高二数学上期末考试模拟试题 (15)
高二数学上学期期末考试模拟试题
高二数学上学期期末考试模拟试题一、选择题：（每题5分，共60分） 1、若a<1,那么 （ D ）（A ）a1>1, (B)|a|<1, (C)a 2<1, (D)a 3<1 2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ B ） （A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 （ B ） A 、（x-3）(2-x)≥0 B 、0<x-2≤1 C 、32--x x≥0 D 、(x-3)(2-x)>0 4、直线3x+2y+6=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则 （ C ）(A)k=－23,b=3 (B)k=－32,b=-2 (C)k=－23,b=-3 (D) k=－32,b=-3 5、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么a 等于 （ B ） （A ）－3， （B ）－6， （C ）－23， （D ）32 6. 直线1y kx =+被圆22(1)2x y +-=所截得的弦AB 的长等于（ D ）A ．2B ．4C ．2 D ．227、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ B ）（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=0 8、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距是（ D ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）229 9、直线y=x –1上的点到圆x 2+y 2+4x –2y+4=0上的点的最近距离是 （ C ）（A ）22 （B ）2－１ （C ）22－１ （D ）110、椭圆252x +92y =1上一点p 到一个焦点的距离为5，则p到另一个焦点的距离为（ A ）（A ）5 （B ）6 （C ）4 （D ）1011、双曲线： 的准线方程是191622=-x y （ D ）（Ａ）y=±716 (B)x=±516 (C)X=±716(D)Y=±516 12、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ B ） （A ）（a 41，0） （B ）（0, a 161）(C)(0, -a 161) (D) (a161,0) 二、填空题：（每题4分，共16分）13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= -10 .14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 8 . 15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为（x-5）2+(y-3)2=42,16、已知双曲线162x -92y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 1352222=+y x三、解答题：（74分）17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）17、证明：(a ）422466()b a b a b +-+)()())(()()()()222224422224224426246>+-=--=---=-+-=b a b a b a b a b a b b a a b a b b a a于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即 18. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<． 18.解：0a =时，解得x ＞1；0a ≠时，1()(1)0a x x a--<，……………………4分若a ＞1，则解集为：1(,1)a，………………………………6分若1a =，则解集为：φ，………………………………8分若0＜a ＜1，则解集为：1(1,)a ，………………………………10分若a ＜0，则解集为：1(,)(1,)a-∞⋃+∞，………………………………12分 综上，略………………………………13分19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。
2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（）A ．18B ．14C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.2．下列式子错误的是（）A ．2577C =C B ．323544C =C +C C ．333553A =C A D ．4356A =4A 【正确答案】D【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，2577C =C ，323544C =C +C ，所以A 、B 正确；对于C ，因为m m n nm mA C A =得m m n n m m A C A =，所以333553A =C A ，所以C 正确.对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创=，4356A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.3．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交【正确答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4．已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【正确答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Txxx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 【正确答案】B【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以11A D CC ⊥，因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =，所以1A C =，在1Rt ACD中，1A C =，1A D =，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B故选：B.6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）A ．74B ．2C ．94D ．52【正确答案】C【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，∴焦点1(0,4F ，准线l 方程14y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，如图所示，∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94，故选：C.7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【正确答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有336A =种方法，再分配护士有422364233390C C C A A =，由分步计数原理可得：422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=，应选答案：D ．本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以33A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为A ．3B 1CD 【正确答案】D【分析】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=，解得ce a==故选：D ．二、多选题9．已知双曲线22:14x C y -=，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12y x =±D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线22:14x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=，则2,1,a b c ===所以双曲线C的离心率为c aA 正确；双曲线的焦点为()到渐近线12y x =±1=，故B 正确，C 正确；双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F的距离为22PF c a ≥++2，故D 不正确.故选：ABC.10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）A ．28y x=B ．218x y=C ．()221044x y m m m+=<<-D ．()221044y x m m m -=<<-【正确答案】BC分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以22p=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由218x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B正确；对于选项C ：2214x y m m+=-，因为04m <<，所以40m -<，所以原方程可化为2214y x m m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线()221044x y m m m+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：2214y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，原方程可化为：2214y x m m+=-，当4m m =-即2m =时，22122y x +=表示圆，没有焦点当4m m >-即m>2时，2214y x m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，()222424c a b m m m =-=--=-，焦点为(0,，不符合题意，当4m m <-即02m <<时，2214y x m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，()222442c a b m m m =-=--=-，焦点为()，不符合题意，故选项D 不正确；故选：BC.11．已知圆C 的方程为()()22114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；对于B 项：由圆C 的方程()()22114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为==C 正确；对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123F MF π∠=，则下列说法正确的是（）A ．21e e =B ．1234e e =C ．22122e e +=D ．221232e e -=【正确答案】AC设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则22221()()4m n m n mn a a +--==-，在12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2e 【详解】解：设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。
