高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1_1 全等与相似 射影定理素材 北师大版选修4-11
高中数学 第1章 直线、多边形、圆 1.1 平面直角坐标系学案 北师大版选修4-1
1.1 平面直角坐标系与曲线方程1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.( )(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.( )(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.( )【解析】(1)√(2)√(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.填空：(1)x 轴的直线方程为________.(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x 2＋y 2＝1表示的曲线是____________. 【答案】 (1)y ＝0 (2)x 2＋y 2＝1 (3) 椭圆 教材整理3 平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆.( )(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.( ) (3)在伸缩变换下，直线依然是直线.( )【解析】 (1)√ 因为x 2＋y 2＝4的圆的形状变为方程x 24＋y 2＝1表示的椭圆.(2)× 平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√ 直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A ，B ，C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】 设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示， 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23).∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上.k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4). ①又|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2).②联立①②，解得P 点坐标为(8,53). ∴k PA ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A ，B ，C 的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.[再练一题]1.已知某荒漠上有两个定点A ，B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点).以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0). 易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2).(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图. 因此，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋1，x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813 km. 平面直角坐标系中曲线方程的确定(1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程；(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝c a ＝32，故c ＝3 3.∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1.(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，3).∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求.[再练一题]2.如图111，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图111(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程. 【解】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，△CQM 为正三角形. ∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴圆C 的半径为2. 又圆心为(0,0)，∴圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知M (2,0)，N (－2,0)，Q (1，3)， ∴2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2， ∴a ＝3＋1，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝23，∴椭圆方程为：x 24＋23＋y 223＝1.[探究共研型]平面直角坐标系中的伸缩变换探究 1 线和抛物线呢？【提示】 在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2 平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】 平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3 在伸缩变换中，若x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍后，变换后的坐标(x ′，y ′)与原坐标(x ，y )有什么关系？【提示】 一般地，在平面直角坐标系xOy 中：使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y 的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y的伸缩变换.在下列平面直角坐标系中，分别作出x 225＋y 29＝1的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍.【精彩点拨】 先按要求改变x 轴或y 轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.【自主解答】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题2中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题3中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y的伸缩变换.[再练一题]3.本例中，x 225＋y 29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的53倍；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的35倍.【解】 (1)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x 225＋y29＝1的图形如图②.[构建·体系]1.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A.(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15C.(1,5)D.(4,4)【解析】 将答案代入验证知D 正确. 【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( ) A.|x |－|y |＝1 B.|x －y |＝1 C.||x |－|y ||＝1D.|x ±y |＝1【解析】 由题知C 正确. 【答案】 C3.已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )【解析】 如果y 轴上单位长度不变，x 轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x 2＋y 2＝4，故选B.【答案】 B 4.将圆x2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y 后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】x 216＋y 29＝1 5.已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.求动点M 的轨迹C 的方程.【解】 如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，由此得|4－x|＝2x－12＋y2，化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学第一章直线、多边形、圆1.2圆与直线切割线定理素材北师大版选修4-1(2021学年)
∵PＴ切⊙Ｏ于点T,PBＡ是⊙Ｏ的割线
∴PT²=PA·PB（切割线定理)
推论:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PＴ是⊙O切线,PＢA,PDC是⊙O的割线
∴PD·ＰC=ＰＡ·ＰB（切割线定理推论）(割线定理)
由上可知:PT²＝PA·PB=ＰC·PD
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1．2 圆与直线 切割线定理素材 北师大版选修４-1的全部内容。
切割线定理
定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
证明
切割线定理证明:
设ABＰ是⊙O的一条割线，ＰT是⊙O的一条切线,切点为T，则PＴ²=PA·PＢ
证明：连接ＡT， ＢT
∵∠PTB＝∠ＰAT（弦切角定理）
∠ＡPT＝∠ＴPA（公共角)
∴△PBＴ∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB:PT=PＴ:AＰ
即:PＴ²=PB·PA
比较
相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度．
以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。物质生活极大丰富，科学技术飞速发展,这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持，你就会不断成长进步，当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候,阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，回归自我。用学习来激活我们的想象力和思维，建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界，抵御外部世界的袭扰。
高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.5相交弦定理课件北师大版选修41
∵AE＝2，∴PA＝6. 在 Rt△PAE 中， PE＝ PA2－AE2 ＝ 62－22＝4 2， ∴PC＝PE＋CE ＝4 2＋3 2＝7 2， ∵PA2＝PD·PC， ∴PD＝PPAC2＝7622＝178 2，
第十六页，共41页。
∴DE＝PE－PD
＝4 2－187 2＝170 2.
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(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4， ∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6. ∵CE·EB＝EF·EP， ∴9×6＝4×EP. 解得：EP＝227.
