2020-2021学年河南省信阳市高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)

2020-2021学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足z⋅(1+2i)=i，则复数z的共轭复数z−所对应的点位于复平面的()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知函数f(x)=sinx−cosx，则f′(x)=()A. cosx−sinxB. sinx−cosxC. cosx+sinxD. −cosx−sinx3.用反证法证明命题“自然数a，b，c中至少有一个偶数”，则证明的第一步，其正确的反设为()A. a，b，c都是奇数B. a，b，c都是偶数C. a，b，c至少有一个奇数D. a，b，c至多有一个偶数4.有一散点图如图所示，现拟合模型为直线l1，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，重新拟合模型为直线l2给出下列说法：①相关系数r变大；②相关指数R2变大；③残差平方和变小；④解释变量x与预报变量y的相关性变强．其中正确说法的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为()5.若(3√x−1√xA. −540B. −162C. 162D. 5406.函数f(x)=ln(2x−x2)+x的单调递减区间为()A. (√2,2)B. (1,+∞)C. (1,2)D. (0,√3)7.√7+3与√6+√10的大小关系是()A. √7+3<√6+√10B. √7+3>√6+√10C. √7+3=√6+√10D. 不确定8.在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省，假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间的函数为R(t)，若圆柱的体积以均匀速度c增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径()A. 成正比，比例系数为cB. 成正比，比例系数为c 2C. 成反比，比例系数为cD. 成反比，比例系数为c 29. 2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A =“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B =“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)=( )A. 29B. 13C. 49D. 5910. 已知f(x)=e x x−2t(lnx +x +2x)，x ∈(0,+∞)恰有一个极值点1，则t 的取值范围是( )A. (−∞,14]∪{e6}B. (−∞,16]C. [0,14]∪{e6}D. (−∞,14]11. 我们知道，在n 次独立重复试验(即伯努利试验)中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布B(n,p)，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然P(Y =k)=p(1−p)k−1，k =1，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得E(Y)=1p .由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A −都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z ，则P(Z =k)=p(1−p)k−1+(1−p)p k−1，k═2，3，…，那么E(Z)=( )A. 1p(1−p)−1B. 1p 2C. 1p(1−p)+1D. 1(1−p)212. 已知函数f(x)=lnx x,g(x)=xe −x ，若存在x 1∈(0,+∞)，x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)=k(k <0)成立，则(x2x 1)2e k的最大值为( )A. e 2B. eC. 4e 2D. 1e 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 经研究发现：任意一个三次多项式函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a ≠0)的图象都只有一个对称中心点(x 0,f(x 0))，其中x 0是f″(x)=0的根，f′(x)是f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数．若函数f(x)=x 3+ax 2+x +b 图象的对称中心点为(−1,2)，则a ，b 的值依次为______．14. 2021年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N(100,σ2)(试卷满分150分).统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为______．15.我们知道当a>b>c时，可以得到不等式1a−b +1b−c≥4a−c，当a>b>c>d时，可以得到不等式1a−b +1b−c+1c−d≥9a−d由此可以推广：当a1>a2>a3>⋯>a n时，其中n∈N∗，n≥3得到的不等式是______．16.