【必考题】高二数学上期末模拟试卷带答案
【必考题】高二数学上期末模拟试卷带答案一、选择题1．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．33B ．3 C ．13D ．232．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．254．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A ．45B ．47C ．48D ．636．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020217．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯8．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？9．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <10．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2912．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，91二、填空题13．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___ 16．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．17．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是____________.18．如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．12 B ．2 C ．1- D ．12- 19．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：1-，0，4，x ，y ，14，已知这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为__________．20．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．三、解答题21．已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现将口袋中的球随机逐个取出，并依次放入编号为1，2，3，4的抽屉内. （1）求编号为2的抽屉内放黑球的概率；（2）口袋中的球放入抽屉后，随机取出两个抽屉中的球，求取出的两个球是一黑一白的概率.22．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g1400g～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？23．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局.（1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.24．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x （万元）与销售收入y（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：广告投入x（万元）91081112销售收入y（万元）2123212025（1）求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y bx a=+$$$．（2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少.参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x∧==--=-∑∑，ˆˆ•a yb x=-25．如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出[50,60)，[90,100)的数据）和频率分布直方图.（1）求分数在[50,60)的频率及全班人数； （2）求频率分布直方图中的,x y ；（3）若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100)之间的概率.26．甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42. 从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D. 2．C解析：C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等． 【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.5．A解析：A 【解析】 【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为45． 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C【解析】 【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为170．则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k6<？故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．C解析：C【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;a=4a+1=5,k=k+1=3;a=4a+1=21,k=k+1=4;a=4a+1=85,k=k+1=5;a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.10．B解析：B【解析】∵数据x1，x2，x3，…，x n是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选B11．A解析：A【解析】【分析】首先求得x的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m的值即可．【详解】由题意可得：810111214115x++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y=⨯+=，故21252835275m++++=，26m∴=．故选：A．【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．12．B解析：B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.二、填空题13．【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发解析：2【解析】∵阴影部分面积为221141262222R R R ππ⎛⎫-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∴飞镖落在黑色部分的概率为22222R R ππ=-故答案为22π- 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．14．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63．故答案为63．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数然后比较大小即可【详解】故最大【点睛】本题考查了不同进制间的转化考查了学生的计算能力属于基础题解析：a【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数，然后比较大小即可。
2023-2024学年河南省平顶山市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省平顶山市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．直线50x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线50x +=可化为33y x =--，则斜率tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，1-，2-与数列2-，1-，0，1是相同的数列B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【正确答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当1n =时，120a =≠，故C 错误；对于选项D ，因为123a a ===4a =…，所以数列的一个通项公式为n a =D 正确.故选：D3．已知直线l 过点()3,4-且方向向量为()1,2-，则l 在x 轴上的截距为（）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【正确答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率2k =-，然后利用点斜式可求得直线方程，再令0y =，即可得到本题答案.【详解】因为直线l 的方向向量为()1,2-，所以直线斜率2k =-，又直线l 过点()3,4-，所以直线方程为42(3)y x -=-+，即220x y ++=，令0y =，得=1x -，所以l 在x 轴上的截距为-1.故选：A4．已知m ∈R ，“直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行”是“3m =±”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行则210=91m m m ≠--，所以29m =，解得3m =±，经检验，3m =±均符合题意，故选：C.5．