专题05：常用逻辑用语知识点和典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习

专题5：常用逻辑用语知识点和典型例题（解析版）一．知识点回顾：1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题.1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2＞2；③sin2 ＝1；④x 2－4x ＋4＝0.其中是命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】利用命题的定义判断即可【详解】解：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x ，不能判断真假． 故选：B ．2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是（ ） A ．红豆生常国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷？D ．此物最相思【答案】A【分析】根据命题的定义判断可得出结论.【详解】对于A 选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句是命题； 对于B 选项，“春来发几支”是疑问句，不是命题；对于C 选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题；对于D 选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.故选：A.2、四种命题及其相互关系四种命题的真假性之间的关系：⑴ 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；⑵两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．在命题“若4a π=，则tan 1α=”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A ．2B ．0C ．3D ．4 【答案】A【分析】根据原命题与其逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假可得答案.【详解】原命题：若4a π=，则tan 1α=，正确；所以其逆否命题也正确；逆命题：若tan 1α=，则4a π=，不正确，因为由tan 1α=也可能推出54πα=.故否命题也不正确. 故在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是2个.故选：A4．下列四个命题①若()f x 是余弦函数，则()f x 是周期函数；②若()f x 不是余弦函数，则()f x 不是周期函数；③若()f x 是周期函数，则()f x 是余弦函数：④若()f x 不是周期函数，则()f x 不是余弦函数．其中真命题是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③D ．③④【答案】A【分析】先利用三角函数的周期性，判断①②；再利用原命题与逆否命题具有相同的真假性判断即可.【详解】周期函数有正弦函数，余弦函数，正切函数等，所以①正确，②不正确；③为②的逆否命题，所以③不正确；④为①的逆否命题，所以④正确；故选：A.5．命题“若a ＞﹣3，则a ＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据四种命题的关系即可判断.【详解】在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假．∵命题“若3a >-，则6a >-”为真命题；∴命题的逆否命题为真命题，逆命题: “若6a >-，则3a >-”是假命题，∴命题的否命题为假命题，故选：B.6．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”及它的逆命题､否命题､逆否命题中，真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C【分析】利用原命题与其逆否命题同真同假可判断真命题的个数.【详解】当0m >时，140m ∆=+>，故方程20x x m +-=有实根，故原命题为真命题， 所以逆否命题也为真命题.逆命题为：若方程20x x m +-=有实根，则0m >. 取14m =-，则20x x m +-=有实根12-，当104m =-<，故逆命题为假命题， 所以否命题为假命题，故答案为：C.7．证明若222x y +=，则2x y +≤时，可以转化为证明（ ）A ．若2x y +≤，则222x y +=B ．若2x y +>，则222x y +≠C ．若222x y +≠，则2x y +>D ．若2x y +≤，则222x y +≤【答案】B【分析】根据原命题与逆否命题的真假性相同即可得正确答案.【详解】命题若222x y +=，则2x y +≤的逆否命题为若2x y +>，则222x y +≠，所以证明若222x y +=，则2x y +≤时，可以转化为证明若2x y +>，则222x y +≠， 故选：B8．命题“若x ＋2y ＝9，则x ＝3且y ＝3”及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】先求出其逆命题，再分别判断原命题与逆命题的真假，逆命题与否命题同真同假，原命题与逆否命题同真同假，即可得出结果.【详解】逆命题为“若x ＝3且y ＝3，则x ＋2y ＝9”，它为真命题，所以否命题也为真命题；原命题“若x ＋2y ＝9，则x ＝3且y ＝3”，其中x ＝1且y ＝4，也满足题意，故为假命题，所以它的逆否命题也为假命题，真命题的个数为2，故答案为：B.【点睛】本题考查四种命题之间的关系，属于基础题.3、复合命题⑴复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）.⑵复合命题的真假判断“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：全假为假；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：全真为真；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.9．对命题p ：A ∅=∅，命题q ：A A ⋃∅=，下列说法正确的是（ ） A ．p 且q 为真B ．p 或q 为假C ．非p 为真D ．非q 为真【答案】A【分析】先判断p ，q 的真假，再判断有逻辑连接词或且非的命题的真假.【详解】 p 真，q 真，p 且q 为真.故选A.【点睛】或：有真则真；且：有假则假；非：真假相反.10．有两个命题：命题p ：正方形的四个角相等，命题q ：正方形的四条边相等.则下列判断错误的是（ ）A ．新命题“p 且q ”是真命题B ．新命题“p 或q ”是真命题C ．新命题“非p ”是假命题D ．新命题“p 或q ”是假命题【答案】D【分析】先判断两命题的真假，再由且或非命题真假的定义，即可得出结果.【详解】因为命题p ：正方形的四个角相等；是真命题，所以非p 是假命题；命题q ：正方形的四条边相等；是真命题，所以非q 是假命题；所以“p 且q ”是真命题，“p 或q ”是真命题，即ABC 都正确，D 错.故选：D.11．已知命题“p q ∨”为真命题，“p ⌝”为真命题，则（ ）A ．p 为假命题，q 为真命题B ．p 为真命题，q 为真命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为假命题 【答案】A【分析】根据复合命题的真假表即可得出结果.