韦达定理(常见经典题型)

一元二次方程知识网络结构图

1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平

方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02

≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：

①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方；

④化原方程为2()x m n +=的形式，

如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

①将方程的右边化为 ；

②将方程的左边化成两个 的乘积；

③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理

一元二次 方程

定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未

知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程

解法（降次） 直接开平方法

因式分解法

配方法

公式法22

240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩

＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根

应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨

⎩步骤

实际问题的答案

一、 一元二次方程的基本概念及解法

1、已知关于x 的方程x 2

＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a ≠0)，则a －b 的值

为

A ．－１

B ．0

C ．1

D ．2 2、

程时。

、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。

满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1

=+-++-x m x

m m

3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）

A ．－1

B ．2

C ．1和2

D ．－1和2

二 一元二次方程根的判别式

4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根

B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根

C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根

D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2

﹣2x+l ＝0有两个不相等的实

数根，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＜2 B 、a ＞2 C 、a ＜2且a ≠l D 、a ＜﹣2

6、已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？

三一元二次方程根与系数的关系

一）韦达定理

7、不解方程，判别方程两根的符号。

8、关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。

二）、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 9、已知方程的一个根为2，求另一个根及m 的值。

10已知方程04)2(22

2

=++-+m x m x 有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求m 的值。 三）、运用判别式及根与系数的关系解题。

11已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(442

2=+-+m x m x 的两个非零实数根，问1x 和2

x 能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，

四）、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 12已知、

是方程

的两个实数根，求ααβα22

++的值。

13、已知两方程和至少有一个相同的实数

根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

作业

一、填空题：

1、如果关于的方程

的两根之差为2，那么

。

2、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(2

2

=++--x a x a 两根互为倒数，则a_________。 3、已知关于x 的方程0)1(232

=-+-m mx x 的两根为1x ，2x 且4

31121-=+x x ，则m=__________。 4、已知

是方程04722

=--x x 的两个根，那么：=+2

21

2x x ______________；

5、已知关于x 的一元二次方程

的两根为1x ，2x ，且1x +2x =-2，则

21)(21x x x x -+____________；

6、如果关于的一元二次方程

的一个根是

，那么另一个根是_____，

的值为__________。 7、已知

是

的一根，则另一根为，的值为___________。