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【正确答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.6．已知圆221:230C x y x ++-=关于y 轴对称的圆2C 与直线x m =相切，则m 的值为（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【正确答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆2C 的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆221:230C x y x ++-=，可得标准方程22(1)4x y ++=，圆心为(1,0)-，半径2r =，故关于y 轴对称的圆2C 的圆心为(1,0)，半径2r =，则其标准方程为22(1)4x y -+=，又因为圆2C 与直线x m =相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即12m -=，解得1m =-或3m =.故选：C7．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，则数列{}2n a n +的前5项和为（）A ．151-B ．91-C ．91D ．151【正确答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列{}n a 为等比数列，再使用分组求和法求解即可.【详解】∵数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，∴数列{}n a 是首项为1-，公比为3的等比数列，∴11133n n n a --=-⨯=-，∴数列{}2n a n +的前5项和为，()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+91=-.故选：B.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点()3,2-且与双曲线22132x y -=有相同焦点，则椭圆的离心率为（）A ．6B C D 【正确答案】C【分析】由题可得225a b -=，22941a b+=，联立方程可求得22,a b ，然后代入公式e =，即可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线22132x y -=有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为12(F F ，则2225c a b =-=①，又椭圆过点()3,2P -，所以22941a b +=②，结合①，②得，2215,10a b ==，所以3e =，故选：C9．已知圆221:2220C x y x y +-+-=与圆222:20(0)C x y mx m +-=>的公共弦长为2，则m 的值为（）A ．62B ．32C D ．3【正确答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立222220x y x y +-+-=和2220x y mx +-=,得(1)10m x y -+-=，由题得两圆公共弦长2l =，圆221:2220C x y x y +-+-=的圆心为(1,1)-，半径r 2，圆心(1,1)-到直线(1)10m x y -+-===，平方后整理得,2230m -=，所以2=m 或m =（舍去）；故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，设其前n 项和为n S ，若2021S m =，则2023a =（）A ．1m -B ．mC ．1m +D ．2m【正确答案】C【分析】由斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，归纳可得21m m a S +=+，令2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++，……21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ ，则2023202111a S m =+=+.故选：C11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，M ，N 分别是11B C ，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）A ．304B 2305C ．302D ．3305【正确答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标，根据两点距离公式表示MP ，利用二次函数求值域，即可得到本题答案.【详解】以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，所以(1,2,3)M ，∵点P 在xOy 平面上，∴设点P 的坐标为()[],,0,0,1x y y ∈，∵P 在DN 上运动，∴2AD x y AN==，∴2x y =，∴点P 的坐标为(2,,0)y y ，∴()()()22222454122305814555MP y y y y y ⎛⎫=-+-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭∵[]0,1y ∈，∴当45y =时，MP 3305故选：D12．已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>l 与C 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为()1,2N ，则直线l 的斜率为（）A ．1-B ．1C D ．2【正确答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l 的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为2221(0)y x b b-=>，所以它的一个焦点为(,0)c ，一条渐近线方程为0bx y -=，所以焦点到渐近线的距离d =，化简得2222(1)b c b =+，解得22b =，所以双曲线的标准方程为2212y x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以221112y x -=①，222212y x -=②，①-②得，222212121())02x x y y ---=，化简得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=③，因为线段AB 的中点为()1,2N ，所以12122,4x x y y +=+=，代入③，整理得1212x x y y -=-，显然1212,x x y y ≠≠，所以直线l 的斜率12121y y k x x -==-.故选：B 二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________.【正确答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量AB 与AC 共线，即ABk AC = ，(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，124348x y -+==-，解得12x =-，4y =-，∴2xy =．空间三点共线．14．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线2x =与抛物线交于点M ，且2MF =，则p =_______.【正确答案】2【分析】先求点M 的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得p 的值.【详解】把2x =代入抛物线标准方程22(0)x py p =>，得2(2,)M p，根据抛物线的定义有，222p MF MH p==+=，化简得，244p p +=，解得2p =.故215．已知点(1,1)--P ，点M 为圆22:1C x y +=上的任意一点，点N 在直线OP 上，其中O 为坐标原点，若|||MP MN =恒成立，则点N 的坐标为______.【正确答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设N 和M的坐标，由|||MP MN =，列等式，利用点M 在圆上，点N 在直线OP 上，化简得恒成立的条件，求得点N 的坐标.【详解】易知直线OP 的方程为0x y -=，由题意可设00(,)N x x ，设(,)M x y ''，则可得221x y ''+=，由||||MP MN =，可得22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++，则2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦，化简得200(24)()41x x y x ''++=-，即[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=，若|||MP MN =恒成立，则0120x +=，解得012x =-，故11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与抛物线28y x =的焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若122PF PF -=，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为_______.【正确答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出12PF PF ⋅的值，然后代入三角形的面积公式1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠ ，即可得到本题答案.【详解】由双曲线右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合，可得2(2,0)F ，所以124F F =，设1122,PF r PF r ==，则122r r -=，因为22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，所以22121212162r r r r +-⨯=，则21212()16r r r r -+=，解得1212r r =，所以，12121sin 602F PF S r r =︒=.故三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，且点111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)121n a n =-(2)21n n +【分析】（1）先求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中数列{}n a 的通项公式，可写出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消的方法即可求得前n 项和n T .