数理逻辑复习题
数理逻辑期末复习题
数理逻辑期末复习题1. 符号化：我将去镇上，仅当我有时间。
答：设p：我将去镇上，q：我有时间。
命题符号化为：p→q2. 符号化：他13岁或14岁。
答：设p：他13岁，q：他14岁。
命题符号化为：()()p q p q p q ∨∧¬∨¬∧或3. 利用等值演算验证：(())(())(())A B C D C A B D C A B D ∧∧→∧→∨∨⇔∧↔→证明：(())(())(())(())()(()[()()]()[()()]()[()()]()[()()]()()[()][(A B C D C A B D A B C D C A B D A B C D C A B D C D A B A B C D A B B A C D A B B A C D B A A B C D A B C A B DC ∧∧→∧→∨∨⇔¬∧∧∨∧¬∨∨∨⇔¬∨¬∨¬∨∧¬∨∨∨⇔¬∨∨¬∨¬∧∨⇔¬∨∨¬∧∨¬∧⇔¬∨∨¬∨¬∨¬∨¬⇔¬∨∨¬→∧→⇔¬∨∨¬↔⇔¬∨¬↔∨⇔¬∧)][()]A B DC A BD ↔∨⇔∧↔→)p4. 符号化下列命题并完成推理证明。
如果6是偶数，则7不被2整整除；或者5不是质数，或者7被2整除；但5是质数。
所以，6是奇数。
解：设p:6是偶数；q：7被2整除；r:5是质数。
命题符号化为：,,p q r q r →¬¬∨⇒¬证明：（1）r P（2） Pr q ¬∨（3）q T(1)(2)I（4）p q →¬ P（5）q T(4)Ep →¬（6）p ¬ T(4)(5)I5. 推理证明：(),,A B C D C D A B ∧→¬¬∨⇒¬∨¬证明：（1） PC D ¬∨（2）C T(1)ED →（3）D ¬ P（4） T(2)(3)IC ¬（5）()A B ∧→C ) P（6）(A B ¬∧ T(4)(5)I（7）A B ¬∨¬ T(6)E6. 求下式的主析取范式与主合取范式：（1）(())(())P Q R P Q R →∧∧¬→¬∧¬（2）(()P P Q P →∧→)解：（1）(())(())(())(())()()()()[()()][()()][()()][()()]()()()()(P Q R P Q R P Q R P Q R P Q P R P Q P R P Q R P Q R P R Q P R Q P Q R P Q R P R Q P R Q P Q R P Q R P Q R P Q R P →∧∧¬→¬∧¬⇔¬∨∧∧∨¬∧¬⇔¬∨∧¬∨∧∨¬∧∨¬⇔¬∨∨∧¬∨∨¬∧¬∨∨∧¬∨∨¬∧∨¬∨∧∨¬∨¬∧∨¬∨∧∨¬∨¬⇔¬∨∨∧¬∨∨¬∧¬∨¬∨∧∨¬∨∧∨¬100101110010011001000111)()()()Q R P Q R M M M M M M m m P Q R P Q R ∨¬∧∨∨¬⇔∧∧∧∧∧⇔∨⇔¬∧¬∧¬∨∧∧（主合取范式）（主析取范式）（2） 00011011(())(())()(())111()()()()P P Q P P P Q P P P P Q P m m m m P Q P Q P Q P Q →∧→⇔¬∨∧¬∨⇔¬∨∧¬∨¬∨⇔∧⇔⇔∨∨∨⇔¬∧¬∨¬∧∨∧¬∨∧（主合取范式）（主析取范式）7. 一阶逻辑符号化。
华南师范大学 离散数学数理逻辑-复习题
p ∧ r ∧ ¬(q → p)
⇔ p ∧ r ∧ ¬(¬q ∨ p)
蕴含等值式
永假式！
⇔ p ∧ r ∧ (q ∧ ¬p) ⇔ ( p ∧ ¬p) ∧ r ∧ q ⇔0
德摩根定律 结合律 否定律（矛盾律）
数理逻辑——复习题
解2：真值表法 p∧r∧¬(q→p)
永假式！
p
qr
q → p ¬(q → p)
= m1 ∨ m2 ∨ m7 A的成假赋值:000，011，100，101，110 (与其成真赋值互补) ﹁A的极小项：000：﹁p∧﹁q∧﹁r， 011：﹁ p∧q∧r，
100：p∧﹁q∧﹁r， 101：p∧﹁q∧r， 110：p∧q∧﹁r
数理逻辑——复习题
﹁ A的主析取范式：（其所有极小项之和）
数理逻辑——复习题
例4 (1)已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r,并知道它的成 真赋值为001, 010, 111, 求A的主析取范式和主合取范式。 解：成真赋值对应于极小项： 001：﹁p∧﹁q∧r, 010： ﹁ p∧q∧﹁r, 111：p ∧ q ∧ r 由所有的极小项之和可写出A的主析取范式： A=(﹁p∧﹁q∧r)∨(﹁ p∧q∧﹁r)∨(p ∧ q ∧ r)
谓词逻辑的推理规则
推理规则
∀xP ( x) ∴ P(c), 若c ∈U (U为个体域 )
P(c), 对任意 c ∈ U (U为个体域 ) ∴ ∀xP ( x)
∃xP ( x) ∴ P(c), 对某个特定元素 c ∈U (U为个体域 )
P(c), 对某个元素 c ∈ U ,U为个体域 ∴ ∃xP ( x)
② ¬H(c)
①存在量词消去
③ ∀x(G(x)∨H(x)) 前提引入
篇数理逻辑复习题
篇数理逻辑复习题第一篇数理逻辑复习题第1章命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( )B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A (3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )．(A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )．(A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的真值是5. 命题公式P →?(P∧Q )的类型是．6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是式(重言式、矛盾式或可满足式)三、解答化简计算题1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值．(2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值．4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式.6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值．7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．8. 将命题公式)(P R Q P →?∧?∧?化为只含∨和?的尽可能简单的等值式．9. 求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧?或Q P ?∨? 3. (P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言三、1. (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5) 是命题.1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式的真值表原式为可满足式.3. (1) (P ∨?Q )→(P ∧Q )?(?P ∧Q )∨(P ∧Q )?