2015第三章 平稳随机过程的谱分析
通信专业中的一些重要公式
第一章 绪论 1.传码率B R即波型（码元）传输速率，每秒钟传输的码元速率。
常表示为B R ，单位为“波特（Baud ）”。
)(1Baud T R B =（1.1-1）式中：T 是每个码元占有的时间长度，单位是s 。
2.传信率b R ：即信息传输速率，指每秒钟传输的信息量。
常表示为b R ，单位是“比特/秒（bit/s 或bps ）”。
对于二进制码元，传码率和传信率数值相等，但单位不同。
对于多进制码元，两者不同，但可以通过下列公式进行转换。
)/(log 2s bit N R R B b ⋅= （1.1-2）式中：N 是进制数。
3.误码率e P是指错误接收的码元数在传送总码元数中所占的比例，或者更确切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率。
即e P = 错误接收码元数目/传输码元总数目 （1.1-3） 4.误信率b P又称误比特率，是指错误接收的信息量在传送信息总量中所占的比例，或者说，它是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。
即b P = 错误接收比特数/传输总比特数 (1.1-4）5.信息量单个符号的信息量[])(1log )(log )(i a i a i x P x P x I =-= （1.2-2）6.熵（平均信息量）∑∑-==Xa Xx P x P x I x P X H )(log )()()()( （1.2-10）式中X 为离散信源符号集合，)(X H 的单位取决于对数底a 的取值，通常情况下取2=a ，这时，)(X H 的单位为bit /符号。
若离散信源X 中只有M 个符号，则上式又可以表示成下式∑=-=Mi i a i x P x P X H 1)(log )()( （1.2-11）7.连续信道连续信道的信道容量，由著名的香农（Shannon ）公式确定，其内容为：假设信道的带宽为)(Hz B ，信道输出的信号功率为)(W S ，输出的加性带限高斯白噪声功率为)(W N ，则该信道的信道容量为())/(/1log 2s bit N S B C += （1.3-26）若噪声的单边功率谱密度为0n ，则有噪声功率为B n N 0=，可得香农公式的另一种形式[])/()/(1log 02s bit B n S B C += （1.3-27）其中0称为信道容量的“三要素”。
通信原理辅导及习题解析
通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。
第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。
（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。
② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。
③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。
⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。
2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。
随机信号分析第一章
的理论与方法，必然是“张冠李戴”
t
无法得到正确的处理结果。
14
随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所 遇到的大量信号均属于随机信号。如：
（1）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。 （2）－某交叉路口每天24小时测量的噪音的分贝记录。 （3）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。 （4）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。 (5)－反映地球物理特性的“地震信号”。 (6)－人说话时发出的“语音信号”。 （7）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。 (8)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。
7
分析确定信号所用的数学工具有：微富积氏分变、换线、性拉代氏数变、换复、变等函等数
分析随机信号所用的数学工具有：随机概过率程论理论
上述的所有
数学工具
概率论研究的对象－－随机变量 X
随机过程理论研究的对象－－随机过程 X (t)
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（一）课程的特点、地位、作用和任务：
20
教材及主要参考书
教材：随机信号分析基础（第4版） 王永德 王军 （编著）
电子工业出版社
参考教材：
李晓峰,周宁等编著 随机信号分析(第4版) 电子工业出版社
随机信号分析 赵淑清 郑薇（编著） 哈尔滨工业大学出版社
随机信号处理 陆光华 彭学愚 西安电子科技大学出版社
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参考书籍
李晓峰,周宁等编著,随机信号分析(第4版)，电子工业出版社
29
30
1.1 概率的基本概念
定义(概率的统计定义) ：
在一定条件下,重复做 N 次实验, NA为 N 次实验中
事A发生的次数,如果随着
N
逐渐增大,频率
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
⎧8δ (ω ) + 20(1 − ω /10), （2） S (ω ) = ⎨ 0, ⎩ 求它们的自相关函数和均方值。 解：(1)