已知f(x)=2f′(ln2)x+e x，则曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知i为虚数单位，关于x的方程x2−px+10=0(p∈R)的两根分别为x1，x2.若x1=3+i，求实数p的值．18.设f(n)=(a+b)n(n∈N∗,n≥2)，若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P．(1)求证：f(7)具有性质P；(2)若存在n≤2016，使f(n)具有性质P，求n的最大值．19.某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如表：月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4681012收益14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67他们分别用两种模型①y =bx +a ，②y =ae bx 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值；x −y −∑x i 6i=1y i∑x i 26i=17301464.24 364(Ⅰ)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (Ⅱ)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： (i)剔除异常数据后求出(Ⅰ)中所选模型的回归方程：(═)若广告投入量x =18时，(Ⅰ)中所选模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=i n i=1i −nx·y∑x 2n −nx2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且f(−x)=f(x)，当x ≥0时，f′(x)>3x ．(1)证明：当x ≥0时，函数g(x)=f(x)−32x 2是增函数；(2)解不等式f(x)−f(x−1)<3x−3．221.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：(Ⅰ)若测试的同学中，分数段[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成2×2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？(Ⅱ)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E(X)；(Ⅲ)某评估机构以指标M(M=E(X)，其中D(X)表示X的方差)来评估该校安全教育D(X)活动的成效，若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(Ⅱ)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？,其中n=a+b+c+d．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)是否合格性别不合格合格总计男生女生总计22.已知f(x)=13x3+32x2+2x，f′(x)是f(x)的导数．(1)求f(x)的极值；(2)令g(x)=f′(x)+ke x−1，若y=g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z⋅(1+2i)=i，∴z=i1+2i =i(1−2i)12+22=25+15i，∴ z−=25−15i，故z−所对应的点(25,15)位于第四象限，故选：D．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出共轭复数z−，确定其对应的点所在的象限．本题考查了复数代数形式的乘除运算及共轭复数，复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sinx−cosx，∴f′(x)=cosx+sinx，故选：C．直接计算f(x)的导数即可．本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，即a，b，c都是奇数，故选：A．根据题意，由反证法的步骤，分析命题的否定，即可得答案．本题考查反证法的应用，涉及命题的否定，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，y与x的相关性加强．并且是正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小，所以四个命题都正确，故选：D．利用散点图，真假判断相关性，相关指数，残差以及y与x的相关性，推出结果．本题考查命题的真假的判断与应用，散点图的应用，是基本知识的考查．5.【答案】A【解析】解：若(3√x−√x)n的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为C63(3√x)3⋅√x)3=−540，故选：A．据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6.【答案】A【解析】解：由2x−x2>0，解得：0<x<2，故函数f(x)的定义域是(0,2)，f′(x)=2−2x2x−x2+1=2−x2x(2−x)，令f′(x)<0，解得：√2<x<2，故f(x)在(√2,2)递减，故选：A．求出函数的定义域，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．