(完整word)(整理)导数的概念及导数的几何意义.
导数的概念及其几何意义(高三理)
导数的概念及其几何意义【考点精讲】（一）导数的概念：1.导函数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即xx f x x f x y x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000。
（二）导数的几何意义：1. 导数的几何意义:设函数()y f x =如图，AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线，由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。
当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即：000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率，曲线()y f x =过点00(,())x f x 切线的斜率等于0()f x '。
2.切线的方程：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，求曲线在一点处的切线的一般步骤： ①求出P 点的坐标； ②求点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程（三）常见函数的导数：（高等数学中有证明过程）(1) (2) (3)(4) (5) (6)()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠ （7） （8）1()2x x '=(9)a x x a ln 1)(log ='（四）导函数的四则运算法则：()'''u v u v +=+，()'''uv u v uv =+ ，2''()'u u v uv v v -= （五）复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则在点处有导数.).)((0'0x x x f y y -=-)(0为常数C C =')(1Q n nx x n n ∈='-）（x x cos )(sin ='x x sin )(cos -='xx 1)(ln ='xx e e =')()(x u ψ=x )(x u x ψ'=')(u f y =x u )(u f y u '='f y =)]([x ψx x u x u y y '⋅'='（六）如何求函数的导数：（1）由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法:①求函数的变量)()(f x f x x f -∆+=∆; ②求平均变化率xx f x x f x∆-∆+=∆∆)()(f ;③求导数＝xx ∆∆→∆f lim 0。
2.1-导数的概念及几何意义(理)
导数的概念与几何意义一. 教学内容导数的概念与几何意义1. 导数的概念设函数)(x f y =在0x 及其近旁有定义，用x ∆表示x 的改变量，于是对应的函数值改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在极限，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，此极限值叫函数)(x f y =在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，函数)(x f y =在点0x 处的导数即平均变化率当0→∆x 时的极限值。
2. 导数的几何意义函数)(x f y =在一点0x 的导数等于函数图形上对应点))(,(00x f x 的切线斜率，即)(tan 0x f '=α，其中α是过),(000y x P 的切线的倾斜角，过点),(000y x P 的切线方程为))((000x x x f y y -'=-3. 导数的物理意义函数)(x f y =在0x 的导数是函数在该点处平均变化率的极限，即瞬时变化率，若函数)(x f 表示运动路程，则)(0x f '表示在0x 时刻的瞬时速度。
4. 导函数的概念如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导，就说)(x f 在),(b a 内可导，这时，对于开区间),(b a 内每个确定的值0x 都对应一个确定的导数)(0x f '，这就在),(b a 内构成一个新的函数，此函数就称为)(x f 在),(b a 内的导函数，记作)(x f '或)(x y y ''或，即x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0而当x 取定某一数值0x x =时的导数是上述导函数的一个函数值。
高数导数的概念
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的弯曲程度等方面有重要 应用。
导数的物理应用
定义
导数是微积分的基本概念之一， 它描述了函数值随自变量变化的 速率。在物理学中，导数可以用 来描述物理量随时间或空间的变 化率。
计算方法
通过物理定律和公式，可以推导 出各种物理量的导数，从而得到 它们的变化率。
应用
应用
导数在经济学中有广泛的应用，如边际分析、最优化问题、需求弹性等都需要用到导数。
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导数可以用来求函数的极值，通过求导并 令导数为0，可以找到函数的极值点。
VS
详细描述
首先求出函数的导数，然后令导数等于0， 解出对应的自变量值，这些点就是函数的 极值点。在极值点处，函数可能会取得极 大值或极小值。
利用导数求曲线的切线方程
总结词
详细描述
利用导数可以求出曲线上某一点的切线方程， 通过求导可以找到切线的斜率。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示函数图像在某一点的切 线。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该 点的导数值。导数大于零表示切线斜率为正，函数在该点处 单调递增；导数小于零表示切线斜率为负，函数在该点处单 调递减。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率。
通过解这个导数方程，可以得到该变 量的导数。
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导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
导数可以用来判断函数的单调性，通过导数的正负来判断函数在某区间内的增减性。
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间内单调递 减。
5.1.2导数的概念及其几何意义 (解析版)
5.1.2导数的概念及其几何意义知识点一.割线的定义：，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为ΔyΔx点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．知识点二.切线的定义：切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．知识点三.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也=f'(x0)相就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点四.割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是Δy＝Δx当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f′(x 0)＝lim Δx→0知识点五.导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数．这样，当x 变化时，y ＝f ′(x )就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数记作f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝Δx 注意：区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数题型1导数的几何意义-切线问题◆类型1在点“P ”处的切线【例题1-1】已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上的点A (1,2)处的切线斜率及切线方程．【解析】因为Δy Δx ＝3(1+△x)2−(1+△x)−3×12+1△x ＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.【变式1-1】1.求曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1,2)处的切线方程．【解析】在曲线f (x )＝x 2＋1上的点A (1,2)的附近取一点B ，设B 点的横坐标为1＋Δx ，则点B 的纵坐标为(1＋Δx )2＋1，所以函数的增量Δy ＝(1＋Δx )2＋1－2＝(Δx )2＋2Δx ，所以切线AB 的斜率k AB ＝Δy Δx ＝Δx ＋2，∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2)＝2，这表明曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1,2)处的切线斜率k ＝2．∴所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.【变式1-1】2.求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．