(4) 否， R Y (0) = −1 在原点不是非负 (5)是 3.15 3.16 已 知 随 机 过 程 X (t ) 和 Y (t ) 独 立 且 各 自 平 稳 ， 自 相 关 函 数 为 RX (τ ) = 2e − τ cos ω0τ 与 RY (τ ) = 9 + exp(−3τ 2 ) 。令随机过程 Z (t ) = AX (t )Y (t ) ，其中 A 是均值为 2，方差为 9 的随机变量，且与 X (t ) 和 Y (t ) 相互独立。求过程 Z (t ) 的 均值、方差和自相关函数。 解： (6) 是 (7) 是 (8) 是
2 2 3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程 X ( t ) 和 Y ( t ) ， 已知 σ X = 5 ，σY = 10 ，
问下述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1） RX (τ ) = 5u (τ ) exp ( −3τ ) ； （3） RY (τ ) = 9 (1 + 2τ 2 ) ； ⎡ sin ( 3τ ) ⎤ （5） RX (τ ) = 5 ⎢ ⎥ ； ⎣ 3τ ⎦ （6） RX (τ ) = 5 exp(− τ ) ； 解：根据平稳随机信号相关函数的性质， (1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否， R Y (0) = 9 ≠ σ 2Y
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机过程在随机信号处理中的应用
随机过程在随机信号处理中的应用随机过程在随机信号处理中的应用随机信号处理是一门研究随机信号的统计特性以及如何处理和分析随机信号的学科。
而随机过程是随机信号的数学模型，描述了随机信号在时间上的演变过程。
因此，随机过程在随机信号处理中扮演着重要的角色。
本文将介绍随机过程在随机信号处理中的应用。
一、时域随机过程的分析1. 自相关函数与互相关函数随机过程的自相关函数描述了信号在不同时间的相关性。
自相关函数可以通过计算信号在不同时间上的互积来得到，而随机过程的互相关函数则可以反映不同信号之间的相关性。
通过分析自相关函数和互相关函数，可以获得信号的周期性、相似性以及相关系数等信息。
2. 平均功率和功率谱密度随机过程的平均功率可以表示信号在统计意义上的能量大小。
对于平稳随机过程，其平均功率是一个常数。
而功率谱密度则是描述信号能量在频域上的分布情况。
通过分析功率谱密度，可以了解信号的频率成分以及频率成分的强弱程度。
二、频域随机过程的分析1. 傅立叶变换傅立叶变换是一种常用的频域分析方法，可以将信号从时域转换到频域。
对于随机过程而言，可以通过傅立叶变换来得到频域上的信号表示。
通过分析信号在频域上的特性，可以获得信号的频谱信息。
2. 相位谱相位谱是频域随机过程中的一个重要概念，表示了信号在频域上各个分量的相位关系。
相位谱可以用于分析信号的相位变化情况，帮助理解信号的时序特性。
三、随机过程模型1. 平稳随机过程平稳随机过程是指在时间上统计特性保持不变的随机过程。
平稳随机过程常用于建立信号的数学模型，通过分析其统计特性，可以对信号的未来变化进行预测。
2. 马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是一种特殊的随机过程，具有“无记忆性”的特点。
在随机信号处理中，马尔可夫随机过程常用于建立信号的模型，通过分析其状态转移概率，可以对信号的未来状态进行推测。
四、应用实例1. 语音处理语音信号是一种典型的随机信号，可以通过随机过程的分析方法来进行语音信号的降噪、增强、识别等处理。
随机信号的功率谱分析 (DEMO)
信号的功率谱分析1、功率谱密度函数的定义对于随机信号)(t x ，由于其任一样本函数都是时间的无限的函数，一般不能满足傅里叶变换的存在条件（即积分⎰∞∞-dt t x )(必须收敛）。
如果将样本函数取在一个有限区间]2,2[T T -内，如图所示，令在该区间以外的0)(=t x ，则积分⎰∞∞-dt t x )(收敛，满足傅里叶变换条件，变换后用功率谱密度函数表示。
2、功率谱密度函数（又称功率谱）的物理意义是在频域中对信号能量或功率分布情况的描述。
功率谱表示振动能量在频率域的分解，其应用十分广泛。
功率谱的横坐标是频率，纵坐标是实部、虚部的模的平方。
功率谱密度函数作为随机信号在频域内描述的函数。
对于随机信号而言，它不存在频谱函数，只存在功率谱密度函数（功率大小在频谱中反映为频谱的面积）。
时域中的相关分析为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。
功率谱分析则从频域提供相关技术所能提供的信息，它是研究平稳随机过程的重要方法。
3．功率谱密度函数的应用(1)结构各阶固有频率的测定 工程结构特别是大型结构(如高层楼房、桥梁、高塔和重要机械设备等)要防止共振引起的破坏，需要测定其固有频率。
如果对结构加以激励(或以大地的脉动信号作为激励信号)，即可测定结构的响应(振动信号)，再对响应信号作自功率谱分析，便可由谱图中谱峰确定结构的各阶固有频率。
(2)利用功率谱的数学特点求取信号传递系统的频率响应函数。
(3)作为工业设备工作状况的分析和故障诊断的依据 根据功率谱图的变化，可以判断机器设备的运转是否正常。
同时．还可根据机器设备正常工作和不正常工作时，振动加速度信号的功率谱的差别，查找不正常工作时，功率谱图中额外谱峰产生的原因以及排除故障的方法。
自功率谱密度函数定义及其物理意义假如)(t x 是零均值的随机过程，即0=x μ（如果原随机过程是非零均值的，可以进行适当处理使其均值为零）又假设)(t x 中没有周期分量，那么当∞→τ，0)(→τx R 。
