湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中2017-2018学年高三第二学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年湖北省宜昌市示范校高二(上)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年湖北省宜昌市示范校高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．（5分）直线2x+y+1=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）A．k=2，b=1B．k=﹣2，b=﹣1C．k=﹣2，b=1D．k=2，b=﹣12．（5分）已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面3．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（）A．B．C．8D．24．（5分）原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜0或a＞2B．a=0或a=2C．0＜a＜2D．0≤a≤2 5．（5分）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）A．（﹣2m，﹣m﹣4）B．（5，1）C．（﹣1，﹣2）D．（2m，m+4）6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+47．（5分）圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（y﹣m）2=4内切，则m的值（）A．﹣2B．﹣1C．﹣2或﹣1D．2或18．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β9．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）A．2B．C．D．10．（5分）已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为（）A．4B．C．2πD．π11．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，过M点的最长弦和最短弦所在直线方程分（）A．x﹣y﹣3=0，x+y﹣3=0B．x﹣y﹣3=0，x﹣y﹣3=0C．x+y﹣3=0，x﹣y﹣3=0D．x+y﹣3=0，x﹣y﹣3=012．（5分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y﹣2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6）B．[4，6]C．（4，5）D．（4，5]二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是．14．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3），A（3，0）．（Ⅰ）求OC所在直线的方程；（Ⅱ）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程及D点坐标．18．（12分）已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．19．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）E为BC的中点，求AE与底面BCD所成角的正切值．20．（12分）若x，y满足，求：（Ⅰ）z=2x+y的最小值；（Ⅱ）的最大值；（Ⅲ）x2+y2的最小值．21．（12分）如图，三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面APC；（Ⅲ）若BC=4，AB=10，求三棱锥D﹣BCM的体积．22．（12分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围？（Ⅱ）当m变化时，是否存在这样的圆：与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．2017-2018学年湖北省宜昌市示范校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．（5分）直线2x+y+1=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）A．k=2，b=1B．k=﹣2，b=﹣1C．k=﹣2，b=1D．k=2，b=﹣1【分析】由直线方程2x+y+1=0化为斜截式：y=﹣2x﹣1，即可得出【解答】解：由直线方程2x+y+1=0化为斜截式：y=﹣2x﹣1．可得斜率k=﹣2，在y轴上的截距为b=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了直线的斜截式、斜率与截距，属于基础题．2．（5分）已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面【分析】由直线a∥平面α，直线b在平面α内，知a∥b，或a与b异面．【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b在平面α内，∴a∥b，或a与b异面，故选：D．【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（）A．B．C．8D．2【分析】根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离．【解答】解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，∴=≠，∴m=8，故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为=2，故选：D．【点评】本题考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式的应用．4．（5分）原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜0或a＞2B．a=0或a=2C．0＜a＜2D．0≤a≤2【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故选：C．【点评】本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．5．（5分）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）A．（﹣2m，﹣m﹣4）B．（5，1）C．（﹣1，﹣2）D．（2m，m+4）【分析】由直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0变形为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）=0，令，即可求出定点坐标．【解答】解：由直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0变形为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）=0，令，解得，∴该直线过定点（﹣1，﹣2），故选：C．【点评】本题考查了直线系过定点问题，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D．【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．7．（5分）圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（y﹣m）2=4内切，则m的值（）A．﹣2B．﹣1C．﹣2或﹣1D．2或1【分析】根据两个圆相内切，可得两个圆的圆心距等于它们的把半径之差，求得m的值．【解答】解：由题意可得，两个圆的圆心分别为（m，﹣2）、（﹣1，m），半径分别为3、2，根据两个圆相内切，可得两个圆的圆心距等于它们的把半径之差，即=3﹣2，求得m=﹣2，或m=﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的判断方法，两点间的距离公式，属于基础题．．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，推导出m⊥β，所以m⊥n；在C 中，m与n相交、平行或异面；在D中，n与β相交、平行或n⊂β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥β，所以m⊥n，故B正确；在C中，若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与β相交、平行或n⊂β，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）A．2B．C．D．【分析】先将圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0转化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，明确圆心和半径，再求得圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心为（1，1），半径为1圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，则所求距离最大为，故选：B．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．10．（5分）已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为（）A．4B．C．2πD．π【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=，解得n=90°，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：．故选：B．【点评】本题考查蚂蚁爬行的最短路程长的求法，考查圆锥的展开图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，过M点的最长弦和最短弦所在直线方程分（）A．x﹣y﹣3=0，x+y﹣3=0B．x﹣y﹣3=0，x﹣y﹣3=0C．x+y﹣3=0，x﹣y﹣3=0D．x+y﹣3=0，x﹣y﹣3=0【分析】圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0的圆心C（4，1），M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，过M点的最长弦所在直线为直线CM，最短弦所在直线是过M且垂直于CM的直线．【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0的圆心C（4，1），M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，∴过M点的最长弦所在直线方程为：，整理，得：x﹣y﹣3=0．k CM==1，∴最短弦所在直线的斜率k=﹣1，∴最短弦所在直线方程为y=﹣（x﹣3），即x+y﹣3=0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．（5分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y﹣2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6）B．[4，6]C．（4，5）D．（4，5]【分析】求出圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于5，由|5﹣r|＜1，能求出半径r的取值范围．【解答】解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于=5，由|5﹣r|＜1，解得4＜r＜6，∴半径r的取值范围是（4，6）．故选：A．【点评】本题考查圆的半径的取值范围的求法，考查圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是3．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2解得r=3，故答案为：3．【点评】本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题．14．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为x+2y﹣1=0．【分析】利用圆系方程，求出公共弦所在直线方程．【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0…①和C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0…②①﹣②得公共弦所在的直线方程为：6x+12y﹣6=0，即x+2y﹣1=0．故答案为x+2y﹣1=0．【点评】本题考查相交弦所在直线的方程，考查计算能力，是基础题．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0．【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．16．