7.【答案】B【解析】解：(√7+3)2=16+6√7=16+√252，(√6+√10)2=16+2√60=16+√240，∴(√7+3)2>(√6+√10)2，∴√7+3>√6+√10．故选：B．比较(√7+3)2和(√6+√10)2的大小关系即可得出√7+3与√6+√10的大小关系．本题考查了通过平方比较无理数大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由V=Sℎ=πR2ℎ，得V′=2πRℎ⋅R′(t)，∴2πℎR⋅R′(t)=c，∴R′(t)=c2πRℎ，∵圆柱侧面积S侧=2πRℎ，则其侧面积增长速度S侧′=2πℎR′(t)=2πℎ⋅c2πℎR=c R，∴圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径成反比，比例系数为c．故选：C．由V=Sℎ=πR2ℎ，得V′=2πRℎ⋅R′(t)，从而R′(t)=c2πRℎ，由圆柱侧面积S侧=2πRℎ，则其侧面积增长速度S侧′=2πℎR′(t)=2πℎ⋅c2πℎR=c R，由此能求出结果．本题考查圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径的关系的求法，考查函数性质、导数性质的求法，考查函数性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9.【答案】A【解析】解：事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，则P(AB)=A4444=332，P(B)=C41⋅3344=2764，P(A|B)=P(AB)P(B)=29，故选：A ．先求出“4个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入公式计算即可．本题考查条件概率的应用，以及有关的排列组合问题，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)， 对函数f(x)求导得： f′(x)=e x (x−1)x 2−2t(1x+1−2x 2)=(x−1)[e x −2t(x+2)]x 2，∵f(x)有一个极值点为1，∴e x −2t(x +2)=0 在(0,+∞)上无解， 即t =e x2(x+2)在(0,+∞)上无解， 令m(x)=e x2(x+2)(x >0)， 则m′(x)=e x (x+1)2(x+2)2>0，∴函数m(x)在(0,+∞)上单调递增， 当x ∈(0,+∞)时，g(x)>g(0)=14， ∴t ≤14， 故选：D ．由题意结合导数转化条件得t =e x2(x+2)在(0,+∞)上无解，令m(x)=e x2(x+2)(x >0)，求导后确定函数m(x)的值域，即可求解．本题主要考查了导数的综合应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：P(Z =k)=p(1−p)k−1+(1−p)p k−1，k═2，3，…，P(Y =k)=p(1−p)k−1，k =1，2，3，…，可得E(Y)=1p ．∴P(Y =k)=p(1−p)k−1，k =2，3，…，E(Y)=1p −p ．那么E(Z)=2p(1−p)+2(1−p)p +3p(1−p)2+3(1−p)p 2+⋯…+kp(1−p)k−1+k(1−p)p k−1+⋯=1p−p+2(1−p)p+3(1−p)p2+⋯…+k(1−p)p k−1+⋯．设A k=2p+3p2+⋯…+kp k−1．pA k=2p2+3p3+⋯…+(k−1)p k−1+kp k．∴(1−p)A k=2p+p2+p3+⋯…+p k−1−kp k=p+p(1−p k−1)1−p−kp k．∴k→+∞时，(1−p)A k→p+p1−p．∴E(Z)=1p −p+p+p1−p=1p(1−p)−1．故选：A．P(Z=k)=p(1−p)k−1+(1−p)p k−1，k═2，3，…，P(Y=k)=p(1−p)k−1，k=1，2，3，…，可得E(Y)=1p .于是P(Y=k)=p(1−p)k−1，k=2，3，…，E(Y)=1p−p.而E(Z)=2p(1−p)+2(1−p)p+3p(1−p)2+3(1−p)p2+⋯…+kp(1−p)k−1+k(1−p)p k−1+⋯.=1p−p+2(1−p)p+3(1−p)p2+⋯…+k(1−p)p k−1+⋯.设A k=2p+3p2+⋯…+kp k−1.利用错位相减法即可得出A k．本题考查概率的求法、超几何概率分布、互斥事件概率加法公式、等比数列的求和公式、极限运算性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−lnxx2，∴当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，注意f(1)=0，所以x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1,e)时，f(x)>0；x∈(e,+∞)时，f(x)>0，同时注意到g(x)=xe−x=xe x =lne xe x=f(e x)，所以若存在x l∈(0,+∞)，x2∈R，使得f(x1)=g(x2)=k(k<0)成立，则0<x1<1且f(x1)=g(x2)=f(e x2)，所以x1=e x2，即x2=lnx1，k=lnx1x1，x2x1=lnx1x1，故(x2x1)2e k=k2e k，令ℎ(k)=k2e k，k<0，则ℎ′(k)=2ke k+k2e k=ke k(2+k)，令ℎ′(k)<0，解得−2<k<0，令ℎ′(k)>0，解得k<−2，∴ℎ(k)在(−∞,−2)单调递增，在(−2,0)单调递减，∴ℎ(k)max=ℎ(−2)=4e2．