(?P ∨P )∧Q ?Q可见(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →?∨?→?∧?0))10()01(()10(?→∨→∧??4. ))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧P Q P Q P ∧?∧?∨∧?)()()()(P P Q P Q P ∧?∧?∨∧∧?0)(∨∧?Q PQ P ∧?5. ))()((Q P P Q P ∧?∧→→))()((Q P P Q P ∧?∧∨?∨??)())(Q P P Q P Q P ∧?∧∨∧?∧?∨??)00(∧∨??P)(Q Q P ?∧∨??)()(Q P Q P ?∨?∧∨??6. R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((R P R Q P P R Q ∨?∨∨∧∨∨??)()(R P Q Q R P ∨?∧?∨∨?)(1?7. )()()()(Q P Q P Q P Q P ?∨?∧?∧??→∧→?Q P ?∧?因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）8. ))()()(R P Q P P R Q P ∨∧∨??→?∧?∧?))()((R P Q P ∨?∨∨??不唯一．9.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(①?Q ∨R P②?R P③?Q T ①，②析取三段论④P →Q P⑤P ? T ③，④拒取式⑥P ∨?S P⑦?S ⑤，⑥析取三段论2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((.前提：Q P R S Q P ,)),((→→→结论：S R →证明：① R 附加前提② R →P 前提引入③ P ①，②假言推理④P →(Q →S ) 前提引入⑤ Q →S ③,④假言推理⑥ Q 前提引入⑦ S ⑤,⑥假言推理3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．证明:(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q ?(?P ∨(Q ∨?R ))∧?P ∧Q(?P ∧?P ∧Q )∨(Q ∧?P ∧Q )∨(?R ∧?P ∧Q )(?P ∧Q )∨(?P ∧Q )∨(?P ∧Q ∧?R )P ∧Q(P ∨?Q )4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．证明.方法1．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?∨∧??Q R P )(Q R P →∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．方法2．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?R Q P Q R P ?∨∨??∨?∨??R Q P Q R P Q R P ?∨∨??∨?∨??→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑一、单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中量词?x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ?∨? (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ?∨ (D) )(x Q2. 谓词公式?xA (x )∧??xA (x )的类型是（）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+??y x y x (B) )0(=+??y x x y(C))0(=+??y x y x (D) )0(=+y x y x4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )(A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→?(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧??5. 设个体域是整数集合，P 代表?x ?y ((x <="" )→(x="" -y=""(A) P 是真命题 (B) P 是逻辑公式，但不是命题(C) P 是假命题 (D) P 不是逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ?→?∧∨?中x ?的辖域是( ) (A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )∧R (x ,y ) (D) P (x ,y )∨Q (z )二、填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 .2. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ?→?消去量词化为3. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为4. 谓词公式?x (F (x )→G (x ))∧??y (F (y )→G (y ))的类型是．5. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则?x (P (x )∨Q (x ))的真值是三、解答化简计算题1. 判别谓词公式),(),(y x xF y y x yF x ??→??的类型.2. 指出谓词公式)())()),()(((x S x xR y x Q x P x ∧?∧→?中?x 和?x 的辖域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自由出现次数．3. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→?的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．4.说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式(永真式)．5. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?6. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?的前束范式.四、证明题1. 试利用代换实例证明谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式(永真式)．2. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →→?．（提示：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∨?.)