初中数学湘教版九年级上册《1.1反比例函数》教学设计
新湘教版九年级上册数学教案
第一章 反比例函数探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1）目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；2、理解反比例函数的概念和意义；3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：对反比例函数概念的理解 探究准备：投影片等。
探究过程： 一、旧知回顾： 1、函数的概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、一次函数的概念：一般地，如果y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）那么y 叫做x 的一次函数。
如：31y x =-，… 当0b =时，有y kx =（k 为常数，0k ≠）则y 叫做x 的正比例函数。
如：12y x =-，4y x =，…二、新知探究：类似地，有反比例函数： 1、概念：一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成ky x=（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
2、强调：①自变量在分母中，指数为1，且0x ≠；②也可以写成1y kx -=的形式，此时自变量x 的指数1-； ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数；④由于0k ≠，0x ≠，因此函数值y 也不等于0。
例题讲评：1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值。
⑴5y x =⑵20.4y x=- ⑶2x y =- ⑷2xy =分析： ⑴5y x=是反比例函数，5k =； ⑵20.4y x =-不是反比例函数； ⑶2xy =-是正比例函数；⑷2xy =，即2y x=，是反比例函数，2k =。
2、若函数()272mm y m x +-=-是反比例函数，求出m 的值并写出解析式。
分析：由题有：20m -≠且271m m ++=-，解得3m =- ∴解析式为15y x -=-，即5y x=-3、已知反比例函数的图象经过点（-1，2），求其解析式。
九年级数学上册 1.1 反比例函数导学案(无答案)(新版)
1.1 建立反比例函数的模型【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想重点难点重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式难点：理解反比例函数的概念【预习导学】阅读教材P2-3完成下列问题1．当路程一定时，速度与时间成什么关系？当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?【探究展示】(一)合作探究1．如何解教材第2页“动脑筋”中的问题？（1）当s=3000m时，速度v（m/s）和时间t(s)之间的关系式是（2）利用（1）的关系式完成下表：（3）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？2．归纳总结反比例函数的概念：教师强调：（1）(二)展示提升1．如图，已知菱形ABCD 的面积为180，设它的两条对角线AC,BD 的长分别为x,y.写出变量y 与x 之间的函数表达式，并指出它是什么函数.2．下列函数是不是反比例函数？若是，请写出它的比例系数.（1）y=3x -1 （2）3x y -= （3）x y 51= （4）xy 111-= 【知识梳理】1.反比例函数的的定义是什么？怎样判断一个给定的函数是否为反比例函数？2.反比例函数的定义中，我们应该注意哪些问题？3.怎样根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式？【当堂检测】1．写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k 的值.（1）底边为5cm 的三角形的面积y （cm 2）随底边上的高x （cm ）的变化而变化；（2）某村有耕地面积200ha ，人均占有耕地面积y （ha ）随人口数量x （人）的变化而变化；（3）一个物体重120N ，物体对地面的压强p （N/m 2）随该物体与地面的接触面积S （m 2）的变化而变化.2．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？如果是，比例系数是多少？（1）y ＝23 x ； （2）y ＝23x ； （3）xy ＋2＝0；（4）xy ＝0； （5）x ＝23y .3．已知函数y ＝（m ＋1）x 22 m 是反比例函数，则m 的值为 .【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。
新版湘教版九年级上册数学教案
蒋一舟2016、091第一章反比例函数探究内容： 1.1 建立反比例函数模型（1）目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；2、理解反比例函数的概念和意义；3 、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：对反比例函数概念的理解探究准备：投影片等。
探究过程：一、旧知回顾：1、函数的概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x 的函数。
2、一次函数的概念：一般地，如果y kx b （k 、b 是常数，k 0 ）那么y 叫做x 的一次函数。
如：y 3x 1，⋯当b 0 时，有y kx（k 为常数，k 0 ）则y叫做x 的正比例函数。
如：1y x ，y 4x ，⋯2二、新知探究：类似地，有反比例函数：1、概念：一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成y kx （k 为常数，k 0 ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
