第2章 2.1 曲线的参数方程

第 1 页 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 抛射体的运动 2.1.2 曲线的参数方程 1.理解曲线参数方程的有关概念. 2.能进展参数方程和普通方程的互化.(重点) [根底·初探] 1.参数方程的概念 定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个

变量t的函数 x＝fty＝gt，a≤t≤b.(*) 假如对于t的每一个值(a≤t≤b)，(*)式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x，y)，都可由t的某个值通过(*)式得到，那么称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数. 简单地说，假设t在a≤t≤b内变动时，由(*)式确定的点M(x，y)描出一条曲线，那么称(*)式为该曲线的参数方程. 2.参数方程与普通方程互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)假如知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普

通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么 x＝fty＝gt就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致. [考虑·探究] 1.曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？ 【提示】 联络x、y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何第 2 页

意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.

2.普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】 不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适中选择参数，假如选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. [自主·测评] 1.将参数方程 x＝2＋sin2θy＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y＝x－2 B.y＝x＋2 C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1) 【解析】 消去sin2θ，得x＝2＋y，

又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.

【答案】 C 2.把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是( )

A. x＝t12y＝t-12 B. x＝sin ty＝1sin t

C. x＝cos ty＝1cos t D. x＝tan ty＝1tan t 【答案】 D 3.曲线 x＝1＋t2y＝t－1与x轴交点的直角坐标是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,0) D.(±2,0) 【解析】 设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2， ∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0). 第 3 页

【答案】 C 4.曲线 x＝1－2ty＝2＋3t(t为参数)与直线x＋y＝0的交点坐标是( ) 【导学号：62790009】 A.(5，－5) B.(7，－7) C.(－5,5) D.(－7,7) 【解析】 将x＝1－2t，y＝2＋3t代入x＋y＝0得t＝－3，代入参数方程得x＝7，y＝－7. 【答案】 B [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一 参数方程的概念 曲线C的参数方程为

 x＝2cos θy＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π).

判断点A(2,0)，B(－3，32)是否在曲线C上？ 假设在曲线上，求出点对应的参数的值. 【精彩点拨】 将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解. 【尝试解答】 把点A(2,0)的坐标代入

 x＝2cos θ

y＝3sin θ得cos θ＝1且sin θ＝0， 第 4 页

由于0≤θ<2π，解之得θ＝0， 因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0， 同理，把B(－3，32)代入参数方程，得

 －3＝2cos θ，32＝3sin θ.

∴





 cos θ＝－3

2，

sin θ＝12. 又0≤θ<2π，∴θ＝56π，

所以点B(－3，32)在曲线C上，对应θ＝56π.

对于曲线C的参数方程 x＝fty＝gtt为参数，假设点Mx1，y1在曲线上，那么 x1＝fty1＝gt对应的参数t有解，否那么无解，即参数t不存在. [再练一题] 1.曲线C的参数方程为 x＝t＋1y＝t2－4(t为参数)判断点A(3,0)，B(－2,2)是否在曲线C上？假设在曲线上，求出点对应的参数的值.

【解】 将点A(3,0)的坐标代入

 x＝t＋1

y＝t2－4，

得 t＋1＝3t2－4＝0，解之得t＝2. 所以点A(3,0)在曲线C上，对应参数t＝2. 将点B(－2,2)的坐标代入 x＝t＋1y＝t2－4，得 t＋1＝－2t2－4＝2， 第 5 页

即 t＝－3t2＝6，此方程组无解. 所以点B(－2,2)不在曲线C上. 类型二 求参数方程 在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进展投弹，投弹时，飞机离地面的间隔 h＝490 m，程度飞行的速度v＝100 m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程.(不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2) 【精彩点拨】 这是物理学中的平抛运动，选择时间t作参数，可将炸弹的程度方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程. 【尝试解答】 如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O，以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系. 设P(x，y)为炸弹在t s后的坐标，

那么由题意可知

 x＝vt，

y＝h－12gt2.

因为h＝490 m，v＝100 m/s，g＝10 m/s2，所以，炸弹投出后，弹道的参数

方程是

 x＝100t，

y＝490－5t2(0≤t≤72).

1.本例选择时间t为参数，很容易将炸弹的程度方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键. 2.求轨迹的参数方程的一般步骤是 (1)建立适当的坐标系，设动点P(x，y)为轨迹上任意一点.(2)根据题意选择与动点P有直接联络的参数t.(3)根据轨迹条件求出x和y与参数t之间的函数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方第 6 页

程也不同，但化成普通方程后却是一样的. [再练一题] 2.设炮弹的发射角为α，发射的初速度为v0，求弹道曲线的参数方程(不计空气阻力、风向等因素). 【解】 取炮口为原点，程度方向为x轴，建立坐标系如下图，设炮弹发射后的位置在点M(x，y)，又设炮弹发射后的时间t为参数. 由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x＝OQ＝|OP|cos α＝v0tcos

α. y＝QM＝QP－MP＝v0tsin α－12gt2. 即得弹道曲线的参数方程：

 x＝v0tcos α，

y＝v0tsin α－12gt2. 类型三 参数方程与普通方程的互化 在方程 x＝a＋tcos θy＝b＋tsin θ，(a，b为正常数)中， (1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？ 【精彩点拨】 (1)运用加减消元法，消t；(2)利用平方关系sin2 θ＋cos2 θ＝1消参数，化成普通方程，进而断定曲线形状.

【尝试解答】 方程 x＝a＋tcos θ， ①y＝b＋tsin θ， ②(a，b是正常数)， (1)①×sin θ－②×cos θ得 xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零， ∴方程表示一条直线. 第 7 页

(2)(ⅰ)当t为非零常数时， 原方程组为



 x－a

t＝cos θ， ③

y－bt＝sin θ. ④

③2＋④2得x－a2t2＋y－b2t2＝1， 即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆. (ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b). 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数. 2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.此题启示我们，形式一样的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线. [再练一题] 3.假设将题目中的条件，改为“以过点A(0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x2＋y2＝16的参数方程〞. 【解】 设M(x，y)是曲线4x2＋y2＝16上异于A(0,4)的任意一点.

那么y－4x＝k(x≠0)， ∴y＝kx＋4(k≠0). 将y＝kx＋4代入4x2＋y2＝16，得 x[(4＋k2)x＋8k]＝0，

∴ x＝0y＝－4或 x＝－8k4＋k2y＝－4k2＋164＋k2(k≠0，k为参数).