【解析】∵曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1+△x)2−4(1+△x)+2−3×12+4−2△x＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2，∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由直线的点斜式，得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0，∴所求直线的方程为2x －y ＋4＝0.【变式1-1】3.已知曲线C ：y ＝f(x)＝x 3＋x.(1)求曲线C 在点(1,2)处切线的方程；(2)设曲线C 上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．【解析】因为Δy Δx ＝(x+△x)3+(x+△x)−x 3+x △x ＝3x 2＋3x·Δx ＋1＋(Δx)2，所以f′(x)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx→0[3x 2＋3x·Δx ＋1＋(Δx)2]＝3x 2＋1.(1)曲线C 在点(1,2)处切线的斜率为k ＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C 在点(1,2)处的切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.(2)曲线C 在任意一点处切线的斜率为k ＝f′(x)＝tan α，所以tan α＝3x 2＋1≥1.又α∈[0，π)，所以α∈π4，【变式1-1】4.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【答案】－3【解析】∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2+△x)2+1−22−1△x＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.◆类型2过点“P ”处的切线【解析】所以可设切点为(x 0，x 20)，因为f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0+△x)2−x 02△x ＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0，所以该切线的斜率为2x 0(x 0，x 20)，所以x 20－6x 0－52＝2x 0，即x 20－5x 0＋6＝0，解得x 0＝2或x 0＝3，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)，即y ＝4x －4，y ＝6x －9.【变式1-2】1.已知曲线f (x )＝1x .(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．【解析】(1)lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－1x 2.设过点A (1,0)的切线的切点为f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1,0)，P 0在切线上，所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)，即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以－3故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)，即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.【变式1-2】2.求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程．【解析】设切点为Q (a ，a 2＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22)．【变式1-2】3.求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．【解析】设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为k ＝lim Δx→0(x 0+△x)2+x 0+△x+1−(x 02+x 0+1)△x＝2x 0＋1.又k ＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.题型2求切点坐标4A ．(－1,2)B ．(1，－3)C ．(1,0)D ．(1,5)【答案】C【解析】设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1，所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1.把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x ，得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．【变式2-1】1．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________．【答案】(3,30)【解析】令f (x )＝2x 2＋4x ，设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f(x 0+△x ）−f(x 0)△x＝lim Δx →02(x 0+△x)2+4(x 0+△x)−2(x 0)2−4x 0△x＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．【变式2-1】2．已知直线y ＝4x ＋a (a <0)和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，则切点坐标为________，实数a 的值为________．【答案】(2,3)－5【解析】设直线与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →0(x+△x)3−2(x+△x)2+3−x 3+2x 2−3△x＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为－23(2,3)．－23，4927＝a ，∴a ＝12127(舍去)．当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，因此切点坐标为(2,3)，a 的值为－5.【变式2-1】3．(多选)下列各点中，在曲线y ＝x 3－2x 上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是()A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)【答案】BC【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则0=|x x y'＝lim Δx →0(x 0+△x)3−2(x 0+△x)−x 3+2x 0△x＝3x 20－2＝tan π4＝1，所以x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－1.当x 0＝－1时，y 0＝1.【变式2-1】4．在抛物线y ＝x 2上哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？【解析】y ′＝lim Δx →0(x+△x)2−x 2△x＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则0=|x x y'＝2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝x 20＝4，即P (2,4)，经检验，符合题意．设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0，则1=|x x y'＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18，所以y 1＝x 21＝164，即－18，经检验，符合题意．故抛物线y ＝x 2在点(2,4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0－18，4x －y ＋1＝0.【变式2-1】5．点P 在曲线f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．【解析】设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1，f ′(x 0)＝lim Δx →0＝(x 0+△x)2+1−x 02−1△x＝2x 0，所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1＝2x 0x ＋1－x 20，＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0，则Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，则y 0＝73，所以点P －233，【变式2-1】6.过曲线y ＝x 2上某点P 的切线满足下列条件，分别求出P 点．(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．【解析】f ′(x )＝lim Δx →0(x+△x)2−x 2△x＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P －32，足条件的点．