2、强调：①自变量在分母中，指数为1，且x 0 ；②也可以写成 1y kx 的形式，此时自变量x 的指数 1 ；③自变量x 的取值为x 0的一切实数；④由于k 0 ，x 0 ，因此函数值y 也不等于0。
例题讲评：1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值。
⑴y 5x ⑵y 0.42x⑶xy ⑷xy 22分析：⑴y 5x 是反比例函数，k 5 ；⑵y 0.42x不是反比例函数；⑶xy 是正比例函数；2⑷xy 2 ，即y 2x，是反比例函数，k 2 。
2、若函数 2 7m my m 2 x 是反比例函数，求出m 的值并写出解析式。
分析：由题有： m 2 0 且2 7 1 m m ，解得 m3∴解析式为 1y 5x ，即 y5 x 3、已知反比例函数的图象经过点（ -1 ，2），求其解析式。
分析：设反比例函数的解析式为 ∴ k2y k x （ k 0 ），则 2k 1∴此反比例函数的解析式为 y2 x。
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第一章 反比例函数探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1）目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；2、理解反比例函数的概念和意义；3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：对反比例函数概念的理解 探究准备：投影片等。
探究过程： 一、旧知回顾： 1、函数的概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、一次函数的概念： 一般地，如果y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）那么y 叫做x 的一次函数。
如：31y x =-，… 当0b =时，有y kx =（k 为常数，0k ≠）则y 叫做x 的正比例函数。
如：12y x =-，4y x =，…二、新知探究：类似地，有反比例函数： 1、概念：一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成ky x=（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
2、强调：①自变量在分母中，指数为1，且0x ≠；②也可以写成1y kx -=的形式，此时自变量x 的指数1-； ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数；④由于0k ≠，0x ≠，因此函数值y 也不等于0。
例题讲评：1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值。
⑴5y x =⑵20.4y x=- ⑶2x y =- ⑷2xy =分析： ⑴5y x=是反比例函数，5k =； ⑵20.4y x =-不是反比例函数； ⑶2xy =-是正比例函数；⑷2xy =，即2y x=，是反比例函数，2k =。
2、若函数()272mm y m x +-=-是反比例函数，求出m 的值并写出解析式。
分析：由题有：20m -≠且271m m ++=-，解得3m =- ∴解析式为15y x -=-，即5y x=-3、已知反比例函数的图象经过点（-1，2），求其解析式。
湘教版数学九年级上册1.1反比例函数课件
数．
知识点 2 确定反比例函数表达式
知2－讲
确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于
在反比例函数 y k ( k ≠0 )中只有一个待定系数，因此 x
只需要一对 x , y 的对应值或图像上一个点的坐标，即可
求出 k 的值，从而确定其表达式.
知2－讲
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 3 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 x = -2 时，求 y 的值； (3) 若 y = 4.5，求 x 的值.
总结：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例 关系，如 xy =m ( m 为一个定值 )，则 x 与 y 成反 比例.
知识点 1 反比例函数的定义
知1－导
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表
示? (1) 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速 度 v ( 单位：km/h ) 随此次列车的全程运行时间 t ( 单位：h ) 的变化而变化；
(2) 食堂存煤 15 000 kg ， 试写出可使用的天数 t ( 天 ) 关于平均每天的用煤量 Q ( kg ) 的函数表达式， 并写出自变量的取值范围.
知3－讲
解题秘方：
(1) 根据矩形的面积公式写出函数表达式 ；
(2) 根据“ 可使用的天数 =
存煤量
”
平均每天的用煤量
写出函数表达式.
解： (1) y = 1 000（x＞0）. x
x
的反比例函数，其中 x 是自变量，常数 k ( k ≠ 0 ) 称
为反比例函数的比例系数.
知1－讲
2. 反比例函数的三种情势：
①y
k x，
② y=kx-1，
湘教初中数学九年级上册《1.1反比例函数》课堂教学课件 (2)
确定反比例函数的解析式
4、y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:
1
1
x -6 -2 -1 - 2 2 1
26
y
2 3
2
4
8
-8
-4
-2
2 3
(1).写出这个反比例函数的表达式;
解:∵ y是x的反比例函数, y k .
x
把x=-2,y=2代入上式得:
2 k
得k=-4
2
y 4.
x
(2).根据函数表达式完成上表.
