第5章统计推断：参数估计
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统计推断-参数估计
利用t分布构建的总体均值的（1-α）%置信区间公式如下：
t（1-a/2，df）：t的分位值， 决定于置信度和自由度，可通 过查表得到。
19
利用t分布构建总体均值的置信区间
电阻的电阻值服从正态分布，抽取了10个电阻值的观察 值如下：
电阻值 608 630 610 636 637 610 626 602 604 636
n
Z的分位值，决定于置信度 当置信度为95%时，Z的 0.975的分位值为1.96
应用以上公式的前提条件为：
总体σ已知，或者 大样本（n≥30）
16
学生t分布
定义
设x1,x2…xn是来自正态总体N (, 2 )的一个样本, x 和S为样
本均值和标准差,则:
t x ~ t(n 1)
2
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2 (n 1) 表示为自由度为（n-1)的卡方分布,卡方分布有以下特
点:
非负非对称分布
21
卡方分布
利用卡方分布构建的总体方差(1-a)%置信区间公式如下:
(n 1)s2
2 (1 / 2, df
)
2
(n 1)s2
2 ( / 2, df
)
卡方的分位值可通过 查表得到.
代表性：所抽取样本能够代表所要研究的总体 随机性：总体中每一个个体都有相等的机会被选中 独立性：样本中一个个体被选中不影响另外一个个体被选中
的可能性
10
抽样分布
因为统计量从样本到样本是变化的，所以根据统计量 作出的任何推断必定带有不确定性，但这种不确定性 是有规律可循的，这种规律就体现在抽样分布中。
x
2 x
2
n
x
t（1-a/2，df）：t的分位值， 决定于置信度和自由度，可通 过查表得到。
19
利用t分布构建总体均值的置信区间
电阻的电阻值服从正态分布，抽取了10个电阻值的观察 值如下：
电阻值 608 630 610 636 637 610 626 602 604 636
n
Z的分位值，决定于置信度 当置信度为95%时，Z的 0.975的分位值为1.96
应用以上公式的前提条件为：
总体σ已知，或者 大样本（n≥30）
16
学生t分布
定义
设x1,x2…xn是来自正态总体N (, 2 )的一个样本, x 和S为样
本均值和标准差,则:
t x ~ t(n 1)
2
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2 (n 1) 表示为自由度为（n-1)的卡方分布,卡方分布有以下特
点:
非负非对称分布
21
卡方分布
利用卡方分布构建的总体方差(1-a)%置信区间公式如下:
(n 1)s2
2 (1 / 2, df
)
2
(n 1)s2
2 ( / 2, df
)
卡方的分位值可通过 查表得到.
代表性：所抽取样本能够代表所要研究的总体 随机性：总体中每一个个体都有相等的机会被选中 独立性：样本中一个个体被选中不影响另外一个个体被选中
的可能性
10
抽样分布
因为统计量从样本到样本是变化的，所以根据统计量 作出的任何推断必定带有不确定性，但这种不确定性 是有规律可循的，这种规律就体现在抽样分布中。
x
2 x
2
n
x
第5章--抽样分布与参数估计教案资料
(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
9
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
9,10
(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
(9.5)
10
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
10,10
数是 ，标准差是 ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本，则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 ，其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出，只要总体 变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n 是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题，需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明：尽管个别现象受偶然因 素影响，有各自不同的表现。但是，对总体 的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的 影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的 极端性影响，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律。
统计推断与参数估计方法
统计推断与参数估计方法统计推断是统计学中的一个重要分支，它的目标是通过对样本数据进行分析和推断，从而对总体进行推断和做出统计决策。
参数估计是统计推断的核心内容之一，它涉及到对总体的参数进行估计和推断。
本文将介绍统计推断的概念、方法以及参数估计的原理和常见方法。