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为．【分析】画出图形，求异面直线CE与BD所成角的余弦，可以想着去求向量，夹角的余弦，而，，设正四面体ABCD的棱长为2，可求出CE=2，从而得到=，进行数量积的运算即可求出cos，从而可得出异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，设正四面体的棱长为2，则CE=；∴cos===；∴异面直线CE与BD所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】考查用向量的方法求异面直线所成角，清楚正四面体的概念，向量加法的平行四边形法则，以及向量减法的几何意义，向量夹角的余弦公式，向量数量积的运算．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3），A（3，0）．（Ⅰ）求OC所在直线的方程；（Ⅱ）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程及D点坐标．【分析】（Ⅰ）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=，求出直线OC的斜率，利用点斜式方程解答；（Ⅱ）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：（Ⅰ）k OC=3，则直线OC：y=3x．（Ⅱ）∵AB∥OC，∴OC⊥CD，则由点斜式，得：即直线CD：x+3y﹣10=0，而直线AB：3x﹣y﹣9=0，解方程组得：，则点．【点评】此题考查学生会根据两点的坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握两直线平行时斜率所满足的条件，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道综合题．18．（12分）已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．【分析】（Ⅰ）根据题意设出圆C的标准方程，由圆心到直线的距离d和半径r、弦长AB的关系，求出r的值，从而写出圆的标准方程；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和斜率存在时，求出对应切线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=r2（r＞0），则圆心C（1，1）到直线x+y﹣1=0的距离为：，…（2分）则，∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；…（5分）（Ⅱ）①当切线的斜率不存在时，切线方程为：x=2，此时满足直线与圆相切；…（6分）②当切线的斜率存在时，设切线方程为：y﹣3=k（x﹣2），即y=kx﹣2k+3；则圆心C（1，1）到直线kx﹣y﹣2k+3=0的距离为：，…（8分）化简得：4k=3，解得，∴切线方程为：3x﹣4y+6=0；…（11分）综上，切线的方程为：x=2和3x﹣4y+6=0．…（12分）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用问题，是中档题．19．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）E为BC的中点，求AE与底面BCD所成角的正切值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，AD⊥CD，从而AD⊥平面BDC，由此能证明平面ADB⊥平面BDC．（Ⅱ）连接DE，DE是AE在平面BCD的射影，从而∠AED是AE与底面BCD所成角，由此能求出AE与底面BCD所成角的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）由△ABC中，AD是BC边上的高，得AD⊥BD，AD⊥CD，∵BD、CD⊂平面BDC，BD∩CD=D，∴AD⊥平面BDC，又AD⊂平面ADB，∴平面ADB⊥平面BDC．…（6分）解：（Ⅱ）连接DE，由（Ⅰ）知AD⊥平面BDC，∴DE是AE在平面BCD的射影，∴∠AED是AE与底面BCD所成角，令BD=a，则，AB=2a，CD=3a，，在RT△ADE中，，∴AE与底面BCD所成角的正切值为．…（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）若x，y满足，求：（Ⅰ）z=2x+y的最小值；（Ⅱ）的最大值；（Ⅲ）x2+y2的最小值．【分析】（Ⅰ）化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最优解，得到最优解的坐标，代入目标函数得答案；（Ⅱ）由的几何意义，即可行域内动点与定点连线的斜率求解；（Ⅲ）由x2+y2的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方求解最小值即可．【解答】解：如图，作出x，y满足的可行域为△ABC内（及边界）区域，其中A（1，2），B（2，1），C（3，4）．（Ⅰ）目标函数z=2x+y，表示直线l：y=﹣2x+z，z表示该直线纵截距，当l过点A（1，2）时纵截距有最小值，故z min=4．（Ⅱ）目标函数z=+1，记k=．则k表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即k max=2，即z max=（）max=3．（Ⅲ）目标函数z=x2+y2表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O到AB的距离d==且垂足是D（，）在线段AB上，故x2+y2的最小值为：OD2=．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．21．（12分）如图，三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面APC；（Ⅲ）若BC=4，AB=10，求三棱锥D﹣BCM的体积．【分析】（I）根据中位线定理可得DM∥AP，故而结论得证；（II）证明AP⊥平面PBC得出AP⊥BC，结合BC⊥PC得出BC⊥平面APC；（III）利用等边三角形的性质得出DM，PC，代入棱锥的体积公式计算．【解答】证明：（Ⅰ）∵M为AB，D为PB中点，∴DM∥AP，而DM⊄平面APC，AP⊂平面APC∴DM∥平面APC．（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点．∴MD⊥PB又由（Ⅰ）知MD∥AP，∴AP⊥PB，又AP⊥PC，PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，PB∩PC=P，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AP，AC⊂平面PBC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC，解：（Ⅲ）∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=4，，∴，又MD=，而DM⊥平面BCD，=V M﹣BCD=．∴V D﹣BCM【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．22．（12分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围？（Ⅱ）当m变化时，是否存在这样的圆：与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）把此圆的方程化为标准式，根据半径大于零，求得m的取值范围．（Ⅱ）当m变化时，根据OM⊥ON，求得16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0 ①，把直线x+2y﹣4=0代入圆的方程，由△大于零求得m的范围，再把它代入①得m的值．【解答】解：（Ⅰ）原方程可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∵此方程表示圆，∴5﹣m＞0，解得：m＜5．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，∴OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0 ①，由得，5y2﹣16y+m+8=0，由△=162﹣20（8+m）＞0，解得，∴，，代入①得，满足，即存在满足条件的圆，且．【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，直线和圆相交的性质，属于中档题．第21页（共21页）。
湖北省襄阳市第四中学2017-2018学年高一10月月考数学
襄阳四中2017级高一10月份月考数学测试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{|5}A x Z x =∈≤，{|1}B x Z x =∈>，那么AB 等于（ ）A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{|15}x x <≤ 2.已知集合2{1,}M a =，{1,}P a =--，若MP 有三个元素，则M P =（ ）A ．{0,1}B ．{1,0}-C ．{0}D ．{1}-3.已知函数2()f x x mx =-+在区间(,1]-∞上是增函数，则m 的取值范围是（ ） A ．{2} B ．(,2]-∞ C ．[2,)+∞ D ． (,1]-∞4.下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A．()f x =2()g x = B ．2()f x x =，2()(2)g x x =-C.,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨->⎩，()f t t = D ．()11f x x=-，()g x =5.已知函数()y f x =的定义域[8,1]-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域是（ ）A ．(,2)(2,3]-∞--B ．[8,2)(2,1]---C.9[,2)(2,0]2--- D ．9[,2)2-- 6.如图所示，当0ab >时，函数2y ax =与()f xax b =+的图像可能是（ ）A ．B ． C. D ． 7.设函数223,()22,x f x x x -⎧⎨--⎩1,1.x x ≥<若0()1f x =，则0x =（ ）A ．-1或3B ．2或3 C.-1或2 D ．-1或2或3 8.用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧=⎨-<⎩，若{1,2}A =，22{|()(2)0}B x x ax x ax =+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．19.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)(3f x f -<）的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1233⎛⎫⎪⎝⎭， C.1233⎛⎤⎥⎝⎦， D ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，10.若函数21()242f x x x =-+的定义域、值域都是[2,2]b ，则（ ） A ．2b = B ．[1,2]b ∈ C.(1,2)b ∈ D ．1b =或2b = 11.设集合2{|230}A x x x =+->，集合2{|210,0}B x x ax a =--≤>，若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3(0,)4 B ．34[,)43 C.3[,)4+∞ D ．(1,)+∞ 12.记实数1x ，2x ，3x ，…，n x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数12min{,,,}n x x x ，则2max{min{1,1,6}}x x x x +-+-+=（ ） A ．34 B ．1 C.3 D ．72第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知集合21{|,}3n A x x n Z +==∈，2{|1,}3nB x x n Z ==+∈，则集合A 、B 的关系为 ．14.已知2(21)f x x x +=+，则()f x = ．15.已知函数222,(1)()1,(1)x ax a x f x ax x ⎧-+-≥=⎨+<⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是 ．16.设集合{|01}A x x =≤<，{|12}B x x =≤≤，函数2,,()42,.x x A f x x x B ∈⎧=⎨-∈⎩若0x A ∈且0[()]f f x A ∈，则0x 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-. （1）求出函数()f x 在R 上的解析式（2）画出函数()f x 的图象，并指出函数的单调区间.18. 已知全集U R =，集合2{|3180}A x x x =--≥，5{|0}14x B x x +=≤-. （1）求()U C B A .（2）若集合{|21}C x a x a =<<+，且B C C =，求实数a 的取值范围.19. 已知函数2()426f x x ax a =+++.