解：xy+4=0可以改写成
y4 x
所以y是x的反比例函数
比例系数k等于－4
1、下列函数中哪些是反比例函数?哪些是一次函数?
y = 3x-1
y = 2x
y
=
3 2x
反比例函数
y = 3x
y=
1 x
y
=
1 3x
5xyy5xy5x0x.y40x.y40yx.42xyx2xyx2yx2x.y2 2.
3xy3yxy6x77yy3yxyx5x525x2yyy7y 15150xxxx.542
(1) y 4 x
y是x的反比例函数，比例系数 k= 4。
(((((((((((1313242353242)))))))))))))yyyyxyyyyxyyyyy14x12114x21x4x12x1x2x21x1xxx (((554)))yyxy2x x1
2
y是x的反比例函数，比例系数 k= -4。
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成：
y k (k为常数，k 0) x
的形式，那么称y是x的反比例函数
反比例函数的自变量x能不能是0?为什么?
湘教版九年级上册数学教案课程(全册)
第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入，初步认知1．复习小学已学过的反比例关系，例如：(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的概念（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.（2）利用（1）的关系式完成下表：（3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？（4）平均速度v 是所用时间t 的函数吗？为什么？（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y 之间可以表示成y=kx（k 为常数且k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.其中x 是自变量，常数k 称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t ，其中自变量t 可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间，且时间不能为负数，所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是acm ，这边上的高是hcm ，则a 与h 的函数关系；(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积S 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系．(4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式． 分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解：(1)a=12/h ，是反比例函数； (2)F ＝pS ，是正比例函数； (3)F=W/s ，是反比例函数； (4)y=m/x ，是反比例函数． 3.当m 为何值时，函数y=224m x－是反比例函数，并求出其函数解析式．分析：由反比例函数的定义易求出m 的值．解：由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，m=3/2．所以反比例函数的解析式为y=4x．4.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时，ρ=1．98kg ／m 3 （1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围. （2）求V=9m 3时，二氧化碳的密度. 解：略5.已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析：y1与x 成正比例，则y1＝k1x ，y2与x2成反比例，则y2=k2x2，又由y ＝y1＋y2，可知，y=k1x+k2x2，只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式．解：因为y 1与x 成正比例，所以y 1＝k 1x ；因为y 2与x 2成反比例，所以y 2=22k x ，而y ＝y 1＋y 2，所以y=k 1x+22k x，当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质（1）教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质，并能灵活应用.教学过程一、情景导入，初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象．分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表：取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．（3）连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．思考：（1）观察上图，y 轴右边的各点，当横坐标x 逐渐增大时，纵坐标y 如何变化？y 轴左边的各点是否也有相同的规律？（2）这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？为什么？探究2：反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形，并思考下列问题： （1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？（2）在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化是如何变化的？ 【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小.探究3：反比例函数y=－6x的图象．可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：(1)可以用画反比例函数y=－6x 的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； (2)可以通过探索函数y=6x 与y=－6x 之间的关系，画出y=－6x的图象．【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.探究4：反比例函数的性质反比例函数y=－6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.三、运用新知，深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y＝2x k＋1的图象是双曲线，那么k＝．【答案】-23.如果反比例函数y=3kx－的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是．【答案】1，24.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=kbx的图象在第象限．【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( )．解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x －－为反比例函数．(1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？ (3)当－3≤x ≤－12时，求此函数的最大值和最小值．8.作出反比例函数y=12x的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时，求y 的值； (2)当y ＝－2时，求x 的值； (3)当y ＞2时，求x 的范围． 解：列表：由图知： (1)y ＝3； (2)x ＝－6； (3)0＜x ＜69.作出反比例函数y=－4x的图象，结合图象回答： （1)当x ＝2时，y 的值；(2)当1＜x ≤4时，y 的取值范围； (3)当1≤y ＜4时，x 的取值范围． 解：列表：由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；(3)－4≤x＜－1．【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质（2）教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式；2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入，初步认知1.反比例函数有哪些性质？2.我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗？【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.二、思考探究，获取新知1.思考：已知反比例函数y=kx的图象经过点P（2,4）（1）求k的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A（-2，-4），B(3,5)是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x 的增大如何变化？分析：(1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象，根据图象，回答下列问题：（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；（2）如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.分析：（1）由图象可知，反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A、B 都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y1>y2.【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知，深化理解1.