寒假专题突破练高二数学(文科通用选修1-1、必修3)专题8 几何概型(解析) Word版含解析
高中数学 专题1.12 几何概型测试(含解析)新人教A版必修3
几何概型建议用时：45分钟 分值：80分一、选择题（30分）1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 【答案】 A【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A ．2．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.233.如图所示，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△AB E 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.234．扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C 、D 、E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A.310 B.15 C.25D.125．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA|<1的概率为( ) A.14 B.12 C.π4D ．π6．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝( )A ．12 B ．14 C ．32D ．74【答案】 D【解析】 由于满足条件的点P 发生的概率为12，且点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB ＞AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 于点F ，则BF ＝34x ．在Rt △FBE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，∴AD AB ＝74．二、填空题（15分）7．两人约定在下午3点和4点之间会面，要求先去的等后去的不超过12小时，否则先去的可以离开，则两人会面的概率为________．8．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．9．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A A 1BD 内的概率为________．【答案】 16【解析】 设长、宽、高分别为a 、b 、c ，则此点在三棱锥A A 1BD 内运动的概率P ＝16abc abc ＝16．三、解答题（35分）10．（10分）有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．11．（10分）设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．12.（15分）(1)在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，过点A 作一射线交线段BC 于点M ，求BM ≤AB 的概率；(2)在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，在线段BC 上取一点M ，求BM ≤AB 的概率．【解】 (1)记“过点A 作一射线交线段BC 于点M ，使BM ≤AB ”为事件Ω，由于是过点A 作一射线交线段BC 于点M ，所以射线在∠BAC 内是等可能出现的，又当AB ＝BM 时，∠BAM ＝67．5°，所以P (Ω)＝d 的测度D 的测度＝67.5°90°＝34． (2)设AB ＝AC ＝1，则BC ＝2，设“过点A 作一射线交线段BC 于点M ，使BM ≤AB ”为事件Ω， 则P (Ω)＝d 的测度D 的测度＝12＝22．。
寒假专题突破练高二数学(文科通用选修1-1、必修3)专题5 相关性与回归直线方程(解析)
专题5 相关性与回归直线方程1．两个变量线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：假如散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线四周，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )． ②设所求回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^是待定参数． ③由最小二乘法得⎩⎨⎧b ^＝∑n i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2a ^＝y －b ^x.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^是截距．例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．变式1 有关法律规定，香烟盒上必需印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟是否肯定会引起健康问题？有人认为“健康问题不肯定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？例2 以下是某地搜集到的新居屋的销售价格和房屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关．变式2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(1)画出散点图；(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？例3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了争辩气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(1)画出散点图；(2)从散点图中发觉气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归方程；(4)假如某天的气温是2℃，猜测这天卖出的热饮杯数．变式3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1)请推断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，假如不具有线性相关关系，说明理由； (2)假如具有线性相关关系，求出回归直线方程．A 级1．下列两个变量之间的关系： ①角度和它的余弦值； ②正n 边形的边数与内角和； ③家庭的支出与收入；④某户家庭用电量与电价间的关系． 其中是相关关系的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过( ) A ．点(0,0) B ．点(x ，0) C ．点(0，y )D ．点(x ，y )3．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时有下列步骤：①用所求出的回归方程作出估量；②收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ；③求回归直线方程；④求相关系数；⑤依据所搜集的数据绘制散点图．假如依据牢靠性要求能够作出变量x ，y 具有线性相关结论，则正确的操作挨次是( ) A ．①②⑤③④ B ．③②④⑤① C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①4.设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数肯定相同D ．直线l 过点(x ，y )5．若对某个地区人均工资x 与该地区人均消费y 进行调查统计得y 与x 具有相关关系，且回归方程y ^＝0.7x ＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估量该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．