故选：C．利用导数研究函数f(x)可得函数f(x)的单调性情况，且x∈(0,1)时，f(x)<0，x∈(1,+∞)时，f(x)>0，同时注意g(x)=xe−x=xe x =lne xe x=f(e x)，则x1=e x2，即x2=lnx1，k=lnx1x1，x2x1=lnx1x1，进而目标式转化为(x2x1)2e k=k2e k，构造函数ℎ(k)=k2e k，k<0，利用导数求其最大值即可．本题考查导数的综合运用，考查同构式的运用以及利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想及构造函数思想，考查推理能力，属于较难题目．13.【答案】3，1【解析】解：由题意得f(−1)=−1+a−1+b=2，∵f′(x)=3x2+2ax+1，∴f′′(x)=6x+2a，∴f′′(−1)=−6+2a=0，解得a=3，b=1，故答案为：3，1．求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可．本题考查利用导数求函数的极值，考查新定义问题以及化归与转化思想，是中档题．14.【答案】200【解析】解：因为数学考试成绩服从正态分布X～N(100,σ2)，又P(80≤X≤120)=34，所以P(X≥120)=1−P(80≤X≤120)2=18，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为18×1600=200．故答案为：200．利用正态分布的参数的含义和正态分布曲线的对称性，计算此次统考中成绩不低于120分的概率即可得到答案．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，属于基础题．15.【答案】1a1−a2+1a2−a3+...+1a n−1−a n≥(n−1)2a1−a n【解析】解：在第一个式子中，当a>b>c时，有不等式1a−b +1b−c≥4a−c=22a−c，当a>b>c>d时，有不等式1a−b +1b−c+1c−d≥9a−d=32a−d，由此可以推广：当a1>a2>a3>⋯>a n时，其中n∈N∗，n≥3得到的不等式是：1a1−a2+1a2−a3+...+1a n−1−a n≥(n−1)2a1−a n．故答案为：1a1−a2+1a2−a3+...+1a n−1−a n≥(n−1)2a1−a n．根据前两个式子特征，即可得到：1a1−a2+1a2−a3+...+1a n−1−a n≥(n−1)2a1−a n．本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律，从所给的特例中总结出规律来，属于中档题．16.【答案】3x+y−1=0【解析】解：由f(x)=2f′(ln2)x+e x，得f′(x)=2f′(ln2)+e x，取x=ln2，可得f′(ln2)=2f′(ln2)+e ln2，解得：f′(ln2)=−2，∴f(x)=−4x+e x，f′(x)=−4+e x，则f(0)=1，f′(0)=−3，∴曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−3x+1，即3x+y−1=0．故答案为：3x+y−1=0．求出原函数的导函数，可得2f′(ln2)，进一步求得f(x)与f′(x)，可得f(0)与f′(0)，再由直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．17.【答案】解：由关于x的方程x2−px+10=0的一个虚根为x1=3+i，得该方程的另一虚根为x2=3−i，利用实系数一元二次方程根与系数的关系，可得p =(3+i)+(3−i)=6．【解析】由实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系求解．本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理和实系数一元二次方程根与系数的关系，是基础题．18.【答案】(1)证明：f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为C 71=7、C 72=21、C 73=35，∵C 71+C 73=2C 72，即C 71、C 72、C 73成等差数列， ∴f(7)具有性质P ；(2)解：设f(n)具有性质P ，则存在k ∈N ∗，1≤k ≤n −1，使C n k−1、C n k 、C nk+1成等差数列，所以C n k−1+C n k+1=2C nk ， 整理得：4k 2−4nk +(n 2−n −2)=0，即(2k −n)2=n +2， 所以n +2为完全平方数，又n ≤2016，由于442<2016+2<452，所以n 的最大值为442−2=1934，此时k =989或945．【解析】(1)利用二项式定理计算可知f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；(2)通过假设C n k−1+C n k+1=2C nk ，化简、变形可知(2k −n)2=n +2，问题转化为求当n ≤2016时n 取何值时n +2为完全平方数，进而计算可得结论．本题考查二项式定理的应用，涉及等差数列等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由于模型①残差波动小，应该选择模型①；(Ⅱ)(i)剔除异常数据，即组号为3的数据， 剩下数据的平均数为x −=15(7×6−6)=7.2， y −=15(30×6−31.8)=29.64；∑x i 5i=1y i −5x −y −=1464.24−6×31.8−5×7.2×29.64=206.4，∑x i 25i=1−5x −2=364−62−5×7.22=68.8．