【详解】（1）由题意得1112n na a +=+，即1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为2的等差数列，故1112(1)21n n n a a =+-=-，即121n a n =-.（2）由（1）知11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- -+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.18．已知ABC 的顶点坐标分别是()3,0A ，()1,2B ，()1,0C -.(1)求ABC 外接圆的方程；(2)若直线l ：3480x y +-=与ABC 的外接圆相交于M ，N 两点，求MCN ∠.【正确答案】(1)22(1)4x y -+=(2)60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点,,A B C ，求出方程组的解，即可得到本题答案；（2）先求出圆心到直线MN 的距离，即可得到30PMN ∠=︒，然后求出MPN ∠，即可得到本题答案.【详解】（1）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->，代入点(3,0),(1,2),(1,0)A B C -得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩，解得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆的一般方程为：22230x y x +--=，标准方程为.22(1)4x y -+=（2）圆心(1,0)P 到直线:3480l x y +-=的距离1d ==，又因为2PM =，在等腰PMN 中，30PMN ∠=︒，所以圆心角260120MPN ∠=⨯︒=︒，则60MCN ∠=︒.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)1010【分析】（1）先证AC CD ⊥，PA CD ⊥，由此即可证得CD ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，求出(0,2,1)PD =- ,平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- ，然后利用公式sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ ，即可求得本题答案.【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形.所以1CF AF DF ===，222CD CF DF =+又222AC AB BC =+=因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD = ，(0,2,1)PD =- ，111(,,)222AE = .设平面AED 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- .设PD 与平面AED 所成角为θ，则110sin cos ,1025n PD n PD n PDθ⋅-===⨯⋅ .20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过C 上一点P 向抛物线的准线作垂线，垂足为Q ，PQF △是面积为43.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()1,0M -作直线l 交C 于A ，B 两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为1k ，2k ，证明.120k k +=【正确答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边QF 的长，再求出Rt FQN 中FN 的长，即可求出p 的值，从而求出抛物线的标准方程；（2）设过M 的直线方程，与抛物线方程联立，借助A ，B 坐标表示12k k +，化简证明即可.【详解】（1）如图所示，PQF △的面积21sin 602PQF S PQ PF =︒== ∴4PF PQ QF ===，设准线与x 轴交于点N ，则在Rt FQN 中，906030FQN ∠=︒-︒=︒，∴122p FN QF ===，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意知，过点()1,0M -的直线l 的斜率存在且不为0，∴设直线l 的方程为l ：()1y k x =+（0k ≠），直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，得2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得，()2222240k x k x k +-+=，当()2242440k k ∆=-->，即()()1,00,1k ∈-⋃时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k=-+-，121=x x ，由第（1）问知，()1,0F ，∴直线FA 的斜率1111y k x =-，直线FB 的斜率2221y k x =-，∴()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+.∴原命题得证.21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且12314++=a a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2n n b n a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的n *∈N ，不等式()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)2nn a =(2)3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，公比2q =，代入到12314++=a a a ，算出1a ，即可得到本题答案；（2）根据错位相减的方法求得n T ，然后将不等式()2224844n n T n n λ++-≥-，逐步等价转化为2112n n λ-≥，再利用单调性求出2112n nn c -=的最大值，即可得到本题答案.【详解】（1）因为12n n a a +=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，所以1231112414a a a a a a ++=++=，故12a =，故2n n a =.（2）1222n n n b n n +=⋅=⋅，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= ，两式相减得，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，因此2(1)24n n T n +=-⋅+.由()2224844n n T n n λ++-≥-，可得222844n n n n λ+⋅≥-，所以2112nn λ-≥，该式对任意的n *∈N 恒成立，则max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令2112n n n c -=，则()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=，当6n ≤时，10n n c c +->，即数列{}n c 递增，当7n ≥时，10n n c c +-<，即数列{}n c 递减，所以当7n =时，()max 3128n c =，所以实数λ的取值范围是3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点()1,1Q -的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且,AB CD 共线，求直线AB 的斜率.【正确答案】(1)22193x y +=(2)13【分析】（1）由短轴长可求出23b =可求出29a =，由此即可求得本题答案；（2）设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为,AB CD 共线，可设,AQ QC BQ QD λλ== ，可得13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，24241(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案.【详解】（1）因为短轴长为b =23b =，因为离心率e 2222213c b a a =-=，所以2213b a =，可得29a =，所以椭圆M 的方程为22193x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .设AQ QC λ= ，则13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩，即13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，得()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=，即()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭①同理可得()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭②由②-①，得11229393x y x y -=-，所以()12123y y x x -=-，所以直线AB 的斜率121213y y k x x -==-.思路点睛：把,AB CD 共线这个条件，转化为,AQ QC BQ QD λλ== ，是解决此题的关键.。