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y=－3x上，则y1、y2中较小的是．【答案】y22.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=kx(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0D.y2＜y1＜0【答案】 A3.若A(a1，b1)，B(a2，b2)是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是( )A.b 1＜b 2B.b 1=b 2C.b 1＞b 2D.大小不确定 【答案】 D 4.函数y=-1x的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若0＜x 1＜x 2，则( ) A.y 1＜y 2 B.y 1＞y 2 C.y 1=y 2 D.y 1、y 2的大小不确定 【答案】 A5.已知点P(2，2)在反比例函数y=kx(k ≠0)的图象上， (1)当x=-3时，求y 的值；(2)当1＜x ＜3时，求y 的取值范围．6.已知y=kx(k ≠0，k 为常数)过三个点A(2，-8)，B(4，b)，C(a ，2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)求a 与b 的值． 解：（1）将A （2，-8）代入反比例解析式得：k=-16，则反比例解析式为y=-16x； （2）将B （4，b ）代入反比例解析式得：b=-4；将C （a ，2）代入反比例解析式得：2=-16a，即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析：(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解：(1)设：反比例函数的解析式为：y=kx (k ≠0)．而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．所以－2=1k，k ＝－2．即反比例函数的解析式为：y=－2x．(2)点A(－5,m)在反比例函数y=－2x图象上，所以m=25-- =25 ，点A 的坐标为(－5, 25)．点A 关于x 轴的对称点(－5,－25)不在这个图象上；点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上；点A 关于原点的对称点(5,－25)在这个图象上；【教学说明】通过练习，巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时 反比例函数的图象与性质（3）教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入，初步认知 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x,y=2k x,其中，k 1,k 2是常数，且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k 1×(-3),4=23k －解得，k 1=43k 2=-12所以，正比例函数解析式为y=43 x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1= ；过点Ｑ分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S 1与S 2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数y=kx（k ≠0）中比例系数k 的几何意义：过双曲线y=kx（k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k 的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解1.已知如图，A 是反比例函数y=kx 的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝12|k|．解：根据题意可知：S △AOB ＝12|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0，则k ＝6．【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为( )A.12B.2C.3D.1分析：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积，进而可得出结论．解：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC =6，S △AOE =3， S △BOC =1，∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2．【答案】 B3.已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(－2，m)和C ，求k 、b 的值．解：点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝－3．一次函数的解析式为：y ＝x －3．又因为点B(－2，m)也在直线y ＝x －3上，所以m ＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．而点B(－2,－5)又在反比例函数y=kx上，所以k ＝－2×(－5)＝10．4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y ＝k 2x －1的图象交于A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2． 1＝2k 2－1，k 2＝1．所以反比例函数的解析式为：y=2x；一次函数解析式为：y ＝x －1．(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(－2,－1)．把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=22=－1，所以点A 在反比例函数图象上．把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得，y ＝－2－1＝－3，所以点A ′不在一次函数图象上．5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的y=－3x的图象上．(1)求a的值．(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．分析：(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y 的值在－1≤y ≤3范围内时，相应的x 的值为：－1≤x ≤1．(4)从图象可知，y 随x 的增大而减小，又m ＋1＞m ，所以y 1＞y 2. 或解：当x 1＝m 时，y 1＝－2m ＋1；当x 2＝m ＋1时，y 2＝－2×(m ＋1)＋1＝－2m －1所以y 1－y 2＝(－2m ＋1)－(－2m －1)＝2＞0，即y 1＞y2.6.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A 、B 两点．(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围．分析:(1)把A 、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式． (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：教学反思1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法．2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入，初步认知复习回顾1.什么是反比例函数？2.反比例函数的图象是什么？3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何？【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究，获取新知1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？(2)如人对地面的压力F=450N，完成下表：（3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S 增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解：（1）对于p=FS，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数.（2）因为F=450N，所以当S=0.005m2时，由p=FS得：p=450/0.005=90000（Pa)类似的，当S=0.01m2时，p=45000Pa；当S=0.02m2时，p=22500Pa；当S=0.04m2时，p=11250Pa(3)当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知，深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．【答案】y=12x；x＞03.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的13，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是(不考虑x的取值范围)．【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是( )．A.y＝3000xB.y＝6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D。
2014新版湘教版九年级数学上教学1.1反比例函数课件(共17张PPT)
小
结
回味无穷
1、通过本节课的学习, 你有哪些收获? 2、你还想知道反比例函数的哪些知识？
结束寄语
• 函数来自现实生活,函数是描述现实 世界变化规律的重要数学模型. • 函数的思想是一种重要的数学思想, 它是刻画两个变量之间关系的重要 手段.
