三角函数的诱导公式2
高一数学(三角函数的诱导公式 2)
3p 3p sin( - a ), cos( - a ), 2 2 3p 3π sin( + a ), cos( +α) 2 2
公式五： 公式五：
sin (
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
+α) = cosα +α) = −sin α
公式六： 公式六：
cos(
π
2
形成结论
kπ 所有诱导公式可统一为 ±α(k ∈Z) 2 的三角函数与α的三角函数之间的关系 的三角函数之间的关系. 的三角函数与 的三角函数之间的关系
它们之间的关系归纳为： 它们之间的关系归纳为：
奇变偶不变，符号看象限. 奇变偶不变，符号看象限.
典例讲解
化简： 例1 化简：
11 π sin(2π -α)cos(π +α)cos( +α)cos( -α) 2 2 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(- π -α)sin( +α) 2
y
π
2 −α 的终边
π
y=x
α的终边
O
x
y
π
2
−α 的终边
(y， P2(y，x) α的终边
O
P1(x ，y) x
），则关 设角α的终边上有一点P1（x，y），则关 π 于直线y=x y=x对称的角 的终边上的点P 于直线y=x对称的角 −α 的终边上的点P2的 2 坐标如何？ 坐标如何？
形成结论
2
cos(180 +α) ⋅ sin(α + 360 ) 2. o o sin(-α-180 ) ⋅ cos(-180 -α)
完整版)三角函数诱导公式总结
完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。
以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。
以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。
2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。
另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。
也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。
例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。
例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。
三角函数诱导公式(二)
cosπ2－θ＝sin θ，cosπ2＋θ＝－sin θ， 所以 B，D 项与 cos32π－θ的值相等.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－41，则 cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为
＝1－c2os2θ＝sin22θ＝右边，
∴原等式成立.
三、诱导公式的综合应用
例 3 已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32，求下列各式的值： (1)sin32π＋αcosα－π2；
解 由 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32， 得 sin α＋cos α＝ 32， 两边平方整理得 2sin αcos α＝－79， ∴sin αcos α＝－178， ∴cos α－sin α ＝± cos α－sin α2＝± 1－2sin αcos α
√ A.－16
B.－38
1 C.6
3 D.8
解析 由 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－14， 得 sin α＝18，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－38.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为__12__. 解析 cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α ＝sinπ3－α＝12.
延伸探究 1.将本例(2)的条件改为 sinπ3＋α＝12，求 cos56π＋α的值.
解 cos56π＋α＝cosπ2＋π3＋α ＝－sinπ3＋α＝－12.
＝co－s θsi·nsiθn·θc·otsanθ θ
1.2.3三角函数的诱导公式2
小结
诱导公式
2 k 2 "偶" " 奇 " 3 2 2 不 变 变 n n 2 符号看 " 象限 " 2 n为奇数 n为偶数
函数名不变， 符号看象限
（将α看成锐角）
诱导公式 四：
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
公式五
• 复习初中知识
sin 30
cos60 sin45 cos45 sin60 cos30
y
P( x, y)
p4 ( y, x )
cos(
2
O
A(1,0)
2
公式六
2
• 用公式五证明下式成立
) cos ) sin
p5 ( y, x )
2
sin(
cos(
2
y
P( x, y)
O
A(1,0)
诱导公式五： 诱导公式六： sin( ) cos , sin( ) cos , 2 2 cos( ) sin . cos( ) sin . 2 2 函数名改变，符号看象限
0
) 3, 例3. 已. 4cos( ) sin(2 )
综合练习
求值或化简 1.sin 1 sin 2 sin 3
2 2 2
sin 89
2
sin cos sin cos 2 2 2 . 2. cos sin
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式（六公式）公式一：sin(α+k*2π)=sinα（k为整数）cos(α+k*2π)=cosα（k为整数）tan(α+k*2π)=tanα（k为整数）公式二：sin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtan(π+α）=tanα公式三：sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα公式四：sin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαtan(π-α) =-tanα公式五：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotα公式六：sin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotα（以上k∈Z)诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。
[2]或者也可以这样记：分变整不变，符号看象限。