一、统计推断概述统计推断是通过样本信息对总体进行推断的一种方法。
在现实生活中，很难获得总体数据，因此我们通常通过抽样来获取样本数据，然后根据样本数据对总体进行推断和做出统计判断。
统计推断可以分为两大类：参数推断和非参数推断。
参数推断是基于总体分布的假设，利用样本数据对总体参数进行推断。
非参数推断则不对总体分布做出假设，通过样本数据对总体分布进行推断。
二、参数估计原理参数估计是统计推断的一种重要方法，它的目标是通过样本数据对总体参数进行估计。
参数估计的核心思想是通过样本数据得到一个估计量，使得估计量与总体参数值尽可能接近。
常用的参数估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
最大似然估计是根据样本数据的含量，通过计算总体参数最可能出现的取值，来估计总体参数值。
矩估计是通过样本矩的函数与总体矩的函数相等来估计总体参数值。
贝叶斯估计则是利用贝叶斯定理，根据已有信息和先验概率对总体参数进行估计。
三、常用的参数估计方法1. 最大似然估计最大似然估计是参数估计中最常用的方法之一。
最大似然估计的核心思想是选取一组参数值，使得给定样本数据出现的可能性最大。
最大似然估计可以简化为求解似然函数的最大值所对应的参数值。
2. 矩估计矩估计是通过样本矩的函数与总体矩的函数相等来进行参数估计。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，然后通过总体矩的函数得到对总体参数的估计。
3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数估计问题转化为给定样本数据下参数的后验分布的估计问题。
通过引入先验分布和似然函数，可以得到对总体参数的估计。
四、参数估计的应用参数估计在各个领域中都有广泛的应用。
第五章 统计推断(1)
2检验是根据s判断抽出该样本的总体 其标准差是否等于
某一给定值。
检验程序：
(a) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
(b)计算检验的统计量：
1. 单个样本平均数检验
在实际研究中，常常要 检验一个样本平均数 x与已知的总体 平均数0是否有显著差异，即检 验该样本是否来自某一 已知 的总体。
已知的总体平均数一般 为一些公认的理论数值 。如畜禽正常 的生理指标、怀孕期、 生产性能指标等，都可 以样本平均数 与之比较，检验差异显 著性。
1.1 在σ已知的情况下，单个平均数的显著性 检验－u检验 检验程序：
• 两类错误之间的关系如何？
二者的区别是I型错误只有在否定H0的情况下发生，而 II型错误只有在接受H0时才会发生。 二者的联系是，在样本容量相同的情况下，I型错误减 小，II型错误就会增大；反之II型错误减小，I型错误就 会增大。比如，将显著性水平α从0.05提高到0.01，就 更容易接受H0，因此犯I型错误的概率就减小，但相应 地增加了犯II型错误的概率。
第一节 假设检验的基本步骤及原理
1. 假设检验的基本步骤
我们通过一个例子来介绍假设检验的基本步骤：
例一，已知某品种玉米 单穗重X ~ N (300,9.52 )，即单穗重 总体平均数0 300g，标准差 9.5 g。在种植过程中喷洒 了某种药剂的植株中随 机抽取9个果穗，测得平均单穗 重 x 308g，试问这种药剂对该品 种玉米的平均单穗重 有无真实影响？
• （一）提出假设
首先对样本所在的总体 作一假设。假设喷洒了 药剂的玉米单穗重 总体平均数与原来的玉米单穗重总 体平均数0之间没有真实差异， 即＝0。也就是说表面差异（ x 0）是由抽样误差造成的 。
某一给定值。
检验程序：
(a) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
(b)计算检验的统计量：
1. 单个样本平均数检验
在实际研究中，常常要 检验一个样本平均数 x与已知的总体 平均数0是否有显著差异，即检 验该样本是否来自某一 已知 的总体。
已知的总体平均数一般 为一些公认的理论数值 。如畜禽正常 的生理指标、怀孕期、 生产性能指标等，都可 以样本平均数 与之比较，检验差异显 著性。
1.1 在σ已知的情况下，单个平均数的显著性 检验－u检验 检验程序：
• 两类错误之间的关系如何？
二者的区别是I型错误只有在否定H0的情况下发生，而 II型错误只有在接受H0时才会发生。 二者的联系是，在样本容量相同的情况下，I型错误减 小，II型错误就会增大；反之II型错误减小，I型错误就 会增大。比如，将显著性水平α从0.05提高到0.01，就 更容易接受H0，因此犯I型错误的概率就减小，但相应 地增加了犯II型错误的概率。
第一节 假设检验的基本步骤及原理
1. 假设检验的基本步骤
我们通过一个例子来介绍假设检验的基本步骤：
例一，已知某品种玉米 单穗重X ~ N (300,9.52 )，即单穗重 总体平均数0 300g，标准差 9.5 g。在种植过程中喷洒 了某种药剂的植株中随 机抽取9个果穗，测得平均单穗 重 x 308g，试问这种药剂对该品 种玉米的平均单穗重 有无真实影响？
• （一）提出假设
首先对样本所在的总体 作一假设。假设喷洒了 药剂的玉米单穗重 总体平均数与原来的玉米单穗重总 体平均数0之间没有真实差异， 即＝0。也就是说表面差异（ x 0）是由抽样误差造成的 。
第五章统计推断
2014-8-16 版权所有 BY 统计学课程组 32
一、假设检验的一般性问题（6）
（三） 单、双侧检验问题
2014-8-16
版权所有 BY 统计学课程组
