对数公式总结
高中数学对数计算公式大全
高中数学对数计算公式大全在高中数学中，对数是一个非常重要的概念，同时对数计算公式也是学习和应用对数的基础。
本文将为大家总结和介绍高中数学中常见的对数计算公式。
在阅读过程中，你会学到如何应用这些公式来解决各种数学问题。
下面是一些常见的对数计算公式：1. 对数定义公式：若 a^x = b, 那么 x = log_a(b)。
其中，a>0，a≠1，b>0。
2. 换底公式：log_a(c) = log_b(c) / log_b(a)，其中 a,b,c > 0，a≠1，b≠1。
3. 幂函数与对数函数互为反函数：如果 y = a^x，那么 x = log_a(y)。
4. 对数的乘法公式：log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)。
5. 对数的除法公式：log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)。
6. 对数的幂公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)。
7. 对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
8. 对数的指数化简公式：log_a(a^x) = x。
9. 对数的乘方计算公式：a^log_a(b) = b。
10. 自然对数的底数 e：e 是一个无理数，约等于2.71828。
11. 自然对数公式：ln(x) = log_e(x)，其中 ln 表示以 e 为底的对数。
12. 自然对数的换底公式：ln(x) = log_a(x) / log_a(e)。
13. 对数函数的性质：对数函数的图像经过点 (1,0)，且对称于直线 y=x。
14. 常用对数和自然对数的换算：log_10(x) ≈ 2.3026 * ln(x)。
15. 对数的负数和零的定义：对数的底数不能为负数和零。
16. 对数的定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
17. 对数的基本性质：- log_a(1) = 0。
- log_a(a) = 1。
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
对数知识点总结讲解
对数知识点总结讲解一、对数的定义1. 对数的含义对数是一种数学工具，用来描述一个数与另一个数的幂之间的关系。
例如，如果一个数a 的x次方等于另一个数b，那么x就是以a为底，b为真数的对数，记作loga(b)。
2. 对数的性质对数具有以下几个基本性质：（1）对数的底数不能是0或1；（2）对数的真数不能是负数；（3）以a为底，b为真数的对数等于以10为底，b/a的对数的值乘以以10为底，a的对数的值。
3. 对数的公式表示对数的公式表示为：loga(b) = x，其中a为对数的底数，b为对数的真数，x为对数的值。
对数的值x可以是正数、负数、零。
二、对数的性质1. 对数的运算规则（1）乘法法则：loga(bc) = loga(b) + loga(c)（2）除法法则：loga(b/c) = loga(b) - loga(c)（3）幂法则：loga(b^c) = c*loga(b)（4）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的性质（1）loga(1) = 0；（2）loga(a) = 1；（3）a^loga(b) = b；（4）loga(a^x) = x。
三、对数的常用公式1. 对数的常用公式1（1）loga(b) = 1/logb(a)（2）loga(b) = ln(b)/ln(a)（3）loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的常用公式2（1）loga(b) + loga(c) = loga(bc)（2）loga(b) - loga(c) = loga(b/c)（3）loga(b^c) = c*loga(b)3. 对数的常用公式3（1）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)（2）对数的乘方化简：a^loga(b) = b（3）对数的乘方化简：loga(a^x) = x四、对数的应用1. 对数在数学中的应用（1）对数在指数函数的求导中的应用；（2）对数在对数函数的积分中的应用；（3）对数在数学建模中的应用。
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
课堂互动讲练
考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数公式推导过程及总结
对数公式推导过程及总结1.对数的定义对数的定义是为了解决指数运算的逆运算问题。
对于任意一个正实数a，我们定义对数函数y=loga(x)为满足a^y=x的实数y。
2.换底公式推导换底公式是对数计算中的一种重要公式。
它可以将对数的底从一个正实数a换成另一个正实数b，并且不改变原来的对数值。
首先，使用对数的定义可以得到：loga(x) = y 等价于 a^y = x假设有一个新的底数b，我们可以用b为底数表示原来的等式：logb(a^y) = logb(x)利用对数的性质：logb(a^y) = y*logb(a)，上述等式可化简为：y*logb(a) = logb(x)将上式中的y换成loga(x)，即得到：logb(a)*loga(x) = logb(x)以上推导过程就是换底公式的推导过程。
3.对数的乘法公式推导对数的乘法公式是求两个数的对数之和等于这两个数的乘积的对数。
假设有两个数x和y，它们的对数分别为：loga(x) = mloga(y) = n根据对数的定义，可以得到：a^m=xa^n=y将这两个等式相乘，得到：a^m*a^n=x*y根据指数的性质a^m*a^n=a^(m+n)，可以得到：a^(m+n)=x*y根据对数的定义，上式可以写成：loga(x*y) = m + n以上推导过程就是对数的乘法公式的推导过程。
4.对数的除法公式推导对数的除法公式是求两个数的对数之差等于这两个数的商的对数。
假设有两个数x和y，它们的对数分别为：loga(x) = mloga(y) = n根据对数的定义，可以得到：a^m=xa^n=y将这两个等式相除，得到：a^m/a^n=x/y根据指数的性质a^m/a^n=a^(m-n)，可以得到：a^(m-n)=x/y根据对数的定义，上式可以写成：loga(x/y) = m - n以上推导过程就是对数的除法公式的推导过程。
总结：对数公式是解决指数运算的逆运算问题的一种重要数学工具。
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数公式是数学中一种重要的数学工具，可以用来简化复杂的计算、求解方程和表示关系等。
对数公式和对数函数广泛应用于数学、物理、工程等领域，有很多重要的性质和应用。