三角和公式sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ）（α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ）积化和差的四个公式sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)正弦二倍角公式sin2α = 2cosαsinα 正切二倍角公式tan2α= 2tanα / 1 - tan^2α余弦二倍角公式余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价（升幂，降角）：1. cos2α = 2cos^2（α）－12. cos2α = 1 − 2sin^2（a）3. cos2α = cos^2（a）− sin^2（a）cos2α = cos^2（α）－sin^2（α）= 2cos^2（α）－1 = 1 －2sin^2（α）还可以变形为(降幂，升角)sin^2α = (1 －cos2α) /2,cos^2α =（1 + cos2α）/2sin2α = sin^2(α + π/4) －cos^2(α + π/4) = 2sin^2(a + π/4) －1 = 1 －2cos^2(α + π/4);cos2α = 2sin(α + π/4)cos(α + π/4)正切二倍角公式tan2α = 2tanα/[1 － (tanα)^2]tan(1/2*α)=(sin α)/(1 + cos α) = (1 － cos α)/sin αtan(2a) = tan(a + a) = （tan(a) + tan(a)）/（1 －tan(a)*tan(a) ）= 2tanα/[1 －tan^2(a)]。
三角函数的诱导公式2
1.3.1 三角函数的诱导公式（第2课时）[教学重点]：1.诱导公式的探究；2.运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.[教学难点]：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关于直线ｙ=ｘ对称的点的性质与（2πα±）的诱导公式的关系.[教学过程]：一、课前导语利用的诱导公式一可以把任意角的三角函数值化为02π 的角的三角函数值，但是怎样把正弦函数转化为余弦函数呢？这就是我们这节课所要研究的主题.二、新知预习1.公式五：sin()2πα-= ____________ ；cos()2πα-= ____________ . 2.公式六：sin()2πα+= ____________ ；cos()2πα+= ____________ . 思考：tan()2πα-= ____________ ；tan()2πα+= ____________ . 3.公式五和公式六可以概括如下： 2πα±的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～公式六都叫做 ____________ .二、例题讲解例3：证明：（1）3sin()cos 2παα-=- （2）3cos()sin 2παα-=-例4：化简 11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+ .三、课堂练习利用公式五和公式六，把下列正弦函数化成（锐角）余弦函数， 把余弦函数化成（锐角）正弦函数：（1）sin()6π； （2）11cos()5π . （3）5tan()3π-四、小结.能够应用二个诱导公式解决一些正弦函数与余弦函数的转化、化简和证明问题.。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式是指通过一些基本的三角函数值，推导出其他三角函数的值的公式。
这些基本的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在证明三角函数的诱导公式时，可以运用几何图形、代数运算以及三角函数的定义等方法。
首先，我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
假设在单位圆上，角A对应的弧度为θ，其坐标为(x,y)，则可以得到以下关系式：x = cosθy = sinθ我们可以通过单位圆的对称性，得到以下诱导公式：1. sin(-θ) = -sinθ证明：设角B为-A，对应的弧度为-θ，其坐标为(-x,y)。
由对称性可知，-x = cos(-θ) = cosθ，y=sin(-θ)。
所以，sin(-θ) = -sinθ。
2. sin(π-θ) = sinθ证明：设角C为π-A，对应的弧度为π-θ，其坐标为(-x,-y)。
由对称性可知，-x = cos(π-θ) = cosθ，-y = sin(π-θ)。
所以，sin(π-θ) = sinθ。
3. sin(θ+π) = -sinθ证明：设角D为A+π，对应的弧度为θ+π，其坐标为(-x,-y)。
由对称性可知，-x = cos(θ+π) = -cosθ，-y = sin(θ+π)。
所以，sin(θ+π) = -sinθ。
通过这些诱导公式，我们可以计算任意角度的正弦函数值，而不仅仅局限于0到π的范围。
接下来，我们来讨论正弦函数和余弦函数的平方和公式和差公式。
1. sin²θ + cos²θ = 1证明：根据单位圆上坐标的定义，可以得到(x,y)² = x² + y² = cos²θ + sin²θ = 1、所以，sin²θ + cos²θ = 12. cos(θ±φ) = cosθcosφ - sinθsinφ证明：设角A对应的弧度为θ，角B对应的弧度为φ。
1.2.3三角函数的诱导公式(2)
1.2.3三角函数的诱导公式（2）【学习目标】1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。
【学习内容】1．角π2－α与角α的终边关于直线y ＝x 对称，故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.(公式五) 2．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.(公式六) 3．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin α. 4．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α. 5．公式一～公式六都叫做三角函数的诱导公式，诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系，实质是把终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．公式一～公式六的记忆可参照口诀“奇变偶不变，符号看象限”．【例题解析】例1．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=-例2．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。
求：已知例)sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( .3απααπαπαπ-+-+--=+例4已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( )A.23 2B ．－232 C.13D ．－13 【达标练习】 1．化简3cos(3)sin()2sin()cos()2a a a a ππππ++=+--_________． 2化简：()()()sin cos sin cos 222cos sin πππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++=_________ 3．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________．4．已知1sin()45x π-=-，那么cos()4x π+=＝____． 5．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 6．sin 2（3π－x ）+sin 2（6π+x ）=_________． 7、若sin 6a πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
高一数学三角函数的诱导公式2
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其 中角α可以是一个单角，也可以是一个 复角，应用时要注意整体把握、灵活变 通.
作业: P29习题1.3 A组：3. B组：1，2.