第二十八页，共41页。
∴PB＝EP－BE＝227－6＝125，
PC＝EP＋CE＝227＋9＝425，
又∵AP2＝BP·PC＝125×425＝6745，
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n)
n)
一
2.5 相交弦定理
三
阶
段 (j iē d u à
学 业 分 层 测 评
n)
二
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1.掌握相交弦定理及其证明过程. 2.能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.
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教材整理 相交弦定理
[基础·初探]
图 1-2-104
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第十九页，共41页。
【解】 (1)证明：连接 AB，CE， ∵CA 切⊙O1 于点 A， ∴∠1＝∠D. 又∵∠1＝∠E， ∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3， ∴△APD∽△CPE. ∴PPAC＝PPDE， 即 PA·PE＝PC·PD.
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(2)∵PA＝6，PC＝2，PD＝12. ∴6×PE＝2×12，∴PE＝4. 由相交弦定理，得 PE·PB＝PA·PC. ∴4PB＝6×2，∴PB＝3. ∴BD＝PD－PB＝12－3＝9， DE＝PD＋PE＝16. ∵DA 切⊙O2 于点 A， ∴DA2＝DB·DE，即 AD2＝9×16，∴AD＝12.
高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.3 弦切角定理课后作业 北师大版选修41
1.2.3 弦切角定理课后作业提升1如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE=( ).A.14°B.38°C.52°D.76°解析:∵EC为☉O的切线,∴∠BCE=∠BAC=∠BOC=38°.答案:B2如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC=( ).A.2B.3C.2D.4解析:连接BC,如图所示,∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又EF⊥AD,∴∠ACB=∠ADC.∴△ACB∽△ADC.∴.∴AC2=AD·AB=2×6=12.∴AC=2.答案:C3如图所示,∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵AB⊥BC,∴BC与☉O相切,BD为☉O的弦.∴∠CBD=∠BED.同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.连接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC.∴∠CBD=∠BOC.∴与∠CBD相等的角共有3个.答案:C4如图所示,Rt△ABC内接于☉O,∠ABC=60°,PA是☉O的切线,A为切点,PB交AC于点E,交☉O于点D.若PA=AE,PD=,BD=3,则AP=,AC=.解析:∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直径.∵PA与☉O相切,∴AB⊥AP,∠PAE=∠ABC=60°.又∵PA=PE,∴△PAE是等边三角形,∴∠P=60°,∴∠ABP=30°.∵PA=PB sin∠ABP=(+3)sin30°=2,AB=PB cos∠ABP=(+3)cos30°=6,∴在Rt△ABC中,AC=AB sin∠ABC=6sin60°=3.答案:235如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC 的延长线交于点P,则PA=.解析:连接AO,则由∠ABC=30°知∠AOP=60°.又OA=1,∴PA=OA·tan60°=.答案:6如图所示,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O 于点E,C,连接CE.求证:BE·BF=BC·BD.分析:要证BE·BF=BC·BD,只需证明,即证明△BEC∽△BDF,∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作☉O的切线,构造弦切角.证明:如图,过点B作☉O的切线BG,则AB⊥BG.∵AD是☉O的切线,∴AD⊥AB,则BG∥AD,∴∠GBC=∠BDF.又∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.∵∠CBE=∠FBD,∴△BEC∽△BDF.∴,即BE·BF=BC·BD.7如图,☉O内切△ABC的边于D,E,F三点,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.证明:(1)圆心O在直线AD上;(2)点C是线段GD的中点.证明:(1)∵AB=AC,AF=AE,∴CF=BE.∵CF=CD,BD=BE,∴CD=BD.又∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴AD是∠CAB的平分线.∴内切圆圆心O在直线AD上.(2)连接DF,如图所示,由(1)知,DH是☉O的直径,∴∠DFH=90°,∴∠FDH+∠FHD=90°.又∵∠G+∠FHD=90°,∴∠FDH=∠G.∵☉O与AC相切于点F,∴∠GFC=∠AFH=∠FDH=∠G,∴∠GFC=∠G.∴CG=CF.又CF=CD,∴CG=CD,∴点C是线段GD的中点.备课资源参考备选习题1.如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)试探索∠BCP与∠P的数量关系.(2)若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?(3)∠A可能等于45°吗?为什么?解:(1)∵PC是切线,C为切点,∴∠BCP=∠A.