2019年艺术生高考数学复习 导数部分(附九年高考精选试题)

2019年艺术生高考数学复习导数部分(附九年高考精选试题)艺考之路·文化课快速提分第3讲导数及其应用知识梳理：1.导数的几何意义导数f'(x)表示曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线斜率，即k=f'(x)。

2.导数的运算1) (x^α)'=αx^(α-1) (α为常数)；2) (ax)'=a (a>0且a≠1)；(e^x)'=e^x；3) (log_a x)'=1/(xlna) (a>0且a≠1)；(ln x)'=1/x；4) (sin x)'=cos x；(cos x)'=-sin x；5) [f(x)±g(x)]'=[f(x)]±[g(x)]；6) [f(x)·g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)；7) [g(x)^(-1)]'=-g'(x)/[g(x)^2] (g(x)≠0)。

3.用导数研究函数的单调性在某个区间(a,b)内，如果f'(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递减。

4.函数的极值与最值如果在函数y=f(x)的定义域I内存在x，使得在x附近的所有点x都有f(x)≤f(x)，则称函数y=f(x)在点x=x处取得极大值，记作f(x)=max；如果在x附近的所有点x都有f(x)≥f(x)，则称函数y=f(x)在点x=x处取得极小值，记作f(x)=XXX。

导数的几何意义及运算例1 求下列函数的导数。

1) f(x)=lnxsinx；(2) f(x)=xex；(3) f(x)=excosx-x；(4)f(x)=(1+x)/(2x)例2 曲线y=x^2+1/x 在点(1,2)处的切线方程为y=3x-1.练：1.(2018·天津卷)已知函数f(x)=exlnx，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(1)的值为e。

2.已知函数f(x)=f'(x)cosx+sinx，函数f(x)在x=π/2处的切线方程是y=-x+1.3.已知曲线y=x^4+ax^2+1在点(-1,a+2)处的切线斜率为8，则实数a=3.4.(2018·常州期末)已知函数f(x)=bx+lnx，其中b∈R。

若过原点且斜率为k的直线与曲线y=f(x)相切，则k-b的值为1/2.利用导数判断函数的单调性例3 已知函数f(x)=x^3-x^2-2x+5.1) 求f(x)的单调区间；2) 当x∈[-1,2]时，f(x)<XXX成立，求实数m的取值范围。

练：1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+x+1，f(x)的单调减区间为(-∞,1]。

2.(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x^3-3x^2+x+1，f(x)的单调减区间为(-∞,1]。

2.根据f'(x)的公式计算，得到f'(0) = 1.由此推出f(x) =cosx + sinx，并计算出f'(2) = -1，f(2) = 1.因此，切线的方程为y = -x + 3.3.根据题意，求出y'在x=-1处的值为8.代入y'的公式，得到-4-2a=8，解得a=-6.因此，f(x)的表达式为f(x) = bx + ln(x)，其中b为常数。

将f(x)表示为y=kx的形式，代入x=-1和x=1，得到k-b=-ln2和k+b=ln2.解得k=ln2/2和b=ln2/2.14.假设直线的方程为y=kx，切点为A(x,y)，则f'(x)=k+b/x。

令f'(x)=k，解得x=e。

代入y=kx的公式，得到k-b=e。

因此，k-b的值为e。

11.(1) 根据f'(x)的符号，得到f(x)的单调性。

f'(x)>0时，x∈(-∞,-3)∪(1,∞)；f'(x)7.因此，实数m的取值范围为{m|m>7}。

1.两点坐标分别为(-3,0)和(0,3)。

2.根据f'(x)的公式，解出f'(x)=0的根，得到x=3-2√3和x=3+2√3.根据f'(x)的符号，得到f(x)的单调性。

f'(x)>0时，x∈(-∞,3-2√3)∪(3+2√3,∞)；f'(x)<0时，x∈(3-2√3,3+2√3)。

因此，f(x)在(-∞,3-2√3)和(3+2√3,∞)上单调递增，在(3-2√3,3+2√3)上单调递减。

3.根据f(x)的单调性，得到f'(x)在区间(-1,1)上恒为负。

因此，f'(x)的导函数3x^2+2ax-3在x=-1处的值小于等于0，即-2a≤0；在x=1处的值小于等于0，即2a≤0.解得a=0.22.根据f'(x)的公式，得到f'(x) = (1-lnx)/x^2.当00；当x>e 时，f'(x)<0.令f'(x)=0，解得x=e。