6．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名同学的成果进行分析，得到数学成果y 对总成果x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估量：若两个同学的总成果相差50分，则他们的数学成果大约相差________分． 7．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：依据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估量，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元B 级8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：依据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元D ．72.0万元9．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列推断正确的是( ) A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元 B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D ．劳动生产率为1千元时，工资为90元10．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －20011．如图所示，有5组(x ，y )数据，去掉数据________后，剩下的4组数据的线性相关性变强( )A ．EB ．DC ．BD ．A12．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法猜测他孙子的身高为__________cm.13．下表供应了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对比数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试依据(2)求出的回归方程，猜测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)详解答案典型例题例1解两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，由于人的年龄达到肯定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．变式1解从已经把握的学问来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟之外，还有很多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更简洁发觉由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不肯定引起健康问题．但吸烟引起健康问题的可能性大．因此“健康问题不肯定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的．例2解散点图如下：由上图可看出，销售价格与房屋面积这两个变量正相关．变式2解(1)散点图如下：(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．例3解(1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的四周，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器简洁求得回归方程y^＝－2.352x＋147.767.(4)当x＝2时，y^＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．变式3解(1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图．直观推断散点在一条直线四周，故具有线性相关关系．(2)计算相应的数据之和：∑i＝18x i＝1 031，∑i＝18y i＝71.6，∑i＝18x2i＝137 835，∑i＝18x i y i＝9 611.7.将它们代入公式计算得b^≈0.077 4，a^≈－1.024 9，所以，所求回归方程为y^＝0.077 4x－1.024 9.强化提高1．A 2.D3．D[本题考查具有线性相关关系的两个变量的争辩步骤，应先收集数据，再作散点图，求相关系数，求回归方程，最终应用回归方程作出估量，则挨次为②⑤④③①.]4．D [相关系数r 的计算公式与l 斜率的计算公式不一样，故A 错；由|r |＜1知B 错；分布在l 两侧的点的个数没有什么规律，故C 错；(x ，y )为样本点的中心，回归直线过样本的中心，故D 正确．] 5．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ，则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 6．20解析 令两人的总成果分别为x 1，x 2. 则对应的数学成果估量为y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 7．B [先求a ^，再利用回归直线方程猜测． 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋7.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．]8．B [由题意可知x ＝3.5，y ＝42，则42＝9.4×3.5＋a ^，a ^＝9.1，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选B.] 9．C [因工人月工资与劳动生产率变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^2－y ^1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.] 10．A 11.B 12．185解析 依据题中所供应的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：x ＝173，y ＝176，∴b ^＝∑i ＝13(x i －x )(y i －y )∑i ＝13(x i －x )2＝3×6(－3)2＋32＝1，a ^＝y －b ^x ＝176－173＝3，∴回归方程为y ^＝x ＋3，从而可猜测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)． 13．解 (1)散点图如下图所示：(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^ ＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (3)现在生产100吨甲产品用煤 y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35， ∴90－70.35＝19.65.∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．。
高二(文)数学寒假作业 人教A版 必修2、选修1-1
高中数学人教A 版 必修2、选修1-1一、选择题（每小题5分，共50分）：1、对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)162.、双曲线1422=-y x 的渐近线方程和离心率分别是（ ）A.3;2=±=e x y B. 5;21=±=e x y C.3;21=±=e x y D.5;2=±=e x y 3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ）A 、334a ； B 、3312a ； C 、234a ； D 、23a 。
