数理逻辑复习题

数理逻辑复习题

复习要求：

掌握命题、逻辑联结词的概念；公式与解释的概念，用基本等价式化简其他公式；会用真值表法和主范式判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法.一阶逻辑的基本概念，一阶逻辑公式及其解释，等值演算，推理理论；一阶逻辑公式的三种类型，即逻辑有效式（永真式），矛盾式和可满足式；用联结词产生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系.命题逻辑与一阶逻辑推理理论.

一、命题逻辑部分 1、填空题.

⑴ 公式（p ∧⌝q ）∨（⌝p ∧q ）的成真赋值为 01，10 .

⑵ 设p 、r 为真命题，q 、s 为假命题，则复合命题（p →q ）↔（⌝r →s ）的真值为 0 . ⑶ 设p 、q 为命题，在 p 、q 不能同时发生 条件下，p 与q 的排斥或也可以写成p 与q 的相容或. ⑷ 设A 为任意公式，B 为重言式，则A ∨B 的类型是 重言式

⑸ 设A 是含命题变项p 、q 、r 的重言式，则公式A ∨（（p ∧q ）→r ）的类型为重言式. ⑹ 设B 是含命题变项p 、q 、r 的矛盾式，则公式B ∧（（p ↔q ）→r ）的类型为矛盾式 . ⑺ 矛盾式的主析取范式是 0 . ⑻ 重言式的主合取范式是 1 .

⑼ 设公式A 含命题变项p 、q 、r 已知A 主合取范式是M 0∧M 2∧M 5∧M 6，则A 的主析取范式是 . ⑽ 已知公式⌝（q →p ）∧p 是矛盾式，则公式⌝（q →p ）∧p ∧⌝r 的成真赋值是 成假赋值 .

⑾已知公式（p →（p ∨q ））∧（（p ∧q ）→p ）是重言式，公式p →（p ∨q ）及（p ∧q ）→p 类型是 .

⑿已知公式（p ∧q ）→p 是重言式，则公式（（p ∧q ）→p ）∨r 的成真赋值是 成假赋值 .

⒀（A →B ）∧⌝B ⇒ 为拒取式推理定律. ⒁（A ∨⌝B ）∧B ⇒ 为析取三段论推理定律.

⒂（⌝A →B ）∧（B →⌝C ）⇒ 为假言三段论推理定律. ⒃（⌝A →⌝B ）∧⌝A ⇒ 为假言推理定律. 2、将下列命题或语句符号化.

⑴ 不是无理数是不对的. ⌝⌝p （p ） ⑵ 小刘既不怕苦，又很钻研. ⌝p ∧q ⑶ 只有不怕困难，才能战胜困难 q →⌝p

⑷ 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非问题解决了. ⌝r →（p →q ）；（⌝r ∧p ）→q 或⌝q →（⌝p ∨r ）

⑸ 整数n 是偶数当且仅当n 能被2整除. p ↔q ⑹ 若地球上没有树木，则人类不能生存. q p ⌝→⌝ ⑺ 若422=+，则地球是静止不动的. q p → 3、求下列复合命题真值.

P ：2能整除5，q ：旧金山美国的首都，r ：一年有四季 ⑴（（p ∨q ）→r ）∧（r →（p ∧q ）

⑵（（⌝q ↔p ）→（r ∨p ））∨（（⌝p ∧⌝q ）∨⌝r ）

4、判断下面一段论述是否为真：“3是无理数.并且，如果3是无理数，则2也是无理数.另外，只有6能被2

整除，6才能被4整除.”

解 设p ：3是无理数，q ：3是无理数，r ：2是无理数，s ：6能被2整除， t ：6能被4整除. 则原命题为：)()(s t r q p →∧→∧，这里0,1,1,0,1=====t s r q p . 则)()(s t r q p →∧→∧1111)10()10(1⇔∧∧⇔→∧→∧⇔. ５、判断公式的类型.

⑴（⌝（q ↔p ）→（（p ∧⌝q ）∨（（⌝p ∧q ）））∨r 重言式 ⑵（p ∧⌝（q →p ））∧（r ∧q ） 矛盾式 ⑶（p ↔⌝r ）→（r ↔q ） 可满足式 ６、求公式p →（（q ∧r ）∧（p ∨（⌝q ∧⌝r ）））的主析取范式和主合取范式.

m 0∨

m 1∨m 2∨m 3∨m 7

７、求公式⌝（⌝（p →q ）∨（⌝q →⌝p ）的主合取范式.

８、将公式p →（q →r ）化成与之等值的且仅含{⌝，∧}中联结词的公式. ⌝（p ∧q ∧⌝r ）

９、用主析取范式或主合取范式判断两公式是否等值.

⌝（p ↔q ）与（

（p ∨q ）∧⌝（p ∧q ）） 等值 10、在自然推理系统P 中，构造下面推理的证明.

⑴前提：⌝（p ∧⌝q ），q →

⌝ r ，r 结论：⌝p

⑵前提： p → r ，q →s ，p ，q

结论：（r ∧s ）∨t

11、在自然推理系统P 中，用附加前提法证明下面推理.

⑴前提：⌝p ∨（q → r ），s →p ，q 结论：⌝r →⌝s

⑵前提：

⌝p →q ，⌝p ∨r ，q →s 结论：⌝s →r

12、在自然推理系统P 中，用归谬法证明下面推理.

前提： p →（q →r ），p ∧q 结论： r ∨s

13、在自然推理系统P 中，构造下面用自然语言给出的推理.

若小张喜欢数学，则小赵或小李也喜欢数学. 若小李喜欢数学，他也喜欢物理.小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理，所以小赵喜欢数学.

P ：小张喜欢数学 q ：小赵喜欢数学 r ：小李喜欢数学 S ：小李喜欢物理

前提：P →（q ∨r ） ，r →s ，p ， ⌝s 结论：q

证明 ① r →s ② ⌝s ③ ⌝r

④ P →（q ∨r ） ⑤ p ⑥ q ∨r ⑦ q

14、设p ：A 到过受害人房间 q ：A 在11点以前离开房间 r ：A 犯谋杀罪看门人看到A

则{p ∧⌝q →r ，p ，q →s ，⌝s}|=r

① ⌝s 前提引入 ② q →s 前提引入 ③

⌝ q

① ②拒取

④ p 前提引入 ⑤p ∧

⌝ q ③ ④合取