下面将对对数公式及对数函数的性质、定义以及应用进行总结。
一、对数公式1. 对数的定义：设a>0且a≠1，b>0，则称b是以a为底的对数的真数，记作b=logₐb。
a称为对数的底数，b称为真数，带底数和真数的对数，称为对数的对数。
对数的定义可以用反函数的概念来构造对数函数，即对数函数是幂函数的反函数。
2. 常用对数公式：常用对数是以10为底的对数，记作logb(x)，其中b=10，x>0。
常用对数公式如下：十进制和对数公式：logb(xy) = logb(x) + logb(y)数字乘方和对数公式：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)对数乘方和对数公式：logb(x^k) = klogb(x)对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c>0且c≠1自然对数的定义：ln(x) = logₑ(x)自然对数的性质：ln(e^x) = x，其中x为任意实数。
二、对数函数1. 对数函数的定义：对数函数y=logₐ(x)是幂函数y=a^x的反函数，其中a>0且a≠1、对于任意正数x和任意实数a，对数函数的守恒是：a^logₐ(x) = x。
2.对数函数的性质：对数函数有以下性质：a) 当0<x<1时，0<logₐ(x)<∞；当x>1时，-∞<logₐ(x)<0。
b) 对数函数logₐ(x)在定义域内是递增函数。
c)对数函数的图像是以(1,0)为对称轴的反比例函数图像。
d)对数函数的增长速度比幂函数的增长速度慢。
三、对数函数的应用1.指数增长和对数函数：对数函数常用于描绘指数增长的情况。
例如，在经济学中，对数函数可以用来描述人口增长、物质消耗和资本积累等指数增长的趋势。
对数知识点总结高中
对数知识点总结高中一、概念对数是指数运算的逆运算，是一种用来求解指数方程的运算方法。
对数可以帮助我们快速计算复杂的指数运算，简化数学问题的求解过程。
二、对数的定义1.定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，a ≠ 1，且a≠0。
若aⁿ=x（n∈R），则称n 是以a为底x的对数，记作n=logₐx，其中a称为底数，x称为真数，n称为指数。
2.对数的性质：（1）logₐa = 1（2）aⁿ=x（n∈R），则x>0（3）a>1时，n>0 <=> logₐx>0a<1时，n>0 <=> logₐx<0（4）a>1时，m>n <=> logₐm>logₐna<1时，m>n <=> logₐm<logₐn（5）logₐmn=logₐm+logₐn（6）logₐm/n=logₐm-logₐn（7）log_a(x^n)=nlog_ax（8）logₐ1=0,logₐa=1三、对数的运算1.换底公式若已知log_bx的值，要求log_ax的值时，可以利用换底公式来求解。
设log_bx=y，则x=b^y则log_ax=log_ab^y=ylog_ab2.对数的加减法logₐm+logₐn=logₐmnlogₐm-logₐn＝logₐ(m/n)3.对数的乘方法则logₐ(x^m)=mlogₐx4.对数的除法法则logₐ(x/n)=logₐx-logₐn四、对数方程对数方程是指含有对数的方程，形式为logₐx=b。
求解对数方程时，我们需要根据对数的性质和换底公式来化简方程，从而得到方程的解。
五、对数不等式对数不等式是含有对数的不等式，形式为logₐx>b。
求解对数不等式时，我们需要根据对数的性质来化简不等式，然后利用不等式的性质来解决问题。
六、对数函数对数函数是指y=logₐx（a>0且a≠1）这样的函数。
对数所有公式大全
对数所有公式大全对数是高等数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在学习和应用对数的过程中，我们需要掌握一些重要的公式。
在本文中，将为你介绍一些常见的对数公式，以帮助你更好地理解和应用对数。
1. 对数的定义公式：对数的定义公式表达了对数和幂的关系：若a>0且a≠1，那么对任意的正数x，b>0以及b≠1，有如下等式成立：loga(x)=b ⟺ x = a^b2. 对数的基本性质：对数具有一些重要的基本性质，可以帮助我们简化对数的运算。
2.1 对数的基本性质1：对数的幂等式loga(a) = 1这个公式表示对数底与求对数运算互为逆运算，即一个数和它的对数底数的对数等于1。
2.2 对数的基本性质2：对数的相等性质若loga(x) = loga(y)，那么x = y。
这个公式表示如果两个数的对数的底数相同，并且对数相等，那么这两个数本身也是相等的。
2.3 对数的基本性质3：对数的乘法公式loga(x * y) = loga(x) + loga(y)这个公式表示对数的乘法可以转化为对数的加法。
2.4 对数的基本性质4：对数的除法公式loga(x / y) = loga(x) - loga(y)这个公式表示对数的除法可以转化为对数的减法。
2.5 对数的基本性质5：对数的幂公式loga(x^k) = k * loga(x)这个公式表示对数的幂可以转化为对数的乘法。
3. 常用对数公式：除了对数的基本性质，还有一些特殊的对数公式在实际问题中非常常见。
3.1 自然对数的公式自然对数（以e为底的对数）在科学和工程领域中广泛使用。
自然对数的定义公式为：ln(x) = loge(x)，其中e ≈ 2.71828是自然对数的底数。
3.2 对数的积分公式对数函数的积分公式是数学中一种重要的积分公式。
∫(1/x)dx = ln|x| + C其中C是常数。
3.3 对数的换底公式对数的换底公式用于将一个对数转换为另一个底数的对数。
对数算法公式
对数算法公式对数算法公式1. 什么是对数算法对数算法是数学中的一种重要算法，用于计算对数。
对数是一种特殊的指数运算，可以求解一个数以某个底数为底的幂次，即求解指数。
2. 对数的定义对于正实数x和正实数a，若满足a^x = b，则称x为以底数a的对数，记作x = log(a, b)。
3. 常用的对数公式自然对数公式自然对数是以常数e为底的对数，其中e约等于。
自然对数公式如下：ln(x) = log(e, x)以10为底的对数公式以10为底的对数公式如下：log10(x) = log(10, x)4. 对数公式的应用举例求自然对数假设要计算ln(2)，则根据自然对数公式：ln(2) = log(e, 2)≈求以10为底的对数假设要计算log，则根据以10为底的对数公式：log = log(10, 100)= 2总结对数算法是一种常用的数学运算方法，用于解决指数问题。
自然对数公式和以10为底的对数公式是常见的对数公式。
在实际应用中，我们可以使用对数公式来求解各种数值问题。
5. 其他常用对数公式换底公式换底公式是一种常用的对数转化公式，可以将一个底数为a的对数转化为另一个底数为b的对数。
换底公式如下：log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)其中，x为正实数，a和b为正实数且不等于1。
对数的性质对数具有一些重要的性质，包括乘法性质、除法性质和幂次性质。