2023-2024学年辽宁省辽南部分区域高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省辽南部分区域高二上册期末考试数学模拟试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（）A.16B.32C.1D.32-【正确答案】A【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以216n =，解得4n =，所以，令1x =得展开式中各项系数的和为()4216-=．故选：A2.设随机变量X 服从正态分布()1,2N ，若()()P x a P x b <=>，则实数a b +=（）A.3B.4C.1D.2【正确答案】D【详解】因为随机变量X 服从正态分布()1,2N ，且()()P x a P x b <=>，所以由正态分布的对称性可知，12a b+=，2a b +=.故选：D.3.随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2P X ≤=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【正确答案】C【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=．故选：C ．4.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a 1､第3行的第3个数字为a 2，……，第n (2n )行的第3个数字为1n a -，则12310a a a a ++++= （）A.220B.186C.120D.96【正确答案】A【详解】解：22223222123102341133411C C C C C C C C a a a a ++++=++++=++++ 32232244115511C C C C C C =+++=+++= 312121110C 220321⨯⨯===⨯⨯.故选:A.5.已知过点()2,2P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=平行，则=a （）A.2B.1C.12-D.12【正确答案】C【详解】因为切线与直线10ax y -+=平行，所以切线方程可设为0ax y m -+=因为切线过点P (2，2)，所以22022a m m a -+=∴=-因为与圆()2215x y -+=2144102a a a =++=∴=-故选：C6.某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A.18种B.36种C.54种D.60种【正确答案】C【详解】若只有甲乙其中一人参加,有123233C C A 36⋅=种情况；若甲乙两人都参加,有213233C C A 18⋅=种情况，则不同的发言顺序种数36+18=54种，故选：C .7.设A ，B 为两个事件，已知()0.4P B =，()0.5P A =，()|0.3P B A =，则()|P A B =（）A.0.24B.0.375C.0.4D.0.5【正确答案】B【详解】由()0.5P A =，()|0.3P B A =，得()()()|0.15P AB P B A P A =⋅=，所以()()()0.15|0.3750.4P AB P A B P B ===.故选：B8.某企业为了研究某种产品的销售价格x （元）与销售量y （千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：x161284y24a3864其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为： 3.171y x =-+，则缺失的数据a 是（）A.33B.35C.34D.34.8【正确答案】C【详解】因为点(,)x y 一定在回归方程上，所以将161284104x +++==，24386412644a ay ++++==代入 3.171y x =-+解得34a =.故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）9.已知样本数据1221,21,,21n x x x ++⋅⋅⋅+的平均数是2，方差为16，则样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的（）A.平均数是0.5B.平均数是1C.方差是4D.方差是5【正确答案】AC【详解】由题意知：()212E X +=，()2116D X +=，()()21212E X E X +=+= ，()0.5E X ∴=，即12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为0.5；()()21416D X D X +== ，()4D X ∴=，即12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差为4.故选：AC.10.在一次对高三年级学生两次模拟考试数学成绩的统计调查中发现，两次成绩均得优的学生占5%，仅第一次得优的占7.9%，仅第二次得优的占8.9%，则（）A.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为0.388B.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为0.139C.某同学两次均未得优的概率为0.782D.某同学两次均未得优的概率为0.95【正确答案】AC【详解】设A 表示“第一次数学成绩得优”，B 表示“第二次数学成绩得优”，则()0.05P AB =，()0.079P AB =，()0.089P AB =，所以()()()0.050.0790.129P A P AB P AB =+=+=，()()()0.050.0890.139P B P AB P AB =+=+=，()()()0.050.3880.129P AB P B A P A ==≈，A 对B 错，()()()()10.782P AB P AB P AB P AB =---=，C 对D 错.故选：AC.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为1的直线l 交抛物线于A 、B 两点，则（）A.抛物线C 的准线方程为1x =B.线段AB 的中点在直线2y =上C.若8AB =，则OAB的面积为D.以线段AF 为直径的圆一定与y 轴相切【正确答案】BCD【详解】对于A 选项，抛物线C 的准线方程为=1x -，A 错；对于B 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设线段AB 的中点为()0,Mx y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()1212124y y y y x x -+=-，可得12121241y y y y x x -==+-，所以，124y y +=，故12022y y y +==，B 对；对于C 选项，设直线AB 的方程为y x b =+，联立24y x b y x =+⎧⎨=⎩，可得()22240x b x b +-+=，()224240b b ∆=-->，解得1b <，由韦达定理可得1242x x b +=-，212x x b =，8AB ===，解得1b =-，点O 到直线l的距离为22d ==，故118222AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△C 对；对于D 选项，设线段AF的中点为()33,N x y ，则1312x x +=，由抛物线的定义可得111122x AF x +=+=⨯，即AF 等于点N 到y 轴距离的两倍，所以，以线段AF 为直径的圆一定与y 轴相切，D 对.故选：BCD12.一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（）A.若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为1325B.若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为815C.若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为81625D.若从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为15【正确答案】ABD【详解】从盒中随机有放回任取2个球,则取到白球、红球的概率分别为2355，，取到的球颜色相同的概率为223313+=555525⨯⨯，所以A 正确；从盒中随机不放回任取2个球，则有210C =45种取法，取到的球颜色不同有1164C C =24种，所以，颜色不相同的概率为248=4515，所以B 正确；从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为：2355，，所以其中有白球的概率为4381544115625625⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以C 不正确；从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件E ，另一个也是白球为事件F ，则()()()24211446C 61==C +C C 305P EF P F E P E ==，所以D 正确.故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.63(13)(1)x x +-的展开式中x 2的系数为_______．【正确答案】84【详解】（1+3x ）6（1﹣x ）3＝[1+16C ⋅3x +26C （3x ）2+⋯+66C （3x ）6]（1﹣3x +3x 2﹣x 3），故它的展开式中x 2的系数为1×3+6×3×（﹣3）+26C ×9＝84，故84．14.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【正确答案】56【详解】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==故5615.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B ．若22AF BF ⊥，且1213BF AF =，则该双曲线的离心率为___________．【正确答案】5【详解】因为1213BF AF =，设1BF t =，则23AF t =，（0t >）由双曲线的定义可得：2122BF BF a t a =+=+，12232AF AF a t a =+=+，则113222AB AF BF t a t t a =-=+-=+，因为22AF BF ⊥，所以22222AF BF AB +=，即()()2229222t t a t a ++=+，整理可得2320t at -=，解得：23t a =，所以22AF a =，283a BF =，103a AB =，14AF a =，在2R t A B F 中，223cos 1053AF a A a AB===，在12AF F △中，由余弦定理可得：2212121222cos F F AF AF AF AF A=+-⨯⋅即2222352416424255c a a a a a =+-⨯⨯⨯=所以22252113545c e a ==⨯=，所以5e =，故516.游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿域的次数为X ，若开始时指针停在红域，则()E X =______.【正确答案】2716【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X 的分布列如下：X0123P16421643964364故()1213932701236464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.故2716四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知点M 在圆224x y +=上运动，()4,0N ，点P 为线段MN 的中点．