参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) 2. (G (a )→(H (a ,a )∨H(a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))3. ))()(())()((x N x Z x x Z x N x ?∧?∧→?4. 永假式5. 1三、1.设I 为任意一个解释，D 为I 的个体域. 若在解释I 下，该公式的前件为0，无论),(y x xF y ??如何取值，),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1；若在解释I 下，该公式的前件为1，则,0D x ∈?使得),(y x yF ?为1，它蕴含着),(,0y x F D y '∈'?为1),(y x xF '??为1，由y '的任意性，必有),(y x xF y ??为1，于是),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1.所以，),(),(y x xF y y x yF x ??→??是永真式．2. ?x 的辖域为：P (x )→Q (x ,y )∧?xR (x )x 的辖域为：R (x )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现3次，自由出现1次．y 是自由变元，自由出现1次．3. ))(())((a f R x Q P x ∧→? =))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=4. 已知1)()(?∨?∨??∨?∨??→→P Q P P Q P P Q P因为))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是)(P Q P →→的代换实例，可知))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式．或))(),(()(x xP y x yG x xP ?∨??∨??1)(),()(?∨??∨x P y x yG x xP5. ?→?))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨??))()(x xQ x P x ?∨)()(x xQ x xP ?∨)()(x xQ x xP ?→??6. ),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?∨),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧∨(或)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧→)四、1.谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→? 是命题公式)(P Q P →→ 的代换实例．因为命题公式∨?∨??→→P Q P P Q P )( 1 是永真式，故))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式．2.前提：)()(x xQ x xP ?→?．结论：)()(x xQ x xP ?→?．证① )()(x xQ x xP ?→? 前提引入② )()(x xQ x xP ?∨?? T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ?∨?? T ②,量词否定④ ))()((x Q x P x ∨??⑤ ))()((x Q x P x →? T ④,蕴含等值式。
数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━一、命题逻辑基本知识（5分）1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。
共2分）（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。
解：⌝p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。
（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。
解：q→⌝p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。
（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。
解：⌝r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。
（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。
共1分）（0）A：(⌝(p↔q)→((p∧⌝q) ∨(⌝p∧q)))∨ r（1）B：(p∧⌝(q→p)) ∧(r∧q)（2）C：(p↔⌝r) →(q↔r)（3）E：p→(p∨q∨r)（4）F：⌝(q→r) ∧r解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。
共2分）（0）设y=2|x|，x为实数。
推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。
发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x|，x为实数。
令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。
由此，p为假，q为真。
本题推理符号化为：(p→q) ∧q→p。
由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。
（1）若2和3都是素数，则6是奇数。
2是素数，3也是素数。
所以，5或6是奇数。
解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。
由此，p=1，q=1，r=1，s=0。
本题推理符号化为：((p ∧ q) →s) ∧p ∧q) →(r ∨ s)。
计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。
数理逻辑考试试题
1.1.用真值表判断下列公式的类型（重言式、矛盾式还是普通式）用真值表判断下列公式的类型（重言式、矛盾式还是普通式）： (1)p (1)p→→(p (p∨∨q ∨r)(2)(p (2)(p→╕→╕→╕p)p)p)→╕→╕→╕q q(3)(3)╕╕(q (q→→r)r)∧∧r(4)(p (4)(p→→q)q)→→(╕q →╕→╕p) p)(5)(p (5)(p∧∧r) (r) (╕╕p ∧╕∧╕q) q)(6)((p (6)((p→→q)q)∧∧(q (q→→r))r))→→(p (p→→r)(7)(p (7)(p→→q) (r s)2.2.求下列公式的成真赋值求下列公式的成真赋值求下列公式的成真赋值(1)(1)╕╕p →q(2)p (2)p∨╕∨╕∨╕q q(3)(p (3)(p∧∧q)q)→╕→╕→╕p p(4)(4)╕╕(p (p∨∨q)q)→→q3.3.求下列公式的成假赋值求下列公式的成假赋值求下列公式的成假赋值(1)(1)╕╕(╕p ∧q)q)∨╕∨╕∨╕r r(2)((2)(╕╕q ∨r)r)∧∧(p (p→→q)(3)(p (3)(p→→q)q)∧∧(╕(p (p∧∧r)r)∨∨p)4.4.已知已知p →(p (p∨∨q)q)是重言式，╕是重言式，╕是重言式，╕(p (p (p→→q)q)∧∧q 是矛盾式，试判断是矛盾式，试判断(p (p (p→→(p ∨q))q))∧∧(╕(p (p→→q)q)∧∧q)q)及及(p (p→→(p (p∨∨q)) q)) ∨∨(╕(p (p→→q)q)∧∧q)q)的类型。