【详解】若“p ⌝”为真命题，则p 为假命题，又“p q ∨”为真命题，则,p q 至少有一个是真命题，所以q 为真命题，即p 为假命题，q 为真命题.故选：A12．设命题p ：若21x =，则1x =；命题q ：若x y =，则sin sin x y =，判断命题“p ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】先判断命题p 与命题q 的真假，然后判断“p ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”的真假.【详解】命题p ：若21x =，则1x =±，故p 为假命题，p ⌝为真；命题q ：若x y =，则sin sin x y =成立，故q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ∨为真命题.故选：B.4、全称量词与存在量词⑴全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.⑵存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题p ：,()x p x ∀∈M ，它的否定p ⌝：00,().x p x ∃∈M ⌝全称命题的否定是特称命题．②特称命题p ：00,(),x p x ∃∈M ，它的否定p ⌝：,().x p x ∀∈M ⌝特称命题的否定是全称命题.13．已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ）A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【分析】 根据全称命题的否定直接写出答案.【详解】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．14．命题“3200010x R x x ∃∈-+>，”的否定是（ ）A ．3210x R x ∀∈-+≤，xB ．3210x R x x ∀∈-+>，C ．3200010x R x x ∃∈-+≤，D ．不存在3200010x R x x ∈-+≤， 【答案】A【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“3200010x R x x ∃∈-+>，”的否定是：3210x R x ∀∈-+≤，x ．故选：A ．15．下列命题是特称命题的是（ ）①有一个实数a ，a 不能取对数；②所有不等式的解集A ，都有A ⊆R ；③有些向量方向不定；④矩形都是平行四边形.A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】A【分析】找出命题中含有的量词，根据量词的特征即可判断.【详解】①中含有存在量词“有一个”；②中含有全称量词“所有”；③中含有存在量词“有些”；④中含有存在量词“都是”．故①③是特称命题.故选：A.16．命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【分析】利用全称命题的否定分析解答.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C5、充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知p q ⇒，那么就说：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； 若p q ⇔，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p 与结论q 之间的关系： Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件；②若p q ⇒，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件;③若p q ，但q p ⇒，则p 是q 必要而不充分条件;④若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；⑤若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ： A B ⊆,则p 是q 充分条件； ②若B A ⊆,则p 是q 必要条件；③若A B ，则p 是q 充分而不必要条件;④若B A ，则p 是q 必要而不充分条件;⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分也不必要条件.17．1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】改写为逆否命题，可得结论．【详解】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件，故选：B ．18．ABC 中，A ，B ，C 是ABC 的内角，则“3A π=”是“1cos 2A =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】根据充要条件的定义分析可得答案.【详解】若3A π=，则1cos 2A =成立，所以“3A π=”是“1cos 2A =”的充分条件，若1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以“3A π=”是“1cos 2A =”的必要条件， 所以“3A π=”是“1cos 2A =”的充分必要条件， 故选：C ．19．设,,αβγ为三个不同的平面，若αβ⊥，则“//γβ是“αγ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断，即可得正确答案.【详解】因为αβ⊥，//γβ，则αγ⊥，所以由αβ⊥，//γβ可以得出αγ⊥，若αβ⊥，αγ⊥，则γ与β可能相交或平行，所以αβ⊥，αγ⊥，得不出//γβ，所以若αβ⊥，则“//γβ是“αγ⊥”的充分不必要条件，故选：A20．若,a b ∈R ，使||||6a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．6a b +≥B ．6a ≥C ．6b <-D ．||3a ≥且3b ≥ 【答案】C【分析】利用不等式的性质以及充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【详解】A ，3+36≥，不满足6a b +> ；B ，660a b =≥=，，不满足6a b +> ；C ，由6b <-可得6a b +>，反之，6a b +>，得不到6b <-，如2,5a b ==-.D ，33≥，33≥，不满足6a b +>.故选：C21．伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：设p ⌝为不到长城，推出q ⌝非好汉，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：B ．22．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID -19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热､干咳､浑身乏力”的（ ）已知该患者不是无症状感染者．．．．．．．．．．．．．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热､干咳､浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件．故选：A ．。