独立 作业
知识的升 华
P4 作业题 祝你成功！
S= n t
2
【反比例函数的定义】
1.由上面的问题中我们得到这样的三个函数
1463 V= t
1000 y= x
1.68×104 S= n
2.上面的函数关系式形式上有什么的共同点?
k 都是 y= x 的形式,其中k是常数.
3.反比例函数的定义
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示
k y （k为常数，且k不为０）的形式，那么 成： x
6 。 已知函数 y = 3xm -7 是反比例函数,则 m = ___
随堂练习
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数 式表示？ （1）一个游泳池的容积为2000 m 3 ,注满游泳池 所用的时间t (单位：h）随注水速度v(单位:m 3/h) 的变化而变化； （2）某长方体的体积为1000cm 3 ，长方体的高h （单位：cm）随底面积s（单位：cm2 ）的变化而 变化； （3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压强p随 物体与地面的接触面积s的变化而变化。
y=
2x 3
y=x
⑥
2 (k= ) 3
xy=3
(k=1)
(k= 3)
练习:
⑴ 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）
3 （A）y = （B） y = x + 7 X+5
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新湘教版数学九年级上 1.1 反比例函数教学设计
∵路程=速度×时间 ∴vt =100或t=
100v
.
可以发现：v 和t 的积为100，v 和t 成反比例。
2.小明想要在家门前草原上围一个面积约为15平方米的矩形羊圈，那么羊圈的长y （单位：m ）和宽x （单位：m ）之间有着什么样的关系呢？ 当面积 S=15m 2 时，长y (m)与宽x (m)的关系是： ∵面积=长×宽 ∴ xy =15或y=15
x
可以发现：x 和y 的积为15，x 和y 成反比例。
3.一群选手在进行全程为3000m 的赛马比赛时，各选手的平均速度与所用时间之间有怎样的关系？ （1）写出它们之间的关系式.
∵路程=速度×时间，∴速度=
路程
时间
，即v=
3000t
可以发现：路程一定，速度和时间成反比例。
（2）利用（1）的关系式完成下表：
v 随着t 的增大而变小，随着t 的减小而变大. 观察t=
100v
， y=15x ， v=
3000t
我们可以发现：
● 都有两个变量； ● 变量成函数关系； ● 两变量之积≠0，成反比例.
解：∵菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
∴S菱形=1
2
xy=180，
∴x y = 360，即y与x成反比例关系.
∴y＝360
x
.
∴当菱形的面积一定时,它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比例函数.
【例3】已知y 是关于x 的反比例函数，当x =0.3时，y = －6. 求y 关于x 的函数表达式和自变量x的取值范围.
解：∵y 是关于x 的反比例函数，
∴可设y=k
x
( k 为常数，k ≠0).
将x =0.3，y = －6代入y =k
x ，得−6=k
0.3
解得k =-1.8.
∴所求的函数表达式为y =−1.8
x
；自变量x 的取值范围为x ≠0的全体实数.
从例子中，我们可以发现：对于求反比例函数表达式
1.方法：待定系数法
2.具体步骤：
（1）设：设反比例函数的表达式为y＝k
x
（k≠0）；
（2）列：把已知的x与y的一对对应值代入y＝k
x
，得到关于k的方程；
（3）解：解方程，求出k的值；
（4）代：将k的值代入所设表达式中，即得到所求反比例函数的表达式．
【做一做】已知：y 是关于x 的反比例函数，当x =-。