的类型。
的类型。
5.5.用等值演算法证明下列等值式用等值演算法证明下列等值式用等值演算法证明下列等值式(1)p<=>(p (1)p<=>(p∧∧q)q)∨∨(p (p∧╕∧╕∧╕q) q)(2)((p (2)((p→→q)q)∧∧(p (p→→r))<=>(p r))<=>(p→→(p (p∧∧r))(3)(3)╕╕(p q)<=>(p (p q)<=>(p∨∨q)q)∧╕∧╕∧╕(p (p (p∧∧q)(4)(p (4)(p∧╕∧╕∧╕q)q)q)∨∨(╕p ∧q)<=>(p q)<=>(p∨∨q)q)∧╕∧╕∧╕(p (p (p∧∧q)6.6.求下列公式的主析取范式和主和取范式求下列公式的主析取范式和主和取范式求下列公式的主析取范式和主和取范式(1)(p (1)(p∧∧q)q)∨∨r(2)(p (2)(p→→q)q)∧∧(q (q→→r)(3)(p (3)(p∧∧q)q)→→q(4)(p q)(4)(p q)→→r(5)(5)╕╕(r (r→→p)p)∧∧p ∧q7.7.前提：╕前提：╕前提：╕p p ∨q ，╕，╕q q ∨r ，r →s ，p结论：结论：结论：s s根据前提，证明结论根据前提，证明结论根据前提，证明结论8.8.根据以下前提：根据以下前提：根据以下前提：p p →(q (q→→r)r)，，q →(r (r→→s)s)，证明：，证明：，证明：(p (p(p∧∧r)r)→→s9.9.前提：╕前提：╕前提：╕(p (p (p→→q)q)∧∧q ，p ∨q ，r →s结论结论1：r结论结论2：s结论结论3：r ∨s证明从此前提出发，推出的结论证明从此前提出发，推出的结论1，结论2，结论3都是正确的。
数理逻辑复习题
数理逻辑复习题复习要求：掌握命题、逻辑联结词的概念；公式与解释的概念，用基本等价式化简其他公式；会用真值表法和主范式判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法.一阶逻辑的基本概念，一阶逻辑公式及其解释，等值演算，推理理论；一阶逻辑公式的三种类型，即逻辑有效式（永真式），矛盾式和可满足式；用联结词产生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系.命题逻辑与一阶逻辑推理理论.一、命题逻辑部分 1、填空题.⑴ 公式（p ∧⌝q ）∨（⌝p ∧q ）的成真赋值为 01，10 .⑵ 设p 、r 为真命题，q 、s 为假命题，则复合命题（p →q ）↔（⌝r →s ）的真值为 0 . ⑶ 设p 、q 为命题，在 p 、q 不能同时发生 条件下，p 与q 的排斥或也可以写成p 与q 的相容或. ⑷ 设A 为任意公式，B 为重言式，则A ∨B 的类型是 重言式⑸ 设A 是含命题变项p 、q 、r 的重言式，则公式A ∨（（p ∧q ）→r ）的类型为重言式. ⑹ 设B 是含命题变项p 、q 、r 的矛盾式，则公式B ∧（（p ↔q ）→r ）的类型为矛盾式 . ⑺ 矛盾式的主析取范式是 0 . ⑻ 重言式的主合取范式是 1 .⑼ 设公式A 含命题变项p 、q 、r 已知A 主合取范式是M 0∧M 2∧M 5∧M 6，则A 的主析取范式是 . ⑽ 已知公式⌝（q →p ）∧p 是矛盾式，则公式⌝（q →p ）∧p ∧⌝r 的成真赋值是 成假赋值 .⑾已知公式（p →（p ∨q ））∧（（p ∧q ）→p ）是重言式，公式p →（p ∨q ）及（p ∧q ）→p 类型是 .⑿已知公式（p ∧q ）→p 是重言式，则公式（（p ∧q ）→p ）∨r 的成真赋值是 成假赋值 .⒀（A →B ）∧⌝B ⇒ 为拒取式推理定律. ⒁（A ∨⌝B ）∧B ⇒ 为析取三段论推理定律.⒂（⌝A →B ）∧（B →⌝C ）⇒ 为假言三段论推理定律. ⒃（⌝A →⌝B ）∧⌝A ⇒ 为假言推理定律. 2、将下列命题或语句符号化.⑴ 不是无理数是不对的. ⌝⌝p （p ） ⑵ 小刘既不怕苦，又很钻研. ⌝p ∧q ⑶ 只有不怕困难，才能战胜困难 q →⌝p⑷ 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非问题解决了. ⌝r →（p →q ）；（⌝r ∧p ）→q 或⌝q →（⌝p ∨r ）⑸ 整数n 是偶数当且仅当n 能被2整除. p ↔q ⑹ 若地球上没有树木，则人类不能生存. q p ⌝→⌝ ⑺ 若422=+，则地球是静止不动的. q p → 3、求下列复合命题真值.P ：2能整除5，q ：旧金山美国的首都，r ：一年有四季 ⑴（（p ∨q ）→r ）∧（r →（p ∧q ）⑵（（⌝q ↔p ）→（r ∨p ））∨（（⌝p ∧⌝q ）∨⌝r ）4、判断下面一段论述是否为真：“3是无理数.并且，如果3是无理数，则2也是无理数.另外，只有6能被2整除，6才能被4整除.”解 设p ：3是无理数，q ：3是无理数，r ：2是无理数，s ：6能被2整除， t ：6能被4整除. 则原命题为：)()(s t r q p →∧→∧，这里0,1,1,0,1=====t s r q p . 则)()(s t r q p →∧→∧1111)10()10(1⇔∧∧⇔→∧→∧⇔. ５、判断公式的类型.⑴（⌝（q ↔p ）→（（p ∧⌝q ）∨（（⌝p ∧q ）））∨r 重言式 ⑵（p ∧⌝（q →p ））∧（r ∧q ） 矛盾式 ⑶（p ↔⌝r ）→（r ↔q ） 可满足式 ６、求公式p →（（q ∧r ）∧（p ∨（⌝q ∧⌝r ）））的主析取范式和主合取范式.m 0∨m 1∨m 2∨m 3∨m 7７、求公式⌝（⌝（p →q ）∨（⌝q →⌝p ）的主合取范式.８、将公式p →（q →r ）化成与之等值的且仅含{⌝，∧}中联结词的公式. ⌝（p ∧q ∧⌝r ）９、用主析取范式或主合取范式判断两公式是否等值.⌝（p ↔q ）与（（p ∨q ）∧⌝（p ∧q ）） 等值 10、在自然推理系统P 中，构造下面推理的证明.⑴前提：⌝（p ∧⌝q ），q →⌝ r ，r 结论：⌝p⑵前提： p → r ，q →s ，p ，q结论：（r ∧s ）∨t11、在自然推理系统P 中，用附加前提法证明下面推理.⑴前提：⌝p ∨（q → r ），s →p ，q 结论：⌝r →⌝s⑵前提：⌝p →q ，⌝p ∨r ，q →s 结论：⌝s →r12、在自然推理系统P 中，用归谬法证明下面推理.前提： p →（q →r ），p ∧q 结论： r ∨s13、在自然推理系统P 中，构造下面用自然语言给出的推理.若小张喜欢数学，则小赵或小李也喜欢数学. 若小李喜欢数学，他也喜欢物理.小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理，所以小赵喜欢数学.P ：小张喜欢数学 q ：小赵喜欢数学 r ：小李喜欢数学 S ：小李喜欢物理前提：P →（q ∨r ） ，r →s ，p ， ⌝s 结论：q证明 ① r →s ② ⌝s ③ ⌝r④ P →（q ∨r ） ⑤ p ⑥ q ∨r ⑦ q14、设p ：A 到过受害人房间 q ：A 在11点以前离开房间 r ：A 犯谋杀罪看门人看到A则{p ∧⌝q →r ，p ，q →s ，⌝s}|=r① ⌝s 前提引入 ② q →s 前提引入 ③⌝ q① ②拒取④ p 前提引入 ⑤p ∧⌝ q ③ ④合取⑥ p ∧⌝q →r 前提引入 ⑦ r ⑤ ⑥假言推理 二、一阶逻辑部分1.