下面是对数的常见性质：•乘法性质：log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)，其中x和y为正实数。
•除法性质：log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)，其中x和y为正实数。
•幂次性质：log_a(x^y) = y * log_a(x)，其中x为正实数，y为任意实数。
6. 对数公式的应用举例换底公式的应用假设要计算log_2(8)，根据换底公式，可以将底数为2的对数转化为底数为10的对数：log_2(8) = log_10(8) / log_10(2)= 3 /≈对数性质的应用假设要计算log_2(4) + log_2(8)，可以利用对数的乘法性质将其转化为一个对数的和：log_2(4) + log_2(8) = log_2(4 * 8)= log_2(32)= log_10(32) / log_10(2)= 5 /≈总结除了自然对数和以10为底的对数公式外，换底公式以及对数的乘法性质、除法性质和幂次性质也是常见的对数公式。
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。
如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。
其中a称为底数，N称为真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。
常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。
自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。
它的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。
当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。
对数公式在数学中有广泛的应用。
例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。
还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。
在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。
总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。
4、已知a>b>c，那么a>b>c。
3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。
2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。
5、如果a>1，且a-x-logaxy。
1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。
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1对数的概念如果a(a>0 ,且1的b次幕等于N,艮卩ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数；②a>0 且1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN ;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幕值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a工1,M>0,N>0,那么(1) loga(MN)=logaM+logaN.(2) logaMN=logaM-logaN.(3) logaMn=nlogaM (n € R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a工1, M>0,N>0?②logaan=? (n € R)③对数式与指数式的比较•(学生填表)式子ab=NlogaN=b 名称a —幕的底数b —N—a —对数的底数b —N—运算性质am?an=am+namr^ an=(am) n=(a>0 且1,n€ R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n € R)(a>0,a 工1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a>0,，且1?理由如下：①若a v 0，贝U N的某些值不存在，例如log-28②若a=0，贝U NM0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则NM1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧(1) 将下列指数式写成对数式：①54=625 :② 2-6=164 :③ 3x=27 ;④ 13m=5(2) 将下列对数式写成指数式：①log1216=-4 ;② Iog2128=7 ;③Iog327=x ;④ Ig0.01=-2 ;⑤In 10=2.303 ; ®lg n =k.解析由对数定义：ab=N解答⑴① log5625=4.② log2164=-6.③log327=x.④ log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N ①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥ 10k=n .2根据下列条件分别求x的值：(1) log8x=-23 ; (2)log2(log5x)=0 ;(3) logx27=31+log32 ; (4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2) log5x=20=1. x=?(3) 31+log32=3 X3log32=?27=x?(4) 2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2) log5x=20=1 , x=51=5.(3) logx27=3 X log32=3 X2=6 ,••• x6=27=33=(3)6,故x=3.