ij kk ij Ee Eενδνννσ++-+=1211，所以 ()()11111211ενδνννσ++-+=E e Ekk ()()22221211ενδνννσ++-+=E e Ekk ()()33331211ενδνννσ++-+=E e Ekk 将611029.157-⨯=ε、621029.107-⨯-=ε、03=ε、63211050-⨯=++=εεεkk e 及25/101.2mm N E ⨯=、3.0=ν代入上面三式得：21/46.31mm N =σ,22/27.11mm N -=σ,23/06.6mm N =σ。

习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式ij ij W εσ21=，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：()dx dx du EA dx EA x N U ll20022121⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==拉伸()dx dx d EI dx EI x M U ll⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0222022121ω弯曲()dz dz d GI dz GI z M U lP lP 20022121⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰φ扭转。

解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：设杆件横截面积为A ，弹性模量为E ，如图建立坐标系。

杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即0===zx yz xy γγγ。

同时轴向纤维间无相互作用力，即0==zz yy σσ。

据弹性应变能理论的应变能公式xx xx ij ij W εσεσ2121==（其余分量产生的应变能为零）。

现在杆件上x 处取一微段dx ，其体积为Adx dV =，其应变能dUAdx WdV dU xx xx εσ21==,而EAx N E A x N xx xx xx )()(===σεσ， dx EAx N Adx EA x N A x N dU )(21)()(212=⋅⋅⋅=∴整个杆件的拉伸应变能为： dx EA x N dU U l L⎰⎰==002)(21拉伸而dxduE E dx du xx xx xx ===εσε,， 故 dx dx du EA Adx dx du E dx du Adx WdV dU xx xx 2212121⎪⎭⎫⎝⎛=⋅===εσ整个杆件的拉伸应变能为：dx EA x N dx dx du EA dU U ll l ⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛==02002)(2121拉伸（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：在材料力学中杆件在)(x M 外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即0===zx yz xy γγγ和0==zz yy σσ。

在杆件上沿轴向去取一微段dx ，在此微段的横截面上取一个微面dA ，在dA 上的应力可为相同的xx σ，而EIyx M E I y x M xx xx xx )(,)(===σεσ。

222)(212121y EI x M W xx xx ij ij ===∴εσεσ，Wdydzdx WdAdx WdV dU ===。

图3-2故dx dz dy y EI x M WdV dU U l b b h h l l ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===--0222222200)(21弯曲，其中)(x M 只与x 有关。