∴b ̂=206.468.8=3，a ̂=y −−b ̂x −=29.64−3×7.2=8.04． ∴所选模型的回归方程为ŷ=3x +8.04； (═)若广告投入量x =18时，该模型收益的预报值是3×18+8.04=62.04万元．【解析】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题． (Ⅰ)根据残差图分析，得出模型①残差波动小，故选模型①；(Ⅱ)(i)剔除异常数据，计算剩下数据的平均数，求出回归系数，写出回归方程； (═)把x =18代入回归方程，即可求得该模型收益的预报值．20.【答案】解：(1)证明：∵g(x)=f(x)−32x 2，∴g′(x)=f′(x)−3x ，∵当x ≥0时，f′(x)>3x ，∴当x ≥0时，g′(x)=f′(x)−3x >0， ∴g(x)在[0,+∞)上递增； (2)∵f(−x)=f(x)，∴g(−x)=f(−x)−32(−x)2=f(x)−32x 2=g(x)， ∴g(x)是偶函数，又f(x)−f(x −1)<3x −32，∴f(x)−32x 2<f(x −1)−32(x −1)2，即g(x)<g(x −1)，∴g(|x|)<g(|x −1|)，即|x|<|x −1|，解得x <12， 故不等式f(x)−f(x −1)<3x −32的解集是(−∞,12).【解析】(1)求出函数的导数，判断导函数的符号，证明函数的单调性即可；(2)根据函数的单调性和奇偶性，可得g(|x|)<g(|x −1|)，然后求出不等式的解集即可． 本题考查了函数的单调性，奇偶性问题和导数的应用，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，得分在[20,40)的频率为0.005×20=0.1，故抽取的学生答卷总数为60.1=60，∴y =60×0.2=12，x =18． 性别与合格情况的2×2列联表为：∴K 2=60×(14×20−10×16)30×30×24×36=109<2.706即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关．……(4分)(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人数比例为24&：36=2：3，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X 可能的取值为20、15、10、5、0，P(X =20)=C 64C 104=114,P(X =15)=C 63C 41C 104=821,P(X =10)=C 62C 42C 104=37，P(X =5)=C 61C 43C 104=435,P(X =0)=C44C 104=1210.X 的分布列为： 所以Eξ=20×114+15×821+10×37+5×435+0×1210=12.…………………………(8分)(Ⅲ)由(Ⅱ)知：D(X)=(20−12)2×114+(15−12)2×821+(10−12)2×37+(5−12)2×435+(0−12)2×1210=16∴M =E(X)D(X)=1216=34>0.7．故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案．…………(12分)【解析】(Ⅰ)求出合格，不合格男生，女生对应的人数，填入2×2列联表，计算出对应的K 2=109<2.706，故在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关．(Ⅱ)根据总人数为60，及合格、不合格的频率，计算出合格，不合格学生数．在根据比例相等抽样，确定10人中，有4人不合格，6人合格．10人选4人，故X 取值分别为0，1，2，3，4.再根据超几何分布，求出对应概率，可得．(Ⅲ)分别代入期望和方差的公式，计算出对应的M 值，判断即可．本题考查了独立性检验，超几何分布，期望，方差等，频率分布直方图等知识，综合性较强，属于难题．22.【答案】解：(1)f′(x)=x 2+3x +2=(x +1)(x +2)，令f′(x)>0，解得：x <−2或x >−1， 令f′(x)<0，解得：−2<x <−1，故f(x)在(−∞,−2)递增，在(−2,−1)递减，在(−1,+∞)递增， 故f(x)的极大值是f(−2)=−23，f(x)的极小值是f(−1)=−56； (2)由(1)知g(x)=x 2+3x +1+ke x ，由题意知只需x 2+3x +1+ke x =0有3个不相同的解， 即k =−x 2+3x+1e x有3个不同的解， 设ℎ(x)=−x 2+3x+1e x，则ℎ′(x)=(x+2)(x−1)e x，令ℎ′(x)>0，解得：x >1或x <−2， 令ℎ′(x)<0，解得：−2<x <1故ℎ(x)在(−∞,−2)递增，在(−2,1)递减，在(1,+∞)递增， 又x →−∞时，ℎ(x)→−∞，当x →+∞，ℎ(x)→0且ℎ(x)<0， 又ℎ(−2)=e 2，ℎ(1)=−5e ， 画出函数ℎ(x)的简略图像，如图示：结合图像可知：−5e <k <0， 即k 的取值范围是(−5e ,0)．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可； (2)问题转化为−k =x 2+3x+1e x有3个不同的解，设ℎ(x)=x 2+3x+1e x，求出函数的导数，根据函数的单调性画出函数的图像，集合图像求出k 的取值范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。