全称量词与存在量词
全称量词和存在量词知识点总结
一、什么是量词？在汉语中，名词前面常常须要使用一种词语来限定其数量，这种词语就称之为“量词”。
量词在中文中扮演着非常重要的角色，它用来表示物品的单位、数量、或者一定范围内的事物的数量。
每个名词都必须和一个量词搭配，否则就会显得不够规范。
二、全称量词与存在量词的区别1. 全称量词：全称量词是用来表示事物一个整体的数量，通常情况下只能用于可数名词。
常见的全称量词有“个”、“只”、“头”、“条”等。
比如：“一栋楼”、“两条鱼”、“三个人”。
2. 存在量词：存在量词则表示事物的存在和出现的次数。
存在量词常常用于不可数名词和抽象名词。
比如：“一些水”、“许多快乐”、“少数人”。
三、数量词的使用方法1. 对于可数名词，一般情况下都需搭配量词使用。
2. 不可数名词一般只搭配存在量词使用。
3. 在某些情况下，数量词和量词可以合并使用，构成一个词组。
四、全称量词和存在量词的例子1. 全称量词的例子：（1）一只老虎（2）两个女孩（3）三条小鱼（4）四间教室（5）五根铅笔2. 存在量词的例子：（1）一些水（2）许多快乐（3）少数人（4）大量资金（5）大批货物五、注意事项1. 在使用量词时，需要注意名词的可数性，可数名词搭配全称量词，不可数名词搭配存在量词。
2. 有些名词是特指一个单位的，不需要使用量词，比如：“一年”、“一天”、“一次”。
3. 一些名词可以作为量词使用，比如“头”可以表示动物的数量，如：“三头牛”。
六、总结量词是汉语中名词的重要辅助词，用于限定名词的数量。
全称量词和存在量词分别表示事物的整体数量和存在的次数。
在使用量词时，需根据名词的可数性选择合适的量词，并注意一些特殊情况的使用方法。
对于学习和掌握量词知识，可以通过大量阅读和实际运用来加深理解。
量词知识的掌握不仅可以帮助我们说一口地道的中文，也是中文语言学习中的重要一环。
七、量词的语法用法1. 可数名词的量词使用在汉语中，可数名词的量词使用是非常常见的。
全称量词与存在量词 课件
2．存在量词 特称命题
(1)短语“ 存在一个 ”、“至少有一个”在逻辑中通常
叫做存在量词，用符号∃表示，含有存在量词的命题叫做
特称命题 ．
(2) 常 见 的 存 在 量 词 有 ： “ 存 在 一 个 ” “ 至 少 有 一
个”“有些”“有一个”“某个”“有的”．
(3)特称命题的形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，
[例2] 给出下列四个命题： ①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1； ③∃x0∈Z，x<1； ④∃x0∈Q，x＝3. 其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填 上)．
[答案] ①③ [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①四个命题中有两个全称命题，两个特称命题； ②要求判断命题的真假．解答本题首先正确理解命题 的含义，再采用举反例等方法给予判断． [解析] ①由于∀x∈R，都有x2≥0， 因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． ②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立． 所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
(1)有一个实数α，tanα无意义； (2)任何一条直线都有斜率吗？ (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (4)圆内接四边形，其对角互补； (5)对数函数都是单调函数．
[分析] → 判断真假
判断含有量词类型 → 判断命题类型
[解析] (1)特称命题．α＝π2时，tanα 不存在，所 以，特称命题“有一个实数 α，tanα 无意义”是真命题．
③由于－1∈Z，当 x＝－1 时，x3<1 成立． 所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题． ④由于使 x2＝3 成立的数只有± 3，而它们都不是有理 数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题．
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
全称量词-存在量词
探究点2 存在量词
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间 有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
2．下列全称命题中真命题的个数为( C )
①末位是0的整数，可以被2整除．
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
3．在下列特称命题中假命题的个数是( A )
①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形
A．0
B．1
例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数；
（2）x R, x2 1 1;
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
解：（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题. （2）真命题. （3） 是2 无理数，但 （=22）是2 有理数.所以
为假命题.