在一阶逻辑中将下列命题符号化.⑴ 所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是零.解 F （x ）：x 是整数G （x ）：x 是正整数H （x ）：x 是负整数L （x ）：x 是0∀x （F （x ）→ G （x ）∨H （x ）∨L （x ））或∀x （F （x ）∧⌝ G （x ）→H （x ）∨L （x ）） ⑵ 有的实数是有理数有的实数是无理数. 解 F （x ）：x 是实数 G （x ）：x 是有理数 H （x ）：x 是无理数∃x （F （x ）∧G （x ））∧∃y （F （y ）∧ H （y ）） ⑶ 不存在能表示成分数无理数.解 F （x ）：x 能表示成分数 G （x ）：x 是无理数⌝∃x （G （x ）∧ F （x ））⇔∀x （G （x ）→⌝ F （x ））⑷ 若x 、y 都是实数，且x>y ，则x+2>y+2. 解 F （x ）：x 是实数 H （x ，y ）：x>y∀x ∀y （F （x ）∧F （y ）∧ H （x ，y ）→ H （x+2，y+2）） ⑸不存在最大的自然数.解 F （x ）：x 是自然数 H （x ，y ）：x>y⌝∃x （F （x ）∧∀y （F （y ）→ H （x ，y ））⑹ 在北京卖菜的人不全是外地人.解 设)(x M ：x 是外地人. )(x F ：x 在北京卖菜. 则符号化为))()((x F x M x ∧⌝∃. ⑺ 设：)(x M ：x 是火车. )(x H ：x 是轮船. )(x F ：x 是汽车. ),(y x G ：x 比y 快. 则“火车都比轮船快.”符号化为)),()()((y x G y H x M y x →∧∀∀. 则“有的火车比有的汽车快.”符号化为)),()()((y x G y F x M y x ∧∧∃∃.则“不存在比所有火车都快的汽车.”符号化为)))),()(()(((y x G y M y x F x →∀∧∃⌝. 4、 指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现： （1）)),()((y x G x F x →∀解 x ∀的辖域：),()(y x G x F →.x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. （2）),(),(y x yG y x xF ∃→∀解 x ∀的辖域：),(y x F .x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现.y ∃的辖域：),(y x G .y 是指导变元. x 是自由出现，y 是约束出现.5、 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式： （1）))),()(()((y x H y G y x F x ∧∃→∀证明1解释1I ：R D =，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x .))),()(()((y x H y G y x F x ∧∃→∀指对任意正数x ，存在负数y ，使得0=+y x .在该解释下，命题为“真”. 2解释2I ：}3,2,1{-=D ，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x .则对1=x 时，不存在负数D y ∈，使0=+y x ，故在该解释下，命题为“假”，所以（1）公式既不是永真式也不是矛盾式. （2）)),()()((y x H y G x F y x →∧∀∀6、设个体域},,{c b a D =，消去下列各式的量词： （1）))()((y G x F y x ∧∃∀)))()(((y G a F y ∧∃⇔)))()(((y G b F y ∧∃∧)))()(((y G c F y ∧∃∧∨∧⇔))()(((a G a F ∨∧))()((b G a F ∧∧)))()((c G a F ∨∧))()(((a G b F ∨∧))()((b G b F ∧∧)))()((c G b F ∨∧))()(((a G c F ∨∧))()((b G c F )))()((c G c F ∧（2）))()((y G x F y x ∨∀∀)))()(((y G a F y ∨∀⇔)))()(((y G b F y ∨∀∧)))()(((y G c F y ∨∀∧∧∨⇔))()(((a G a F ∧∨))()((b G a F ∧∨)))()((c G a F ∧∨))()(((a G b F ∧∨))()((b G b F ∧∨)))()((c G b F ∧∨))()(((a G c F ∧∨))()((b G c F )))()((c G c F ∨7、求前束范式⑴⌝∃x ∀yF （x ，y ）（⇔ ∀x ∃y ⌝F （x ，y ）） ⑵（∃xF （x ，y ）→∀yG （x ，y ，z ））→∃z H （z ）.（⇔∃x ∃y ∃z （F （x ，t ）→G （u ，y ，v ）→H （z ）））⑶⇔∀→∀),()(y x yG x xF ),()(y z yG x xF ∀→∀)),()((y z G x F y x →∀∃⇔⑷ ⇔∃→∀)),,(),((z y x yG y x F x ⇔∃→∀)),,(),((z y x yG t x F x )),,(),((z y x G t x F y x →∃∀ ⑸ ⇔∃↔∀),(),(y x xG y x xF ),(),(y z zG t x xF ∃↔∀)),(),(()),(),((t x xF y z zG y z zG t x xF ∀→∃∧∃→∀⇔ )),(),(()),(),((h r rF g s sG y z G t x F z x ∀→∃∧→∃∃⇔ )),(),(()),(),((h r F g s G r s y z G t x F z x →∀∀∧→∃∃⇔ ))),(),(()),(),(((h r F g s G y z G t x F r s z x →∧→∀∀∃∃⇔8、在自然推理系统 N L 中构造下面推理的证明.⑴前提：∃xF （x ）→∀y （G （y ）→H （y ）），∃xR （x ）→∃yG （y ） 结论：∃x （ F （x ）∧ R （x ））→∃x H （x ） 证明1 ⑴ ∃x （ F （x ）∧ R （x ）） ⑵ F （c ）∧ R （c ） ⑶ F （c ） ⑷ R （c ） ⑸ ∃x F （x ）⑹∃xF （x ）→∀y （G （y ）→H （y ）） ⑺ ∀y （G （y ）→H （y ）） ⑻ G （c ）→H （c ） ⑼R （c ） ⑽∃x R （x ）⑾∃xR （x ）→∃yG （y ） ⑿∃yG （y ） ⒀G （c ） ⒁H （c ） ⒂∃x H （x ）证明2： ⑴∃x （ F （x ）∧ R （x ）） ⑵∃x F （x ）∧∃x R （x ）） ⑶∃x F （x ）⑷∃xF （x ）→∀y （G （y ）→H （y ）） ⑸∀y （G （y ）→H （y ）） ⑹G （c ）→H （c ）⑺∃xR（x）→∃yG（y）⑻∃x R（x））⑼∃yG（y）⑽G（c）⑾H（c）⑿∃x H （x）⑵人都喜欢吃蔬菜.