（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；（2）若函数()f x 的函数值均为非负实数，求()2|3|g a a a =-+的取值.20. 已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5)，且()f x 在区间[1,4]-上的最大值为12.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式. 21. 定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：①对任意,(1,1)x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭；②当0x <，()0f x >.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并说明理由； （3）若11()52f =，试求111()()()21119f f f --的值. 22.定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[,]a b 上存在0x （0a x b <<），满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[,]a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.如4y x =是[1,1]-上的平均值函数，0就是他的均值点.（1）判断函数2()4f x x x =-+在区间[0,9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；（2）若函数2()1f x x mx =-++是区间[1,1]-上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BCCCC 6-10:DCBBA 11、12：BD 二、填空题13.A-B 14.214x - 15.[2,0)- 16.13[0,)[,1)44三、解答题17.（1）①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则(0)0f =； ②当0x <时，0x ->，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-. 所以22()()[()2()]2f x f x x x x x -=--=----=--.综上：222,0,()0,0,2,0.x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩（2）图象如图所示单调增区间为：(,1]-∞-和[1,)+∞；单调减区间为：[1,1]- 18.解：（1）∵{|6A x x =≥或3}x ≤-，∴{|514}B x x =-≤<， ∵(){|14U C B A x x =≥或5}x <-（2）∵BC C =∴C B ⊆，当C =∅时，211a a a ≥+⇒≥当C ≠∅时，211511413122552a a a a a a a a ⎧⎪<+<⎧⎪⎪+≤⇒≤⇒-≤<⎨⎨⎪⎪≥-⎩⎪≥-⎩，综上：52a ≥-19.【解析】（1）∵函数的值域为[0,)+∞，∴2164(26)0a a ∆=-+=，22301a a a ⇒--=⇒=-或32a =. （2）∵对一切x R ∈函数值均为非负， ∴23164(26)012a a a ∆=-+≤⇒-≤≤， ∴30a +>，∴22317()2|3|32()24g a a a a a a =-+=--+=-++，3[1,]2a ∈- ∵二次函数()g a 在3[1,]2-上单调递减， ∴3()()(1)2g g a g ≤≤-，即19()44g a -≤≤， ∴()g a 的值域为19[,4]4-. 20.解：（1）由题意可设()(5)f x ax x =-，0a >，则当1x =-时，max ()(1)612f x f a =-==，则2a =，2()210f x x x =-。
精品解析：【全国百强校】湖北省襄阳市第四中学2017-2018学年高一10月月考数学试题(解析版)
襄阳四中2017级高一10月份月考数学测试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得。
选B。
2. 已知集合，，若有三个元素，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵有三个元素，∴，解得或（舍去），∴，∴。
选C。
3. 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，函数图象的对称轴为，∵函数在区间上是增函数，∴，解得。
选C。
4. 下列选项中，表示的是同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】对于A, f(x)＝,与g(x)＝()2的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；对于B,,与的定义域相同，对应关系不相同，∴不是同一函数；对于C,,与的定义域相同，对应法则相同，∴是同一函数；对于D, f(x)＝,与g(x)＝或的定义域不同，∴不是同一函数。
故选：C.5. 已知函数的定义域，则函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，要使函数有意义，则，解得且。
所以函数的定义域为。
选C。
点睛：抽象函数定义域的类型及解法①已知的定义域求的定义域若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域；②已知的定义域求的定义域．若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．③求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集。
6. 如图所示，当时，函数与的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】略7. 设函数若，则（）A. -1或3B. 2或3C. -1或2D. -1或2或3【答案】C【解析】当时，则，解得，符合条件；8. 用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值集合是，则（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】由，得①或②。
2017-2018年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高一(下)期中数学试卷和答案
A．{1，2，3}
2． （5 分）下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（ 数） A．y=x+lnx B． C．y=x3+sinx
D．y=x3+3x ） D．
3． （5 分）函数 f（x）=2sinxcosx+ A．4π 4． （5 分） 已知向量 则 λ=（ A．2 ） B．1 B．2π ，
cos2x 的最小正周期为（ C．π ，
15． （5 分）已知函数
，若实数 a，b，c 满足 a＜b＜c， ．
且 f（a）=f（b）=f（c） ，则 c2f（a+b+c）的取值范围为
16． （5 分）在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则将某些数染成蓝色：先 染 1；再染两个偶数 2，4；再染 4 后面的最临近的 3 个连续奇数 5，7，9；再 染 9 后面的最临近的 4 个连续偶数 10，12，14，16；再染此后最临近的 5 个 连续奇数 17，19，21，23，25．按此规则一直染下去，得到一蓝色子数列 1， 2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，21，23，25，…，则在这个蓝色 子数列中，由 1 开始的第 200 个数是 ．
扇形 OPQ 区域外修建一条公路 MN，分别与射线 OA、OB 交于 M、N 两点， 并要求 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 T（T 不与 P，Q 重合） ．设∠POT=α（单位： 弧度） ，假设所有公路的宽度均忽略不计． （Ⅰ）试将公路 MN 的长度表示为 α 的函数； （Ⅱ）已知公路每千米的造价为 2000 万元，问建造这样一条公路 MN，至少要 投入多少万元？
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 17． （12 分）在等差数列{an}中，a8=29，a2+a7=30． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）数列{bn}是首项为 1，公比为 q 的等比数列，设 cn=an+bn，求数列{cn}的 前 n 项和 Sn． 18． （12 分）已知数列{an}是公差大于零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a1， a3﹣a1，S4 成等比数列，a2=3． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 的值． 19 ． （ 12 分）在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，向量 ， ，且
湖北省襄阳市第五中学2017-2018学年高三9月模拟考试(四)数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试文科数学测试本试题卷共4页，24题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1. 已知集合{(,)1},{(,)32}A x y y x B x y y x ==+==-，则AB =（ ）A. 25(,)33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 25(,)33C. 25,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 2525(,),(,)3333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2. 若复数()1a ia R i-∈+是纯虚数，则复数34a i +在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的离心率的取值范围是（ ）A. (1,)+∞B.C. )+∞D. (0,1)4. 0tan70cos10tan702sin50-=（ ）A. 12-B. 12C. 2-D. 2 5. “0m n >>”是“曲线221mx ny +=为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若a 、b 是两个正数，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，则b a +的值等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 207. 如图所示的程序框图，如果输入三个实数,,a b c ，要求输出的三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应填入下面四个选项中的（ ）A. c x >B. c x <C. c b >D. b c >8. 在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组0040x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩所确定的平面区域内的动点，,M N 是圆221x y +=的一条直径的两端点，则PM PN ⋅的最小值为（ ）A ．4B ．221-C ．42D ．79. 函数s i n (2)3y x=-与cos(2)3y x =+的图像关于直线x a =对称， 则a 可能是（ ） A ．24π B ．12π C ．8π D ．1124π 10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16163π-B ．32163π- C ．1683π- D ．3283π-11. 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当 xy取得最大值时，|AD →| 为（ ）A ．4B ．3 C. 52 D. 12512. 对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数1()2x f x e x -=+-与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,4]B. 7[2,]3C. 7[,3]3D. [2,3]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：共4小题，每题5分。
2014-2015年襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高一(下)期中数学试卷和答案
12． （5 分）已知定义在[0，+∞）上的函数 f（x）满足 f（x）=2f（x+2）恒成立， 且当 x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，设 f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值 为 an（n∈N*） ，且{an}的前 n 项和为 Sn，若不等式 立，则 t 的取值范围是（ A．t≤5 B．t≤4 ） C．t≤3 D．t≤2 对任意 n∈N*恒成