4、双曲线4x 2+ty 2-4t=0的虚轴长等于( ) A.t 2 B ．-2t C ．t -2 D ．4 5、圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是（ ） A ．22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)4x y -+-=C ．22(1)(1)2x y +++= D ．22(1)(1)4x y +++=6、若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ） A ．1-或3 B ．1或3 C ．2-或6 D ．0或47、椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98、y 2=mx 的焦点到准线的距离为4，点P 在抛物线上，且P 到准线的距离为10，则P 点的纵坐标为：（ ）A 、±12B 、±8C 、±10D 、±49、（上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2PEDCBA10、由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B ．22C ．7D ．3二、填空题（每小题5分，共25分）：11、点()2,1M 直线:3230l x y --=的距离是 .12、圆1O :2220x y x +-=和圆2O :2240x y y +-=的位置关系是： .13、过点A （-1，-2）且与椭圆19622=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程是 .14、AB 是过C:x y 42=焦点的弦，且10=AB ,则AB 中点的横坐标是__________.15、个几何体的三视图如上图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形， 则这个几何体的侧面积为__________.三、解答题（16-18每题13分，19-21每题12分，共75分）：16、在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E .(1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC.第15题17、若双曲线的焦点在y 轴,实轴长为6,渐近线方程为x y 23±=,求双曲线的标准方程.18、已知21,F F 是椭圆1204522=+y x 的两个焦点，M 是椭圆上的点，且21MF MF ⊥．（1）求21F MF ∆的周长； （2）求21F MF ∆的面积．19、已知椭圆C:)2(,14222>=+a y a x 上一点P 到它的两个焦点1F （左）,2F （右）的距离的和是6，（1）求椭圆C 的离心率.（2）若x PF ⊥2轴，且p 在y 轴上的射影为点Q ，求点Q 的坐标.20、在平面直角坐标系xOy 中，以(1,2)C -为圆心的圆与直线3210x y +++=相切． （1）求圆C 的方程；（2）求过点(3,4)且截圆C 所得的弦长为25的直线方程．21、已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的标准方程； （2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N 两点，且1659MN =，求直线l 的方程.。
寒假专题突破练高二数学(文科通用选修1-1、必修3)专题6 随机事件及其概率
专题6 随机大事及其概率1．大事的概念及分类大事⎩⎪⎨⎪⎧确定大事⎩⎪⎨⎪⎧不行能大事：在条件S 下，肯定不会发生的大事，叫做相对于条件S 的不行能大事必定大事：在条件S 下，肯定会发生的大事，叫做 相对于条件S 的必定大事随机大事：在条件S 下，可能发生也可能不发生的事 件，叫做相对于条件S 的随机大事2．频数与频率在相同的条件S 下重复n 次试验，观看某一大事A 是否消灭，称n 次试验中大事A 消灭的次数n A 为大事A 消灭的频数，称大事A 消灭的比例f n (A )＝n An 为大事A 消灭的频率．3．概率(1)含义：概率是度量随机大事发生的可能性大小的量．(2)与频率联系：对于给定的随机大事A ，大事A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估量概率P (A )．例1 指出下列大事是必定大事、不行能大事，还是随机大事： (1)假如a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a ；(2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签； (3)没有水分，种子发芽；(4)某电话在60秒内接到至少5次召唤； (5)在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾． (6)同性电荷，相互排斥．变式1 指出下列大事是必定大事、不行能大事还是随机大事： (1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军； (2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯； (3)若x ∈R ，则x 2＋1≥1；(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12.例2 从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( )A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37变式2 某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上有53次，设正面朝上为大事A ，则大事A 消灭的频数为________，大事A 消灭的频率为________．例3 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表：(1)将各组的频率填入表中；(2)依据上述统计结果，估量灯管使用寿命不足1 500小时的概率． 变式3 一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：(1)计算男婴诞生的频率(精确到0.000 1)； (2)这一地区男婴诞生的概率约是多少？A 级1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中恰有5次正面对上是( ) A ．必定大事 B ．随机大事 C ．不行能大事D ．无法确定2．下列说法正确的是( ) A ．任一大事的概率总在(0,1)内 B ．不行能大事的概率不肯定为0C ．必定大事的概率肯定为1D ．以上说法均不对 3．给出下列三个命题：①集合{x ||x |<0}是空集是必定大事； ②y ＝f (x )是奇函数，则f (0)＝0是随机大事； ③对顶角不相等是不行能大事． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．某市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指( ) A ．明天该地区约90%的地方会降水，其余地方不降水 B ．明天该地区约90%的时间会降水，其余时间不降水C ．气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余的专家认为不降水D ．明天该地区降水的可能性为90%5．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8 000件产品中合格品的件数约为________．6．已知随机大事A 发生的频率是0.02，大事A 消灭了10次，那么共进行了________次试验． 7．“从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球”的大事中，一次试验是指________，试验结果是指________． B 级8．