(3)∵切线与x 轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P －12，【变式2-1】7.已知曲线f (x )＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值．【解析】对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝limΔx→0f(x0+△x)−f(x0)△x＝2x0.对于曲线g(x)＝1－x3，k2＝limΔx→0g(x0+△x)−g(x0)△x ＝limΔx→01−(x0+△x)3−1+x03△x＝－3x20.由题意得2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－23.经检验，均符合题意．题型3利用图象理解导数的几何意义【方法总结】导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f(x)在x＝x0附近切线的斜率k切线的倾斜角f′(x0)>0上升k>0锐角f′(x0)<0下降k<0钝角f′(x0)＝0k＝0零角(切线与x轴平行)A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在【答案】C【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．【变式3-1】1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是() A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D ．不能确定【答案】B【解析】由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.【变式3-1】2.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)【答案】C 【解析】k AB ＝f(3)−f(2)3−2＝f (3)－f (2)，f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率，f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率，根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．【变式3-1】3.函数f (x )的图象如图所示，则下列结论正确的是()A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a )D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)【答案】B【解析】f ′(a )，f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ，x ＝a ＋1处的切线的斜率，由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0，而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ，f (a ))与(a ＋1，f (a ＋1))两点连线的斜率，且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．【变式3-1】4.已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”“＝”或“＞”)．【答案】＞【解析】[f′(a)与f′(b)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，由图像可得f′(a)＞f′(b)．]题型4函数的单调性与导数的关系的图象可能是()【答案】A【解析】依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．【变式4-1】1.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()【答案】D【解析】由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.【变式4-1】2．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是()【答案】D【解析】由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．【变式4-1】3.如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()【答案】D【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
高中数学课件-导数的概念及其几何意义
k=tan=f(x0).
（2）物理意义： 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是
当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度v, 即: v=s(t0).
▪ 考点突破二：导数的几何意义
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
导数的意义
( 1 ) 几何意义:
函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线
▪ 例2（基础知识迁移） ▪ ① 求曲线y=x2+2x-1在点P（1,2）
处的切线方程。
解法一：联立方程后，用△=0
解法二：用导数的几何意义
答案：4x-y-2=0
▪
例：抛物线y=x2在点P处的切线与直线4xy+2=0平行,求P点的坐标及切线方程.
(2)求 平 均 变 化 率y f ( x0x) f ( x0 ) ;
x
x
(3)取 极 限 ， 得 导 数f ( x0
)
lim
x 0
y x
.
一差、二比、三极限
▪ 例1(导数定义题)
lim ▪ ①已知f '(x0) = 2,则 Δx→0
f (x0 +2Δx) - f (x0 ) = __4___
Δx
同类异形
高三导数的概念知识点总结
高三导数的概念知识点总结导数是高中数学中一个重要的概念，它在微积分中占据着重要的地位。
它不仅在高中阶段的数学学习中起着重要的作用，而且在后续的高等数学中也扮演着关键角色。
本文将对高三导数的概念、性质和计算方法进行总结。
一、导数的概念导数，亦称微商或斜率，是函数在某一点的变化率。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以解释函数的局部性质，即函数在某一点的斜率。
二、导数的几何意义导数的几何意义主要体现在切线与曲线的关系上。
对于函数y=f(x)，如果在点(x，y)处存在导数f'(x)，则此时曲线y=f(x)在该点与切线的斜率相等。
换句话说，导数是切线的斜率。
三、导数的性质1. 对于常数函数y=c，其导数为0，即f'(x)=0。
2. 若函数y=f(x)可导，那么在其导函数f'(x)存在的区间内，函数连续。
3. 若函数y=f(x)可导，则在其定义域内，函数一定是单调的。
4. 若函数y=f(x)在某一点x处可导，那么在该点左右两侧的导数相等。
四、导数的计算法则1. 常数法则：若f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
2. 基本初等函数法则：a) 若f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
b) 若f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
c) 若f(x) = ln(x)，其中x>0，则f'(x) = 1/x。
d) 若f'(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
3. 和差法则：若f(x) = u(x) ± v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
导数知识点整理总结
导数知识点整理总结导数是微积分的重要概念之一，它是研究函数变化率的工具。
导数的定义是函数在某一点的变化率。
在数学中，导数可以用几何意义解释为切线的斜率，也可以用物理意义解释为速度的变化率。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立发现，被广泛应用于数学、物理、经济等领域。
导数的研究可以追溯到十七世纪。
莱布尼茨在1684年首次提出了微分学的符号表示法，他使用了dy/dx这样的记号来表示导数。
牛顿则使用了几何表示法，他将导数解释为切线的斜率。
导数的定义如下：对于函数f(x)，如果存在极限lim(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)，则称这个极限为函数f(x)在点a的导数，记作f'(a)或者(dy/dx)(x=a)。
这个极限表示了当自变量x趋近于a时，函数f(x)在点a附近的变化率。
导数有一些基本的性质和运算规则，其中最重要的是导数的线性性质和乘法法则。
导数的线性性质指的是对于任意常数k，函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：(kf(x))' = kf'(x)，(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)。
乘法法则指的是对于两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积的导数可以用它们的导数表示，即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
导数的应用非常广泛，它可以用于求函数的极值、优化问题、曲线的形状分析等。
函数的极值可以通过求导数并解方程的方法求得。
导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，以及函数在这些点的斜率。