33
一、假设检验的一般性问题（7）
（四）假设检验中的两类错误
2014-8-16
版权所有 BY 统计学课程组
34
一、假设检验的一般性问题（8）
2014-8-16 版权所有 BY 统计学课程组 6
一、点估计
总体的参数估计按是否考虑估计误差及发生概率的大小， 可分为点估计和区间估计两大类。 1.点估计的定义和分类
点估计不考虑估计误差的大小，故不需确定估计量的概 率分布。点估计的基本方法包括矩估计法和最大似然估 计法,其主要作用是寻找参数的最佳估计量。
9
（2）有效性
2014-8-16
版权所有 BY 统计学课程组
10
（3）一致性 (相合性)
2014-8-16
版权所有 BY 统计学课程组
11
二、区间估计（1）
1.区间估计的含义
ˆ ＃q 1 在概率意义下计算参数 q 的变化范围，即 P {q ˆ = 1- a q 2
}
2014-8-16
版权所有 BY 统计学课程组
16
二、区间估计（6）－－总体成数的区间估计
只讨论大样本情形
2014-8-16
版权所有 BY 统计学课程组
17
二、区间估计（7）－－总体方差的区间估计
2014-8-16
版权所有 BY 统计学课程组
18
二、区间估计（8）－－单侧置信区间
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一、假设检验的一般性问题（6）
（三） 单、双侧检验问题
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33
一、假设检验的一般性问题（7）
（四）假设检验中的两类错误
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34
一、假设检验的一般性问题（8）
2014-8-16 版权所有 BY 统计学课程组 6
一、点估计
总体的参数估计按是否考虑估计误差及发生概率的大小， 可分为点估计和区间估计两大类。 1.点估计的定义和分类
点估计不考虑估计误差的大小，故不需确定估计量的概 率分布。点估计的基本方法包括矩估计法和最大似然估 计法,其主要作用是寻找参数的最佳估计量。
9
（2）有效性
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10
（3）一致性 (相合性)
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11
二、区间估计（1）
1.区间估计的含义
ˆ ＃q 1 在概率意义下计算参数 q 的变化范围，即 P {q ˆ = 1- a q 2
}
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16
二、区间估计（6）－－总体成数的区间估计
只讨论大样本情形
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17
二、区间估计（7）－－总体方差的区间估计
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二、区间估计（8）－－单侧置信区间
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第五章 参数估计
(总体方差未知时，以样本方差代替)
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：
分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的 平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：
一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸 烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固 定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间： 随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章 参数估计
第五章 参数估计
利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下 两种情况下进行：
当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对 总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估 计或参数检验。（如：μ或σ为何？） 当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据 对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参 数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：
分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的 平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：