【变式练习】
判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3） x { x |x 是 有 理 数 } ， x 2 是 有 理 数 。
(3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
全称量词，并用符号“ ”表示
含有全称量词的命题，
叫做全称命题。
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等
全称量词与存在量词
2
【名师点评】 量词的几种否定形式
至少 原语句 是 都是 > 有一 个 一个 不都 否定形式 不是 ≤ 也没 是 有 至多 对任意 有一 x∈A使p(x) 个 真 至少 存在x0∈A 有两 使p(x0)假 个
与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参 数问题
解决这类问题时，应先根据题目条件，
推出每一个命题的真假(有时不一定只有
第3课时 全称量词与存在量词
1.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“对所有的”、
“___________”逻辑中通常叫做全称量词，用 词的命题叫做_______ (2)存在量词：短语“存在一个”、 “___________”在逻辑中通常叫做存在量词， 至少有一个 用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做 特称命题． ___________
【解】
Δ＝m －4>0 p： ，解得 m>2. m>0
2 2
2
q：Δ＝16(m－2) －16＝16(m －4m＋3)<0. 解得 1<m<3. ∵p 或 q 为真，p 且 q 为假．∴p 为真，q 为假， 或 p 为假，q 为真． m>2 m≤2 即 或 . m≤1或m≥3 1<m<3 解得 m≥3 或 1<m≤2. 综上，m 的取值范围是 m≥3 或 1<m≤2.
例2
【思路分析】
分析命题所 明确命题是全称命题还 → 是特称命题 含量词
→ 对命题否定并判断真假
【解】 (1)¬p：存在一个实数 m0，使方程 x ＋m0x－1＝0 没有实数根．因为该方程的判别 2 式 Δ＝m0＋4>0 恒成立，故¬p 为假命题． (2)¬ p：所有的三角形的三条边不全相等． 显然¬p 为假命题． (3)¬ p：有的菱形的对角线不垂直． 显然¬p 为假命题． 2 (4)¬ p：∀x∈N，x －2x＋1>0. 2 显然当 x＝1 时，x －2x＋1>0 不成立，故¬p 是 假命题．
全称量词和存在量词等价式
全称量词和存在量词等价式篇一：全称量词和存在量词是自然语言处理中常用的两种量词形式。
全称量词表示一个集合中的所有元素，存在量词则表示某个集合中至少有一个元素。
在自然语言中，全称量词和存在量词经常交替使用，例如“所有的猫都会飞”和“有一只猫会飞”。
全称量词和存在量词可以用以下等价式来表示:1. 全称量词等价式:a 是集合 S 的元素。
2. 存在量词等价式：至少有一个元素 x 使得 ax∈S。
例如，对于集合 S={猫，狗，鸟},全称量词等价式为“所有的猫都是狗”,存在量词等价式为“至少有一只猫是鸟”。
全称量词和存在量词在自然语言处理中的应用非常广泛，尤其是在逻辑表达式和语义分析中。
理解它们的基本语法和等价式对于自然语言处理任务有很大的帮助。
篇二：全称量词和存在量词是数学中两种不同的量词表达方式。
全称量词表示的是某个量的全体，而存在量词则表示在某个条件下存在一个量。
在数学中，全称量词和存在量词通常是相互等价的，即它们等价于同一个表达式的不同表达方式。
例如，对于任意实数 x，都有 x2>0，我们可以用全称量词和存在量词来表示同一个命题，即:全称量词：所有实数 x 都满足 x2>0。
存在量词：在某个实数 x 满足 x2>0 的条件下，存在一个实数 y，使得 y2>0。
这两个量词的等价性可以从数学归纳法中得到证明。
具体来说，如果我们假设所有正实数 x 都满足 x2>0，那么可以推出 x+12>0，即 x+1>0。
由此可以得出结论，所有实数 x 都满足 x2>0。
而对于任意一个实数 x，只要 x2>0 成立，那么 x+12>0 就一定成立，因此存在一个实数 y，使得 y2>0。
全称量词和存在量词的等价性在数学证明和逻辑推理中非常有用。
它可以帮助我们更加简洁、准确地表达数学命题，同时也可以帮助我们更好地理解数学中的各种概念和原理。
全称量词与存在量词
x M,p(x) x M,p(x)
结论
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论
全称命题 p :
它的否定p :
x M,p(x)
全称命题பைடு நூலகம்否 定是特称命题
x0
M,p(x
)
0
探究2
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数；x M,p(x)
(x)
x2
bx
x
b 2
2
b2 4
,
最小值为
b2 4
,
令t
x2
bx, 则f
(f
(x))
f
(t) t 2
bt
t
b 2
2
b2 4
,t
b2 4
,当
b 0时, f ( f (x))的最小值为 b2 ,所以"b 0"能推出" f ( f (x))的最 4
2 特称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.