又∵AB是直径,∴∠ACB=90°.在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,∴∠BCP+∠P+∠ACB+∠BCP=180°.∴2∠BCP+∠P+90°=180°.∴∠P=90°-2∠BCP.(2)若∠A=30°,则∠BCP=∠A=30°,∠ABC=60°.∴∠P=30°.∴PB=BC,BC=AB.∴PB=PA,即PA=3PB.(3)∠A不可能等于45°.原因:设∠A=45°,则∠ABC=45°,∠BCP=45°,∴CP∥AB.与题干中PC与AB交于点P矛盾,∴∠A不可能等于45°.2.如图,已知C点在☉O直径BE的延长线上,CA切☉O于A点,∠ACB的平分线交AE于F点,交AB于D点.(1)求∠ADF的度数.(2)若∠ACB的度数为y,∠B的度数为x,那么y与x之间有怎样的关系?试写出你的猜测并给出证明.分析:(1)中由AC为☉O的切线可得∠B=∠EAC,由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠DCB,根据三角形外角定理,得到∠ADF=∠AFD,建立等腰三角形,再由顶角求底角;(2)中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系.解:(1)∵AC为☉O的切线,∴∠B=∠EAC.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB.∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.∵BE为☉O的直径,∴∠DAE=90°.∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.(2)∵∠B=∠EAC,∠B+∠BAC+∠ACB=180°.∴x+90°+x+y=180°.∴y=90°-2x.∵0°<∠B<∠ADC,∴0°<x<45°.∴y与x的函数关系式是y=90°-2x,其中x的取值范围是0°<x<45°.。
高中数学 第一章 直线、多边形、圆 2.2 圆的切线的判定和性质课件 北师大版选修4-1.pptx
[精解详析] 连接OE. ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE. 又∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠DBE. ∴∠OEB＝∠CBE. ∴EO∥CB. ∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE. ∵E为⊙O半径OE的外端， ∴AC是⊙O的切线．
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证明直线与圆相切一般有以下几种方法： (1)直线与圆只有一个公共点； (2)圆心到直线的距离等于圆的半径； (3)切线的判定定理． 几何证明问题常用方法(3)．
2 ． 2
§ 2
圆 的
第 一 章
圆 与 直 线
切 线 的 判 定
和
性
质
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
自主学习 合作探究 考点一 考点二
1
§2
圆与直线
2．2 圆的切线的判定和性质
2
[自主学习]
1．切线的判定定理
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经过半径的 外端并 OA是圆O的半径． 切线的判
且 垂直 于这条半径 直线l⊥OA且_A_∈__l_， 定定理
推论 经过切点且垂直于切 2 线的直线经过 圆心
直线l与圆O相切于点 A过A作直线m⊥l， 则O∈m
3．切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长 相等 ．
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[合作探究] 怎样求圆的切线长？ 提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形 求长．
6
切线的判定定理的应用 [例1] 如图，在△ABC中，∠C＝90°， BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△ BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线． [思路点拨] 本题主要考查切线的判定问题， 解此题时只 需证明AC⊥OE即可．
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利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需 添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求 解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
北师大版高中数学选修4-1课件1.1 全等与相似课件 2
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第二课时 平行线分线段成比例定理
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基础梳理 1．平行线分线段成比例定理
(1)定理的内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线 段 成比例 ． (2)符号语言表示：如图，若 a∥b∥c，则 BACB＝DEFE.
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证明：∵ab＝dc，两边都减去 1 得ab－1＝dc－1， ∴a－b b＝c－d d. (3)等比性质：如果ab＝dc＝…＝mn (bd…n≠0，b＋d＋…＋n≠0)，那 么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn ＝ab. 证明：设ab＝dc＝…＝mn ＝k，则有 a＝kb，c＝kd，…，m＝kn. ∴ab＋＋cd＋＋……＋＋mn ＝kbb＋＋dd＋＋……＋＋nn＝k＝ab.