；招生信息 /list.php?fid-386-page-1.htm 招生信息 ；
轻人了不得呀,真是后浪推前浪呀,壹浪比壹浪强丶""想当年老哥咱在你这个年纪の时候,要是有你这个修为,不得了了,那真是要唯咱独尊了,可惜了没那个命呀丶"姑素枫感慨良多丶根汉笑了笑道："壹切都是命忠注定の,你现在步入了至尊之境,也是提升到了壹个新高度了丶"\\复旦校花龚叶轩最新 爆乳自拍福利请关注微笑看(家搜索jia1贰叁按住叁秒即可复制)猫补忠文叁550二位上仙来事(猫补忠文)"竟然是那家伙の血脉,现在也想步入至尊之境,若是让她进入了至尊之境,这天下就没有宁日了"!其忠壹位人头狼面の家伙,口吐獠牙,壹双神眼散发着恐怖の绿光,看上去很吓人丶另壹人也说：" 不错,必须要斩了她,壹定不能让她步入这个境界!""那咱们开始吧,将她们全部炼化在这里丶"人头狼面の家伙,冷笑了几声,取出了壹只白色の大鼎,这只大鼎高约有万丈,壹丢出来还急剧变大,变得比整个绝情谷还要大,直接罩在了绝情谷の上空丶"去!"另壹人是壹个人类,这张口就吐出壹座巨大の火 山,火山忠の火焰是淡黑色の,黑色の火脉落到了这只大鼎の下面丶直接开始炼化这绝情谷,要将这绝情谷忠の众美给炼死丶"这下麻烦了丶"绝情谷忠の众美,立即取出了各自の法宝,用法宝护住她们の心神,不让这些恐怖の火脉渗到里面来,不然の话还真是有大麻烦丶好在她们拥有の神兵,都是壹些 天地神兵,还不乏至尊之器,才能挡住那恐怖の火鼎丶"哈哈哈,别在反抗了,将你们炼死,让本座也尝尝血屠血脉の滋
三角函数的诱导公式2
P'
y x sin ______, cos ______, -y x sin( ) _____, cos( ) ____，
于是我们又得到一组公式(公式三)：
sin( ) sin， cos( ) cos . tan( ) tan
0
角的终边与角 的终边关于原点对称 180 .
P (x,y)
1800
作单位圆( r 1)，与角和角 180 0 的终边分别交于点 和P' . P
显然， 与P'关系原点对称 P .
' P(-x,-y)
y sin y cos x tan x 0 sin(180 ) y
提高题
1 已知 : sin( ) , 求sin(-3 )的值 3 1 已知 : cos( ) , 求cos (-3 )的值 3
1 3
1 3
例题与练习
3π 例 3、 证 明 ： （ 1） s in( α ) cosα ; 2 3π (2)cos( α ) sinα . 2
作业：
P29:1.(1)(3)(4)(8) 2.(1)(6).3(2).4
名函数值，前面加上一个把α看成锐角
时原函数值的符号。 简记为: 函数名不变，符号看象限
例1、求下列三角函数的值：
(1)cos 225 ;
0
(2)sin(
解：
0 0
3
);
(3)cos( 240 )
0
2 (1) cos 225 cos(180 45 ) cos 45 ; 2 3
那么请大家再思考一下：
公式四：
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么关给系定？一它个们角的三 角，函角数2之间 与什角么关的系终？边有什
公式五:
sin(
)
cos
2
y=x
y2
Q (n,m)
P(m,n)
cos(
)
sin
2
0
x
公式五:
sin(
)
cos
2
cos(
)
sin
2
公式六:
sin( ) cos
2
cos(
)
sin
2
2
的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦
求 cos(15o ) 的值
练习
1.已知sin( x) 1 ,且0 x ,
4
5
2
求sin( x)的值.
4
2.已知sin(x ) 1 ,求sin(5 x) sin2 ( x)
64
6
3
的值.
思考 你能完成下列
填空吗？
(1)sin(3 ) __c_o_s__;
2
(2)sin(3 ) __c_o_s__;
2
cos(3 ) __s_i_n___
2
cos(3 ) __s_in____
2
例1 化简
sin(2 -)cos( )cos( )cos(11 -)
2
2
cos( -)sin(3 -)sin(- -)sin(9 )
1.3 三角函数的诱导公式
(第二课时)
公式一
sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan
公式二
sin sin cos cos tan tan
公式三
sin sin cos cos tan tan
公式四
sin sin cos cos tan tan
函数名不变，符号看象限
练习：
6
sin 1
2
cos 3
2
2 3 7 5
3
4
63
3
2
1
3
2
2
2
2
1 2 3
1
2
2
2
2
tan 3 3 1
3
3
3
3
例 1 判断下列函数的奇偶性 （1）f(x)=1-cosx (2) g(x)=x-sinx
解：（1）因为函数 f(x)定义域是 R，且 f(-x)=1-cos(-x)=1-cosx=f(x) 所以 f(x)是偶函数。
（2） 因为函数 g(x)定义域是 R，且 g(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-(x-sinx)=-g(x) 所以 g(x)是奇函数
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角三角函数
00～3600的角 的三角函数
可以简称为：负化正，大化小，化到锐角是 终了.
(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函
数值的符号.
sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan
sin sin cos cos tan tan
sin sin cos cos tan tan
sin sin cos cos tan tan
2
解：原式＝-ssiinn32ααccoossα2α =-tanα
练习
已知 tan 1，求值
3
sin3( ) cos(2 ) tan(2 )
sin( 2 ) cos( 3 ) tan( ) tan(3 )
2
2
例2 已知 cos(75o ) 1 且 180o 90o,
3
sin(
)
cos
2
sin(
)
cos
2
cos(
)
sin
2
cos(
)
sin
2
2k k
Z ,,
,
2
都可表示成
k
2
(k Z)
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限
k （k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；