一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸 烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固 定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间： 随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章 参数估计
第五章 参数估计
利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下 两种情况下进行：
当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对 总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估 计或参数检验。（如：μ或σ为何？） 当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据 对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参 数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）
第05章 统计推断
单侧检验 α=0.05或0.01 统计推断 第五章
§5.1 单个样本的统计假设检验
5.1.2 单个样本的显著性检验程序
统计假设检验的三步曲： 1、建立零假设(null hypothesis)——假设差异不显著或无关； 2、计算统计量（u-检验，t-检验，x2-检验，F-检验）；
3、判断假设。 对于带备择假设的零假设：需根据备择假设的拒
F
s , df n 1, df n 1 s
下侧临界点F1-α的 值，按右式计算
解释： F< F0.05，或P>0.05，接受H0； F> F0.05，或P<0.05，拒 Fdf1,df2,α，df 1附表7中没有给出 df 2为分母自由度 为分子自由度， 1 绝H0， ② F < F 1-α
s ③HA：μ≠μ0，包括μ＞μ0和μ＜μ0 此时相应各备择假设的H0的拒绝域分别为：
①t > tα解释： t<t0.05，接受H0； t>t0.05，拒绝H0 ②t < -tα ③|t| > tα/2，或表示为|t| > tα(两侧)
t n 1
n
第五章 统计推断
§5.1 单个样本的统计假设检验
379.2 377.2 u 1.82 3. 3 n 9 由于u 1.82 u0.05 1.645 ，所以拒绝H0假设、接受HA。
即栽培条件的改善显著地提高了豌豆籽粒重量。
x 0
第五章 统计推断
§5.1 单个样本的统计假设检验
5.1.4 σ未知时平均数的显著性检验——t 检验（t-test） 检验的程序： (1)零假设H0：μ=μ0 备择假设：①HA：μ＞μ0，若已知μ不可能小于μ0 (2)计算统计量： x 0 (3)判断统计量： ②HA：μ＜μ0，若已知μ不可能大于μ0
第5章 抽样推断
名称
符号
总体容量
N
总体平均数
X
总体方差
2
总体标准差
总体成数
P
样本统计量
名称
符号
n 样本容量
样本平均数 x
样本方差
s2
样本标准差 s
样本成数 p
第一节 抽样推断
★ 一、抽样推断的意义和一般步骤 ★ 二、总体参数与样本统计量 ★ 三、抽样框与样本数
四、概率抽样与非概率抽样
三、抽样框与样本数
㈠ 抽样框 ㈡ 抽样方法 ㈢ 抽样组织方式 ㈣ 样本数和样本容量
⒈ 总体平均数（总体i
X i1 N
或X
i 1 m
Fi
i 1
⒉ 总体标准差：
1 N
N i 1
Xi X
2或
1m
2
m
X i X Fi
Fi i1
i 1
⒊ 总体方差：
2 1
N
N i 1
Xi X
2或 2
1
m
Fi
m i 1
2
X i X Fi
为 2的无偏估计
m i1
1m fi 1 i1
2
xi x fi
⒋ 样本成数：
p n1 , q n0 1 p
n
n
⒌ 样本单位是非标志的标准差：
为 P 的
无偏估计
sp
n p1 p
n 1
n pq n 1
⒍ 样本单位是非标志的方差：
sp2
n n 1
p1
p
n n 1
pq
为
2 P
的
无偏估计
总体参数
居民一组 居民二组…
在某个住宅小区
第5章 参数估计
猎物射击,结果该猎物身中一弹,你认为谁打中的可能
性最大? 根据经验而断:老猎人打中猎物的可能性最大. 极大似然估计法的思想就是对固定的样本值，选
择待估参数的估计值使“样本取样本值”[离散型]或 “样
本取值落在样本值附近”[连续型] 的概率最大。
(2、极大似然估计的求法
单参数情形
根据总体分 布律写出似 然函数：换x 为xi
来得到待估参数θ 的极大似然估计值(驻点);
③ 、必要时,参照极大似然估计值写出极大似然
估计量.
【例6】求服从二项分布B(m，p)的总体X未知参数 p的极大似然估计量。 〖解〗单参数，离散型。 因为总体 X
~ B(m, p),
x m x
其分布律为
m x
f ( x; p) C p (1 p)
下面分离散型与连续型总体来讨论. 设离散型总体X的分布律
P{X x} p( x; )
( )
形式已知,θ 为待估参数. X 1 , X 2 ,..., X n 为来自总体X的
样本, x1 , x2 ,..., xn 为其样本值,则 X 1 , X 2 ,..., X n 的联合分
布律为:
用其观察值
ˆ( X , X ,..., X ), 1 2 n
——θ 的估计量
ˆ( x , x ,..., x ) 1 2 n
——θ 的估计值
来估计未知参数θ .