例1写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；
2）p:每一个四边形的四个顶点共圆 3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。 解：1）p : 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
它的否定 p : x0 M,p(x0 )
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
面的结论：
特称命题 p : x0 M,p(x0)
知识讲解_全称量词与存在量词_基础
全称量词与存在量词【学习目标】1. 理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2. 能准确地使用全称量词和存在量词符号“”“”来表述相关的教学内容；3. 掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词: 在指定范围内, 表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示, 读作“对任意”.全称命题全称命题: 含有全称量词的命题, 叫做全称命题.一般形式: “对中任意一个, 有成立”,记作: , （其中为给定的集合, 是关于的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词, 例如：（1）“末位是0的整数, 可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义: 表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”, “存在一个”,“至少有一个”, “有的”,“有些”等.通常用符号“”表示, 读作“存在”.特称命题特称命题: 含有存在量词的命题, 叫做特称命题.一般形式: “存在中一个元素, 有成立”,记作: , （其中为给定的集合, 是关于的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量, 例如：存在使.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题, 可以有不同的表述要点三、含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题: ,的否定: , ；从一般形式来看, 全称命题“对M中任意一个x, 有p（x）成立”, 它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定, 还需对全称量词进行否定, 使之成为存在量词, 也即“任意”的否定为“, ”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题: ,的否定: , ；从一般形式来看, 特称命题“, ”, 它的否定并不是简单地对结论部分进行否定, 还需对存在量词进行否定, 使之成为全称量词, 也即“, ”的否定为“, ”.要点诠释:(1)全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.（3）正面词: 等于、大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于否定词: 不等于、不大于、不小于、不是、不都是、一个也没有、至少两个、大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“, ”是真命题, 必须对集合M中的每一个元素x, 证明成立；要判定全称命题“, ”是假命题, 只需在集合M中找到一个元素x0, 使得不成立, 即举一反例即可.②要判定特称命题“, ”是真命题, 只需在集合M中找到一个元素x0, 使得成立即可；要判定特称命题“, ”是假命题, 必须证明在集合M中, 使成立得元素不存在.【典型例题】类型一: 量词与全称命题、特称命题【高清课堂: 全称量词与存在量词395491例1】例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）x R, x2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【解析】（1）有全称量词“任意”, 是全称命题；（2）有全称量词“所有”, 是全称命题；（3）有存在量词“存在”, 是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。
全称量词和存在量词
至少有一个 x0∈R，使
对有些实数 x0，使 x2 0＝x0 成立； 至少有一个 x0∈R，使 x2 0＝x0 成立； 对某一个 x0∈R，使
2 x0＝x0 成立．
跟踪练习
1. 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)n边形的内角和等于(n－2)×180°；
B．全称命题
C．特称命题 D．不含量词的命题
解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．
答案：B
常见的全称量词有：“所有的”“任意一
个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”
等．
常见的存在量词有：“存在一个”“至少有
一个”“有些”“有一个”“某个”“有的” 命题 全称命题“∀x∈A，p(x)” 特称命题“∃x∈A，p(x)”
x
)
B．∀x∈N，x≥1 D．∃x∈Q， x∉Q
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1.
故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到
这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；
④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；
⑥存在三角形其内角和大于180°.
2．既是特称命题，又是真命题的是( A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个 x∈ R，使 x2≤ 0 C．两个无理数的和是无理数 1 D．存在一个负数 x，使 >2 x
解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.
)
答案：B
3．下列命题是假命题的是( A．∀x∈R,3 >0 C．∃x∈Z，x<1
答案：C
2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(
全称量词和存在量词
解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1 ＝1≠0，故是假命题．
(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整 除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x ＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角 和 为 360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题 “∀x∈S，p(x)”． (2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写 出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x ＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
∴要使在(0,4)上存在 )存在 x0 使 a＝x0＋x40＋1.而 x＋4x＋1≥4＋1＝5， 等号当且仅当 x＝2 时成立．
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1. 故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到 这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等； ④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形； ⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是特称 命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序 号)．
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x20－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x20－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x02－x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
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（四）存在量词、特称命题定义：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻 辑中通常叫做存在量词， 并用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。
常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 。
变式：a R, 使不等式 a a 2 x成立， 试求实数x取值值范围.