D．136.5
7． （5 分）对于使 f（x）≤M 恒成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值叫做
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f（x）的上确界．若 a＞0，b＞0 且 a+b=1，则 A． B． C．的上确界为（Fra bibliotekD．﹣4）
8． （ 5 分）已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn 且满足 S17 ＞ 0 ， S18 ＜ 0 ，则 中最大的项为（ ）
2． （5 分）若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有（ ①{2an+1}，② A．1 个 ，③{an+1﹣an}，④{2an+n}． B．2 个 C．3 个 D．4 个
3． （5 分） 在△ABC 中， sin2A≥sin2B+sin2C﹣sinBsinC， 则∠A 的取值范围是 （ A． （0 ， ] B． （0， ] C．[ ，π） D．[ ，π）
16． （5 分）各项均为正偶数的数列 a1，a2，a3，a4 中，前三项依次成公差为 d（d ＞0）的等差数列，后三项依次成公比为 q 的等比数列，若 a4﹣a1=88，则 q 的所有可能的值构成的集合为 ．
三、解答题： （本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤） 17． （10 分）已知{an}是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，Sn 是其前 n 项的和， 且 S5=5，S6=﹣3． （Ⅰ）求数列{an}的通项 an 及 Sn； （Ⅱ）设{bn﹣2an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列．求数列{bn}的通项公式及 其前 n 项和 Tn． 18． （12 分）已知△ABC 中的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满 足 ， （b﹣a） （sinB+sinA）=（b﹣c）sinC．
湖北省襄阳市四校2017-2018学年高二上学期期中联考数学(文)试题Word版含答案(打印版)
2017——2018学年度上学期高二期中考试数学试题(文科)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知直线3330x y --=，则该直线的倾斜角为A. 30B. 60C. 120D.1502.一个球的内接正方体的表面积为72，则球的体积为A. 27πB. 18πC. 36πD.54π3.已知变量,x y 的取值如下表所示:如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ2y bx =-，则ˆb 的值为A. 2.5B. 2C. 1.2D. 14.下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面:①若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥ ②若//,m n αα⊂，则//m n③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥ ④若//,m αβα⊂，则//m β正确的命题是A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④5.某中学从高二甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数为85，乙班学生成绩的中位数为88，则xy 的值为A. 30B. 24C. 48D. 406.直线3410x y -+=与圆()2211x y +-=交于E,F 两点，则EOF ∆(O 是坐标原点)的面积为A. 35B. 825C. 45D. 4257.在区间[]2,2-上随机地选取两个数,x y ，则221x y +<满足的概率为A.16πB. 8πC. 4πD.2π8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 922+1122+ C. 72+42+9.设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，设目标函数3z x y =-的最大值为m ，最小值为n ，则m n +的值为A. 92-B. 92C.152-D.15210.如下框图所示，已知集合{}|A x x =框图中输出的值集合{}|B y y =框图中输出的值，当0x =时，A B =A. {}0,1,3B. {}1,3,5C. {}1,3,5,7D. {}0,1,3,511.已知直线210kx y k -+-=恒过定点A,点A 也在直线20mx ny ++=上，其中,m n 均为正数，则12m n+的最小值为 A. B. C. D.12.已知在平面直角坐标系中，点()()4,0,0,3A B 到直线l 的距离分别为1,6，则直线l 的条数为A. 3B. 2C. 1D. 0二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某单位有职工120名，男职工80名，现采用分层抽样(按男女分层)抽取一个样本，若已知样本中有24名男职工，则样本容量为 .14.已知在空间直角坐标系中，点()1,0,1A 关于坐标平面yoz 的对称点为A '，则点A '与点间()2,1,1B -的距离为 .15.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=2，则三棱锥D-ABC 的体积为 .16.过圆224x y +=外一点()6,8A -引圆的两条切线，切点为12,T T ，则直线12T T 的方程为 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(本题满分10分)已知直线1:260l ax y ++=和直线()22:310l x a y a +-+-= (1)当12l l ⊥时，求a 的值；(2)在(1)的条件下，若直线32//l l ，且3l 过点()1,3A -，求直线3l 的一般方程.18.(本题满分12分)一个袋中装有四个完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不小于5的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求1n m -≤的概率.19.(本题满分12分)如图，已知ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥平面,//ABCD FC EA ，设1, 2.EA FC == (1)求证:平面EACF ⊥平面BDF ；(2)求四棱锥D EACF -的体积.20.(本题满分12分)今年“十一”期间，福银高速公路车辆较多.某调查公司在襄阳收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔60辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速()/km h 分为六段[)[)[)[)[)[]60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90后，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；(2)若从这40辆车速在[)60,70的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[)65,70的概率.21.(本题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F(1)求证:点F 是棱PD 的中点；(2)若PA AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求证:AF ⊥平面PCD .22.(本题满分12分)已知圆C 的圆心为坐标原点，且与直线1:220l x y --=相切(1)求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 长；(2)若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点P,Q ，若POQ ∠为锐角，求直线l 纵截距的取值范围.。
湖北省襄阳四中、龙泉中学四校联考2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷(理科) Word版含解析
湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）若a=log23，b=log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a3．（5分）已知两个集合A={x|y=ln（﹣x2+x+2）}，，则A∩B=（）A．B．C．（﹣1，e）D．（2，e）4．（5分）已知p：∀x∈R，2x＜3x；q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列中为真的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q5．（5分）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．③④B．①②C．②③D．②④6．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC一定是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）8．（5分）关于函数，有下列：①其表达式可写成；②直线图象的一条对称轴；③f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到；④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立则其中真为（）A．②③B．①②C．②④D．③④9．（5分）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g （x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到y′=f（x）g（x）[g′（x）]lnf（x）+g（x）••f′（x），运用此方法求得函数y=x（x＞0）的极值情况是（）A．极小值点为eB．极大值点为eC．极值点不存在D．既有极大值点，又有极小值点10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（）A．e﹣1∉M，e∉M B．e﹣1∉M，e∈M C．e﹣1∈M，e∉M D．e﹣1∈M，e∈M二、填空题：（本大题共4小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）（一）必做题（11～14题）11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2a2+log2a8=1，则a5=．12．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=．13．（5分）已知函数f（x）=sin3x+2015x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=．则（ⅰ）f（f（x））=；（ⅱ）给出下列四个：①函数f（x）是偶函数；②存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等边三角形；③存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；④存在x i∈R（i=1，2，3，4），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形是菱形．其中，所有真的序号是．一、选修4-4坐标系与参数方程选讲15．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．一、选修4-1几何证明选讲16．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为．三．解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前三项和为12，且a1，a2，a4成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，是否存在正整数，使得b1+b2+…+b n＞，对∀n＞M（n∈N+）恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．22．（14分）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．解答：解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）若a=log23，b=log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的单调性将a、b、c与0和1进行比较，从而可得a、b、c的大小关系．解答：解：∵a=log23＞log22=1，0=log31＜b=log32＜log33=1，＜log41=0，∴c＜b＜a故选D．