（1）求点P 的轨迹方程;（2）求点P 到直线34260x y +-=的距离的最大值和最小值．【正确答案】（1）()2221x y -+=.（2）最大值为5，最小值为3.【小问1详解】解：设点(,)P x y ，()0,Mx y ，因为点P 是MN 的中点，所以004,22x yx y +==，则024x x =-，02y y =，即()24,2M x y -，因为点M 在圆224x y +=上运动，则有22(2)1x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(2)1x y -+=；【小问2详解】解：由（1）知点P 的轨迹是以(2,0)Q 为圆心，以1为半径的圆，点Q 到直线34260x y +-=的距离4d =，故点P 到直线34260x y +-=的距离的最大值为415+=，最小值为413-=．18.高三（1）班班主任李老师为了了解本班学生喜爱中国古典文学是否与性别有关，对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢中国古典文学不喜欢中国古典文学合计女生5男生10合计50已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关？请说明理由；参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．()2P K k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【正确答案】（1）列联表见解析；（2）有99.5%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关，理由见解析.【详解】（1）依题意从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为3 5，所以中国古典文学的学生有350305⨯=人，不喜欢中国古典文学有20人，由此填写22⨯列联表如图所示：喜欢中国古典文学不喜欢中国古典文学合计女生20525男生101525合计302050（2）()2250201510550250250257.87930202525302025253K⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关.19.在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，⊥AE平面ABCD，//DF AE ，且112DF AE ==，N 为BE 的中点,M 为CD 中点，（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）求二面角N MF D --的余弦值；（3）求点A 到平面MNF 的距离.【正确答案】（1）证明见解析（2）13-（3）43【小问1详解】因为⊥AE 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，因为AB AD ⊥，所以,,AE AB AD 两两垂直，所以以A 为原点，,,AB AD AE 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为平面ABCD 是边长为2的正方形，//DF AE ，且112DF AE ==，N 为BE 的中点，所以()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()1,0,1N ，()1,2,0M ，()0,2,1F ，所以()1,2,0NF =- ，因为平面ABCD 的法向量可以为()0,0,1n = ，所以0NF n ⋅=，即NF n ⊥，又NF ⊄平面ABCD ，所以//NF 平面ABCD ；【小问2详解】因为()1,2,0NF =- ，()1,0,1MF =-，设平面MNF 的法向量为(),,m x y z = ，则20m NF x y m MF x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则2x z ==，所以()2,1,2m = ，因为⊥AE 平面ABCD ，//DF AE ，所以DF⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以DF AD ⊥，因为,AD DC DC DF D DC DF ⊥=⊂ ，，平面MFD ，所以AD ⊥平面MFD ，所以平面MFD 的法向量可以为()0,1,0u =，设二面角N MF D --为θ，由图可知二面角N MF D --为钝角，则1cos 3m u m uθ⋅=-=-⋅ ，所以二面角N MF D --的余弦值为13-；【小问3详解】由（2）知平面MNF 的法向量为()2,1,2m = ，又()1,2,0MA =--，设点A 到平面MNF 的距离为d ，则43m MA d m⋅== ，所以点A 到平面MNF 的距离43；20.中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费x （亿元）和沙漠治理面积y （万亩）的相关数据如下表所示：年份2017201820192020x2345y24374752（1）通过散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（2）求y 关于x 的回归方程；（3）若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．47.8≈．参考公式：相关系数()()ni i x xy yr --=∑()()()121ˆni ii n ii x x yybx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【正确答案】（1）答案见解析；（2）ˆ9.47.1y x =+；（3）到2023年沙漠治理面积可突破80万亩.【详解】解：（1）因为2345 3.54x +++==，24374752404y +++==，所以()()()4222221163712458i i y y=-=-+-++=∑，()()()4222221 1.50.50.5 1.55i i x x=-=-+-++=∑，()()()()()()411.5160.530.57 1.51247iii x x y y =--=--+--+⨯+⨯=∑，所以0.983r ==≈．因为y 与x 的相关系数非常接近1，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）()()()414214ˆ479.5iii ii x bx y y x x ==--===-∑∑，所以y 关于x 的回归方程为ˆ9.47.1yx =+．（3）当7x =时，ˆ9.477.172.980y=⨯+=<，当8x =时，ˆ9.487.182.380y=⨯+=>，所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．21.一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H 病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为1123，.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”.（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望.【正确答案】（1）49；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）依据题设条件运用分类计数原理求解；（2）求出随机变量的分布列，再运用随机变量的数学期望公式求解：试题解析：解：（1）设i A 表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i 人”，0,1,2i =；B 表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有i 人”，0,1,2i =.依题意有()11112222P A =⨯⨯=，()2111224P A =⨯=，()0224339P B =⨯=，()11242339P B =⨯⨯=，所求的概率为()01P P B A =+()()021249P B A P B A +=.（2）η的可能值为0,1,2,3，其分布列为∵43,9B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，∴数学期望43η=.22.已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的右焦点F 作不与两坐标轴重合的直线l ，与E 交于不同的两点Ｍ，N ，线段MN 的中垂线与y 轴相交于点T ，求||||MN OT （O 为原点）的最小值，并求此时直线l 的方程.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）24，10x y --=或10x y +-=.【小问1详解】椭圆E ：22221x y a b +=的离心率e ，则222214a b e a -==，即2234b a =，又229141a b +=，解得2,a b ==，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由（1）知，(1,0)F ，设直线l 的方程为1,0x ty t =+≠，1122(,),(,)M x y N x y ，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：22(34)690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，12||||MN y y =-==2212(1)34t t +=+，线段MN 的中点2243(,)3434t t t -++，则线段MN 的中垂线方程为：2234(3434t y t x t t +=--++，令0x =，得234t y t =+，即点2(0,)34tT t +，2||12(1)112(||)24||||||MN t t OT t t +==+≥，当且仅当1||||t t =，即1t =±时取“=”，所以当1t =±时，||||MN OT 取得最小值24，此时直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=.。
高二数学上学期期末考试模拟试卷附有参考答案1