给出关于满足A B 的非空集合A ，B 的四个命题： ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必定大事； ②若任取x ∉A ，则x ∈B 是不行能大事； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机大事； ④若任取x ∉B ，则x ∉A 是必定大事． 其中正确的命题是( )A ．①③B ．①③④C ．①②④D ．①④9．某医院治疗一种疾病的治愈率为15，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人治愈的概率是( )A ．1 B.15 C.45D ．010．在下列各大事中，可能性最大的是( ) A ．任掷一枚骰子，点数小于等于2B ．有10 000张彩票，其中100张是中奖彩票，从中随机买1张是中奖彩票C ．任买一张电影票，座号是偶数D ．一袋中装有10个球，其中9个红球，1个白球．从中随机摸出一球是红球11．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少消灭一次正面与两次均消灭反面的概率比为________．12．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中哪一个能代表教练的观点________．(填序号)①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标； ②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.13．元旦就要到了，某校将进行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任打算用抽签的方式打算，机灵的小强给小华出办法，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？说说看．14．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B .转盘A 被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B 被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个玩耍规章：自由转动转盘A 与B ，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，假如和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的玩耍规章公正吗？假如公正，请说明理由；假如不公正，怎样修改规章才能使玩耍对双方公正？详解答案典型例题例1 解 结合必定大事、不行能大事、随机大事的定义可知(1)、(6)是必定大事；(3)、(5)是不行能大事；(2)、(4)是随机大事．变式1 解 由题意知：(1)(2)中大事可能发生，也可能不发生，所以是随机大事；(3)中大事肯定会发生，所以是必定大事；由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大值是12，不行能大于12，所以(4)中大事不行能发生，是不行能大事．例2 A [频率＝频数容量，故取到号码为奇数的频率为13＋5＋6＋18＋11100＝0.53.]变式2 53 0.53例3 解 (1)频率依次是：0.048,0.121，0.208，0.223,0.193，0.165，0.042.(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6，所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 变式3 解 (1)计算mn ，即得到男婴诞生的频率依次是：0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.(2)由于这些频率格外接近0.517 3，因此这一地区男婴诞生的概率约为0.517 3. 强化提高1．B 2.C 3.D 4.D 5.7 840 6．500解析 设进行了n 次试验，则有10n ＝0.02，得n ＝500，故进行了500次试验．7．取出一球 得到一排球或者一足球 8.B9．B [每一个病人治愈与否都是随机大事，故第5个人被治愈的概率仍为15.]10．D 11．3∶1解析 将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．至少消灭一次正面有3种情形，两次均消灭反面有1种情形， 故答案为3∶1.12．②13．解 其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标有1、2、3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把状况填入下表：从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种状况，第一、二两种状况，甲中签；第三、五两种状况，乙中签；第四、六两种状况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后． 14．解 列表如下：由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种． 由于P (和为6)＝312＝14，所以甲、乙获胜的概率不相等．所以这样的玩耍规章不公正．假如将规章改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时玩耍规章是公正的．。
寒假专题突破练高二数学(文科通用1-1、3)专题14 抛物线(解析) 含解析
专题14抛物线1．抛物线的定义2．抛物线的标准方程3．抛物线的几何性质4．直线与抛物线的位置关系讨论直线与抛物线的位置关系，一般是将直线方程与抛物线的方程联立成方程组，消去y得关于x的方程ax2＋bx＋c＝0,讨论a及判别式Δ,由ax2＋bx＋c＝0解的情况得到直线与抛物线的位置关系．当a≠0且Δ<0时，直线与抛物线没有公共点；当a≠0且Δ＝0时，直线与抛物线相切,有一个公共点；当a＝0且b≠0时，直线与抛物线相交，有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行；当a≠0且Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点．例1 设抛物线C：y2＝2px（p>0)的焦点为F，点M在C上，｜MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2）,则C的方程为（）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x变式1 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ）A.错误!B．3 C.错误!D。
错误!例2 已知抛物线C：y2＝8x与点M（－2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若错误!·错误!＝0，求k的值．变式2 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P（－1,0)的直线l 交抛物线C于A、B两点,点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．例3 如图,已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上,且∠AOB＝90°。
证明:直线AB必过一定点；变式3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证:直线BC的斜率是定值．A级1．已知抛物线y2＝2px（p＞0)的准线经过点（－1，1），则该抛物线焦点坐标为（)A．（－1,0) B．（1，0）C．（0,－1）D．(0，1）2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点,|AF|＋｜BF｜＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A.错误!B．1 C。