点评：本题主要考查了对数函数的单调性，以及对数值的比较大小，同时考查运算求解的能力，属于基础题．3．（5分）已知两个集合A={x|y=ln（﹣x2+x+2）}，，则A∩B=（）A．B．C．（﹣1，e）D．（2，e）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中函数的定义域确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中的函数y=ln（﹣x2+x+2）}，得到﹣x2+x+2＞0，即x2﹣x﹣2＜0，整理得：（x﹣2）（x+1）＜0，即﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由B中的不等式变形得：（2x+1）（e﹣x）≤0，且e﹣x≠0，即（2x+1）（x﹣e）≥0，且x≠e，解得：x≤﹣或x＞e，即B=（﹣∞，﹣]∪（e，+∞），则A∩B=（﹣1，﹣]．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）已知p：∀x∈R，2x＜3x；q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列中为真的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：根据指数函数的单调性判断p的真假；利用函数的零点判定定理判断q的真假，再由复合真值表依次判断可得答案．解答：解：∵当x＜0时，2x＞3x，∴p为假；∵f（x）=x3+x2﹣1，图象连续且f（0）•f（1）＜0，∴函数f（x）存在零点，即方程x3=1﹣x2有解，∴q为真，由复合真值表得：p∧q为假；p∧￢q为假；（￢p）∧q为真；￢p∧￢q为假．选故C．点评：本题考查了简单的真假判定，复合的真假判定规律，熟练掌握复合真值表是解答本题的关键．5．（5分）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．③④B．①②C．②③D．②④考点：利用导数研究函数的单调性．专题：规律型．分析：利用导数大于0可得其单调递增区间，导数小于0可得其单调递减区间，①②③④的正确性．解答：解：①该三次函数的导函数的图象为开口方向向下的抛物线，该抛物线在x轴下方的区间对应原函数的递减区间，该抛物线在x轴上方的区间对应原函数的递增区间，符合要求，正确；②同理可分析②正确；③从其导函数图象来看，原函数在（﹣∞，0）单调递增，在（0，a）单调递减（a为图中虚线处的横坐标），图与题意不符，故③错误；④同理可分析④错误；故选A．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查函数图象与其导函数图象之间的对应关系，考查分析问题的能力与数形结合的思想，属于中档题．6．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC一定是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断；向量在几何中的应用．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则将等式中的向量，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状解答：解：∵（﹣）•（+﹣2）=（﹣）•[（﹣）+（﹣）]=（﹣）•（+）=•（+）=（﹣）•（+）=||2﹣||2=0∴||=||，∴△ABC为等腰三角形．故答案为：B点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．7．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）考点：奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：观察题设条件与选项．选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小．解答：解：x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数，又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项A中sin＜cos，故A不对；B选项中sin＞cos，故B不对；C选项中sin1＞cos1，故C对；D亦不对．综上，选项C是正确的．故应选C．点评：本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度．8．（5分）关于函数，有下列：①其表达式可写成；②直线图象的一条对称轴；③f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到；④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立则其中真为（）A．②③B．①②C．②④D．③④考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式的作用；正弦函数的对称性．专题：压轴题；阅读型．分析：①将两函数解析式化简整理，若表示同一个函数，则①正确，否则错误．②若时，f（x）取得最值，则②正确．否则错误．③根据左加右减原则，写出平移后图象对应的解析式，进行对照可以断定正误④考虑先取特殊值，比如取α=等进行验证．解答：解：=（sin2x﹣cos2x）．=（cos2x﹣sin2x）．与原函数不为同一个函数，①错误．②时，f（x）=sin[2×（）﹣]=sin（﹣）=﹣1，函数取得最小值，所以直线图象的一条对称轴．②正确③将g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到，得到图象对应的解析式是y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，与f（x）不为同一个函数．③错误．④取α=，f（x+α）=f（x+）==sin（2x+），f（x+3α）=f （x+3•）==sin（2x+3π﹣）=sin（2x+2π+π﹣）=sin（2x+），所以存在取α=∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立．④正确．故选C．点评：本题考查三角函数图象性质，三角函数式的化简，三角函数图象变换．在图象平移变换中，针对的是x的变化，③中，平移后相位应由2x变化为2（x﹣）即为2x﹣，而不是2x﹣．9．（5分）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g （x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到y′=f（x）g（x）[g′（x）]lnf（x）+g（x）••f′（x），运用此方法求得函数y=x（x＞0）的极值情况是（）A．极小值点为eB．极大值点为eC．极值点不存在D．既有极大值点，又有极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可解答：解：由题意知y′=•（•lnx+••1）=•，（x＞0）令y'＞0，得1﹣lnx＞0∴0＜x＜e，x＞e，y′＜0所以极大值点为e，故选：B．点评：本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（）A．e﹣1∉M，e∉M B．e﹣1∉M，e∈M C．e﹣1∈M，e∉M D．e﹣1∈M，e∈M考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：函数g（x）=ax（a为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点），根据函数，再分离参数，确定函数的单调性，求最值，即可得到结论．解答：解：令F（x）=﹣ax，则F（x）=﹣ax≥0对于任意k∈（0，1）恒成立由题意，x＞0时，a≤，x＜0时，a≥，下面考虑a≤，令h（x）=，则h′（x）=由h′（x）＜0得x＜k，由h′（x）＞0得x＞k，所以h（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，所以当x=k时h（x）取得最小值h（k）=，∴∵k∈（0，1），∴a≤ex＜0时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∴a≥0，∴0≤a≤e∴e﹣1∈M，e∈M故选D．点评：本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力，对于恒成立问题往往转化为函数最值问题处理．二、填空题：（本大题共4小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）（一）必做题（11～14题）11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2a2+log2a8=1，则a5=．考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由对数的运算性质结合已知得到log2（a2a8）=1，求出a2a8=2，再由等比数列的性质得答案．解答：解：由log2a2+log2a8=1，得log2（a2a8）=1，∴a2a8=2．∵数列{a n}是等比数列，∴a52=a2a8=2．所以a5=故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质和等比数列的性质，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=．考点：定积分．专题：计算题．分析：求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．解答：解：由题意，定积分===．故答案为：．点评：本题考查定积分的计算，确定被积函数的原函数是关键．13．（5分）已知函数f（x）=sin3x+2015x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为（﹣2，）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用导数，先求出单调性和奇函数，再根据单调性得到不等式，运用一次函数的单调性，求出x的范围．解答：解：由f（x）=sin3x+2015x，f′（x）=3sin2x•cosx+2015＞0，则f（x）为增函数且为奇函数，f（mx﹣2）+f（x）＜0即为f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），由题意得到mx﹣2＜﹣x在m∈[﹣2，2]恒成立，即有﹣2x﹣2＜﹣x且2x﹣2＜﹣x，解得，﹣2＜x＜．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意运用主元法思想，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=．则（ⅰ）f（f（x））=1；（ⅱ）给出下列四个：①函数f（x）是偶函数；②存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等边三角形；③存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；④存在x i∈R（i=1，2，3，4），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形是菱形．其中，所有真的序号是①②④．考点：的真假判断与应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：（ⅰ）对x分类：x∈Q和x∈C R Q，再由解析式求出f（f（x））的值；（ⅱ）①对x分类：x∈Q和x∈C R Q，分别判断出f（﹣x）=f（x），再由偶函数的定义判断出①正确；②不正确；由③解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；④取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形．解答：解：（ⅰ）由题意知，f（x）=，当x∈Q时，f（x）=1∈Q，则f（f（x））=1；当x∈C R Q时，f（x）=0∈Q，则f（f（x））=1，综上得，f（f（x））=1；（ⅱ）对于①与②，当x∈Q时，则﹣x∈Q，故f（﹣x）=1=f（x），当x∈C R Q时，则﹣x∈C R Q，故f（﹣x）=0=f（x），∴函数f（x）是偶函数，①正确；②不正确；对于③，根据f（x）=，做出函数的大致图象：假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图故斜边AB=2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在，另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，③错误；对于④，根据③做出的图形知，取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，可以做出以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，④正确．故答案为：①②④点评：本题考查的真假判断与应用，考查对函数定义的理解与综合应用，考查抽象思维与逻辑思维能力，属于难题．一、选修4-4坐标系与参数方程选讲15．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．