高二数学上学期期末考试模拟试卷(必修3+选修2-3)一、选择题（共10题，共30分）1、下列说法中正确的是 （ ▲ ）A ．高中生的身高H 是离散型随机变量B ．任何正态分布曲线与X 轴之间的面积是1C ．抛一枚骰子得到1点或得到6点是两个相互独立的事件D ．公式np μ=可用来计算离散型随机变量的均值2、“吸烟有害健康”，那么吸烟与健康之间存在什么关系 （ ▲ ）A. 正相关B. 负相关C. 无相关D. 不确定 3、从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，其中互斥而不对立的两个事件是（▲） A ．“至少有1个白球”与“都是白球” B ．“恰有1个白球”与“恰有2个红球” C ．“至少有1个白球”与“都是红球” D ．“至多有1个白球”与“至少有1个红球”4、在区间(0，1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若1130,244A x x B x x ⎧⎫⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则()|P B A =（ ▲ ）A ．12B ．14C ．13D ．345、袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是……（▲）A ．115328C C CB ．1120535328C C C C C +C ．115728C C CD ．5787⨯⨯ 6、某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病的是否有关，随机调查了一些中年人情况，具体数据如下表：根据表中数据得到45532075025)300545020(7752⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ≈15.968因为K 2≥10.828,则断定秃发与心脏病有关系,种判断出错的 可能性为( ▲ )(A)0.1 (B)0.05 (C)0.01 (D)0.0017、观察下面程序，循环变量i 共循环了 （ ▲ ）A ． 11次B ． 10次C ． 9次D ．8次 8、4×5×6×……×(n －1)×n = ( ▲ )(A)4n C (B)n !－3！ (C)3-n n A (D)3-n n C9、有10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15 ,17 ,14 , 10 , 15 ,17 ,17 , 16,14 , 12．设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有（ ▲ ） A ．c b a >> B 。
高二上期期末检测数学模拟试题(解析版)
高二上期期末检测模拟试题数学 试题第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1、若直线3y=−的倾斜角为α,则α= ( )A. 0oB. 60oC. 90oD. o 180【答案】B2、已知(2,1,3)AB =− ，(1,4,2)AC =−−，(5,6,)AD λ=− ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则实数λ=( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+ 成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=−−=−+ =− 解得2,1,8,x y λ= =− = 故选D. 3、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S S =，且348a a +=，则5a 的值为( ) A.3 B.5 C.7 D.10【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、斜率为l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y −+=相切，则p =（ ） A ．12 B ．8 C ．10 D ．6【答案】A5、在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则44q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、方程||1x −=( )A.一个圆B. 两个圆C.一个半圆D.两个半圆答案：D7、设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*N n ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为( ) A.22 B.21 C.20 D.19【答案】C9、下列四个选项中，正确的是( ) A.数列的图象是一群孤立的点【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误； ，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； ()1n n n n +∈+N10、下列说法正确的是( )A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C.经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +−=D.直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =− + =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD.11、已知点P在双曲线2:116x C −=上，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 到x 轴的距离为203B ．1250|3|||PF PF += C ．12PF F 为钝角三角形 D ．12F PF ∠等于π3【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =，由双曲线定义可知1213372833PF PF a ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=， 且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确；因为122920tan tan 22PF F b S θθ=== ，所以9πtan tan 2206θ=<=， 即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、设O 为坐标原点,F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,过焦点F 且倾斜角为 θ的直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点(点M 在第二象限),当30θ=2,则下列说法正确的是( ) A.3p =B.MON △C.存在直线l ,使得90OMF ONF ∠∠>°＋D.分别过点M ,N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−,121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 【答案】为解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1； 圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在 C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1−−,那么直线1PA 斜率的取值范围是__________。
2024届安徽省怀宁中学高二上数学期末统考模拟试题含解析
20．（12 分）已知椭圆 C： x2 a2
y2 b2
1a
b 0
短轴长为 2，且点 M
2, 2
3 2
在
C
上
的 （1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 F1 、 F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交椭圆 C 与 A、B 两点，若 ABF1 的面积是 6 ，求直线 l 的方 2
__________
14．如图，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，则折纸后异面直线 AB ， CD 所成的角为___________.
15．已知数列{an}满足 an+2=an+1－an（n∈N*），且 a1= 2，a2= 3，则 a2022 的值为_________.
16．设正方形 ABCD 的边长是 2 ，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点 A 的距离大于 2 的概率是_____
当在 ABC 中， sin A sin B 2Rsin A 2Rsin B a b ， 反之 a b 2Rsin A 2Rsin B sin A sin B ，故为充要条件，故 C 错； 当 a 3时， loga 3 loga a ， loga 3 1 ， loga 9 2 ， 充分条件，
则 A(0,0,0), D(0, 4,0),C(4, 4,0), P(0,0,6) ， E(0, 2,3) ， CE (4, 2,3) ， AD (0, 4,0)
设直线 EC 与平面 PAB 所成角为 ，又由题可知 AD 为平面 PAB 的一个法向量， 则 sin cos CE, AD CE AD 2 4 2 29
3． (x 1)10 的二项展开式中，二项式系数最大的项是.5 D.5 和 7
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在矩形区域 B={(x,y)| |x|<11 且|y|<9}内的椭圆个数为
15.已知点A在圆C： x 2 ( y 2) 2 1 上运动，点B在以 F ( 3 ,0) 为右焦点的椭圆
3
x 2 ky 2 k 上运动，求|AB|的最大值
。
16.（2005 江西卷理第 16 题，文第 16 题） 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
三、17.
解：（I）设△AOB
的重心为
G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则
x
x1
x2 3
y
y1 y2 3
…（1）
∵OA⊥OB ∴ k OA k OB 1 ,即 x1 x 2 y1 y 2 1 ，……(2)
又点 A，B 在抛物线上，有 y1
x12 , y 2
x
2 2
，代入（2）化简得
②当 k =0 时，MN 为椭圆长轴，|MN|=2 2 ，|PQ|= 2 。∴S= 1 |PQ||MN|=2 2
综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2，最小值为 16 。 9
4 (1 k 2 )(1 1 )
4(2 k 2
1 )
1 S | PQ || M N |
k2
k2
2
(2 k 2 )(2 1 ) 5 2k 2 2
将此式代入椭圆方程得(2+ k 2 ) x 2 +2 k x －1=0
设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 ， y1 )，( x2 ， y2 )，则
k 2k 2 2
k 2k 2 2
x1
2 k2
, x2
2 k2
从而 |
PQ
|2
( x1
x2 )2
( y1
y2 )2
8(1 k 2 ) 2 (2 k 2 )2
（1）求证： | b | 1 ； （2）若 f (0) 1, f (1) 1 ，求 f ( x ) 的表达式.