《寒假专题突破练》高一(必修1、必修2)专题练习专题8 数与方程
专题8 函数与方程1．函数零点(1)概念对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．(2)意义函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(3)求法①(代数法)求方程f (x )＝0的实数根；②(几何法)求函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理．3．二分法(1)概念①中点：一般地，我们把a ＋b 2称为区间(a ，b )的中点； ②二分法．(2)用二分法求函数零点近似值的基本步骤．例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]；(2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．变式训练1 求下列函数的零点．(1)f (x )＝x 3＋1；(2)f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2.例2 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若ac ＜0，则函数f (x )的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定变式训练2 若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－12例3 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的两个零点都在(－2,4)内，求实数a 的取值范围．变式训练3 若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的值；A 级(第1,7题是考查偶函数的性质及零点的概念，解题关键是利用偶函数的对称性．)1．已知函数f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．42．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(第3题考查的是函数图象与零点的关系，解题关键是将函数图象画出来，然后判断交点个数．)3．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(第4题考查的是零点存在性定理，解题方法是将答案一一验证．)4．设x 0是方程ln x ＋x －4＝0的解，则x 0属于区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(第5题考查的是零点的概念，求解方法是直接将零点求出来．)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x 2＋x ，x <0的零点的个数为________． 6．函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．7．函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．B 级8．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无关判断(第9,12题考查了零点的性质应用，求解方法是利用零点的性质，辅助图象解题．)9．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－235，1D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 10．方程2x ＝x 2的实数根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数多11．方程93x －1＋1＝3x 的实数解为________． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．13．不用求根公式，求函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1的零点的个数，并比较零点与3的大小．14．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．答案精析专题8 函数与方程典型例题例1 解 (1)方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0，f (8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f (1)·f (8)<0，故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，x ∈[1,8]．∴(x －6)(x ＋3)＝0，∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．(2)方法一 ∵f (1)＝log 23－1>log 22－1＝0，f (3)＝log 25－3<log 28－3＝0，∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．方法二 设y ＝log 2(x ＋2)，y ＝x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x ≤3时，两图象有一个交点，因此f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．变式训练1 解 (1)f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)，令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0，解得x ＝－1， 即函数f (x )＝x 3＋1的零点为x ＝－1；(2)令x 3－2x 2－x ＋2＝0，化得(x ＋1)(x －1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝1或x ＝2， 所以函数y ＝x 3－2x 2＋x －2的零点分别为x ＝－1或x ＝1或x ＝2.例2 C [因ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，即函数f (x )的零点个数为2.]变式训练2 A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0，∴b ≠0，a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 例3 解 设函数的两个零点为x 1与x 2，且－2<x 1<x 2<4，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0f (4)>0Δ≥0－2<－－2a 2<4，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3>0a 2－8a ＋15>0Δ＝4≥0－2<a <4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－3或a >－1a <3或a >5－2<a <4， 所以实数a 的取值范围为－1<a <3.变式训练3 解 若a ＝0，则f (x )＝－x －1，令f (x )＝0，即－x －1＝0，得x ＝－1，故符合题意；若a ≠0，则f (x )＝ax 2－x －1是二次函数；故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上所述a ＝0或a ＝－14. 强化提高1．A [因为函数f (x )是偶函数，所以其y 轴左右各两个点是关于y 轴对称的，则该函数的所有零点之和为0，选A.]2．C [Δ＝m 2－4>0，m >2或m <－2，应选C.]3．B [画出两个函数f (x )，g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象的交点个数为2.]4．