考点：参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．解答：解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．一、选修4-1几何证明选讲16．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为2．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：根据已知中从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，我们由切割线定理及求出PB的长，进而求出弦BC的长，然后根据半径弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，即可求出答案．解答：解：∵PA为圆的切线，PBC为圆的割线，由线割线定理得：PA2=PB•PC又∵，PC=4，∴PB=2，BC=2又∵圆心O到BC的距离为，∴R=2故答案为：2点评：本题考查圆的切割线定理与垂径定理，属于中等题．其中根据切割线定理求出弦BC 的长是解答本题的关键．三．解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：综合题．分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数，即可求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）先求出C，再利用sin（A+C）=2sinA，结合正弦、余弦定理，可求a，b的值．解答：解：（1）…．（3分）∵，∴，∴f（x）的最大值为0，最小正周期是…（6分）（2）由，可得∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴∴，∴∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得①…（9分）由余弦定理得∵c=3∴9=a2+b2﹣ab②由①②解得，…（12分）点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦、余弦定理的运用，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{a n}的前三项和为12，且a1，a2，a4成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，是否存在正整数，使得b1+b2+…+b n＞，对∀n＞M（n∈N+）恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得，由此能求出a n=2n．（Ⅱ）b n==，从而b1+b2+…+b n=2﹣（）n﹣1，进而得到＞2﹣，由此能求出M的最小值为8．解答：解：（I）由题意可得：，设{a n}的公差为d，则，解得a1=2，d=2或a1=4，d=0．∵a1，a2，a4成公比不为1的等比数列，∴d=2，故a n=2n．（Ⅱ）∵b n==，∴b1+b2+…+b n==2﹣（）n﹣1，∵b1+b2+…+b n，∴＞2﹣，∴（）n﹣1＜，∴＜，解得n≥9，∴M≥8，故M的最小值为8．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角P﹣EC﹣D的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．解答：解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…（7分）又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．点评：本题考查存在性问题，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C （x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．解答：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．解答：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以===．同理．…（7分）因为|AB|=|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）所以=．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．22．（14分）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。
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2017-2018学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（）A． 1 B． i C．﹣1 D．﹣i2．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（1，0） B．（0，1） C．（） D．（）3．“∃x0＞0，2x0＜x02”的否定为（）A．∀x＞0，2x＜x2 B．∀x＞0，2x≥x2 C．∀x≤0，2x＜x2 D．∀x≤0，2x≥x24．设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在圆（x﹣2）2+y2=1上”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知x，y的一组数据如下表x 2 3 4 5 6y 3 4 6 8 9则由表中的数据算得的线性回归方程可能是（）A． y=2x+2 B． y=2x﹣1 C． y=﹣x+12 D． y=x﹣6．设f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若函数f（x）在区间I上恒有f″（x）≥0，则称f（x）是区间I上的凸函数，则下列函数在[﹣1，1]上是凸函数的是（）A． f（x）=sinx B． f（x）=﹣cosx C． f（x）=x3﹣x D． f（x）=﹣e x7．观察下列各式：a1+b1+c1=2，a2+b2+c2=3，a3+b3+c3=5，a4+b4+c4=8，a5+b5+c5=13…，则a10+b10+c10=（）A． 89 B． 144 C． 233 D． 2328．某程序框图如图所示，则输出的结果为（）A． B． 2 C．﹣ D．﹣39．曲线C的方程为+=2，若直线l：y=kx+1﹣2k的曲线C有公共点，则k的取值范围是（）A． [，1] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞） D．（﹣∞，）∪（1，+∞）10．已知f（x+1）=x﹣1+e x+1，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A． B． C． 1 D． 211．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是双曲线左支上异于顶点的一动点，圆C为△AF1F2的内切圆，若M（x，0）是其中的一个切点，则（）A． x＞﹣3 B． x＜﹣3C． x=﹣3 D． x与﹣3的大小不确定12．已知集合M是由具有如下性质的函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），在定义域内存在两个变量x1，x2且x1＜x2时有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2．则下列函数：①f（x）=e x（x ＞0）②f（x）=③f（x）=④f（x）=1+sinx在集合M中的个数是（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13．在区间[﹣6，6]内任取一个元素x0，若抛物线x2=2y在x=x0处的切线的斜率为k，则k ∈[﹣1，1]的概率为．14．已知椭圆C：+y2=1，现有P：“若m=4，则椭圆C的离心率为”，记P和它的逆，否，逆否四种形式的中正确的的个数为f（P），则f（P）= ．15．若对区间D上的任意x都有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称f（x）为f1（x）到f2（x）在区间D上的“任性函数”，已知 f1（x）=lnx+x2，f2（x）=+3x，若f（x）=x+a 是f1（x）到f2（x）在[，1]上的“任性函数”，则a的取值范围是．16．方程+y|y|=﹣1确定的曲线即为y=f（x）的图象，对于函数f（x）有如下结论：①f（x）单调递增；②函数g（x）=2f（x）+x不存在零点；③f（x）的图象与h（x）的图象关于原点对称，则h（x）的图象就是方程+x|x|=1确定的曲线；④f（x）的图象上的点到原点的最小距离为1．则上述结论正确的是（只填序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：“∃x∈[﹣1，2]，使得不等式x2﹣2x﹣m＜0成立”，q：“方程﹣=1表示的曲线为双曲线”，若p∨q为假，求实数m的取值范围．18．某中学有甲乙两个文科班进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表：优秀非优秀合计甲 20 5 25乙 10 15 25合计 30 20 50（Ⅰ）用分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名同学在乙班的概率；（Ⅲ）计算出统计量k2，若按95%可靠性要求能否认为“成绩与班级有关”．下面的临界值表代参考：P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式k2=其中n=a+b+c+d）19．新建的荆州中学拟模仿图甲建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤8）单位：米）；曲线BC是抛物线y=ax2+18（a＜0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=18米．（Ⅰ）若要求CD=10米，AD=14米，求t与a的值；（Ⅱ）若a=﹣，将AD的长表示为点E的纵坐标t的函数f（t），并求AD的最大值．并求f（t）的最大值．（参考公式：若f（x）=，则f′（x）=﹣，其中c为常数）20．设函数f（x）=lnx﹣x2+x+a（a∈R，e是自然对数的底数）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2+x+2在区间[，e]上恰有两相异实根，求a的取值范围；（Ⅲ）当a≤2时，证明：f（x）﹣e x﹣1＜0．21．已知椭圆C的方程为+=1（m＞0），如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（0，2），C（1，2）（Ⅰ）当椭圆C与直线AB相切时，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C与△ABC三边无公共点，求m的取值范围；（Ⅲ）若椭圆C与△ABC三边相交于不同的两点M，N，求△OMN的面积S的最大值．一、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答22．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．一、选做题23．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．一、选做题24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）当x∈（﹣∞，2）时f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2014-2015学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（）A． 1 B． i C．﹣1 D．﹣i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：首先由iz=1+i，求出z，根据复数的定义求出虚部．解答：解：因为iz=1+i，所以z=﹣i+1；所以z的虚部为﹣1；故选C．点评：本题考查了复数的运算以及概念；属于基础题．2．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（1，0） B．（0，1） C．（） D．（）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将抛物线化简得x2=y，解出，结合抛物线标准方程的形式，即得所求焦点坐标．解答：解：∵抛物线的方程为y=4x2，即x2=y∴2p=，解得因此抛物线y=4x2的焦点坐标是（0，）．故选：D点评：本题给出抛物线方程，求抛物线的焦点坐标．着重考查了抛物线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．3．“∃x0＞0，2x0＜x02”的否定为（）A．∀x＞0，2x＜x2 B．∀x＞0，2x≥x2 C．∀x≤0，2x＜x2 D．∀x≤0，2x≥x2考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称的否定是全称写出结果即可．解答：解：因为特称的否定是全称，所以，“∃x0＞0，2x0＜x02”的否定为：∀x＞0，2x≥x2故选：B．点评：本题考查的否定，全称与特称的否定关系，基本知识的考查．4．