(4) 2+3=x-仁1x, • x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化•②熟练应用公式：loga 仁0,logaa=1,alogaM=M,logaa n=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x?3x-1y2〕12 的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一T logax=4,logay=5,•x=a4,y=a5,•A=x512y-13=(a4)512(a5)- 13=a53?a -53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512 X4-13 X5=0,•A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x?y1+lgx=1(x丰110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢？能否对已知的等式两边也取对数？解答x>0,y>0,x?y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=- lgx1+lgx(x 丰 110,lgx-1).令lgx=t,则Igy=-t1+t(t 书.••• Ig(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.•△ =S2+4於0，解得S W-4 或S> 0,故lg(xy)的取值范围是(-8-4〕U〔0,+ g).5求值：(1) lg25+lg2?lg50+(lg2)2 ;(2) 2log32-log3329+log38-52log53 ;⑶设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b 的值；(4) 求7lg20?12lg0.7 的值.解析(1)25=52,50=5 X 10.都化成lg2与lg5的关系式.⑵转化为log32的关系式.⑶所求log2a-log2b=log2ab 由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢？(4) 7lg20?12lg0.7是两个指数幕的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20?12lg0.7 能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2?lg(10 X 5)+(lg2)2=2lg5+lg2?(1+lg5)+(lg2)2=lg5?(2+lg2)+lg 2+(lg2)2=lg102?(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg 2 )+lg 2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.⑵原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3) 由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),•ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0.•ab=1 或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，贝U a-2b<0, • ab=1 (舍去).•ab=4,•Iog2a-log2b=log2ab=log24=2.⑷设x=7lg20?12lg0.7,则lgx=lg20 旳7+lg0.7 也12=(1 +Ig2)?lg7+(lg7 -1)?(-lg2)=lg7+lg2=14,••• x=14,故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明⑴logaN=logcNlogca(a>0,a 丰 1,c>0,c 丰 1,N>0);(2) logab?logbc=logac ;(3) logab=1logba(b>0,b 工1)(4) loga nbm=mnl ogab.解析⑴设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.⑵中logbc能否也换成以a为底的对数.⑶应用⑴将logab换成以b为底的对数.⑷应用⑴将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，贝U ab=N,两边取以c为底的对数得：b?logca=logcN,•b=logcNlogca. • logaN=logcNlogca.(2) 由(1)logbc=logaclogab.所以logab?logbc=logab?logaclogab=logac.(3) 由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca 叫做对数换底公式，⑵(3)(4)是⑴的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loga nbm=logabmlogaa n=m logab nl ogaa=mnl ogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求Iog127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢？解答已知log67=a,log34=b,•Iog127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,•Iog32=b2, • Iog62=b21+b2=b2+b.•Iog127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧已知x,y,z € R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；⑶求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幕的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想,对于指数式能否用对数的方法去解答?解答(1)解法一3x=4y og34y••• p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x?lg3=lgm , ylg4=lgm,•x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py,得2lgmlg3=plgmlg4,•p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.⑵•/ 2=log39<log316<log327=3,•2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,•Iog32716<log3169, •p-2>3-p.•••与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢？②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1 ,所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x, y, z€ R+ ,•k>1，贝U x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm , 12y=12?lg4lgm=lg2lgm ,故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m ,则有3=m1x ①,4=m1y ②，6=m1z ③，③电，得m1z-1x=63=2=m12y.•1z-1x=12y.9已知正数a,b 满足a2+b2=7ab.求证：Iogma+b3=12(logma+logmb)(m>0 且1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.■/ a2+b2=7ab,•Iogma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即Iogma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=s^ 10n.其中N>0,1 w a<10,n €乙这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里？我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=axion取常用对数得，IgN=n+lga.真数与对数有何联系？解答IgN=Ig(a xiOn)=n+lga.n € Z,1 w a<10,•••Iga €〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把Iga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①IgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0 w lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当NA1时，IgN的首数n比它的整数位数少 1 ,当N€ (0,1)时，IgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,IgN的首数和尾数与a X10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若Igx的首数比Ig1x的首数大9, Igx的尾数比Ig1x的尾数小0 ，且Ig0.203 4=1.308 3, 求Igx,x,lg1x 的值.解析①Ig0.203 4=1 即Ig0.203 4=1+0.308 3 , 1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设Igx=n+lga，则Ig1x也可表出.解答设lgx= n+lga,依题意Ig1x=(n-9)+(Iga+0.380 4).又Ig1x=-lgx=_(n+lga),•- (n-9)+(lga+0 -n-Iga，其中n-9 是首数，Iga+0 是尾数，-n-Iga=-(n+1)+(1-Iga),-(n+1) 是首数1-Iga 是尾数，所以：n-9=-( n+1)Iga+0.380 4=1-Igalga=0.308 3.•/ Ig0.203 4=1.308 3, • x=2.034 X104.•lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把Igx的首数和尾数，Ig1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1) Iog2-3(2+3)+Iog6(2+3+2-3);(2) 2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简？(2)中分母已无法化简，分子能化简吗？解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答⑴原式=log2-3(2-3)-1+12log6(2+3+2-3)2=-1 + 12log6(4+22+3?2 -3)=-1+12log66=-12.⑵原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2 〔IglOO+lg(lga)〕2+lg(lga)=2 〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知Iog2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z 的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幕，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x= (2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：⑵6=23=8,(33)6=32=9 ，所以2<33.又⑵ 10=25=32,(55)10=52=25,••• 2>55.••• 55<2<33.又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x 在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化②比较指数相同，底不同的指数幕(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m, 故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式：(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;② lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0 , lg3=0.477 1，求lg45;⑵若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知0则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A 已知ab=M(a>0,b>0,M 丰 1)且logMb=x，贝则logMa 的值为()A 若log63=0.673 1 , log6x=-0.326 9,贝U x 为()A 若log5〔log3(log2x)〕=0,则x=.98log87?log76?log65=.10 如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2?lg3=0 的两根为x1、x2,那么x1?x2 的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1 T HM HI HP H5^ H6 这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1 , 2 , 3, 4, 5 , 6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量？