导数还可以用于优化问题，例如求函数的最大值和最小值，或者找到函数的最大斜率点等。
而曲线的形状分析可以通过导数的符号和零点来完成。
导数的符号可以告诉我们函数是增加还是减少，而导数的零点则表示函数的极值点。
除了基本的导数概念和运算规则外，还有一些特殊函数的导数需要特殊的处理。
例如，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数可以通过幂函数的求导公式f'(x) = nx^(n-1)来计算。
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<<高等数学〉>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义,能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义,会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系,判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程教学难点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程:1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数： s f (t ），求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--，这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短， 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度。
但这样做是不精确的， 更确地应当这样: 令t t 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限， 如果这个极限存在， 设为v ， 即 00)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限： 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0， 则y f （x 0x ）f (x 0) f (x )f (x 0)， x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(limx x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。
导数的定义 设函数y f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量x 时， 相应地函数y 取得增量y f （x 0x )f (x 0)， 如果当x ®0时，xy∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y f （x )在点x 0处的导数， 记作,0()f x , 即 xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =。
函数f (x )在点x 0处有导数（即极限x y x ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x ）在点x 0可导.如果极限xy x ∆∆→∆0lim 不存在, 就说函数yf (x )在点x 0处不可导。
如果不可导的原因是由于x ®0时,xy∆∆®∞也往往说函数y f （x ）在点x 0处的导数为无穷大.导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢"问题， 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果函数y f （x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导， 就称函数y=f （x )在开区间(a ，b ）内可导, 这时， 对于开区间(a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以(a ，b ）为定义域的新函数， 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数， 简称导数，记作)(x f '，y ', dxdy ， 或dxx df )(。
即)(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f ¢（x 0）与f ¢（x ）之间的关系:函数f （x )在点x 0处的导数f ¢(x ）就是导函数f ¢(x )在点x x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='。
导函数f ¢（x ）简称导数， 而f ¢（x 0）是f (x ）在x 0处的导数或导数f ¢（x ）在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆； f (x ）在0x 的右导数:0,()fx +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆。
左导数和右导数统称为单侧导数。
导数与左右导数的关系函数f （x ）在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢(x 0) 和右导数f ¢(x 0)都存在且相等。
如果函数f （x )在开区间(a , b ）内可导， 且右导数f ¢（a ) 和左导数f ¢（b )都存在, 就说f （x ）有闭区间[a , b ］上可导。
.3、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数. 解： hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h 。
即(C ) ¢0.例2 求xx f 1)(=的导数解hx h x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim)(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3 求x x f =)(的导数解hx h x hx f h x f x f h h -+=-+='→→0lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→例2．求函数f (x )x n(n 为正整数)在x a 处的导数。
解: f ¢(a ）a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n1ax n2× × ×a n 1）na n 1.把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x )nxn1， 即 (x n）¢nx n 1.（C )¢=0, 21)1(xx-=', xx 21)(='， 1)(-⋅='μμμx x 。
更一般地， 有(x)¢x1, 其中为常数.例3．求函数f （x )sin x 的导数。
解： f ¢（x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→。
即 （sin x )¢cos x .用类似的方法， 可求得 （cos x )¢sin x 。
例4．求函数f (x ） a x （a >0, a ¹1) 的导数. 解: f ¢（x )h x f h x f h )()(lim-+=→ha a x h x h -=+→0lim ha a h h x 1lim 0-=→t a h=-1令)1(log lim0t t a a t x +→a a ea x a xln log 1==。
特别地有（e x）e x.例5．求函数f （x ）log a x （a 〉0, a ¹1) 的导数。
解： hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ ax e xa ln 1log 1==。
解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h x a h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 ax x a ln 1)(log ='. ：特殊地 xx 1)(ln ='。
ax x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.例6．求函数f （x )x ｜在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(0-==-+='--→→-hh hf h f f h h ， 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f ¢(0)¹ f ¢（0）, 所以函数f （x )|x |在x0处不可导。
二、导数的几何意义设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N ， 作割线MN 。
当点N 沿曲线C 趋于点M 时， 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x ）的图形. 现在要确定曲线在点M （x 0， y 0)（y 0f (x 0))处的切线， 只要定出切线的斜率就行了。
为此, 在点M 外另取C 上一点N （x ， y ), 于是割线MN 的斜率为 0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时， x ®x 0. 如果当x ® 0时， 上式的极限存在， 设为k ，即0)()(limx x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率。