设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在圆（x﹣2）2+y2=1上”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义以及点与圆的位置关系进行判断．解答：解：当x=2且y=﹣1时，（x﹣2）2+y2=（2﹣2）2+（﹣1）2=1，满足点在圆上，当x=1，y=0时，满足（x﹣2）2+y2=1但x=2且y=﹣1不成立，即“x=2且y=﹣1”是“点P在圆（x﹣2）2+y2=1上”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．已知x，y的一组数据如下表x 2 3 4 5 6y 3 4 6 8 9则由表中的数据算得的线性回归方程可能是（）A． y=2x+2 B． y=2x﹣1 C． y=﹣x+12 D． y=x﹣考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出=（2+3+4+5+6）=4，=（3+4+6+8+9）=6，代入线性回归方程，可得D满足，即可得出结论．解答：解：由题意，=（2+3+4+5+6）=4，=（3+4+6+8+9）=6，代入线性回归方程，可得D满足，故选：D．点评：解决线性回归直线的方程，应该利用最小二乘法推得的公式求出直线的截距和斜率，注意由公式判断出回归直线一定过样本中心点．6．设f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若函数f（x）在区间I上恒有f″（x）≥0，则称f（x）是区间I上的凸函数，则下列函数在[﹣1，1]上是凸函数的是（）A． f（x）=sinx B． f（x）=﹣cosx C． f（x）=x3﹣x D． f（x）=﹣e x考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用已知定义，对选项的四个函数进行判断．解答：解：对于A，sin'x=cosx，cos'x=﹣sinx，在[﹣1，1]上符号不确定；故不是凸函数；对于B，﹣cos'x=sinx，sin'x=cosx，在[﹣1，1]上cosc＞0，所以是凸函数；对于C，（x3﹣x）'=3x2﹣1，（3x2﹣1）'=6x，z在[﹣1，1]上符号不确定；故不是凸函数；对于D，（﹣e x）'=﹣e x，z在[﹣1，1]上﹣e x＜0，故不是凸函数；故选B．点评：本题考查了函数求导，利用二重导数的符号判断函数是否是凸函数．7．观察下列各式：a1+b1+c1=2，a2+b2+c2=3，a3+b3+c3=5，a4+b4+c4=8，a5+b5+c5=13…，则a10+b10+c10=（）A． 89 B． 144 C． 233 D． 232考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：观察各式的值构成数列2，3，5，8，13，…，其规律：从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，依次求出即可．解答：解：∵a1+b1+c1=2，a2+b2+c2=3，a3+b3+c3=5，a4+b4+c4=8，a5+b5+c5=13…，∴各式的值构成数列2，3，5，8，13，…，其规律：从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，∴所求值为数列中的第十项，数列为2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，∴第十项为144，则a10+b10+c10=144，故选：B．点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性（猜想），属于基础题．8．某程序框图如图所示，则输出的结果为（）A． B． 2 C．﹣ D．﹣3考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=2015时满足条件n ≥2015，退出循环，输出s的值为2．解答：解：模拟执行程序框图，可得s=2，n=1s=，n=2不满足条件n≥2015，s=2，n=3不满足条件n≥2015，s=，n=4…不满足条件n≥2015，s=，n=2014不满足条件n≥2015，s=2，n=2015满足条件n≥2015，退出循环，输出s的值为2．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．9．曲线C的方程为+=2，若直线l：y=kx+1﹣2k的曲线C有公共点，则k的取值范围是（）A． [，1] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞） D．（﹣∞，）∪（1，+∞）考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆．分析：曲线C表示线段AB：y=0，（﹣1≤x≤1），求得直线l恒过定点（2，1），由直线的斜率公式计算即可得到所求范围．解答：解：方程+=2表示的是动点P（x，y）到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2，即有P的轨迹为线段AB：y=0，（﹣1≤x≤1），直线l：y=kx+1﹣2k为恒过定点C（2，1）的直线，k AC==，k BC==1，直线l：y=kx+1﹣2k的曲线C有公共点，等价为k AC≤k≤k BC，即为≤k≤1．故选A．点评：本题考查动点的轨迹方程，同时考查恒过定点的直线与线段相交问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．已知f（x+1）=x﹣1+e x+1，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A． B． C． 1 D． 2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：先求出y=f（x）=x+e x﹣2，再对函数进行求导，求出在x=0处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．解答：解：∵f（x+1）=x﹣1+e x+1，即有y=f（x）=x+e x﹣2，∴y′=e x+1，∴f′（0）=2，又f（0）=﹣1，即有曲线在点P（0，﹣1）处的切线为：y+1=2（x﹣0），即2x﹣y﹣1=0，它与坐标轴的交点为：（0，﹣1），（，0），则S=××1=．故选：A．点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．11．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是双曲线左支上异于顶点的一动点，圆C为△AF1F2的内切圆，若M（x，0）是其中的一个切点，则（）A． x＞﹣3 B． x＜﹣3C． x=﹣3 D． x与﹣3的大小不确定考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|AF2|﹣|AF1|=6，转化为|MF2|﹣|NF1 |=6，从而求得点M的横坐标．解答：解：由题意，F1（﹣2，0）、F2（2，0），设内切圆与x轴的切点是点H，AF1、AF2分别与内切圆的切点分别为H、N，∵由双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|=6，由圆的切线长定理知，|AH|=|AN|，故|HF2|﹣|HF1|=6，即|MF2|﹣|NF1 |=6，设内切圆的圆心横坐标为x，则点M的横坐标为x，故（c﹣x）﹣（c+x）=6，∴x=﹣3．故选：C．点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想．12．已知集合M是由具有如下性质的函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），在定义域内存在两个变量x1，x2且x1＜x2时有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2．则下列函数：①f（x）=e x（x ＞0）②f（x）=③f（x）=④f（x）=1+sinx在集合M中的个数是（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据条件转化为求函数存在割线斜率小于1，利用导数的应用进行求解．解答：解：对于函数f（x），在定义域内存在两个变量x1，x2且x1＜x2时有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2．即等价为＜1即存在割线斜率小于1，①若f（x）=e x（x＞0），则函数的导数f′（x）=e x，∵x＞0，∴f′（x）＞1，不满足条件．②若f（x）=，则函数的导数f′（x）=，则当x=e时，f′（x）=满足f′（x）＜1，即满足条件．③若f（x）=，x≥0，则则函数的导数f′（x）=，则当x=1时，f′（x）=满足f′（x）＜1，即满足条件．④若f（x）=1+sinx，则f′（x）=cosx≤1，故满足f′（x）＜1，即满足条件．故选：C点评：本题主要考查函数的新定义，利用条件转化为斜率问题，利用导数是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13．在区间[﹣6，6]内任取一个元素x0，若抛物线x2=2y在x=x0处的切线的斜率为k，则k∈[﹣1，1]的概率为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；概率与统计．分析：由切线斜率的范围，由导数的几何意义求出x0的范围，进而求出x0所在区间的长度，最后得出答案．解答：解：由k∈[﹣1，1]，x2=2y，则 y′=x，所以﹣1≤x0≤1，∴[﹣6，6]∩[﹣1，1]=[﹣1，1]，∴点x0所在区间的长度=2，区间[﹣6，6]的长度=12，所以P==．故答案为：．点评：本题考查导数的几何意义和几何概型的应用，正确理解题意是解题的关键．14．已知椭圆C：+y2=1，现有P：“若m=4，则椭圆C的离心率为”，记P和它的逆，否，逆否四种形式的中正确的的个数为f（P），则f（P）= 2 ．考点：四种．专题：简易逻辑．分析：分别写出P的四种，并判断它们的真假性即可．解答：解：椭圆C：+y2=1，现有P：“若m=4，则椭圆C的离心率为”，它是真；P的逆是：“若椭圆C的离心率为，则m=4”，焦点在x轴上时，m=4，焦点在y轴上时，m=，∴它是假；P的否是：“若m≠4，则椭圆C的离心率不为”，由逆与否是互逆，真假性相同，知它是假；P的逆否是：“若椭圆C的离心率不是，则m≠4”，它是真；综上，以上四种形式的中正确的的个数为2，∴f（P）=2．故答案为：2．点评：本题考查了四种之间的关系以及真假的应用问题，是基础题目．15．若对区间D上的任意x都有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称f（x）为f1（x）到f2（x）在区间D上的“任性函数”，已知 f1（x）=lnx+x2，f2（x）=+3x，若f（x）=x+a是f1（x）到f2（x）在[，1]上的“任性函数”，则a的取值范围是0．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：仔细阅读题意得出lnx+x2≤x+a≤+3x，分离参数得出不等式x2﹣x+lnx≤a≤2x，x∈[，1]，构造函数g（x）=x2﹣x+lnx，m（x）=2x，g（x）大值≤a≤m（x）小值，利用不等式，函数的单调性求解即可．解答：解：根据题意得出：∵任意x都有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，∴lnx+x2≤x+a≤+3x，即x2﹣x+lnx≤a≤2x，x∈[，1]g（x）大值≤a≤m（x）小值设g（x）=x2﹣x+lnx可以判断在x∈[，1]单调递增，g（x）大=1﹣1+ln1=0，令m（x）=2x，x∈[，1]2x≥2（x=时，等号成立）∴m（x）小值=2，故a的取值范围是0故答案为；0点评：本题考查了新概念题目，转化出不等式恒成立问题，构造函数，转化为函数最值问题求解，属于函数思想的运用，属于中档题．16．方程+y|y|=﹣1确定的曲线即为y=f（x）的图象，对于函数f（x）有如下结论：①f（x）单调递增；②函数g（x）=2f（x）+x不存在零点；③f（x）的图象与h（x）的图象关于原点对称，则h（x）的图象就是方程+x|x|=1确定的曲线；④f（x）的图象上的点到原点的最小距离为1．则上述结论正确的是②④（只填序号）考点：圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据x、y的正负去绝对值，将方程+y|y|=﹣1化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且f（x）的图象上的点到原点的最小距离为1，所以①错，④成立；根据g（x）=2f（x）+x=0得f（x）=﹣x．再由函数图象对应的曲线以y=±x为渐近线，得到f（x）=﹣x没有实数根，因此②正确．根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数h（x）和f（x）的图象关于原点对称，则y=h（x）的图象对应的方程是+y|y|=1，说明③错误．由此可得本题的答案．解答：解：对于①，当x≥0且y≥0时，方程为+y2=﹣1，轨迹不存在；当x＜0且y＜0时，方程为+y2=1，此时y=﹣（x＜0）．当x≥0且y＜0时，方程为﹣y2=﹣1，此时y=﹣；当x＜0且y≥0时，方程为﹣+y2=﹣1．因此作出函数的图象，如图所示．由图象可知函数在R上单调递减，所以①不成立．对于②由g（x）=2f（x）+x=0得f（x）=﹣x．因为双曲线﹣y2=﹣1和﹣+y2=﹣1的渐近线为y=±x，所以函数y=f（x）与直线y=﹣x无公共点，因此g（x）=2f（x）+x不存在零点，可得②正确．