今后,不再区分估计量和估计值而统称为θ 的估计,
ˆ . 均记为
二、构造估计量的两种方法
1、矩估计法 理论根据:样本矩(的连续函数)依概率收敛于总
因为X~N(μ ,σ 2),所以X总体的概率密度为
2 1 (x ) 2 f ( x; , ) exp ( R, 0) 2 2 2
第5章 参数估计及点估计
第5章参数估计及点估计5.1考点归纳一、点估计1．矩估计法（1）定义设X为连续型随机变量，其概率密度为，或X为离散型随机变量，其分布律为，其中为待估参数，，，，是来自X的样本，假设总体X的前k阶矩或（X离散型）存在，其中，＝1，2，…，k．一般来说，它们是的函数，基于样本矩依概率收敛于相应的总体矩（＝1，2，，k），样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法称为矩估计法．（2）矩估计法的具体做法设这是一个包含k个未知参数的联立方程组，一般来说，可以从中解出，得到以分别代替上式中的，i＝1，2，…，k，就以，i＝1，2，…，k，分别作为，＝1，2，…，k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值．2．克拉默-拉奥（Cramer-Rao）不等式（1）克拉默一拉奥不等式克拉默一拉奥不等式设ξ1，ξ2，…，ξn为取自具有概率函数f（x；0），θ∈Θ={θ：a<0<b}的母体ξ的一个子样，a，b为已知常数，a可以取－∞，b可以取＋∞。
又η=u（ξ1，ξ2，…，ξn）是g（θ）的一个无偏估计，且满足正则条件：①集合{x：f（x；0）>0}与0无关；②与存在，且对一切θ∈Θ，；③令称为信息量，则等式成立的充要条件为存在一个不依赖于但可能依赖于θ的K，使得等式依概率1成立。
特别当g（θ）=θ时，上式可化为：称它为克拉默—拉奥不等式。
也称为信息不等式。
（2）重要性质及定义①性质：若则②定义a．若θ的一个无偏估计使克拉默一拉奥不等式中等式：成立，则称的有效估计。
b．若的一个无偏估计，且克拉默一拉奥不等式下界存在，则称下界与的比为估计的有效率，这里。
c．若当时，一个估计的有效率则称为参数的渐近有效估计。
3．拉奥-勃拉克维尔（Rao-Blackwell）定理（1）拉奥-勃拉克维尔定理设ξ与η是两个随机变量，且Eη＝μ，Dη＞0．设ξ＝x条件下叼的条件期望，则（2）相关定理设ξ1，ξ2，…，ξn是取自一个母体ξ的子样，ξ有概率函数，且是θ的一个充分统计量，不仅是η的函数，且Eη2＝θ，则是θ的充分统计量的函数，其均值＝0，方差。
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第五章 参数估计
第一节 第二节 第三节 第四节
参数估计的基本原理 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本容量的确定
学习目标
1.
2. 3. 4. 5. 6.
估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本容量的确定方法
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0 116.6 136.8
101.0
107.5 123.5 95.4 102.8
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
总体均值的区间估计
总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
3.
1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 总体方差 2 的点估计量为S2,且
n 1S 2
2
4. 总体方差在1-置信水平下的置信区间为
~ 2 n 1
n 1S 2 2 n 1S 2 2 2 2 n 1 1 2 n 1
2015年7月23日星期四
6
一个总体参数的估计
总体参数 均值 比例 方差 符号表示 样本统计量
X
x p
S2
P 2
2015年7月23日星期四
7
二、点估计与区间估计
估 计 方 法
点 估 计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
2015年7月23日星期四
8
点估计
(point estimate)
1.
2015年7月23日星期四
9
区间估计
(interval estimate)
1.
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
2.