12 已知x, y, z€ R+ 且3x=4y=6z，比较3x, 4y , 6z 的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14 已知2a?5b=2c?5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15 设集合M= {x|lg〔ax2-2(a+1)x-1 〕>0 }，若W , M {x|x<0 }，求实数a 的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为神威I "的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000 次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1. (1)① log7343=3.② log1416=-2.③ Inm=-5.⑵① 12-3=8.② 104=10 000.③ ep=3.5.2. (1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.⑶144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3. (1)0.826 6 点拨：Ig45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127 10-2)=-2+lg3.127=-2+a4. C点拨：0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义5. B 点拨：底x+1>0 且x+1M 1真数x+1>0.6. A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7. C 点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9 ,所以Iog63+log61x=log63x=1. /• 3x=6, x=12.8. x=8 点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5 点拨：log87?log76?log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是Igx1,lgx2.由Igx1=-lg2,lgx2=-lg3 ，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106?10100n -1=100,化简得:107-n=102,利用同底幕相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.••• n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12 设3x=4y=6z=k,因为x, y, z€ R+ ,所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.• 3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,••• Iogk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,•- Iogk33>logk44>logk66>0, • 3x<4y<6z.13. T axby=aybx=1, • lg(axby)=lg(aybx)=O,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=O.(沫)两式相加，得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0. • lga+lgb=O 或x+y=0.当lga+lgb=0 时，代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a 是不为1 的正数lga 丰 O,.x-y=O.•x+y=0 或x-y=0, • x2=y2.14. T 2a5b=10, • 2a-1=51-b.两边取以2 为底的对数，得:a-1=(1-b)log25. •log25=a-11- b(b 工1).同理得log25=c-11- d(d 工1).即1,d 工时,a-11-b=c-11-d.•••(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),•(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15. 设lg〔ax2-2(a+1)x-1 〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x -1= 10t(t>0).•10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1, • ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0 时,解集{ x|x<-1 } {x|x<0 };当时,M M且M {x|x<0 }.•方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，贝U ②当a>0时,M= {x|x<x1，或x>x2 },显然不是{ x|x<0 }的子集；③当a<0 时，M= {x|x1<x<x2 }只要：a<0 ,△ =4(a+1)2+8a>0 ,x1+x2=2(a+1)a<0 ,x1?x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a< 0.16. N=3.840 X1011, lgN=11.584 3.17. 设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x?lg(1-10%)=lg40% ,即X=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9- 1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18. f(x)=log1.104x 〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，贝U a(1+10.4%)y=xa, • y=log1.104x.。