C [令f (x )＝ln x ＋x －4，则f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，选C.]5．1解析 令f (x )＝0，当x ≥0时，x ＋1＝0，解得x ＝－1，不合适，舍去．当x <0时，x 2＋x ＝0，解得x ＝－1或x ＝0(不合适，舍去)．∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x 2＋x ，x <0的零点是－1，其个数为1. 6．(－∞，0]∪{1}解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx 2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.7.92解析 设方程f (x )＝0的三个实根分别为x 1，x 2，x 3，因为对称轴为x ＝32， 所以x 2＝32，且32－x 1＝x 3－32， 则x 1＋x 3＝3，所以x 1＋x 2＋x 3＝92. 8．B [依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点．]9．C [设f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2<0，∴由x 2＋ax －2＝0在区间[1, 5]上有解，只需f (1)≤0且f (5)≥0即可，解得－235≤a ≤1.] 10．C [画出函数y 1＝2x 与y 2＝x 2的图象可知x ＝2与x ＝4时，y 1＝y 2，当x <0时存在一个x 使y 1＝y 2；当x >4时，函数y 1＝2x 递增的速度明显比y 2＝x 2快，即x >4后，再没有交点，故选C.]11．log 34解析 令t ＝3x (t >0)，则原方程可化为：(t －1)2＝9(t >0)．∴t －1＝3，t ＝4，即x ＝log 34可满足条件，即方程93x －1＋1＝3x 的实数解为 log 34. 12．1<a <2解析 画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2. 当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax y ＝－x 2－5x －4 得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)，则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1<a <2.13．解 f (x )＝(x －2)(x －5)－1＝x 2－7x ＋9，令x 2－7x ＋9＝0，则x 2－7x ＋9＝0， Δ＝(－7)2－4×9＝13>0，所以方程x 2－7x ＋9＝0有两个不等实数根，即函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1有两个零点；又因为f (3)＝(3－2)(3－5)－1＝－3<0，且函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1为开口向上的抛物线，所以函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1的零点有一个大于3，另一个小于3.14．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a≤－1， 即0≤a ≤12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1， ∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12a )≤0，f (1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1， ∴a 的取值范围是[1，＋∞)．。
高三文科数学(通用版)二轮复习第1部分 专题3 突破点6 古典概型与几何概型 Word版含解析
专题三概率与统计建知识网络明内在联系扫一扫，各专题近五年全国考点分布高考点拨]本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，考查内容强化“用数据说话，用事实说话”，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“用样本估计总体”“古典概型与几何概型”“独立性检验与回归分析”三个方面分类进行引导，强化突破．突破点古典概型与几何概型提炼古典概型问题的求解技巧()直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解．()画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．()逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．()活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决．提炼几何度量法求解几何概型准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键，常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等．提炼求概率的两种常用方法()将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．()若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．回访古典概型．(·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中，余下的种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )从种颜色的花中任选种颜色的花种在一个花坛中，余下种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共种，故所求概率为＝＝，故选.] .(·全国卷Ⅰ)如果个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这个数为一组勾股数，从中任取个不同的数，则这个数构成一组勾股数的概率为( )从中任取个不同的数共有如下个不同的结果：()，()，()，()，()，()，()，()，( )，()，其中勾股数只有()，所以概率为.故选.]．(·全国卷Ⅰ)从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是( )。
高二数学3.3.1几何概型练习新人教A版必修3
) ，故所求概率为
4π 1
＝
π .
4
S
6．在面积 S 为△ ABC的边 AB上任取一点 P，则△ PBC的面积大于 4的概率是 (
)
1
1
A.
B.
4
2
3
2
C.
D.
4
3
[ 答案 ] C
1 [ 解析 ] 如图， 设点 C 到边 AB的距离为 h，则 S ＝ △ABC | AB| · h，S△PBC
2
1
1
1
184 23 P( A) ＝ 600＝ 75≈0.31.
[ 点评 ] 解决此类题的关键：
(1) 根据题意确定是与面积 ( 体积 ) 有关的几何概型； (2) 找出或构造出对应的几何图形，求出面积 ( 体积 ) ．
能力提升
一、选择题
1．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于
1
的概率为 ( )
π
π
π
A. 16 B. 8 C. 4
π D. 2
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于
1πຫໍສະໝຸດ 为半径的 4圆内，所以所求的概率为 8 .
1，则此点落在以直角顶点为圆心， 1
2．一只蚂蚁在边长分别为 小于 1 的地方的概率为 (
3,4,5 的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不 )
1
1
1
A. B.
C.
D.