22.（14分）22．（14分）以 O 为原点，O F 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系．设
O F F G 1 ，点F的坐标为 (t , 0), t 3, ．点G的坐标为 ( x0 , y0 ) ．
①设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，| P A | | P B | k ，则动点 P 的轨迹为双曲线；
②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB，O 为坐标原点，若 O P 1 (O A O B ), 则 2
动点 P 的轨迹为椭圆；
③方程 2 x 2 5 x 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
18.解:
(a 1) x 2 2 x
(a 1) x 2 2 x0
( x 1)( x 2) 0
ax 1
ax 1
ax 1
1 ( x 1)( x 2)( x ) 0
a
① 当 0 a 1 时, 原不等式的解集为 ( , 1 ) (1,2) ② 当 a 1 时, 原不等式的解 a
A．
0,
4 3
B﹒ 0,1
C﹒
0
,
1 3
D﹒
1 3
,
4 3
10.设 a, b R , a 2 2b 2 6, 则 a b 的最小值是
（）
A． 2 2
B． 5 3 3
C．－3
D． 7 2
二、填空题（24 分）
11.抛物线 y2=4x 的准线方程是
；焦点坐标是
．
A． 2
B． 4 3
a2
b2
△OAF 的面积为 a 2 （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （
）
2
A．30º
B．45º
C．60º
D．90º
5.设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
（A） 2 2
（B） 2 1 2
（C） 2 2 （D） 2 1
6.函数 y＝ax2＋1 的图象与直线 y＝x 相切，则 a＝(
)
1
1
1
(A)
(B)
(C)
(D)1
8
4
2
7．设函数 f(x)＝ax2+bx+c(a>0)，满足 f(1-x)＝f(1+x)，则 f(2x)与 f(3x)的大
小关系是( )
A.f(3x)>f(2x)
B.f(3x)<f(2x)
C.f(3x)≥f(2x)
亦即 | P Q | 2 2 (1 k 2 ) 2 k2
(1) 当 k ≠ 0 时 ， MN
2 | M N |
故
2 (1 (1 1 ) 2 ) k
2 ( 1 )2 k
四
的斜率为－ 1 k
边
，同上可推得 形
y
M
Q
F
P
O
x
N
S
1
| PQ
|| M N
|
4 (1
k 2 )(1
1 )
k2
4(2
（2）若 M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心轨迹方程。
y M
OA
E
B
x
F
18．(12 分)解不等式：解关于 x 的不等式: (a 1) x 2 2 x (其中 a 0)
ax 1
19. (12 分) P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆 x 2 y 2 1 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点．已
k2
k2
令 u = k 2 1 得 S 4(2 u ) 2(1
1 )
k2
5 2u
5 2u
∵ u = k 2 1 ≥2 k2
当 k =±1 时 u =2，S= 16 且 S 是以 u 为自变量的增函数 9
∴16 S 2 9
②当 k =0 时，MN 为椭圆长轴，|MN|=2 2 ，|PQ|= 2 。∴S= 1 |PQ||MN|=2 2
x1
x
2
1
∴y
y1 y2 3
1 3
(
x
2 1
x
2 2
)
1 3 [( x1
x2 ) 2 2 x1 x2 ]
1 (3x) 2 3
2 3
3x2
2 3
所以重心为 G 的轨迹方程为 y 3 x 2 2 3
（II） S AOB
1 | OA
2
|| OB
|
1 2
(
x
2 1
y
2 1
)(
x
2 2
y
2 2
(1)求 x0 关于t的函数 x0 f (t ) 的表达式，并判断函数 f ( x ) 的单调性．
(2)设△ O F G 的面积 S 31 t ，若 O 以为中心， F ，为焦点的椭圆经过点G，求
6
当 O G 取最小值时椭圆的方程．
(3) 在 (2) 的 条 件 下 ， 若 点
P
的坐标为
9 (0, )
)
1 2
x
2 1
x
2 2
x
2 1
y
2 2
x
2 2
y
2 1
y
2 1
y
2 2
1 由（I）得 S AOB 2
x 16
x
6 2
2
1 2
2
x
6 1
x
6 2
2
1 2
2 ( 1) 6 2 1 2 1 2
当且仅当 x16
x
6 2
即
x1
x2
1 时，等号成立。
所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1；
2
所以
b
[ 1,1]
，从而由
f
2
2
（2） p 100 3 (5 x) 2 (8 y ), 3 x 2 y 131 p 作
出一组平行直线 3x 2y t （ t 为参数），由图可知，当直线
3 x 2 y t 经过点 (10, 4) 时，其在 y 轴上截距最大，此时 p 有最小值，即 x 10, y 4 当
（2）若 b 1 ，则 f ( x ) 在[ 1,1] 为增函数，∴ f (1) f (0), f (0) 1 ∴| f (1) | 1 2a
与 | f (1) | 1 矛盾；若 b 1 ，则 f ( x ) 在[ 1,1] 为减函数，∴ f (1) f (0) 与已知矛盾。 2a
f (0) 1
④双曲的焦点.
25 9
35
其中真命题的序号为
（写出所有真命题的序号）
三、计算题(76 分)
17. (13 分)如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x
轴于 A、B 两点，且 MA=MB.
（1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；
集为 ( ,1) (1,2) ③ 当 a 1 时
原不等式的解集为
1 ( ,1) ( ,2)
a
解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F(0,1)，且 PQ⊥MN，直
线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 K，又 PQ 过点 F(0,1)，故 PQ 的 方程为 y = k x +1
时， p 最小此时 v 12.5, w 30 ， pmin 93 元 21．（1）由已知得| f (1) || a b c | 1 ， | f (1) || a b c | 1
∴ | 2b || f (1) f (1) || f (1) | | f (1) | 2 ∴ | b | 1
，C，D是椭圆上的两点，