但说所有的人都喜欢吃鱼是不对的.所以存在只喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的人.F（x）：x是人G（x）：喜欢吃蔬菜H （x）：喜欢吃鱼前提：∀x（F（x）→G（x））⌝∀x（F（x）→H（x））结论：∃x（F（x）∧G（x）∧⌝H（x））证明：⑴⌝∀x（F（x）→H（x））⑵∃x⌝（F（x）→H（x））⑶∃x（F（x）∧⌝H（x））⑷F（c）∧⌝H（c）⑸∀x（F（x）→G（x））⑹F（c）→G（c）⑺F（c）⑻G（c）⑼F（c）∧⌝H（c）∧G（c）⑽∃x（F（x）∧G（x）∧⌝H（x））⑶任意三角形的内角和等于1800，ABC三角形，则ABC的内角和等于1800.证明设F（x）：x是三角形G（x）：x的内角和等于1800a：ABC前提：∀x（F（x）→G（x））F（a）结论：G（a）证明：⑴∀x（F（x）→G（x））⑵F（a）→G（a）⑶F（a）⑷G（a）（4）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车.每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车.有的人不喜欢乘汽车.所以有的人不喜欢步行.（个体域为人类集合）.证明设F（x）：x喜欢步行G（x）：x喜欢骑自行车H（x）：x喜欢乘车｛∀x（F（x）→⌝G（x）），∀x （G（x）∨H（x），∃x ⌝H（x））→∃x ⌝F（x）①∃x ⌝H（x）②⌝H（c）③∀x （G（x）∨H（x））④G（c）∨H（c）⑤G（c）⑥∀x（F（x）→⌝G（x））⑦F（c）→⌝G（c）⑧⌝F（c）⑨∃x ⌝F（x）(5)每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而有聪明的人在他的事业中都将获得成功.王大海是科学工作者，并且是聪明的.所以王大海在他的事业中将获得成功.（个体域为人类集合）.证明设F（x）：x是科学工作者G（x）：x喜欢钻研H（x）：x聪明W（x）：x事业成功a：王大海｛∀x（F（x）→G（x）），∀x（G（x）∧H（x）→W（x）），F（a），H（a）｝→W（a）①∀x（F（x）→G（x））②F（a）→G（a））③∀x （G（x）∧H（x）→W（x））④G（a）∧H（a）→W（a）⑤F（a）⑥G（a）⑦H（a）⑧G（a）∧H（a）⑨W（a）。
数理逻辑复习题
数理逻辑复习题⼀、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满⾜式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是⿊的，R ：2×4=8，S ：太阳从东⽅升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。
3、设P ：我听课，Q ：我看⼩说，则命题R “我不能⼀边听课，⼀边看⼩说”的符号化为⑵⑴ P Q →⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧提⽰：()R P Q P Q ??∧?→?4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨?⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ?∧⑵ P Q P ?∨⑶ ()Q P Q →⑷Q Q P →?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧⑵∨ (3)→⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是⼈，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的⼈喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是⽼师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些⽼师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧??8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶⑴⾃由变元⑵约束变元⑶既是⾃由变元⼜是约束变元⑷既不是⾃由变元⼜不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()xA xB x xA x xB x ?∨??∨? 10、下列推导错在⑶①)(y x y x >?? P②)(y z y >? US ①③)(z C z >ES ②④)(x x x >? UG ③⑴②⑵③⑶④⑷⽆ 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ?? P②),(y z yF ? US ①③),(c z F ES ②④),(c x xF ?UG ③⑤),(y x xF y ?? EG ④⑴①→②⑵②→③⑶③→④⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ??去掉量词后，可表⽰为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨(3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨提⽰：原式()()()()()()()() ,,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ??∧??∨∧∨⼆、填充题1、⼀个命题含有n 个原⼦命题，则对其所有可能赋值有2n 种。
数理逻辑复习题
数理逻辑复习题复习要求： 掌握命题、逻辑联结词的概念；公式与解释的概念，用基本等价式化简其他公式；会用真值表法和主范式判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法..一阶逻辑的基本概念，一阶逻辑公式及其解释，等值演算，推理理论；一阶逻辑公式的三种类型，即逻辑有效式（永真式），矛盾式和可满足式；用联结词产生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系..命题逻辑与一阶逻辑推理理论理理论. .一、命题逻辑部分1、填空题.⑴ 公式（p ÙØq ）Ú（Øp Ùq ）的成真赋值为）的成真赋值为 01，10 .⑵ 设p 、r 为真命题，q 、s 为假命题，则复合命题（p ®q ）«（Ør ®s ）的真值为）的真值为 0 . ⑶ 设p 、q 为命题，在为命题，在 p 、q 不能同时发生不能同时发生 条件下，p 与q 的排斥或也可以写成p 与q 的相容或.⑷ 设A 为任意公式，B 为重言式，则A ÚB 的类型是的类型是 重言式重言式⑸ 设A 是含命题变项p 、q 、r 的重言式，则公式A Ú（（p Ùq ）®r ）的类型为重言式.⑹ 设B 是含命题变项p 、q 、r 的矛盾式，则公式B Ù（（p «q ）®r ）的类型为矛盾式）的类型为矛盾式 . ⑺ 矛盾式的主析取范式是矛盾式的主析取范式是 0 .⑻ 重言式的主合取范式是重言式的主合取范式是 1 .