小 结：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得 p(x0) 成立即可 （举例证明）
判断特称命题"x0 M,p(x0 )"是假命题的方法：
——需要证明集合M中，使p(x)成立的 元素x不存在。
P23
练 习：
特称命题举例：
命题：（1）有的平行四边形是菱形； （2）有一个素数不是奇数。
特称命题符号记法：
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x) 等表示，变量x的取值范围用M表示，那么， 特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ” 可用符号简记为：
x0 M，p( x0 ),
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.
小结：
1、全称量词、全称命题的定义; 2、全称命题的符号记法; 3、判断全称命题真假性的方法; 4、存在量词、特称命题的定义; 5、特称命题的符号记法; 6、判断特称命题真假性的方法.
同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不 同，可能有不同的表述方法：
命 题 全称命题 ①所有的x∈M，p(x)成立 ②对一切x∈M，p(x)成立 ③对每一个x∈M，p(x)成立 ④任选一个x∈M，p(x)成 立 ⑤凡x∈M，都有p(x)成立 特称命题 ①存在x0∈M，使p(x)成立 ②至少有一个x0∈M，使 p(x)成立 ③对有些x0∈M，使p(x)成立 ④对某个x0∈M，使p(x)成立 ⑤有一个x0∈M，使p(x)成立
含有全称量词的命题，叫做全称命题.
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等 。
2.全称命题符号记法：
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ” 可用符号简记为：
x M，p( x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
学习目标
理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常 见的全称量词和存在量词． 了解含有量词的全称命题和特称命题的含 义，并能用数学符号表示含有量词的命题
判断其命题的真假性．
一、问题引入
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关 系？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题.
语句（3）在问题（1）的基础上，用短语“对所有的” 对变量x进行限定；语句（4）在问题（2）的基础上， 用短语“对所有的”对变量x进行限定.
二、新课概念
（一）全称量词与全称命题
全称量词、全称命题定义： 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词，并用符号“ ”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称命题.
判断全称命题"x M,p(x)"是真命题的方法：
——需要对集合M中每个元素x，证明 p(x)成立.
判断全称命题"x M,p(x)"是假命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得 p(x0)不成立即可。 （举反例）
P23
练习：
1 . 判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数；
0;
2 判断下列特称命题的真假：
（1）x0 R, x0 不是素数；
（3）
（2）至少有一个整数，它既不是合数，也
解： （1）真命题; （2）真命题； （3）真命题.
练习
3、用符号“ ”与“ ”表达下列命 题： （1）实数都能写成小数形式； （2）存在这样的实数它的平方等于它本身。 （3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数； （4）存在实数x，x3＞x2；
表 述 方 法
x M , p( x)
x0 M , p( x)
作业
1、P26，A组第1、2题。
思考： 1 对x R , a x 恒成立，则a x 的取值范围是 .
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
复习回顾
1.全称量词、全称命题定义： 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词，并用符号“ ”表示.
（二）全称命题举例：
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” 命题：对任意的 n∈Z，2n+1 是奇数； “任给” “所有的”等 。 所有的正方形都是矩形。
（三）全称命题符号记法：
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x), …表示，变量x的取值范围用M表示， 那么， 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ” 可用符号简记为：
（2）任何实数都有算术平方根；
（3） （1）真命题； （2）假命题； （3）假命题；
P22 思考： 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间 有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
x M，p( x)
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
例 1 判断下列全称命题的真假. （1）所有的素数都是奇数； （2） （ 3 ）对每一个无理数 x ， x2 也是无理数； （4）所有有中国国籍的人都是黄种人；
答：（1）假命题； （2）真命题； （3）假命题； （4）假命题；
小 结：
例2 判断下列特称命题的真假： （1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数. 解：
（1）假命题； （2）假命题； （3）真命题.
例题3.a R, 不等式 a a 2 x恒成立， 试求实数x取值值范围.