上上上上左左 对应线段都成比例，可以归纳为下＝下，全＝全，右＝右等，便 于记忆．
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2．平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理 论，它一方面可以直接判定线段成比例；另一方面，当不能直 接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转 化”为另两条线段的比． 把平行线分线段成比例定理应用在三角形中，就得到了定理的 一个重要的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)所得的对应线段成比例，这个推论是判定三角形 相似的理论基础．
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类型三 利用定理进行计算 【例 3】 如图，在△ABC 中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，
ED＝3，AF＝8. (1)求 AC 的长； (2)求CBCD22的值．
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高中数学第一章直线、多边形、圆1.2圆与直线1.2.4切割线定理学案北师大版选修4_1
1.2．4 切割线定理1．切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)图形表示图1－2－60如图1－2－60，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.2．切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积．(2)图形表示如图1－2－61，PAB与PCD是⊙O的两条割线，则有PA·PB＝PC·PD.图1－2－613．切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定⊙O外一点P，若割线PAB交⊙O于A，B两点，点T在⊙O上，且PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线．(2)图形表示图1－2－62如图1－2－62，PAB是⊙O的割线，点T在⊙O上，若PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线．1．应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？【提示】只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．2．应用切割线定理应注意什么？【提示】应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错．(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC 错写成PB·BA＝PD·DC.图1－2－63求证：ED2＝EC·EB.【思路探究】由于EA2＝EC·EB，故只需证ED＝EA.【自主解答】如题图，∵AE是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE ＝∠CAE ＋∠CAD ， ∴∠ADE ＝∠DAE ，故EA ＝ED .∵EA 是圆的切线，∴由切割线定理知，EA 2＝EC ·EB .而EA ＝ED ， ∴ED 2＝EC ·EB .切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用．图1－2－64(2012·衡阳六校联考)如图1－2－64，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝BC ＝3，则AC 的长为________．【解析】 由切割线定理知CD 2＝BD ·AD ＝BD ·(3＋BD )，即(27)2＝BD 2＋3BD ，解得BD ＝4或BD ＝－7(舍去)．∵∠BDC ＝∠ADC ，∠DCB ＝∠CAD ， ∴△CAD ∽△BCD ，∴CD BD ＝AC BC ，即274＝AC 3， 解得AC ＝372.【答案】 372图1－2－65如图1－2－65，PAB 和PCD 为圆的两条割线，交圆于A ，B 和C ，D 各点，若PA ＝5，AB ＝7，CD ＝11.求AC ∶BD .【思路探究】 线段AC 、BD 分别在△PAC 和△PBD 中，可考虑它们的相似关系． 【自主解答】 由切割线定理的推论知，PA ·PB ＝PC ·PD ①即PA PD ＝PC PB， 又∠P 为公共角， ∴△PAC ∽△PDB . ∴AC BD ＝PA PD.②又∵PA ＝5，AB ＝7，CD ＝11，∴PB ＝12. 由①知5×12＝PC (PC ＋11)， ∴PC ＝4或PC ＝－15(舍去)， ∴PD ＝PC ＋CD ＝4＋11＝15.由②得AC BD ＝515＝13，即AC ∶BD ＝1∶3.1．本题求解的关键是证明△PAC ∽△PDB ，而证明的依据是切割线定理的推论． 2．切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用．图1－2－66(2012·湖南高考)如图1－2－66所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA ＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的切割线定理的推论知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.【答案】 6图1－2－67如图1－2－67，P 是⊙O 的直径CB 的延长线上一点，PA 和⊙O 相切于A ，若PA ＝15，PB ＝5.(1)求tan ∠ABC 的值；(2)弦AD 使∠BAD ＝∠P ，求AD 的长．【思路探究】 求tan ∠ABC 可利用△ABC 中边角关系求出；而AD 的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似三角形，建立边长关系求出．【自主解答】 (1)如图，连接AC ，AB ， ∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°. 又∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠BAP ＝∠C .又∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△PCA ， ∴AP BP ＝AC AB ＝155＝3.∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝AC AB＝3. (2)由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ， 即PA 2＝PB (PB ＋BC )． 又PA ＝15，PB ＝5，∴BC ＝40. 设AB ＝x ， 则AC ＝3x .由勾股定理，AC 2＋AB 2＝BC 2， 即x 2＋(3x )2＝402，得x ＝410，x ＝－410(舍去)．如图，连接BD ，在△PAB 和△ADB 中，∠PAB ＝∠D ，∠P ＝∠BAD ， ∴△PAB ∽△ADB . ∴AD AP ＝AB PB， ∴AD ＝AP ·AB PB ＝15×4105＝1210.1．在本题求解过程中，每一小题都用到了利用三角形相似寻找线段之间的关系． 2．综合应用切割线定理及推论，利用三角形之间的关系，是解决直线与圆关系中的基本思路．图1－2－68如图1－2－68，已知AC 切⊙O 于C 点，CP 为⊙O 的直径，AB 切⊙O 于D ，与CP 的延长线交于点B ，若AC ＝PC ，求证：BD ＝2BP .【证明】 如图，连接OD . ∵AB 切⊙O 于D ，AC 切⊙O 于C ， ∴OD ⊥AB ，AC ⊥BC ，∴△BOD ∽△BAC ， ∴OD BD ＝AC BC ，∴R BD ＝2R BC，∴BC ＝2BD . ∵BPC 为割线，∴BD 2＝BP ·BC ＝2BD ·BP ， ∴BD ＝2BP .图1－2－69(教材第21页练习1－2A 组第5题)如图1－2－69，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D .