对于③，若函数y=h（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，则用﹣x、﹣y分别代替x、y，可得﹣y=f（﹣x）就是y=h（x）表达式，可得h（x）=﹣f （﹣x），则函数y=h（x）的图象是方程+y|y|=1确定的曲线，而不是方程+x|x|=1确定的曲线，所以③错误．对于④，由图象可得，f（x）的图象上的点（0，﹣1）到原点的距离为最小，且为1，所以④正确．故答案为：②④．点评：本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：“∃x∈[﹣1，2]，使得不等式x2﹣2x﹣m＜0成立”，q：“方程﹣=1表示的曲线为双曲线”，若p∨q为假，求实数m的取值范围．考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p便知道不等式x2﹣2x＜m在[﹣1，2]上有解，可设f（x）=x2﹣2x，容易求得f（x）的最小值为﹣1，这便得到m＞﹣1；而根据q知m（m+3）＞0，从而解出m＞0，或m＜﹣3．由p∨q为假便知p，q都为假，从而得到，解不等式组即得实数m的取值范围．解答：解：由p知：不等式x2﹣2x＜m在x∈[﹣1，2]上有解；设f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，x∈[﹣1，2]，则：f（x）min=﹣1；∴﹣1＜m，即m＞﹣1；由q得：m（m+3）＞0，∴m＜﹣3，或m＞0；∵p∨q为假；∴p假，q假；∴∴﹣3≤m≤﹣1；所求实数m的取值范围是[﹣3，﹣1]．点评：考查对“∃x∈[﹣1，2]，使得不等式x2﹣2x﹣m＜0成立”的理解，配方求二次函数在闭区间上最值的方法，掌握双曲线标准方程的形式，解一元二次不等式，以及p∨q为假时p，q的真假情况．18．某中学有甲乙两个文科班进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表：优秀非优秀合计甲 20 5 25乙 10 15 25合计 30 20 50（Ⅰ）用分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名同学在乙班的概率；（Ⅲ）计算出统计量k2，若按95%可靠性要求能否认为“成绩与班级有关”．下面的临界值表代参考：P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式k2=其中n=a+b+c+d）考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽=4人；（2）求出6人中选2人共由=15种选法，其中恰有1人有乙班的选法有8种可得所求概率；（3）利用公式计算K2=≈8.333≥7.879，即可得出结论．解答：解：（1）分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽=4人；…（3分）（2）6人中选2人共由=15种选法，其中恰有1人有乙班的选法有8种，故所求概率为；…（9分）（3）利用公式计算K2=≈8.333≥7.879，故按95%可靠性要求认为“成绩与班级有关”．…（12分）点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．19．新建的荆州中学拟模仿图甲建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤8）单位：米）；曲线BC是抛物线y=ax2+18（a＜0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=18米．（Ⅰ）若要求CD=10米，AD=14米，求t与a的值；（Ⅱ）若a=﹣，将AD的长表示为点E的纵坐标t的函数f（t），并求AD的最大值．并求f（t）的最大值．（参考公式：若f（x）=，则f′（x）=﹣，其中c为常数）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题；导数的综合应用．分析：（1）由题意可求得t=OB﹣EB=OB﹣CD=18﹣10=8，从而写出圆E的方程为x2+（y﹣8）2=100；从而求得C（8，10）在抛物线y=ax2+18上，从而求a；（2）化简圆E的方程为x2+（y﹣t）2=（18﹣t）2，从而写出A（﹣，0）；即OA=6；再求出OD=6；从而得到f（t）=6+6（0＜t≤8）；求导f′（t）=6（+）=3﹣；从而判断函数的单调性，从而求最大值．解答：解：（1）由已知有，t=OB﹣EB=OB﹣CD=18﹣10=8，∴圆E的方程为x2+（y﹣8）2=100；令y=0得A（﹣6，0），又AD=14，∴OD=8，即C（8，10）在抛物线y=ax2+18上，∴a=﹣；（2）由题意得，CD=18﹣t，∴圆E的方程为x2+（y﹣t）2=（18﹣t）2令y=0得x2=324﹣36t，∴A（﹣，0）；∴OA=6；由18﹣t=﹣+18得x2=36t；∴OD=6；又AD=AO+OD=6+6；∴f（t）=6+6（0＜t≤8）；f′（t）=6（+）=3﹣；令f′（t）=0得t=，当0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）单调递增；当＜t≤8时，f′（t）＜0，f（t）单调递减；故t=时，f max（t）=18．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的综合应用，属于难题．20．设函数f（x）=lnx﹣x2+x+a（a∈R，e是自然对数的底数）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2+x+2在区间[，e]上恰有两相异实根，求a的取值范围；（Ⅲ）当a≤2时，证明：f（x）﹣e x﹣1＜0．考点：利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：导数的综合应用．分析：（I）由f′（x）=﹣2x+1，x＞0，知当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．由此能求出函数f（x）的单调区间．（II）方程lnx﹣x2+x+a=x2+x+2化为a=2x2+2﹣lnx，令g（x）=2x2﹣2﹣lnx，由g（x）的单调性，结合在[1，e]上单调递增f（x）=x2﹣2x+2a在[，e]上有两个相异实根，由此能列出关于a的不等关系求出实数a的取值范围，（Ⅲ）要证原不等式成立，只需证明f（x）＜e x+1成立，由（1）可知当x=1时，f（x）max=a ≤2，继而得到e x＞1，问题得以证明．解答：解：（1）∵f（x）=lnx﹣x2+x+a，∴f′（x）=﹣2x+1=，∴x＞1时，f'（x）＜0；0＜x＜1时，f'（x）＞0故f（x）的单调递减区间是（1，+∞），单调递增区间是（0，1）（2）f（x）=x2+x+2得到lnx﹣x2+x+a=x2+x+2，即a=2x2+2﹣lnx，令g（x）=2x2﹣2﹣lnx，则g′（x）=4x﹣=当x∈[，）时，g′（x）＜0，g（x）递减当x∈（，e]时，g′（x）＞0，g（x）递增又g（）=ln2﹣，g（）=﹣1，g（e）=2e2﹣3，∵g（）＜g（e），∴ln2﹣＜a≤﹣1，（3）要证原不等式成立，只需证明f（x）＜e x+1成立由（1）可知当x=1时，f（x）max=a≤2，又x＞0时，e x＞1，∴e x+1＞2，故f（x）＜e x+1，即当a≤2时，f（x）﹣e x﹣1＜0．点评：本题考查导数的性质和应用、利用导数研究函数的单调性，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，属于中档题．21．已知椭圆C的方程为+=1（m＞0），如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（0，2），C（1，2）（Ⅰ）当椭圆C与直线AB相切时，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C与△ABC三边无公共点，求m的取值范围；（Ⅲ）若椭圆C与△ABC三边相交于不同的两点M，N，求△OMN的面积S的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求得直线AB的方程，联立椭圆方程，由判别式为0，计算即可得到m的值；（Ⅱ）由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，两者便无公共点．通过判别式小于0，或C在椭圆内，解不等式即可得到所求范围；（Ⅲ）对m讨论，①当＜m≤1时，M，N在线段AB上，②当1＜m≤时，点M，N分别在线段BC，AC上，求得△OMN的面积，化简整理可得S的最大值．解答：解：（Ⅰ）直线AB的方程：y=﹣2x+2，联立，消去y得2x2﹣2x+1﹣m2=0，由△=4﹣8（1﹣m2）=0 得m2=，又m＞0，即有m=，（Ⅱ）由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，两者便无公共点．①当椭圆C在直线AB的左下方时，△=4﹣8（1﹣m2）＜0 解得0＜m＜；②当且当点C（1，2）在椭圆内时，△ABC在椭圆内，+＜1 又m＞0，m＞，综上所述，当0＜m＜或m＞时，椭圆与C无公共点；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当＜m＜时，椭圆C与△ABC相交于不同的两个点M，N，又因为当m=1时，椭圆C方程为x2+=1，此时椭圆恰好过点A，B，①当＜m≤1时，M，N在线段AB上，此时S≤S△ABC=1，当且仅当M，N分别与A，B重合时等号成立；②当1＜m≤时，点M，N分别在线段BC，AC上，易得M（，2），N（1，2）S=S矩形OACB﹣S△OBM﹣S△OAN﹣S△MNC=2﹣﹣﹣（1﹣）（2﹣2）=2﹣2﹣（1﹣）2，令t=，则0＜t＜1，S=﹣t2+1＜1，综上可得△OMN面积S的最大值为1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆与直线相切、相交的位置关系，通过椭圆的变化研究与三角形的位置关系是解题的关键．一、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答22．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．考点：绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式f（x）＜3的解集．（Ⅱ）由条件利用绝对值的意义可得f（x）的最小值为|a+1|=1，由此求得a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1、﹣1对应点的距离之和，而﹣和对应点到1、﹣1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）＜3的解集为{x|﹣＜x＜}．（Ⅱ）函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|表示数轴上的x对应点到a、﹣1对应点的距离之和，它的最小值为|a+1|=1，可得a=0，或a=﹣2．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．一、选做题23．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，建立方程组，即可求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为g（x）=﹣|x+3|+m≥0，所以|x+3|≤m，所以﹣m﹣3≤x≤m﹣3，由题意，所以m=2；…（5分）（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，因为|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，当且仅当（x﹣2）（x+3）≤0时取等，所以m＜5．…．（10分）点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题，有一定的灵活性，属于中档题．一、选做题24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）当x∈（﹣∞，2）时f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=2时，把f（x）表示成分段函数的形式，分类讨论求得不等式f（x）＞0的解集．（Ⅱ）分若a=4、若a＞4、若a＜4三种情况，分别求得f（x）的解析式，依据f（x）＜0恒成立，求得a的范围，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣2|=，不等式f（x）＞0等价于①，或，或③，解①可得0＜x＜1，解②可得1≤x＜，解③可得x∈∅．故要求的不等式的解集为（0，）．（Ⅱ）∵当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，若a=4，则f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣4|=﹣|x﹣2|，满足f（x）＜0恒成立．若a＞4时，f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|=，f（x）的最大值为f（）=﹣2＞0，不满足f（x）＜0恒成立．若a＜4时，f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|=，f（x）的最大值为f（2）=a﹣4＜0，满足f（x）＜0恒成立．故要求的求a的取值范围（﹣∞，4]．点评：本题主要考查分段函数的应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。