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
总体方差的区间估计
(例题分析)
解 : 已 知 n ＝ 25 ， 1- ＝ 95% , 根 据 样 本 数 据 计 算 得 s2 =93.21 2 (n 1) 02.025 (24) 39.364 12 (n 1) 02.975 (24) 12.401
X z 2
n
或 X z 2
S n
( 未知)
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由 36位投保个人组成的随机样本， 并得到每个投保人的年龄 ( 周岁 ) 数据如下表。试建立投保人 年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23
36 42 34 39 34
35
42 53 28 49 39
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
X z 2 X
- 2.58x -1.65 x
X
+1.65x + 2.58x
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信水平
1.
2.
将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平 表示为 (1 -
2015年7月23日星期四
17
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量(随机变量)的数学期望等于被估计的总体参 数
中心极限定理证明了：样本平均数和样本成数都满足无偏 性 ˆ) P( E ( p) P
E( x ) X
ˆ B
1
ˆ
A
无偏
有偏
2
总体参数
2015年7月23日星期四 18
25袋食品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
t X S n ~ t (n 1)
2.
使用 t 分布统计量
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 S X t 2 n
t 分布
分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正 态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为 自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋 于正态分布
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
Z
X
t 分布与标准正态分布的比较
t 不同自由度的t分布
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质 量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根 据样本数据计算得：x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 105.36 3.92
x z
2
105.36 1.96
10 25
101.44,109.28
ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小 标准差的估计量更有效
ˆ) P(
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2
的抽样分布
样本平均 数比中位 数更有效
2015年7月23日星期四 19
ˆ
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接 近被估计的总体参数 大数定律已经证明了：样本平均数和样本成数都满足 一致性
做法：用样本估计量的值直接作为总体参数的 估计值 例：用样本均值直接作为总体均值的估计； 用样本成数直接作为总体成数的估计 例：用两个样本均值之差直接作为总体均 值之差的估计 2. 缺点：没有考虑抽样误差的大小；没有给出估 计值接近总体参数的程度 3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最 大似然法、最小二乘法等
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样 本
样本统计量
例如：样本均 值、比例、方 差
第一节 参数估计的基本原理
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
一、估计量与估计值
(estimator & estimated value)
P z 2
(1 )
n
或 P z 2
P(1 - P) ( 未知时) n
总体比例的区间估计
(例题分析)
【 例 】 某 城 市 想 解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%， z/2=1.96 要估计下岗职工 p (1 p ) 中女性所占的比 p z 2 例，随机抽取了 n 100 个 下 岗 职 工 ， 65%(1 65%) 其中 65 人为女性 65% 1.96 100 职 工 。 试 以 95% 的置信水平估计 65% 9.35% 该城市下岗职工 55.65%,74.35% 中女性比例的置 该城市下岗职工中女性比例的置信 信区间 区间为55.65%~74.35%
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
X 样本容量， n
常用置信水平及 z 2 值
置信水平 1- 90% 95% 99%
0.10 0.05 0.01
/2
0.05 0.025 0.005
z 2
1.645 1.96 2.58
2015年7月23日星期四
16
评价估计量的标准
39
46 45 39 38 45
27
43 54 36 34 48
36
31 47 44 48 45
44
33 24 40 50 32
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： x 39.5 ，s 7.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 39.5 2.13
x z
s
2
39.5 1.645
7.77 36
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(正态总体、２未知、小样本)
总体均值的区间估计
(小样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 未知 小样本 (n < 30)
1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～ 1503.2小时
总体比例的区间估计
总体比例的区间估计
1. 假定条件
总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 大样本
2.
使用正态分布统计量Ｚ P Z ~ N (0,1) (1 ) n 3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
第一节 第二节 第三节 第四节
参数估计的基本原理 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本容量的确定
学习目标
1.
2. 3. 4. 5. 6.
估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本容量的确定方法
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0 116.6 136.8
101.0
107.5 123.5 95.4 102.8
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
总体均值的区间估计
总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
3.
