断裂力学总结

摘要：由高强度合金所制成的机械构造发生断裂时的应力水平，往往远低于屈服应力。

因此，当机械构造带有裂纹时，判断机械构造发生断裂的时机，不能用屈服判据，而应该寻求新的断裂判据。

现代断裂力学就是在这种背景下诞生的，从五十年代中期以来，断裂力学开展很快，目前理论局部已相当成熟，在工程方面，已广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机械、化工和地质等许多领域。

第一章 能量守恒于断裂判据 1.1 能量释放率的由来断裂力学的一大特点是，假定物体已经带有裂纹。

现代断裂力学就能对此带裂纹物体的裂纹端点区进展应力应变分析，从而得到表征裂端区应力应变场强度的参量。

如图1-1,1-2的Griffith 裂纹问题〔即无限大平板带有穿透板厚的中心裂纹，且受到无穷远处的单向均匀拉伸的裂纹问题〕，以及图1-2的矩形平板带有单边裂纹的问题。

图1-1 图1-2设两采板的厚度均为B ，Griffith 裂纹长度是2a ，单边裂纹长度为a 。

由于对称关系，现在只考虑图1-1中右边的裂纹端点。

在拉伸应力的作用下，此裂纹端点是向正前方扩展的。

根据Griffith 能量释放观点，在裂纹扩展的过程中，能量在裂端区释放出来，此释放出来的能量将用来形成新的裂纹面积。

因此，能量释放率是指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。

材料本身是具有抵抗裂纹扩展的能力的，因此只有当抗伸应力足够大时，裂纹才有可能扩展。

此抵抗裂纹扩展的能力可以用外表自由能来度量。

根据能量守恒定律，不考虑脆性断裂，裂纹发生扩展的必要条件是裂纹区要释放的能量等于形成裂纹面积所需要的能量。

设每个裂端的裂纹扩展量为a ∆，那么有：()(2)s G B a B a γ∆=∆s γ————外表自由能化简得：2s G γ=这就是著名的Griffith 断裂判据。

假设2s G γ≥，发生断裂；假设2s G γ<，那么不发生断裂。

考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，假设裂纹仍然维持静止，那么此弹性体所储存的总应变能U 要比在没有裂纹时所储存的总应变能0U 大，两者之差用1U 表示。

由于没裂纹时的总应变能0U 与裂纹长度无关，故有：1.2 能量平衡理论的应用按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的该变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能地改变量。

假设W 为外界对系统所做的功，U 为系统储存的应变能，t A 为裂纹总面积，p γ为外表能，那么断裂发生的临界条件为：()0p td W U dA γ--=此式为带裂纹物体的断裂判据。

按照线性弹性力学的原理，在外力拉伸下，因裂纹扩展而引起的功的变化量dW ，将等于两倍的总应变能的变量dU ，因此能量释放率在给定外力拉伸的情形下，有：在脆性断裂的情况下，所释放能量与形成裂纹面积所需要能量的差额，是随着裂纹增长越来越大还是越来越小，以致最后差额趋近于零。

数学表达式如下：(2)0s dG da γ->失稳扩展 (2)0s dG daγ-<可以止裂 假设材料的外表自由能是常数，那么有：22()0d W U da->失稳扩展22()0d W U da-<可以止裂第二章 应力强度因子 2.1 裂纹的几种根本型断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。

假设裂端应力应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之那么不发生。

一般将裂纹问题分为三种根本型。

第一种称为X 开型或拉伸型，简称I 型。

其裂纹面的位移方向是在使裂纹X 开的裂纹面法线方向，它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平面的情形。

第二种裂纹型称为同平面剪切型或者滑移型，简称II 型，裂纹上下外表的位移方向刚好相反。

第三种裂纹型称为反平面剪切型，简称III 型。

除了这三种根本型外，尚有复合型裂纹。

2.2 裂端的应力场和位移场我们考虑二维的I 型裂纹问题。

如图2-1，给出一个裂纹端点为原点的坐标系，x 方向是裂纹正前方，y 方向是裂纹面的法线方向，z 方向那么是离开纸面的方向。

图2-1考虑一个离裂端很近，位置在极坐标〔,r θ〕的单元，其应力状态可以用x σ、y σ和xy τ三个应力分量来表示，得裂端的应力恒为：I I I 31sin sin 22231sin sin 2223cos cos222x y xy θθθσθθθσθθθτ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由I K 值的大小来决定，因此I K 就称为I 型裂纹的应力强度因子。

由弹性规律，裂端区的应变场可以由弹性力学公式求得为：εij =I√2πr ij(θ) i ，j=x ，y通过应变——位移关系，经过比拟复杂的计算，可得到裂端区的位移场为：()()122I 122I r 2K 12sin cos()222r 2K 12cos sin()222u v θθκπθθμκπ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦u 和v 分别为x 和y 方向的位移分量，μ是剪切模量，κ与泊松比ν的关系为：应力是看不见的，它是个抽象的概念，然而位移的过程却有可能看到。

