人教备战中考数学培优专题复习相似练习题

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．

（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF•AD； （2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ． 【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90° ∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ; ②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°， ∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ，

由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ ∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，

(本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP) （2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°， ∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90°

∴tan∠CPQ= , 由①得AP=CQ,

又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= ， 由②得∠CBQ=∠CPQ，

∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= . 【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证； （2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可

得tan∠CPQ=，由AP:PC=1:3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答案. 2．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E。

（1）求证：DC2＝CE·AC；

（2）若AE＝2EC，求 之值；

（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH

＝ ，

求EC之长. 【答案】（1）证明：∵CD＝BC，∴∠DAC＝∠CDB，又∵∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE，

∴ ，∴DC2＝CE·AC；

（2）解：设EC＝k，则AE＝2k，∴AC＝3k，由（1）DC2＝CE·AC＝3k2 ， DC= k，连接OC，OD，

∵CD＝BC，∴OC平分∠DOB，∴BC＝DC＝ k， ∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB中， ，

∴OB=OC=OD= k，∴∠BOD＝120°，∴∠DOA＝60°，∴AD＝AO，∴ （3）解：∵CH是⊙O的切线，连接CO，∴OC⊥CH．∵∠COH＝60°，∠H＝30°， 过C作CG⊥AB于G， 设EC=k，∵∠CAB＝30°，∴ ， 又∵∠H＝∠CAB＝30°，∴AC＝CH＝3k，∴AH＝ ，

∵S△ACH＝ ， ∴ ，∴k2＝4，k＝2，即EC＝2．

【解析】【分析】（1）要证DC2＝CE·AC，只需证△ACD∽△DCE即可求解； （2）连接OC，OD，根据已知条件AE＝2EC可用含k的代数式表示线段AE、CE、AC，由（1）可将CD用含K的代数式表示，在Rt△ACB中，由勾股定理可将AB用含K的代数式表示，结合已知条件和圆的性质可求解； （3）过C作CG⊥AB于G，设EC=k，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可将CG用

含K的代数式表示，根据三角形ACH的面积=AHCG=9即可求解。

3．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2 ， 求t的值； （3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形 是矩形，

在 中， 分别是 的中点，

（2）解：如图1，过点 作 于 ，

（舍）或 秒 （3）解：四边形 为矩形时,如图所示： 解得： （4）解：当点 在 上时，如图2，

当点 在 上时， 如图3，

时，如图4，

时，如图5， 综上所述， 或 或 或 秒时， 是等腰三角形 【解析】【分析】（1）要证△BEF∽△DCB，根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得证。根据三角形中位线定理可得EF∥AD∥BC，可得一组内错角相等，由矩形的性质可得∠C=∠A=∠BEF=，所以 △BEF∽△DCB； （2）过点 Q 作QM⊥EF于M，结合已知易得QM∥BE， 根据相似三角形的判定可得

△QMF∽△BEF，则得比例式,QM可用含t的代数式表示 ，PF=4-t，所以三角形PQF的面积=QMPF=06，解方程可得t的值； （3）因为QG⊥AB，结合题意可得PQAB，根据相似三角形的判定可得QPFBEF，于是可得比例式求解； （4）因为Q在对角线BD上运动，情况不唯一。 当点Q在DF上运动时，PF=QF； 当点Q在BF上运动时，分三种情况： 第一种情况;PF =QF ;第二种情况：PQ=PF；第三种情况：PQ=FQ。

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．

（1）求证：BC＝CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝ ，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：∵DC2＝CE·CA，

∴， ∵∠DCE=∠ACD， ∴△CDE~△CAD， ∴∠CDE=∠CAD， 又∵∠CBD=∠CAD， ∴∠CDE=∠CBD， ∴CD=CB.

（2）解：连结OC（如图），设⊙O的半径为r，

由（1）知CD=CB， ∴弧CD=弧CB，

∴∠CDB=∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD，∠BOC=2∠CAB， ∴∠BOC=∠BAD， ∴OC∥AD，

∴， ∵PB＝OB， ∴PB=OB=OA=r，PO=2r，

∴=2， ∵CD=2， ∴PC=4，PD=PC+CD=6， 又∵∠PCB=∠CDB+∠CBD，∠PAD=∠PACB+∠CAD， ∴∠PCB=∠PAD， ∵∠CPB=∠APD， ∴△PCB~△PAD，

∴， 即， 解得：r=4. 即⊙O的半径为4.

【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得△CDE~△CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得 ∠CDE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得证. （2）连结OC，设⊙O的半径为r，根据圆周角定理可得∠BOC=∠BAD，由平行线的判定得OC∥AD，根据平行线所截线段成比例可得=2，从而求得PC、PD长，再根据相似三角形的判定可得△PCB~△PAD，由相似三角形的性质可得，从而求得半径. 5．如果三角形的两个内角 与 满足 ＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝________°； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由． （3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”．求对角线AC的长． 【答案】（1）15° （2）解：存在， 如图①，连结AE，

在Rt△ABC中， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD=90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， 又∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴∠B+2∠BAE=90°， ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠EAC=∠B, 又∵∠C=∠C, ∴△CAE∽△CBA，

∴ , 即CA2=CB·CE， ∵AC＝4，BC＝5，

∴CE= . ∴BE=BC-CE=5- = .

（3）解：如图②， 将△BCD沿BC翻折得到△BCF, ∵CD＝12， ∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD,∠CBD=∠CBF, 又∵BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD， ∴∠CBD+∠BCD=90°， ∴2∠CBD+2∠BCD=180°， 即∠ABD+∠CBD+∠CBF=180°， ∴A、B、F三点共线，

在Rt△AFC中， ∴∠CAB+∠ACF=90°，

即∠CAB+∠ACB+∠BCF=90°， ∴∠CAB+2∠ACB≠90°， ∵△ABC是“准互余三角形”, ∴2∠CAB+∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠BCF， ∵∠F=∠F, ∴△FCB∽△FAC，

∴ ,