1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 总体方差 2 的点估计量为S2,且
n 1S 2
2
4. 总体方差在1-置信水平下的置信区间为
~ 2 n 1
n 1S 2 2 n 1S 2 2 2 2 n 1 1 2 n 1
2015年7月23日星期四
6
一个总体参数的估计
总体参数 均值 比例 方差 符号表示 样本统计量
X
x p
S2
P 2
2015年7月23日星期四
7
二、点估计与区间估计
估 计 方 法
点 估 计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
2015年7月23日星期四
8
点估计
(point estimate)
1.
2015年7月23日星期四
9
区间估计
(interval estimate)
1.
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
2.
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
总体方差的区间估计
(例题分析)
解 : 已 知 n ＝ 25 ， 1- ＝ 95% , 根 据 样 本 数 据 计 算 得 s2 =93.21 2 (n 1) 02.025 (24) 39.364 12 (n 1) 02.975 (24) 12.401
X z 2
n
或 X z 2
S n
( 未知)
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由 36位投保个人组成的随机样本， 并得到每个投保人的年龄 ( 周岁 ) 数据如下表。试建立投保人 年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23
36 42 34 39 34
35
42 53 28 49 39
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
X z 2 X
- 2.58x -1.65 x
X
+1.65x + 2.58x
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信水平
1.
2.
将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平 表示为 (1 -
2015年7月23日星期四
17
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量(随机变量)的数学期望等于被估计的总体参 数
中心极限定理证明了：样本平均数和样本成数都满足无偏 性 ˆ) P( E ( p) P
E( x ) X
ˆ B
1
ˆ
A
无偏
有偏
2
总体参数
2015年7月23日星期四 18
25袋食品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
t X S n ~ t (n 1)
2.
使用 t 分布统计量
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 S X t 2 n
t 分布
分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正 态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为 自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋 于正态分布
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
Z
X
t 分布与标准正态分布的比较
t 不同自由度的t分布
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质 量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根 据样本数据计算得：x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 105.36 3.92
x z
2
105.36 1.96
10 25
101.44,109.28
ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小 标准差的估计量更有效
ˆ) P(
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2
的抽样分布
样本平均 数比中位 数更有效
2015年7月23日星期四 19
ˆ
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接 近被估计的总体参数 大数定律已经证明了：样本平均数和样本成数都满足 一致性
做法：用样本估计量的值直接作为总体参数的 估计值 例：用样本均值直接作为总体均值的估计； 用样本成数直接作为总体成数的估计 例：用两个样本均值之差直接作为总体均 值之差的估计 2. 缺点：没有考虑抽样误差的大小；没有给出估 计值接近总体参数的程度 3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最 大似然法、最小二乘法等
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样 本
样本统计量
例如：样本均 值、比例、方 差
第一节 参数估计的基本原理
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
一、估计量与估计值
(estimator & estimated value)
P z 2
(1 )
n
或 P z 2
P(1 - P) ( 未知时) n
总体比例的区间估计
(例题分析)
【 例 】 某 城 市 想 解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%， z/2=1.96 要估计下岗职工 p (1 p ) 中女性所占的比 p z 2 例，随机抽取了 n 100 个 下 岗 职 工 ， 65%(1 65%) 其中 65 人为女性 65% 1.96 100 职 工 。 试 以 95% 的置信水平估计 65% 9.35% 该城市下岗职工 55.65%,74.35% 中女性比例的置 该城市下岗职工中女性比例的置信 信区间 区间为55.65%~74.35%
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
X 样本容量， n
常用置信水平及 z 2 值
置信水平 1- 90% 95% 99%
0.10 0.05 0.01
/2
0.05 0.025 0.005
z 2
1.645 1.96 2.58
2015年7月23日星期四
16
评价估计量的标准
39
46 45 39 38 45
27
43 54 36 34 48
36
31 47 44 48 45
44
33 24 40 50 32
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： x 39.5 ，s 7.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 39.5 2.13
x z
s
2
39.5 1.645
7.77 36
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(正态总体、２未知、小样本)
总体均值的区间估计
(小样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 未知 小样本 (n < 30)
1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～ 1503.2小时
总体比例的区间估计
总体比例的区间估计
1. 假定条件
总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 大样本
2.
使用正态分布统计量Ｚ P Z ~ N (0,1) (1 ) n 3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为