3
6
2
4
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 体积型几何概型问题．
VA1－ABC 1
P＝
VABC－D
＝ A1B1C1D1
高二数学 寒假作业练习(无答案) 新人教A版选修1
高二数学寒假作业（文）（选修）一．选择题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A 、 真命题与假命题的个数相同 B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列命题是真命题的是（ ）A.2,(0x R x ∀∈-> B.2,0x Q x ∀∈>C.,3812x Z x ∃∈=D.2,346x R x x ∃∈-= 3、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．3104、对抛物线24y x =，下列描述正确的是 A 、开口向上，焦点为(0,1) B 、开口向上，焦点为1(0,)16C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)165、双曲线14322=-x y 的渐近线方程是( ) A. x y 23±= B. x y 332±= C. x y 43±= D. x y 34±= 6、抛物线x y 122=上与焦点的距离等于8的点的横坐标是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、57、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ）A 、充分不必要条B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 8、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A 、25-B 、25C 、1-D 、19、已知4||=AB ，点P 在A 、B 所在的平面内运动且保持6||||=+PB PA ，则||PA 的最大值和最小值分别是 ( )A ．5、3B ．10、2C ．5、1D ．6、410、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 11、函数323922yx x x x 有 （ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值12、设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．（－1，0）∪（1，+∞） B ．（－1，0）∪（0，1） C ．（－∞，－1）∪（1，+∞） D ．（－∞，－1）∪（0，1） 二．填空题 13、“5a ≥且2b ≥”的否定是14、求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线且经过点(3,2)M -的双曲线方程 15、函数32x x y -=的单调增区间为 ，16、以(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为： ． 三、解答题：17、已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程。
寒假专题突破练高二数学(文科通用选修1-1、必修3)专题16 用导数研究函数的性质(解析)
专题16 用导数争辩函数的性质1．函数的单调性与导数(1)函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，假如在这个区间内f ′(x )>0，那么函数f (x )为这个区间内的增函数；假如在这个区间内f ′(x )<0，那么函数f (x )为这个区间内的减函数．(2)函数f (x )在(a ，b )上是增函数，则f ′(x )≥0；函数f (x )在(a ，b )上是减函数，则f ′(x )≤0. 2．函数的极值与导数(1)若x 0满足f ′(x 0)＝0，且在x 0的两侧f (x )的导数异号，则x 0是f (x )的极值点，f (x 0)是极值，并且假如f ′(x )在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x )的极大值点，f (x 0)是极大值；假如f ′(x )在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x )的微小值点，f (x 0)是微小值．(2)f (x )在某个区间内有导数，“f ′(x 0)＝0”是“x 0是f (x )的极值点”的必要不充分条件． 3．函数的最值与导数求解闭区间[a ，b ]上函数最值的方法： (1)求极值； (2)求f (a )、f (b )；(3)比较f (a )、f (b )、极值的大小，确定最大值、最小值．例1 已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，求函数的单调区间．变式1 已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1在[2，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围．例2 已知函数f (x )＝x －1＋aex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．变式2 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )，设a ≥0，求f (x )的单调区间． 变式3 推断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x2．函数y ＝1＋3x －x 3有( ) A ．微小值－1，极大值1 B ．微小值－2，极大值3C ．微小值－2，极大值2D ．微小值－1，极大值33．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．95．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．6．若f (x )＝－12x 2＋b ln x 在[1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．7．设方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则常数k 的取值范围是________． B 级8．函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值9.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )10．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有微小值，则实数a的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．12．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值c－16.(1)求a、b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．13．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．详解答案典型例题例1 解 f ′(x )＝3x 2－62x ＋3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1. 当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )＞0， f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )<0， f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x ∈(2－1，＋∞)时，f ′(x )＞0， f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． 变式1 解 f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)，由题意知，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即a ≥－x 2＋12x 在[2，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－x 2＋12x ，则g ′(x )＝－12(1－1x2)，明显，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )<0， 即g (x )在[2，＋∞)上是减函数， 所以g (x )≤g (2)＝－54，所以a 的取值范围是[－54，＋∞)．例2 解 f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得微小值且微小值为f (lna )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值．当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得微小值ln a ，无极大值． 变式2 解 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a令f ′(x )＝0，得两根 x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1，x 2]上单调递增，在[x 2,4]上单调递减， 所以，最大值为f (x 2)，最小值为f (1)或f (4)．又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.例3 解 f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x .