求BD 的长．图1－2－70【命题意图】本题主要考查圆的几何性质、解直角三角形以及切割线定理等知识．【解析】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10 3.∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5 3.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(53)2＝15DE，∴DE＝5.【答案】 51．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC 长为( )A．4 B. 6C．24 D．2 6【解析】由题意知PA·PB＝PC·PD，设PC＝x，则PD＝2x，∴2x·x＝4×12，∴x＝26，即PC＝2 6.【答案】 D图1－2－712．如图1－2－71所示，已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2，AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径R＝________.【解析】由切割线定理知PA2＝PB·PC，即22＝PC，∴PC＝4，∴AC2＝PC2－PA2＝42－22＝12，∴AC＝23，∴⊙O的半径R＝ 3.【答案】 33．PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，PB＝4，PO＝8.5，则PA＝________.【解析】∵PB＝4，PO＝8.5，∴OB＝4.5.由切割线定理知，PA2＝4×13＝52，∴PA＝213.【答案】213图1－2－724．如图1－2－72所示，从⊙O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD＝23，AC ＝6，⊙O的半径为3，则圆心O到AC的距离为________．【解析】由切割线定理知，AD2＝AB·AC，即(23)2＝6AB，∴AB＝2，∴BC＝AC－AB＝4，∴圆心到AC的距离d＝32－22＝ 5.【答案】 5一、选择题1.图1－2－73如图1－2－73，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【解析】 ∵CF ＝CE ，BF ＝BD ， ∴BC ＝CE ＋BD .∴AB ＋BC ＋CA ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ，故结论①正确． 连接DF ，则∠FDA ＝∠DGA . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADF ∽△AGD . ∴AD AG ＝AF AD. ∴AD 2＝AF ·AG . 又AE ＝AD ， ∴AD ·AE ＝AF ·AG .故结论②正确，容易判断结论③不正确，故选A. 【答案】 A2．PT 切⊙O 于点T ，割线PAB 经过O 点交⊙O 于A 、B ，若PT ＝4，PA ＝2，则cos ∠BPT ＝( )A.45B.12C.38D.34【解析】 如图所示，连接OT ，根据切割线定理，可得PT 2＝PA ·PB ，即42＝2×PB ，∴PB ＝8，∴AB ＝PB －PA ＝6， ∴OT ＝r ＝3，PO ＝PA ＋r ＝5，∴cos ∠BPT ＝PT PO ＝45.【答案】 A图1－2－743．如图1－2－74，点P 在⊙O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切⊙O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．2 D ．4【解析】 如题图，连接OC ，由切割线定理知，PC 2＝PA ·PB ，∴PC 2＝(2＋4)×2＝12， ∴PC ＝23， ∴PO ＝PC 2＋OC 2＝4. 又OC ⊥PC ， ∴CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3. 【答案】 B图1－2－754．如图1－2－75，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D 点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )A. 3 B ．2 2 C ．2 D ．1【解析】 连接OD ， 则OD ⊥BD ，∴Rt △BOD ∽Rt △BAC ， ∴OD AC ＝BD BC， 设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ， ∴BE ＝EC ＝2a ，BO ＝3a ，BD ＝22a ， BC ＝4a ，由题知AD 、AC 均为⊙O 的切线， ∵AD ＝2，∴AC ＝2.∴a 2＝22a 4a，即a ＝2， ∴BE ＝2 2. 【答案】 B 二、填空题5．(2013·北京高考)图1－2－76如图1－2－76，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.【解析】 由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a . 根据切割线定理有PA 2＝PD ·PB .又PA ＝3，PB ＝25a ， ∴9＝9a ·25a ，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5.在Rt △PAB 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝25－9＝16，故AB ＝4. 【答案】 954图1－2－776．(2013·周口模拟)如图1－2－77，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与PQ 相交于Q 点，若AQ ＝6，AC ＝5，则弦AB 的长是________．【解析】 ∵PQ 为切线，∴∠PAC ＝∠ABC . ∵AC 是∠PAB 的平分线， ∴∠BAC ＝∠PAC . ∴∠ABC ＝∠BAC ， ∴AC ＝BC ＝5， 由切割线定理， 可得AQ 2＝QB ·QC ， ∴62＝QB ·(QB ＋5)， 解得QB ＝4. ∵∠QAB ＝∠QCA ， ∴△QAB ∽△QCA ， ∴AB AC ＝QA QC，∴AB 5＝64＋5， 解得AB ＝103.【答案】103三、解答题图1－2－787．已知如图1－2－78所示，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于点C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2，求：(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .【解】 (1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x . 根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )． 解得x ＝2， ∴BC ＝3x ＝3 2.(2)在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ，∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147， ∴r ＝12(AC －CD )＝12(14－2147)＝51414.8．如图1－2－79，自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB .图1－2－79【证明】 ∵PA 与圆相切于A ， ∴MA 2＝MB ·MC . ∵M 为PA 中点， ∴PM ＝MA ， ∴PM 2＝MB ·MC ， ∴PM MC ＝MB PM. ∵∠BMP ＝∠PMC ， ∴△BMP ∽△PMC ， ∴∠MCP ＝∠MPB .图1－2－809．如图1－2－80，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E .(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)若EB ＝6，EC ＝62，求BC 的长．