随机信号分析(常建平 李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机振动与谱分析
h
12
• 频率响应函数
频率响应函数是对线性结构系统动分析，振动控制以及故障诊断 等领域有着广泛的应用。
通过对其处理，可以获得系统的固有频率、 阻尼比以及各阶振型等相关参数。
h
13
h
9
• 用相关分析法分析复杂信号的频谱
利用相关分析法分析信号频谱的工作原理框图
根据测试系统的频谱定义
= ，可知，当改变送入到测试系统(这里就是
指互相关分析仪)的已知正弦信号X( )的频率(由低频到高频进行扫描)时，其相关函
数输出就表征了被分析信号所包含的频率成分及所对应的幅值大小，即获得了被
分析信号的频谱。
随机振动与谱分析
h
1
相关概念
•
n 谱分析
谱分析就是
物理量随频
系统的振动
率分布的分 析。
h
2
•
实质：把波形分解成一系列不同频率的正弦 波之和。从而可以进行频谱分析。
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3
h
4
重要的函数
时间域 脉冲响应函数 自相关函数 互相关函数
频率域 频率响应函数 自功率谱密度 互功率谱密度
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5
自相关函数和自功率谱密度
• 自相关函数的功能：
自相关函数用于检测混淆于随机过程中确定性数据的工具，从相关函 数的图形，通过计算可以判断信号的性质。
h
6
• 自功率谱密度函数
概念：每单位频带宽内的均方值，即相当于能量。 所以其表征着能量按频率的分布情况。 功能： （1）分析振动频率的成分和结构。 （2）其反应了载荷在各频率成分上的振动能量 与振幅，因为决定了载荷谱。 （3）对故障的判断与分析。
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脉冲响应函数和频率响应函数
第3章 随机信号与噪声分析-打印版
R ( t , t + τ ) 又称集相关：
= R ( t, t + τ )
∫ ∫
∞
∞
∞
−∞ −∞
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t , t + τ ) dx1dx2
确定时间信号的时间自相关：
= R (τ )
∫ ∫
∞
−∞ −∞
x (t ) x (t + τ ) d t
13
θ
3.2.2 随机过程的数字特征-例3.1
上的概率。
二维微概率
dF2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 表示样本落在
3.2.1随机过程的分布函数和概率密度函数
ｎ维分布：随机过程Ｘ（ｔ）在 ｎ 个时刻 t1 , t2 , , tn 上得到的 ｎ 个随机变量 X ( t1 ) , X ( t2 ) , , X ( tn )的联合分布，称为随机过程Ｘ（ｔ）的ｎ维分布。
描述随机过程内部任意两个时刻之间的内在 联系。
B ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) − a ( t1 ) X ( t2 ) − a ( t2 )
{
}
=∫
∞
−∞ −∞
∫
∞
x1 − a ( t1 ) x2 − a ( t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2
dF1 ( x1 , t1 ) = f1 ( x1 , t1 ) dx1 = P ( x1 − dx1 ≤ X ( t1 ) ≤ x1 ) 一维微概率 dF1 ( x1 , t1 ) 表示样本 落在 ( x1 − dx1 , x1 ) 上的概率。
7
x1
t
随机过程重要公式
随机过程重要公式随机过程是指一组随机变量的有序组合。
在应用中，随机过程常用于描述时间序列的随机变化。
随机过程具有一些基本的性质和公式，这些公式对于理解和分析随机过程是非常重要的。
下面是一些随机过程的重要公式：1.期望和协方差：对于一个随机过程X(t)，它的期望值E[X(t)]定义为随机变量X(t)的平均值。
协方差Cov(X(t), X(s))定义为随机变量X(t)和X(s)的相关性。
2.自协方差函数：随机过程中，自协方差函数描述了随机变量在不同时间点的相关性。
它定义为Cov(X(t), X(s))=E[(X(t) - E[X(t)])(X(s) - E[X(s)])]。
3.自相关函数：自相关函数是自协方差函数的无偏估计，它表示随机过程X(t)在不同时刻的相关性。
它定义为ρ(t, s) = Cov(X(t),X(s))/√(Var(X(t))Var(X(s)))。
4.平均值和方差：对于一个随机过程X(t)，它的平均值μ(t)定义为E[X(t)]，方差σ^2(t)定义为Var(X(t))。
平均值和方差是衡量随机过程内部变化的重要指标。
5.马尔可夫性：如果对于任意时间点t，给定过去的信息X(s)，s<t，未来的信息X(u)，u>t与现在的信息X(t)是独立的，则称随机过程具有马尔可夫性。
6.鞅：鞅是一种随机过程，它的期望条件在给定过去信息下保持不变。
即E[X(t)，X(s),s<t]=X(s)，对于任意时间点t。
7.平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间平移下保持不变。
如果一个随机过程的均值和自相关函数不随时间变化，则称该随机过程是平稳的。
8.自相关时间函数：自相关时间函数描述了随机过程中自相关函数随时间变化的情况。
它通常用于分析时间序列的长期依赖性。
9.平稳随机过程的功率谱密度：平稳随机过程的功率谱密度描述了随机过程频谱的分布情况。
它是自相关函数的傅里叶变换。
10.随机过程的滑动平均：随机过程的滑动平均是指对随机过程X(t)在一些时间窗口内的平均值。