当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x.①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，当x >1b时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，由f ′(x )＝0得2ax 2＋bx －1＝0. 解得x 1＝－b －b 2＋8a 4a ，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a，此时x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，当x >x 2时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述：当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.变式3 解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a. 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a ＋12a 上单调递增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， －a ＋12a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 强化提高 1．B2．D [f ′(x )＝－3x 2＋3，由f ′(x )＝0可得x 1＝1，x 2＝－1.由极值的判定方法知f (x )的极大值为f (1)＝3，微小值为f (－1)＝1－3＋1＝－1，故选D.] 3．D4．D [f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ， ∴2ab ≤6，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴ab 的最大值为9.] 5．[3，＋∞)解析 由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 又f ′(x )＝2x ＋a －1x2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 分别参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，需a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max . 令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 由于h ′(x )＝－2x3－2，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0， 即h (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减， 所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，故a ≥3. 6．(－∞，1]解析 转化为f ′(x )＝－x ＋bx ≤0在[1，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2，则g (x )min ＝1， 故b 的取值范围是(－∞，1]． 7．(－2,2)解析 设f (x )＝x 3－3x －k ，则f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0得x ＝±1，且f (1)＝－2－k ，f (－1)＝2－k ，又f (x )的图象与x 轴有3个交点，故⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，－2－k <0，∴－2<k <2.8．C [令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x(x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0， 得x ＝±1.当x 变化时，y ′与y 的变化状况如下表：由表可知x ＝－1时，y 取微小值也是最小值－2；x ＝1时，y 取极大值也是最大值2.]9．B [从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．] 10．(1,4)解析 y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a >0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析， 当1<a <2，即1<a <4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有微小值． 11．－37解析 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，明显f (0)>f (2)>f (－2)， ∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37. 12．解 (1)由于f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝08a ＋2b ＋c ＝c －16， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝04a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数， 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得微小值f (2)＝c －16，由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12， 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4. 13．解 (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，由于曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b .解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a >0时，h (x )与h ′(x )的变化状况如下表：所以函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞； 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. 当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2<－1，且－a6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 当－a6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又由于h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1. 综上，f (x )＋g (x )在(－∞，－1]上的最大值为h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －14a 2，0<a ≤2，1，a >2.。
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专题几何概型
．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型，简称几何概型．
．几何概型的特点
()试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
()每个基本事件出现的可能性相等．
．几何概型的概率公式
()＝.
例某公共汽车站，每隔分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠分钟．
()求乘客到站候车时间大于分钟的概率；
()求候车时间不超过分钟的概率；
()求乘客到达车站立即上车的概率．
变式在等腰△中，在斜边上取一点，则的长小于的长的概率为()
例向面积为的△内任意投一点，则△的面积小于的概率是多少？
变式
如右图，在半径为的半圆内放置一个边长为的正方形，向半圆内任投一点，则该点落在正方
形内的概率为．
例已知正方体－的棱长为，在正方体内随机取点，求使四棱锥－的体积小于的概率．
变式
已知正三棱锥－的底面边长为，高为，在正三棱锥内取点，试求点到底面的距离小于的概率
．
级
．在区间[－]上任取两数和，组成有序实数对(，)，记事件为“＋<”，则()等于()
．π．π
．在棱长为的正方体－中，点为底面的中心，在正方体－内随机取一点，则点到点的距离大
于的概率为()
．－．－
．已知△中，∠＝°，＝，＝，在上任取一点，则使△为钝角三角形的概率为()
．在长为厘米的线段上任取一点，用为半径作圆，则圆的面积介于π平方厘米到π平方厘米
的概率是()
．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三
角形内的概率为．
．在边长为的正三角形内任取一点，则使点到三个顶点的距离至少有一个小于的概率是．
．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为，把一枚半径为的硬币任意投掷在这个平
面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是．
级
．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为秒，黄灯的时间为秒，绿灯的时间为秒，那么你
看到黄灯的概率是()