【解】 (1)证明 ∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴点C 在⊙O 上．连接OC ，可得∠OCA ＝∠OAC ＝∠DAC ，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA. 又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6. 又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴BCAC＝ECEA＝22，即AC＝2BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2 3.10．如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.求证：(1)CE＝CF；(2)AC·PF＝BC·PT.【证明】(1)设小圆的圆心为点O，连接OC.∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB.∵∠1＝∠3＝∠2，∴EF∥AB，∴OC⊥EF，∴CE＝CF.(2)∵EF∥AB，∴AEBF＝ATBT＝TETF.∵AB切小圆于点C，∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT，∴AC2BC2＝AE·ATBF·BT＝TE2TF2，ACBC＝TETF.∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，∵TF是⊙O的直径，∴TE⊥PF，△PTF∽△TEF，∴PTPF＝TETF，∴ACBC＝PTPF，∴AC·PF＝BC·PT.。
高中数学第一章直线、多边形、圆1.2圆与直线1.2.3弦切角定理课后作业北师大版选修4_1
1.2.3 弦切角定理课后作业提升1如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE=( ).A.14°B.38°C.52°D.76°解析:∵EC为☉O的切线,∴∠BCE=∠BAC=∠BOC=38°.答案:B2如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC=( ).A.2B.3C.2D.4解析:连接BC,如图所示,∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又EF⊥AD,∴∠ACB=∠ADC.∴△ACB∽△ADC.∴.∴AC2=AD·AB=2×6=12.∴AC=2.答案:C3如图所示,∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵AB⊥BC,∴BC与☉O相切,BD为☉O的弦.∴∠CBD=∠BED.同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.连接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC.∴∠CBD=∠BOC.∴与∠CBD相等的角共有3个.答案:C4如图所示,Rt△ABC内接于☉O,∠ABC=60°,PA是☉O的切线,A为切点,PB交AC于点E,交☉O于点D.若PA=AE,PD=,BD=3,则AP=,AC=.解析:∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直径.∵PA与☉O相切,∴AB⊥AP,∠PAE=∠ABC=60°.又∵PA=PE,∴△PAE是等边三角形,∴∠P=60°,∴∠ABP=30°.∵PA=PB sin∠ABP=(+3)sin30°=2,AB=PB cos∠ABP=(+3)cos30°=6,∴在Rt△ABC中,AC=AB sin∠ABC=6sin60°=3.答案:235如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC 的延长线交于点P,则PA=.解析:连接AO,则由∠ABC=30°知∠AOP=60°.又OA=1,∴PA=OA·tan60°=.答案:6如图所示,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O 于点E,C,连接CE.求证:BE·BF=BC·BD.分析:要证BE·BF=BC·BD,只需证明,即证明△BEC∽△BDF,∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作☉O的切线,构造弦切角.证明:如图,过点B作☉O的切线BG,则AB⊥BG.∵AD是☉O的切线,∴AD⊥AB,则BG∥AD,∴∠GBC=∠BDF.又∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.∵∠CBE=∠FBD,∴△BEC∽△BDF.∴,即BE·BF=BC·BD.7如图,☉O内切△ABC的边于D,E,F三点,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.证明:(1)圆心O在直线AD上;(2)点C是线段GD的中点.证明:(1)∵AB=AC,AF=AE,∴CF=BE.∵CF=CD,BD=BE,∴CD=BD.又∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴AD是∠CAB的平分线.∴内切圆圆心O在直线AD上.(2)连接DF,如图所示,由(1)知,DH是☉O的直径,∴∠DFH=90°,∴∠FDH+∠FHD=90°.又∵∠G+∠FHD=90°,∴∠FDH=∠G.∵☉O与AC相切于点F,∴∠GFC=∠AFH=∠FDH=∠G,∴∠GFC=∠G.∴CG=CF.又CF=CD,∴CG=CD,∴点C是线段GD的中点.备课资源参考备选习题1.如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)试探索∠BCP与∠P的数量关系.(2)若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?(3)∠A可能等于45°吗?为什么?解:(1)∵PC是切线,C为切点,∴∠BCP=∠A.又∵AB是直径,∴∠ACB=90°.在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,∴∠BCP+∠P+∠ACB+∠BCP=180°.∴2∠BCP+∠P+90°=180°.∴∠P=90°-2∠BCP.(2)若∠A=30°,则∠BCP=∠A=30°,∠ABC=60°.∴∠P=30°.∴PB=BC,BC=AB.∴PB=PA,即PA=3PB.(3)∠A不可能等于45°.原因:设∠A=45°,则∠ABC=45°,∠BCP=45°,∴CP∥AB.与题干中PC与AB交于点P矛盾,∴∠A不可能等于45°.2.如图,已知C点在☉O直径BE的延长线上,CA切☉O于A点,∠ACB的平分线交AE于F点,交AB于D点.(1)求∠ADF的度数.(2)若∠ACB的度数为y,∠B的度数为x,那么y与x之间有怎样的关系?试写出你的猜测并给出证明.分析:(1)中由AC为☉O的切线可得∠B=∠EAC,由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠DCB,根据三角形外角定理,得到∠ADF=∠AFD,建立等腰三角形,再由顶角求底角;(2)中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系.解:(1)∵AC为☉O的切线,∴∠B=∠EAC.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB.∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.∵BE为☉O的直径,∴∠DAE=90°.∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.(2)∵∠B=∠EAC,∠B+∠BAC+∠ACB=180°.∴x+90°+x+y=180°.∴y=90°-2x.∵0°<∠B<∠ADC,∴0°<x<45°.∴y与x的函数关系式是y=90°-2x,其中x的取值范围是0°<x<45°.。
2014版陕西北师版数学文复习方略课件：选修4-1 第一节全等与相似
(3)正确，由相似三角形的定义知，∠BAC=∠B′A′C′，
∠1=∠2，由直角三角形相似的判定方法知，Rt△ADI∽ Rt△A′D′I′，可知结论正确.
