数理逻辑小结与例题

(P(a) Q(a)) (P(b) Q(b)) (P(c) Q(c))
解：x 的辖域为P(x) Q(x) ，
P(x),Q(x) 中的 x 是约束变元；
x 的辖域为R(x) ， R(x)中的 x是约束变元； S(x)中的 x 是自由变元。
例3、指出下列量词的辖域，并指出各式中
的自由变元和约束变元。
(2) xF(x) G(x, y) yF(y) R(x, y, z)
例6、设 A ( p r) (q r) p (2) 求 A 的主析取范式、主合取范式。
解：A (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r)
例1、判断下列各语句中，命题，简单命题， 复合命题，真命题，假命题，真值待定的 命题各有哪些？
(1) 2x 3 0。
(2) 2是素数或是合数。
(3) 若2 2 4，则5是偶数。
(4) 只有4是奇数，5才能被3整除。 (5) 明年5月1日是晴天。
例1、判断下列各语句中，命题，简单命题， 复合命题，真命题，假命题，真值待定的 命题各有哪些？ 解：命题有(2)－(5)， 其中(5)是简单命题，(2)，(3)，(4)是复合命题， (2)，(4)为真命题，(3)为假命题，(5)真值待定。
由附加前提证明法知推理正确。
例8、一公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： (1) 甲或乙盗窃了录音机； (2) 若甲盗窃了录音机，则作案时间不能
发生在午夜前； (3) 若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭； (4) 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜之前； (5) 午夜时屋里灯光灭了。
问是谁盗窃了录音机。
例1、在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (4) 并非一切劳动都能被机器代替。
解： P(x) ：x 是劳动。 G(x)：x是机器。 R(x, y)：x 被 y 代替。
xP(x) yG(y) R(y, x)
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
例5、求命题公式 (p q) (q p)
的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。 解：先求主析取范式
(p q) (q p) ( p q) q p
(p q) ( p p) q p (q q)
(p q) ( p q) ( p q)
例5、求命题公式 (p q) (q p)
的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。 解：先求主析取范式
(p q) (q p) m0 m2 m3 (0, 2,3) 故主合取范式为(p q) (q p)
M1
例5、求命题公式 (p q) (q p)
使得 xy y。 真值0。 (2) xyF(x, y) ，其中F(x, y) : x y y 解：存在正整数 x，使得对任意的正整数 y ，
满足 x y y。真值0。
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (3) xyM (x, y)，其中 M (x, y) : xy 1 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y ，
r
例4、判断下列各命题公式，哪些是重言式， 矛盾式，可满足式？
(1) ( p q) r (2) p ( p q)
(3) ( p q) p q
解：可用真值表法，等值演算法，主析取(主合取) 范式等方法判断公式的类型，
(2)为重言式，(3)为矛盾式，(1)，(2)均为可满足式。
例2、 设 p、q 的真值为0，r 、s 的真值为1，
试求下列命题的真值。
(4) ( p (q (r p))) (r s) 解：( p (q (r p))) (r s) (0 (0 (1 0))) (1 1) 0 1 1
是否等值。 (3) 用主析取范式或主合取范式求公式的成真
或成假赋值。
(4) 用主析取范式或则，推理定律；构造证明法。 2、应用 真值表法 (1) 判断推理 是否正确： 等值演算法 主析取范式法(主合取范式法)。 (2) 用8条推理定律构造推理的证明。
三、一阶逻辑等值式。 基本概念。 等值式，常用等值式；前束范式。
例1、在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (1) 发光的不都是金子。
解： Q(x) ：x 是发光的东西。R(x) ：x 是金子。
xQ(x) R(x) 或 xQ(x) R(x)
(2) 某些教练是年老的，但是健壮的。
例3、简化下列命题公式。
(1) (( p q) (q p)) r 解：(( p q) (q p)) r