物体个别点具有无限大的应力并不会使该点的位移趋于无限。

因此，裂端具有无限大应力式允许的。

三种根本裂纹型端区某点的应力值、应变值、位移值和应变能密度值都由应力强度因子及其位置来决定。

因此，只要知道应力强度因子，裂端区的应力、应变、位移和应变能密度就都能求得。

由于有这一特点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度的参量。

第三章 线弹性断裂力学的根本概要3.1 应力强度因子与能量释放观点的统一假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其他能量的损耗，那么能量转换表现为所有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积。

下面以带有穿透板厚的I 型裂纹的平板为例，来建立应力强度因子和能量释放率间的关系。

如图3-1所示，裂纹长度为a 的裂纹端点正前方有使裂纹面撑开得拉伸应力，那么有：(,0)Iy r σ=，在此情况下，设裂纹可以延长δ长度，那么裂端前方撑开成长度为a δ+，如图3-2。

图3-1 图3-2新裂纹上外表位移](,)I a v r K δδπ+-=。

由于作用力对裂纹上外表所做得功为(,0)(,)2y r v r Bdr δσδπ-⎰。

因此，按照I 型裂纹能量释放率I G 的定义，可有：002(,0)(,)lim2y I r v r G Bdr B δδσδπδ→-=⎰经积分得：21I I x G K δμ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

对于平面问题，假设取有效弹性模量1E 和有效泊松比1ν，而又因为111x E δμ+=，那么21I I K G E =。

3.2 柔度法柔度法是通过柔度随裂纹长度而改变这个性质，用测量的方法来得能量释放率G ，然后利用G 和K 的关系式来得到K 值。

设A为裂纹一个外表的面积，即为裂纹长度和板厚之积，那么有：()d W U G dA-=。

假设系统边界某范围是给定载荷，那么做功的大小由此范围的载荷来决定。

当保持此载荷不变时，裂纹长度假设有增加，那么加载点的位移δ也会增加，即A A dA →+时，d δδδ→+。

应变能的改变可由下式得：12dU Pd δ=。

功的改变为2dW Pd dU δ==那么PdU G dA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，下标P 表示恒载荷。

现以I 型单边裂纹为例，来说明柔度法的原理。

一块很长的矩形板，如图3-3，图3-3板厚为B ，板下边固定，上边某点有拉力P ，载荷点位移δ〔a 〕，当裂纹增至a a +∆时，位移也增至δ〔a a +∆〕，这里当a ∆很小时，有()()a a a a a δδδ∆⎛⎫+∆=+∆⎪∆⎝⎭。

因为位移和拉力有如下关系：CP δ=，式中C 是柔度。

恒载荷时，A Ba =，得22P P C G B a ⎛⎫∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭。

对于一单独型的裂纹，利用应力强度因子和能量释放率的关系，可有断裂判据cr K K ≥。

I 型裂纹是最常见的裂纹型，其失稳断裂开场的临界点cr K ，通常与试件的厚薄、大小有关。

当试件厚到某一程度和大到某一程度，脆性材料的cr K 值到达极小值，以后尺寸厚度再增加，cr K 仍维持此极小值，此极小值用符号表示即为*ICK ，其相应的IC G 值为平面应变的断裂韧度。

因此，I 型裂纹保守的判据为:I IC K K ≥。

第四章 弹性断裂力学的根本概念4.1 Irwin 对裂端塑性区的估计在真正的材料里，不管是强度何等高的材料，无限大的应力是不可能存在的。

尤其是断裂力学主要应用于金属材料，金属材料总是有一定的塑性，这种无限大应力的结果并不适合。

当含裂纹的弹塑性体受到外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区，塑性区内的应力是有界的，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强度等都有关。

假设是塑性区已大到超过裂纹长度或物体的尺寸，那么此时线弹性力学的理论已不再适用，必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场强度的新力学参量。

假设裂纹是I 型，如图4-1所示，裂端前r 和*p r 处y 方向的拉伸应力刚好到达图4-1屈服应力ys σ，那么*p r 就是塑性区的尺寸，那么有：*py ys r r θσσ====所以，塑()222*22*2122p p K r K r δδπσνπσ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩性区的尺寸为2*22pysK r πσ=⇒Irwin建议取2*pr =或22*6p K r δπσ= 第二步估计可以假设裂纹的有效长度为eff a ，而eff a a ρ=+，0ρ>，用此eff a 来计算力应强度因子eff K 和应力场。

如图4-2，I 型裂纹，当有效裂纹端点前λ处的y σ图4-2等于ys σ时，那么222effysK λπσ=，当a ρ<<时，eff K 趋近于K 值，得2*22pysK r λπσ≈=；当a ρ<<时，*p rλ≈2ysK πσ==，最后得到*p r ρ=。

平面应力平面应变4.2 裂纹X 开位移CTOD 及J 积分裂纹X 开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹外表间的距离。

对I 型裂纹来说，线弹性断裂力学给出12x COD v μ⎛+==⎝。

假设用Irwin 塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，此时原点移动到有效裂纹的端点，以eff K 代替K ，*p r 代替r ，可得小范围屈服修正时214ysK CTOD E πσ=，利用能量释放率G 与K 的关系有：裂端应力应变场的综合强度可用J 积分值来表示。

同时，证明J 积分值与裂端弹塑性能量的释放关系，正好和Griffith 能量释放率与裂端弹性能量释放的关系相似。

在小范围屈服时，J 等于G ，存在ysJCTOD σ=，ys σ表示裂端前的屈服应力。