(4)错误，如图，∠B=∠B′,当 AB AC 时相似. 当 AB AC 时不相似.
答案:2 cm
4 cm
考向2
相似三角形的判定与性质的应用
【典例2】如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°,且AB=6， AC=4，AD=12，则AE=______.
【思路点拨】根据条件，判断出△ABE∽△ADC,从而列出比例 推出关系，求值.
【规范解答】∵AB=6，AC=4，AD=12，
B D， AE AB ⇒ Rt △ABE∽Rt△ ADC ⇒ ， AE BC， AC AD ACD 90
∴AE=2. 答案:2
【拓展提升】证明三角形相似的一般思路 (1)先找两对内角对应相等. (2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应 成比例. (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例． 【提醒】在解决有关相似三角形的题目时，一定要注意对应角 和对应边，否则容易出错.
【互动探究】本例(2)中条件不变，结论改为 【解析】∵AD∥BC, ∴ BF EF DE DF 5 4 1 . 答案: 1
AF DF DF 4 4 4
BF =_____. AF
【拓展提升】平行线分线段成比例定理及其推论的应用 （1）平行线分线段定理及其推论是证明两条线段相等的重要 依据,特别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角
(2)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质.( (3)相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比.( )
高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.
1.2.2 圆的切线的判定和性质课后作业提升1下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是( ).A.①②B.②③C.③④D.①④解析:与圆有公共点的直线,可能是切线,也可能是割线,则①不正确;②不符合切线判定定理的条件,缺少“过半径外端”这一条件,则②不正确;很明显③④正确.答案:C2如图,A,B是☉O上的两点,AC为☉O的切线,∠OBA=75°,☉O的半径为1,则OC=( ).A. B.C. D.解析:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=75°.∴∠AOB=180°-2∠OBA=30°.∵AC为☉O的切线,∴OA⊥AC.又∵OA=1,∴在Rt△OAC中,OC=.答案:C3如图,PB与☉O相切于点B,OP交☉O于点A,BC⊥OP于点C,OA=3,OP=4,则AC=( ).A. B.C. D.不确定解析:如图,连接OB,则OB⊥PB,OB=OA=3,又BC⊥OP,∴在Rt△OBP中,有OB2=OC·OP.∴OC=.∴AC=OA-OC=3-.答案:A4如图所示,AC与☉O相切于点D,AO的延长线交☉O于点B,且BC与☉O相切于点B,若AD=DC,则=( ).A.2B.1C.D.解析:如图所示,连接OD,OC,∵AC,BC是☉O的切线,∴OD⊥AC,OB⊥BC.又AD=DC,∴△OAC是等腰三角形.∴OA=OC.∴∠A=∠OCD.又OC=OC,OD=OB,∴△ODC≌△OBC.∴∠OCD=∠OCB.∴∠BCA=2∠A.则∠A+∠BCA=3∠A=90°.解得∠A=30°.∴=2.答案:A5如图所示,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3cm,BE=7cm,则☉O的半径为cm.解析:如图,连接OC.∵MN切半圆于点C,∴OC⊥MN.∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴AD∥OC∥BE.∵OA=OB,∴CD=CE.∴OC=(AD+BE)=×(3+7)=5(cm).∴☉O的半径为5cm.答案:56如图,☉O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作☉O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与☉O交于点E,则线段AE的长为.解析:如图所示,连接OC,连接BE交OC于点F,则OC⊥l,BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC,OC⊥BE.又直径AB=8,则OB=OC=4.又BC=4,则△OBC是等边三角形.所以F是OC的中点.所以AE=2OF=OC=4.答案:47如图所示,AB是☉O的直径,D是AB延长线上的一点,PD是☉O的切线,P是切点,∠D=30°.求证:PA=PD.分析:欲证PA=PD,只要证明∠PAB=∠D=30°即可.证明:如图,连接OP,∵PD是☉O的切线,P为切点,∴PO⊥PD.∵∠D=30°,∴∠POD=60°.又∵OA=OP,∴∠PAB=∠APO.∴∠PAB=30°.可得∠PAB=∠D.∴PA=PD.8如图,已知两个同心圆O,大圆的直径AB交小圆于C,D两点,大圆的弦EF切小圆于点C,ED 交小圆于点G,若小圆的半径为2,EF=4,试求EG的长.解:如图,连接GC.∵CD为小圆的直径,∴GC⊥ED.∵EF切小圆于点C,∴EF⊥OC.在大圆中,EC=EF=×4=2.在Rt△DEC中,ED===2.∵EF⊥DC,GC⊥ED,∴由直角三角形的射影定理可知,EC2=EG·ED.∴EG=.备课资源参考备选习题1.在Rt△ABC中,AC⊥CB,AB=12,AC=6,以C为圆心,作与AB相切的圆C,则☉C的半径r=.解析:如图,设切点为D,连接CD,则CD⊥AB,CD=r.∵AC⊥CB,∴CD2=AD·BD.又AB=12,AC=6,AC2=AD·AB,∴AD==3.∴BD=AB-AD=12-3=9.∴CD2=3×9=27.解得CD=3.答案:32.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交☉O于点D,DE⊥AC,且DE交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.若,求的值.分析:由于之间的联系不密切,所以考虑用中间量代换,作辅助线OD,则AE∥OD,转化为求的值.解:如图所示,连接OD,则OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.又AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC.∴∠ODA=∠DAC.∴OD∥AE.∴△AEF∽△DOF.∴.连接BC,过点D作DH⊥AB于点H,连接BD.则有∠DOH=2∠BAD=∠CAB.∵AB是☉O的直径,∴AC⊥BC.∴在Rt△ABC中,cos∠CAB=.∴cos∠DOH=.设DO=5x,则OH=3x,DH=4x,AB=10x,∴AH=AO+OH=OD+OH=8x,AD=4x.又△AED∽△ADB,∴AD2=AE·AB.∴AE==8x.∴,于是.。