⑼ 设公式A 含命题变项p 、q 、r 已知A 主合取范式是M 0ÙM 2ÙM 5ÙM 6，则A 的主析取范式是的主析取范式是 .⑽ 已知公式Ø（q ®p ）Ùp 是矛盾式，则公式Ø（q ®p ）Ùp ÙØr 的成真赋值是的成真赋值是 成假赋值 .⑾已知公式（p ®（p Úq ））Ù（（p Ùq ）®p ）是重言式，公式p ®（p Úq ）及（p Ùq ）®p 类型是 .⑿已知公式（p Ùq ）®p 是重言式，则公式（（p Ùq ）®p ）Úr 的成真赋值是的成真赋值是 成假赋值 .⒀（A ®B ）ÙØB Þ 为拒取式推理定律.⒁（A ÚØB ）ÙB Þ 为析取三段论推理定律.⒂（ØA ®B ）Ù（B ®ØC ）Þ 为假言三段论推理定律.⒃（ØA ®ØB ）ÙØA Þ 为假言推理定律.2、将下列命题或语句符号化. ⑴ 说7不是无理数是不对的. ØØp （p ）⑵ 小刘既不怕苦，又很钻研. Øp Ùq⑶ 只有不怕困难，才能战胜困难只有不怕困难，才能战胜困难 q ®Øp⑷ 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非问题解决了. Ør ®（p ®q ）；（Ør Ùp ）®q 或Øq ®（Øp Úr ） ⑸ 整数n 是偶数当且仅当n 能被2整除. p «q ⑹ 若地球上没有树木，则人类不能生存. q p Ø®Ø⑺ 若422=+，则地球是静止不动的. q p ®3、求下列复合命题真值. P ：2能整除5，q ：旧金山美国的首都，r ：一年有四季：一年有四季⑴（（p Úq ）®r ）Ù（r ®（p Ùq ）⑵（（Øq «p ）®（r Úp ））Ú（（Øp ÙØq ）ÚØr ）4、判断下面一段论述是否为真：“3是无理数.并且，如果3是无理数，则2也是无理数.另外，只有6能被22⑥ p ÙØq ®r 前提引入前提引入⑦ r ⑤ ⑥假言推理⑥假言推理二、一阶逻辑部分1.在一阶逻辑中将下列命题符号化.⑴ 所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是零. 解 F （x ）：x 是整数G （x ）：x 是正整数H （x ）：x 是负整数L （x ）：x 是0 "x （F （x ）® G （x ）ÚH （x ）ÚL （x ））或"x （F （x ）ÙØ G （x ）®H （x ）ÚL （x ）） ⑵ 有的实数是有理数有的实数是无理数. 解 F （x ）：x 是实数是实数 G （x ）：x 是有理数是有理数H （x ）：x 是无理数是无理数 $x （F （x ）ÙG （x ））Ù$y （F （y ）Ù H （y ）） ⑶ 不存在能表示成分数无理数. 解 F （x ）：x 能表示成分数能表示成分数 G （x ）：x 是无理数是无理数Ø$x （G （x ）Ù F （x ））Û"x （G （x ）®Ø F （x ）） ⑷ 若x 、y 都是实数，且x>y ，则x+2>y+2. 解 F （x ）：x 是实数是实数 H （x ，y ）：x>y "x "y （F （x ）ÙF （y ）Ù H （x ，y ）® H （x+2，y+2）） ⑸不存在最大的自然数. 解 F （x ）：x 是自然数是自然数 H （x ，y ）：x>y Ø$x （F （x ）Ù"y （F （y ）® H （x ，y ））⑹ 在北京卖菜的人不全是外地人. 解 设)(x M ：x 是外地人. )(x F ：x 在北京卖菜. 则符号化为))()((x F x M x ÙØ$. ⑺ 设：)(x M ：x 是火车. )(x H ：x 是轮船. )(x F ：x 是汽车. ),(y x G ：x 比y 快. 则“火车都比轮船快.”符号化为)),()()((y x G y H x M y x ®Ù"". 则“有的火车比有的汽车快.”符号化为)),()()((y x G y F x M y x ÙÙ$$. 则“不存在比所有火车都快的汽车.”符号化为)))),()(()(((y x G y M y x F x ®"Ù$Ø. 4、 指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：（1）)),()((y x G x F x ®"解 x "的辖域：),()(y x G x F ®.x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. （2）),(),(y x yG y x xF $®"解 x "的辖域：),(y x F .x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. y $的辖域：),(y x G .y 是指导变元. x 是自由出现，y 是约束出现. 5、 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）))),()(()((y x H y G y x F x Ù$®"证明1解释1I ：R D =，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x . ))),()(()((y x H y G y x F x Ù$®"指对任意正数x ，存在负数y ，使得0=+y x .在该解释下，命题为“真”. 2解释2I ：}3,2,1{-=D ，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x .则对1=x 时，不存在负数D y Î，使0=+y x ，故在该解释下，命题为“假”，所以（1）公式既不是永真式也不是矛盾式. （2）)),()()((y x H y G x F y x ®Ù""6、设个体域},,{c b a D =，消去下列各式的量词：，消去下列各式的量词：（1）))()((y G x F y x Ù$")))()(((y G a F y Ù$Û)))()(((y G b F y Ù$Ù)))()(((y G c F y Ù$ÙÚÙÛ))()(((a G a F ÚÙ))()((b G a F ÙÙ)))()((c G a F ÚÙ))()(((a G b F ÚÙ))()((b G b F ÙÙ)))()((c G b F ÚÙ))()(((a G c F ÚÙ))()((b G c F )))()((c G c F Ù（2）))()((y G x F y x Ú"")))()(((y G a F y Ú"Û)))()(((y G b F y Ú"Ù)))()(((y G c F y Ú"ÙÙÚÛ))()(((a G a F ÙÚ))()((b G a F ÙÚ)))()((c G a FÙÚ))()(((a G b F ÙÚ))()((b G b F ÙÚ)))()((c G b FÙÚ))()(((a G c F ÙÚ))()((b G c F )))()((c G c F Ú7、求前束范式⑴Ø$x "yF （x ，y ）（Û "x $y ØF （x ，y ））⑵（$xF （x ，y ）®"yG （x ，y ，z ））®$z H （z ）. （Û$x $y $z （F （x ，t ）®G （u ，y ，v ）®H （z ）））⑶Û"®"),()(y x yG x xF ),()(y z yG x xF "®")),()((y z G x F y x ®"$Û⑷ Û$®")),,(),((z y x yG y x F x Û$®")),,(),((z y x yG t x F x )),,(),((z y x G t x F y x ®$" ⑸ Û$«"),(),(y x xG y x xF ),(),(y z zG t x xF $«")),(),(()),(),((t x xF y z zG y z zG t x xF "®$Ù$®"Û)),(),(()),(),((h r rF g s sG y z G t x F z x "®$Ù®$$Û)),(),(()),(),((h r F g s G r s y z G t x F z x ®""Ù®$$Û))),(),(()),(),(((h r F g s G y z G t x F r s z x ®Ù®""$$Û8、在自然推理系统在自然推理系统N L 中构造下面推理的证明. ⑴前提：$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ）），$xR （x ）®$yG （y ）结论：$x （ F （x ）Ù R （x ））®$x H （x ）证明1 ⑴ $x （ F （x ）Ù R （x ））⑵ F （c ）Ù R （c ）⑶ F （c ）⑷ R （c ）⑸ $x F （x ）⑹$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ））⑺ "y （G （y ）®H （y ））⑻ G （c ）®H （c ）⑼R （c ）⑽$x R （x ）⑾$xR （x ）®$yG （y ）⑿$yG （y ）⒀G （c ）⒁H （c ）⒂$x H （x ）证明2： ⑴$x （ F （x ）Ù R （x ））⑵$x F （x ）Ù$x R （x ））⑶$x F （x ）⑷$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ））⑸"y （G （y ）®H （y ））⑹G （c ）®H （c ）⑺$xR （x ）®$yG （y ）⑻$x R （x ））⑼$yG （y ）⑽G （c ）⑾H （c ）⑿$x H （x ）⑵人都喜欢吃蔬菜.但说所有的人都喜欢吃鱼是不对的.所以存在只喜欢吃蔬所以存在只喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的人. F （x ）：x 是人是人G （x ）：喜欢吃蔬菜：喜欢吃蔬菜 H （x ）：喜欢吃鱼：喜欢吃鱼前提："x （F （x ）®G （x ）） Ø"x （F （x ）®H （x ））结论：$x （ F （x ）Ù G （x ）ÙØH （x ））证明：证明： ⑴⑴ Ø"x （F （x ）®H （x ）） ⑵$ x Ø（F （x ）®H （x ））⑶$ x （F （x ）ÙØH （x ））⑷F （c ）ÙØH （c ）⑸"x （F （x ）®G （x ））⑹F （c ）®G （c ）⑺ F （c ）⑻ G （c ）⑼F （c ）ÙØH （c ）Ù G （c ）⑽$x （ F （x ）Ù G （x ）ÙØH （x ））⑶任意三角形的内角和等于1800，ABC 三角形，则ABC 的内角和等于1800. 证明 设F （x ）：x 是三角形是三角形 G （x ）：x 的内角和等于1800 a ：ABC 前提："x （F （x ）®G （x ）） F （a ）结论：结论： G （a ）证明：证明： ⑴"x （F （x ）® G （x ）） ⑵F （a ）® G （a ）⑶F （a ）⑷G （a ）（4）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车.每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车.有的人不喜欢乘汽车.所以有的人不喜欢步行.（个体域为人类集合）. 证明 设F （x ）：x 喜欢步行喜欢步行 G （x ）：x 喜欢骑自行车喜欢骑自行车 H （x ）：x 喜欢乘车喜欢乘车｛"x （F （x ）®Ø G （x ）），"x （G （x ）Ú H （x ），$x ØH （x ））®$x ØF （x ）① $x ØH （x ）② ØH （c ）③ "x （G （x ）Ú H （x ））④ G （c ）Ú H （c ）⑤ G （c ）⑥ "x （F （x ）®Ø G （x ））⑦ F （c ）®Ø G （c ）⑧ Ø F （c ）⑨$x ØF（x）(5)每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而有聪明的人在他的事业中都将获得成功.王大海是科学工作者，并且是聪明的所以王大海在他的事业中将获得成功（个体域为人类集合）. 聪明喜欢钻研 H（x）：x聪明证明设F（x）：x是科学工作者是科学工作者 G（x）：x喜欢钻研W（x）：x事业成功：王大海事业成功 a：王大海｛"x（F（x）®G（x）），"x（G（x）ÙH（x）®W（x）），F（a），H（a）｝®W（a）①"x（F（x）®G（x））②F（a）®G（a））③"x （G（x）ÙH（x）®W（x））④G（a）ÙH（a）®W（a）⑤F（a）⑥G（a）⑦H（a）⑧G（a）ÙH（a）⑨W（a）。
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数理逻辑复习题
一、填空
1、数理逻辑中公式的三种类型是、和。
2、设p：我说谎；q：太阳从西边出来；则p q
⌝→表示；()
∧→=。
p q p
3、命题是具有真值的。
4、设p：这门课让人喜欢；q：这本书有趣；r：这本书习题很难；则下列语句：1）若这本书有趣，习题也不很难，则这门课就不会让人喜欢。
2）这本书没趣，习题也不很难，并且这门课不让人喜欢。
3）这门课让人喜欢当且仅当这本书有趣且这本书习题不很难。
符号化为1）；2）；3）。
5、p p p
→→=。
二、选择
1、下列语句中，真命题是；
A B、全体起立！；
C、2是素数⇔三角形有三条边；
D、4是2的倍数或是3的倍数吗
2、p：张三可做此事；q：李四可做此事；“张三可做此事或李四不可做此事”符号化为；
A、p q
∧⌝；B、p q
∨⌝；
C、()
⌝∧
p q
p q
⌝∨；D、()
3、下列语句中，真命题是；
A、我正在说谎；
B、这句话是错的；
C、若1+2=3则雪是黑的；
D、若1+2=5则1=2；
4、下列哪个公式是永真式；
∧→；
A、()()
p q q p
→∧→；B、p q p
C、()()
p q
⌝∨
⌝∨∧⌝⌝∧⌝；D、()
p q p q
三、判断
1、语句“豆沙包是由面粉和红小豆做成的”是命题逻辑中的复合命题（）
2、任何命题公式都存在唯一与之等值的主析取范式，相应的主合取范式则不唯
一（）
3、所谓的“自然推理系统”是指，从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论，这个结论肯定是有效的结论。
（）
4、在一阶逻辑（谓词逻辑）中，同一个公式在不同的解释下，其真假值可能不同（）
5、在一阶逻辑公式中，换名规则是对量词辖域中的自由变元而言的（）
6、语句“爱美之心人皆有之”可以用命题逻辑中的简单命题来描述（）
7、所谓的“推理是有效的”是指该推理的前提和结论都是正确的（）
8、由于引入了论域的概念，在一阶逻辑中，不存在永真或永假的公式（）
9、在一阶逻辑（谓词逻辑）中，量词也存在分配律，全称量词对合取存在分配律，存在量词对析取存在分配律（）
四、综合
1、求()
→↔的主合取范式；
p q r
2、前提：(),,,
∧→⌝∨⌝
p q r r s s p
结论：q
⌝
3、求()
→↔的主析取范式和成真赋值；
p q r。