因此，f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,∞)上单调递减。

另外，f(x)的定义域为(0,∞)。

x(0,10)(10,30)f'(x)+-f(x)↗极大值↘极小值所以当x=10时，V取得极大值，且极大值为，即纸盒的最大体积为cm³。

练1.52.2e²3.【解析】函数h(x)的定义域为(0,+∞)，h'(x)=2x+1-1/x=1(2x-1)/(x²-x)。

令h'(x)=0，得x=1/2（x=0或x=1舍去）。

当x变化时，h'(x)、h(x)的变化情况如下表：x(0,1/2)(1/2,+∞)h'(x)+-h(x)↗极小值↗所以当x=1/2时，函数h(x)取得极小值，且极小值为3/2，无极大值。

4.【解答】由g(-1)=0，知g(x)的图象过点(-1,0)。

设函数g(x)的图象与函数f(x)的图象切于点T(x,y)。

由f'(x)=ex，得切线的方程是y-ex=ex(x-x)，此直线过点(-1,0)，故0-e=ex(-1-x)，解得x=0，所以a=f'(0)=e=2..例5【解答】1)当a=90时，b=40，纸盒的底面矩形的长为90-2x，宽为40-2x，周长为260-8x，所以纸盒的侧面积S(x)=(260-8x)x=-8x²+260x，其中x∈(0,20)，故S(x)max=S(10)=225cm²。

2)纸盒的体积V=(a-2x)(b-2x)x，其中x∈(0,20)，a≥b>0，且ab=3600.因为(a-2x)(b-2x)=ab-2(a+b)x+4x²≤ab-4√abx+4x²=4(x-30)²，当且仅当a=b=60时取等号，所以V≤4(x-30)²，x∈(0,30)。

记f(x)=4(x³-60x²+900x)，x∈(0,30)，则f'(x)=12(x-10)(x-30)。

令f'(x)=0，得x=10，当x变化时，f'(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0,10)(10,30)f'(x)+-f(x)↗极大值↘极小值所以当x=10时，V取得极大值，且极大值为，即纸盒的最大体积为cm³。

1.因为 $x\in(1,3]$，所以 $g(x)\in[-7,-1)$，即 $a$ 的取值范围为 $\{a|-7\leq a<-1\}$。

2.【解析】$y'=e^x+xe^x=(x+1)e^x$，令 $y'>0$，得 $x>-1$，则当 $x>-1$ 时，$y$ 单调递增；当 $x<-1$ 时，$y$ 单调递减。

故当 $x=-1$ 时，$y_{\min}=-e$。

3.【解析】令 $f'(x)=x+2x-10=0$，则 $x=3$ 是它的一个根，所以 $a=12$。

4.【解析】构造函数 $g(x)=f(x)-(2x+4)$，则 $g(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0$。

又因为 $f'(x)>2$，所以 $g'(x)=f'(x)-2>0$，可知$g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数，所以 $f(x)>2x+4$ 可化为$g(x)>0$，即 $g(x)>g(-1)$，利用单调性可知 $x>-1$。

5.【解析】因为函数 $f(x)=\frac{2}{x^4}-2x^3+3m$，$x\in\mathbb{R}$，所以 $f'(x)=\frac{-8}{x^5}-6x^2$。

令$f'(x)=0$，得 $x=0$ 或 $x=3$，经检验知 $x=3$ 是函数的一个最小值点，所以函数 $f(x)$ 的最小值为 $f(3)=3m-2$，由题意知 $f(x)\geq -9$ 恒成立，所以 $3m-2\geq -9$，解得 $m\geq 2$，故实数 $m$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$。

6.【解析】由题意知切点坐标为 $(1,2)$，因为 $y'=-\frac{(x+1)^2}{x}$，所以切线 $l$ 的斜率 $k=-4$，故切线$l$ 的方程为 $y-2=-4(x-1)$，即直线 $l$ 的方程为 $m(x-3)+4y=0$，恒过定点 $(3,0)$，故当直线 $l$ 与两点 $(3,0)$，$(2,-1)$ 的连线垂直，即 $m=4$ 时，点 $(2,-1)$ 到直线 $l$ 的距离最大，且最大值为 $\sqrt{2}$。

7.【解答】(1) 因为 $a=b=1$，所以 $f(x)=x^2-x+\ln x$，从而 $f'(x)=2x-1+\frac{1}{x}$。

因为 $f(1)=0$，$f'(1)=2$，所以曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y-0=2(x-1)$，即 $2x-y-2=0$。

(2) 因为 $b=2a+1$，所以 $f(x)=ax^2-(2a+1)x+\ln x$，从而 $f'(x)=2ax-(2a+1)+\frac{1}{x}=\frac{2ax^2-(2a+1)x+1}{x^2}$。

当 $a\leq 0$ 时，若 $x\in(0,1)$，则$f'(x)>0$；若$x\in(1,+\infty)$，则$f'(x)0$ 得$0\frac{1}{2a}$，故 $f(x)$ 在区间 $(0,1)\cup(\frac{1}{2a},+\infty)$ 上单调递增，在区间$(1,\frac{1}{2a})$ 上单调递减。