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射影定理
射影定理，又称“欧几里德定理”，由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提
出。内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角
边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。概述图中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下：
CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，AC·BC=AB·CD。
定理介绍
定理解释
所谓射影，就是正投影。直角三角形或任意三角形中的射影定理（又叫欧几里德(Euclid)
定理）
直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边
的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1]
定理提出者简介
欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元前265年），古希腊数学
家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历
山大里亚。
他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的
认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数
论的作品。
直角三角形射影定理
证法一
2
可以只用勾股定理来证明。
①CD^2=AD×BD;②AC^2=AD×AB;③BC^2=BD×AB;④AC×BC=AB×CD
证明：①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BA^2
∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2
∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2
∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=2AD×BD ∴CD^2=AD×BD
②∵CD^2=AD×BD(已证) ∴CD^2+AD^2=AD×BD+AD^2 ∴AC^2=AD×(BD+AD) ∴AC^2=AD
×AB
③∵BC^2=DC^2+BD^2 且DC^2+BD^2=AD×BD+BD^2=(AD+BD)÷BD=AB×BD ∴BC^2=AB×
BD
④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴AC×BC=AB×CD
证法二
用三角函数证明
由等积法可知：AB×BC=BD×AC
在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB
故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD
得：AB2=AD×AC 同理可得BC²=CD·CA
在Rt△ABD和Rt△BCD中
tan∠BAD=BD/AD， cot∠BCD=CD/BD
又∵tan∠BAD=cot∠BCD
故BD/AD=CD/BD
3
得BD2=AD×CD
任意三角形射影定理
内容
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
△ABC的三角是A、B、C，它们所对的边分别是a、b、c，则有
a=b·cosC+c·cosB，
b=c·cosA+a·cosC，
c=a·cosB+b·cosA。
注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故
名射影定理。
定理证明
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D
则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD
且BD=c·cosB，CD=b·cosC
∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB
同理可证其余
证明2：使用正弦定理证明
证法①b=asinB/sinA，，
c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.
4
同理可证其余。
证法②∵在△ABC中
∴sinA=sin(180°-A)
sinA=sin(B+C)
；根据正弦定理，可得。
同理可证其余。
欧几里得面积射影定理
定理内容
欧几里得提出的面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图
形所在平面与射影面所夹角的余弦。(即COSθ=S射影/S原）。”
(平面多边形及其射影的面积分别是和,它们所在平面所成的二面角
为)
证明思路
因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面
多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。
那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一
直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边
就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运
算即可得证。