(( p q) ( p q)) r 1 r
r
例3、简化下列命题公式。
(2) p (p (q q)) 解：p (p (q q)) p (p 1) p p
例7、写出对应下面推理的证明。 有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。如果
红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；或者白 队不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。 因此，如果白队第一，那么蓝队第四。
证明：设 p：红队第三，q：黄队第二，
r ：蓝队第四， s ：白队第一。 前提：p (q r), s p, q 结论：s r
三、等值演算 1、基本概念 两个公式等值的含义；等值演算。 2、应用 (1) 灵活运用24个重要等值式。 (2) 用等值演算判断公式的类型及两个公式 是否等值(也可用真值表)。
五、范式 1、基本概念 简单析取式，简单合取式； 析取范式，合取范式；极小项，极大项； 主析取范式，主合取范式。
2、应用 (1) 求给定公式的主析取范式和主合取范式。 (2) 用主析取范式或主合取范式判断两公式
例2、 设 p、q 的真值为0，r 、s 的真值为1，
试求下列命题的真值。
(3) ( p (r s)) (( p q) (r s)) 解：( p (r s)) (( p q) (r s)) (0 (11)) ((0 0) (11)) 00 1
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
(P(a) P(b) P(c)) (R(a) R(b) R(c))
例4、 设个体域为将下面谓词公式中的量词消除， 写出与之等值的命题公式。
（2）x(P(x) Q(x)) 解 x(P(x) Q(x))
解：x 的辖域为F(x) G(x, y) ，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y)中的 y是自由变元； y 的辖域是F ( y) ， F ( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
例4、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。 解：成真赋值为极小项角码对应的二进制数，
即00，10，11。 成假赋值为极大项角码对应的二进制数， 即01。
例6、设 A ( p r) (q r) p (1) 求 A 的真值表。 (2) 求 A 的主析取范式、主合取范式。
解：
个体，个体域，个体词，个体常项和变项； 谓词；量词，全称量词和存在量词。 2、应用 在一阶逻辑中将命题符号化。
二、一阶逻辑合式公式及解释。 1、基本概念
合式公式；辖域，约束变项，自由变项； 闭式；解释；代换实例；逻辑有效式， 矛盾式，可满足式。 2、应用 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
命题逻辑 小结与例题
一、命题与联结词 1、基本概念 命题与真值；简单命题和复合命题；
命题常项和变项；五个联结词, ,,, ，
真值表。 2、应用。
(1) 选择适当的联结词将命题符号化。 (2) 判断命题(简单或复合)的真假。
二、命题公式及分类 1、基本概念 命题公式的定义；公式的赋值； 重言式，矛盾式，可满足式。 2、应用 (1) 求给定公式的真值表，及成真赋值， 成假赋值。 (2) 用真值表判断给定公式的类型。
例2、 设 p、q 的真值为0，r 、s 的真值为1，
试求下列命题的真值。
(1) p (q r) 解：p (q r)
0 (0 1) 1
例2、 设 p、q 的真值为0，r 、s 的真值为1，
试求下列命题的真值。
(2) ( p q) (r s) 解：( p q) (r s) (0 0) (11) 1 (0 1) 11 1
前提引入
③ s
①②拒取式
④ s r
前提引入
⑤r
③④假言推理
前提：p q ，p r ，s t ，s r，t
⑤r
⑥ p r ⑦ p ⑧ pq ⑨q
③④假言推理 前提引入 ⑤⑥拒取式 前提引入 ⑦⑧析取三段论
所以是乙盗窃了录音机。
一阶逻辑 小结与例题
一、一阶逻辑的基本概念 1、基本概念
使得 xy 1 。真值0。 (4) xyN(x, y) ，其中N(x, y) : y 2x 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y ，
使得 y 2x 。真值1。
例3、指出下列量词的辖域，并指出各式中 的自由变元和约束变元。
(1) xP(x) Q(x) xR(x) S(x)
解： R(x)：x 是年老的。Q(x) ： x 是健壮的。
P(x)：x 是教练。
xR(x) Q(x) P(x)
例1、在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (3) 会叫的狗未必会咬人。